DISUSUN OLEH :

1. Nurul Aprilia Ramadhani (4008253)

2. Wulan Sari (4008247)

3. Yeyen Septasari (4008242)

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA

(STKIP-PGRI) LUBUKLINGGAU

TAHUN 2009

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah Swt karena atas ramhat karunia-Nya penyusun

dapat menyelesaikan makalah ini sebagai tugas mata kuliah aljabar. Didalam

menyusun makalah ini ucapan terima kasih kami haturkan kepada :

1. Suroto, S.Pd, selaku dosen pengampuh.

2. Pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan tugas ini.

Kami menyadari didalam menyusun makalah ini masih terdapat banyak

kekurangan. Untuk itu kami minta maaf. Kritik dan saran yang bersifat membangun

selalu kami harapkan dari berbagai pihak guna penyempurnaan makalah ini. Semoga

makalah ini dapat bermanfaat bagi perjalanan pendidikan kita semua. Amien...

Lubuklinggau, Mei 2009

Penyusun

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL

KATA PENGANTAR ............................................................................................ i

DAFTAR ISI ........................................................................................................... ii

PROGRAM LINEAR

A. Sejarah Program Linear ....................................................................................

B. Konsep Dasar Program Linear ..........................................................................

C. Sistem Pertidaksamaan Linear ..........................................................................

D. Kaidah Program Linear .....................................................................................

E. Optimasi ............................................................................................................

METODE SIMPLEX I

A. Pengantar ...........................................................................................................

B. Penentuan Maksimum .......................................................................................

RANGKUMAN ......................................................................................................

METODE SIMPLEX II

A. Penentuan Umum ..............................................................................................

B. Variabel Slack Tiruan (Artificial) .....................................................................

C. Merancang Program Awal ................................................................................

D. Prosedur Penentuan Struktur Persyaratan .........................................................

RANGKUMAN.......................................................................................................

PROGRAM LINEAR

A. Sejarah Program Linear

Seorang Matematikawan Rusia L.V. Kantorovich pada 1939 berhasil

menemukan pemecaham masalah yang berkaitan dengan program linear. Pada

waktu itu Kantorovich bekerja untuk Kantor Pemerintah Uni Soviet. Ia diberi

tugas untuk mengoptimalkan produksi pada industri plywood. Ia kemudian

muncul dengan teknik matematis yang disekan sebagai pemrograman linear.

Matematikawan Amerika : George B. Dantzig secara independen juga

mengembangkan pemecahan masalah tersebut, di mana hasil karyanya pada

masalah tersebut pertama kali dipublikasikan pada tahun 1947. selanjutnya,

sebuah teknik yang lebih cepat, tetapi lebih rumit, yang cocok untuk memecahkan

masalah program linear dengan ratusan atau bahkan ribuan variabel,

dikembangkan oleh matematikawan Bell Laboratories, Naranda Karmarkar

pada tahun 1983, Program linear sangat penting khususnya dalam perencanaan

militer dan industri.

B. Konsep Dasar Program Linear

Program linear (linear programming) merupakan model optimasi

persamaan linear yang berkenaan dengan masalah-masalah pertidaksamaan linear,

Masalah program linear berarti masalah nilai optimum (maksium atau minimum)

sebuah fungsi linear pada suatu sistem pertidaksamaan linear yang harus

memenuhi optimasi fungsi objektif.

Dalam banyak situasi, wring dijumpai masalah-masalah yang

berhubungan dengan program linear. Agar masalah optimasinya dapat

diselesaikan dengan program linear, maka masalah tersebut harus diterjemahkan

dalam bentuk model matematika.

Sebagai contoh andaikan seorang tukang roti merencanakan membuat dua

jenis roti, yaitu roti jenis I (x) dan roti jenis II (y), menggunakan dua macam

bahan baku, yaitu tepung dan mentega. Setiap roti jenis I memerlukan 200 gram

tepung dan 25 gram mentega. Setiap roti jenis II memerlukan 100 gram tepung

dan 50 gram mentega. Harga jual roti jenis I dan II masing-masing adalah

Rp1.500,00 dan Rp2.000,00. Jumlah persediaan bahan ialah 4 kg tepung dan 1,2

kg mentega. Berapa banyak masing-masing jenis roti yang harus diproduksi agar

tukang roti memperoleh keuntungan maksimum?

Masalah yang muncul adalah berapa banyak roti jenis I (x) dan roti jenis

11 (y) harus diproduksi sehubungan dengan kondisi-kondisi yang ada. Agar dapat

diselesaikan secara matematika dengan model program linear, mula-mula

permasalahan di atas diterjemahkan ke dalam bentuk model-model matematika.

Misalkan P melambangkan nilai optimum (objektif) penerimaan,

sedangkan x dan y masing-masing melambangkan banyak roti jenis I dan roti

jenis 11, maka:

(a) Fungsi objektifnya adalah P = 1.500 x + 2.000 y

(b) Sistem pertidaksamaannya adalah

200x + 100y ≤ 4.000 .... (1)

25x + 50y ≤ 1.200 .... (2)

Karena x dan y bilangan bulat yang tidak mungkin negatif, maka

x ≥ 0 .... (3)

y ≥ 0 .... (4)

proses penyusunan sistem pertidaksamaan di atas dapat ditunjukkan dalam

model matematika berikut ini

Roti Tepung (gram) Mentega (gram)

Roti jenis I (x) 200 25

Roti jenis II (y) 100 50

Bahan yang tersedia 4.000 1.200

Dari data dalam tabel, terdapat hubungan-hubungan sebagai berikut:

(1) 200x + 100y ≤ 4.000 2 x + y ≤ 40

(2) 25x + 50y ≤ 1.200 x + 2y ≤ 48

(3) x ≥ 0

(4) y ≥ 0

Penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas dilakukan dengan metode grafis, yaitu

dengan menggambarkannya pada koordinat Cartesius.

C. Sistem Pertidaksamaan Linear (Mengulang)

1. Garis-garis yang sejajar atau tegak lurus.

(i) Daerah arsiran menunjukan x ≥ 4. Semua titik yang berada pada daerah

arsiran memenuhi x ≥ 4. Garis x = 4 yang tegak lurus sumbu X digambar

tidak putus-putus untuk menyatakan bahwa semua titik pada garis itu

memenuhi x ≥ 4.

(ii) Daerah arsiran menunjukkan y > 2. garis y > 2 yang sejajar sumbu X

digambar putus-putus untuk menyatakan bahwa semua titik pada garis itu

tidak memenuhi y > 2.

2. Garis-garis yang tidak tegak lurus dan tidak sejajar sumbu X

Gambar 2.4 (i) menunjukkan daerah arsiran yang memenuhi 4x 3y + 12 ≥ 0.

langkah berikut menyatakan bahwa semua titik pada daerah arsiran, yaitu

bagian di bawah garis 4x 3y + 12 = 0 adalah benar memenuhi 4x3y+12≥ 0.

Ambil titik O (0, 0) sebagai titik selidik.

Substitusikan x = 0 dan y = 0 ke 4x 3y + 12 ≥ 0

4 (0) 3 (0) + 12 ≥ 0

12 ≥ 0 ... (benar)

Jadi, titik-titik disebelah bawah garis 4x 3y + 12 = 0, memenuhi 4x 3y +

12 ≥ 0.

Contoh 1 :

Diketahui sistem pertidaksamaan : A =

B C dan

D . Tunjukkan dengan arsiran, daerah yang

memenuhi

Jawab :

Ambil titik selidik O (0,0).

A =

0 0 + 6 ≥ 0.

6 ≥ 0 ..... (benar)

Jadi, arsirlah daerah dibawah garis x y + 6 ≥ 0.

B =

5 (0) + 6 (0) + 30 ≥ 0

30 ≥ 0 ..... (benar)

Jadi, arsirlah daerah dibawah garis 5x 6y + 30 ≥ 0.

C

3 (0) + 2 (0) 12 ≥ 0

12 ≥ 0 ..... (benar)

Jadi, arsirlah daerah dibawah garis 3x 2y + 12 ≥ 0.

D

7 (0) + 5 (0) 35 ≥ 0

35 ≥ 0 ..... (benar)

Jadi, arsirlah daerah dibawah garis 7x 5y + 35 ≥ 0.

Sehingga daerah yang diarsir menunjukkan himpunan penyelesaian dari sistem

pertidaksamaan linear di atas.

Catatan : Langkah-langkah di atas, membuktikan bahwa titik selidik O (0,0). Memenuhi

syarat

Tabel 2.1 dibawah ini merupakan petunjuk untuk mengarsir daerah yang

memenuhi suatu pertidaksamaan.

Tabel 2.1

Bentuk pertidaksamaan Daerah yang memenuhi

> Disebelah kanan dari garis =

< Disebelah kiri dari garis =

> Disebelah atas dari garis =

< Disebelah bawah dari garis =

> Disebelah atas dari garis =

< Disebelah bawah dari garis =

Disebelah atas dari garis

Disebelah bawah dari garis

Disebelah bawah dari garis

Disebelah atas dari garis

D. Kaidah Program Linear

1. Prinsip Program Linear

Program linear adalah suatu cara yang bertujuan untuk menentukan himpunan

penyelesaian bagi suatu sistem pertidaksamaan.

Prinsip 1. Dalam program linear, setiap pernyataan yang harus dipenuhi

oleh variabel-variabel seperti x dan y dinyatakan dalam bentuk

pertidaksamaan. Misalnya, dalam suatu masalah diketahui bahwa

jumlah 2x dan 3y tidak boleh kurang dari 12. Pernyataan ini

berarti 2x + 3y sama dengan 12 atau lebih dari 12, dan dinyatakan

dalam bentuk pertidaksamaan sebagai 2x + 3y = 12.

Prinsip 2. Dalam setiap pertidaksamaan akan dibentuk suatu persamaan

yang berkaitan. Misalnya, dari pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 12,

dibentuk persamaan 2x + 3y = 12.

Prinsip 3. Persamaan yang dibentuk digunakan untuk melukis garis bagi

penyelesaian pertidaksamaan.

2x + 3y = 12

x 0 3 6

4 2 0

Prinsip 4. Arsirlah daerah yang memenuhi pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 12

dengan menggunakan titik selidik, atau berpatokan pada tabel 2.1.

Prinsip 5. Koordinat-koordinat setiap titik dalam daerah arsiran mewakili

suatu sistem pertidaksamaan. Misalnya titik (1, 4), (4, 3), (6, 2),

dan seterusnya.

Uraian diatas, menjelaskan prinsip program linear dan kaidah penggunaannya.

2. Model Matematika

Telah kita ketahui bahwa setiap masalah yang hendak diselesaikan dengan

kaidah program biasanya mengandung beberapa syarat untuk dipenuhi oleh

variabel-variabel seperti x dan y. Oleh sebab itu, dalam program linear

langkah pertama yang dilakukan adalah menerjemahkan syarat-syarat tersebut

ke dalam bahasa matematika yang berbentuk sistem pertidaksamaan. Sistem

pertidaksamaan ini mengungkapkan semua syarat yang harus dipenuhi oleh x

dan y. Sistem pertidaksamaan disebut sebgaia model matematika.

Dalam menyusun model matematika, yang perlu dipahami adalah implikasi

dari semua ungkapan yang menyatakan syarat-syarat pada masalah. Tabel 2.2

berikut ini merupakan sebagian contoh implikasi suatu ungkapan yang

berhubungan dengan tanda-tanda ketidaksamaan suatu ungkapan yang

berhubungan dengan tanda-tanda ketidaksamaan.

Tabel 2.2

Ungkapan dan Implikasinya Pertidaksamaan

1 Nilai y di antara 2 dan 6. artinya y lebih

dari 2 dan kurang dari 6.

2 < y < 6, atau y > 2 dan

y < 6.

2 Nilai x melebihi 2 tetapi tidak lebih dari

8. artinya, x sama atau kurang dari 8,

2 < x ≤ 8

x > 2 dan x ≤ 8

tetapi lebih dari 2.

3 Nilai y kurang dari 12, tetapi kurang dari

5.

Artinya, y sama atau lebih dari 5, tetapi

kurang dari 12.

5 ≤ y < 12

y ≥ 5 dan y < 12

4 Nilai x sekurang-kurangnya 10. artinya x

sama atau lebih dari 10. dan seterusnya

x ≥10

dan seterusnya.

Contoh 3 :

Susunlah model matematika dari ungkapan berikut ini, kemudian tentukan daerah

himpunan penyelesaiannya.

(i) y tidak boleh melebihi 2x.

(ii) Nilai untuk 3y – x adalah lebih dari nol.

(iii) Nilai maksimum untuk jumlah 5x dan 6y adalah 60.

(iv) Jumlah x dan y tidak kurang dari 4.

Jawab :

(i) y ≤ 2x.

(ii) 3y – x > 0

(iii) 5x + 6y ≤ 60, dan

(iv) x + y ≥ 4

y = 2x 3y – x = 0 5x + 6y = 60 x + y = 4x 0 1 0 3 6 0 6 12 0 1 4y 0 2 0 1 2 10 5 0 4 3 0

Ambil titik selidik (4, 3), maka untuk :

(1) y ≤ 2x 3 ≤ 2(4)

3 ≤ 8 ........ (benar)

(2) 3y – x > 0 3(3) – 4 > 0 5 > 0 ........ (benar)

(3) 5x + 6y ≤ 60 5 (4) + 6 (3) ≤ 60

38 ≤ 60 ........ (benar)

(4) x + y ≥ 4 4 + 3 ≥ 4 ........ (benar)

Jadi, daerah himpunan penyelesaian adalah daerah yang diarsir.

3. Masalah yang Melibatkan Program Linear

Program linear biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah dengan

melukis garis-garis dan menunjukkan daerah penyelesaian dengan

memberikan arsiran.

Contoh 4

Seorang ibu rumah tangga mempunyai 160 g tepung beras dan 240 g tepung

terigu untuk membuat kue jenis A dan B. Setiap kue A memerlukan 16 g

tepung beras dan 20 g tepung terigu, sedangkan setiap kue B memerlukan 12

g tepung beras dan 30 g tepung terigu. Ia hendak membuat lebih dari 2 loyang

kue A dan sekurang-kurangnya satu loyang kue B. Dalam berapa carakah dua

jenis tepung itu dapat digunakan untuk membuat dua jenis kue ?

Jawab :

Misalkan x dan y sebagai dua variabel yang hendak dihitung nilainya di mana

x mewakili banyak kue A serta y mewakili banyak kue B.

Analisis Kasus.

Setiap kue A dan setiap kue B memerlukan masing-masing 16 g dan 12 g

tepung beras. Tepung beras yang tersedia 160 g.

x kue A memerlukan x kali 16 g dan y kue B memerlukan y kali 12 g

tepung beras. Sehingga banyak tepung beras yang diperlukan untuk

membuat x kue A dan y kue B adalah (16x + 12y) g.

Hanya tersedia 160 g tepung beras, maka (16x + 12y) g tidak boleh

melebihi 160 g. Sehingga pertidaksamaan yang dapat disusun adalah:

16x + 12y ≤ 160, di mana x dan y B (bilangan bulat).

Tiap-tiap kue A dan B masing-masing memerlukan 20 g dan 30 g tepung

terigu, dari 240 g terpung terigu yang tersedia.

x kue A memerlukan x kali 20 g dan y kue B, memerlukan y kali 30 g

tepung terigu. Sehingga banyak tepung terigu yang diperlukan untuk

membuat x kue A dan y kue B adalah (20x + 30y) g.

Hanya tersedia 240 g tepung terigu, maka (20x + 30y) g tidak boleh

melebihi 240 g. Sehingga pertidaksamaan yang dapat disusun adalah :

20x + 30y ≤ 160, x dan y B.

Ia berencana membuat lebih dari 2 loyang kue A, maka x > 2, dan

Sekurang-kurangnya satu loyang kue B, maka y ≥ 1.

Model matematika dari analisis kasus di atas adalah sebagai berikut :

Model Matematika

Kue / Bahan Tepung Beras Tepung Terigu

Kue A (x) 16 20

Kue B (y) 12 30

160 240

Sistem pertidaksamaan:

(1) 16x + 12y ≤ 160 4x + 3y ≤ 40,

(2) 20x + 30y ≤ 160 2x + 3y ≤ 24,

(3) x > 2 dan

(4) y ≥ 1

4x + 3y ≤ 40 2x + 3y ≤ 24

x 10 1 4 0 3 12

y 0 12 8 8 6 0

Daerah penyelesaian yang memenuhi adalah daerah yang diarsir. Karena

terdapat 24 noktah dalam daerah penyelesaian, maka dapat disimpulkan

bahwa :

- Kedua jenis tepung itu dapat digunakan daam 25 cara untuk membuat dua

jenis kue, yaitu {(x, y) |(3, 1), (3, 2), (3, 3), ..., (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1)}.

- Jumlah kedua kue maksimum adalah 10, yaitu ada 4 cara {(x, y) (6, 4),

(7, 3), (8, 2), (9, 1)}.

E. Optimasi

Masalah pada program linear adalah masalah menentukan nilai maksimum

atau nilai minimum suatu fungsi objektif. Penyelesaian masalah program linear

dapat dilakukan dengan metode grafis dan metode simpleks. Pada bagian ini yang

akan dibahas adalah metode grafis dan penggunaan garis selidik.

Perhatikan uraian berikut ini. Daerah arsiran pada gambar 2.7 menunjukkan

penyelesaian dari sistem pertidaksamaan: x ≥ 2, 3y – x ≤ 15, 3x + 2y ≤ 32, dan x –

2y ≤ 0. garis g putus-putus melalui A (2, 1), B (4, 2), C (5, 6), D (6, 7)

mempunyai persamaan x + 2y = k, dimana bentuk x + 2y disebut fungsi objektif

dan garis x + 2y = k disebut garis selidik. Karena keempat garis selidik tersebut

mempunyai gradien maka garis-garis g saling sejajar.

Nilai k dapat diperoleh dengan mensubstitusikan koordinat titik-titik A, B, C, dan

D.

Untuk A (2, 1) k = 2 + 2 (1) = 4, sehingga g1 ≡ x + 2y = 4

B (4, 2) k = 4 + 2 (2) = 8, sehingga g2 ≡ x + 2y = 8

C (5, 6) k = 5 + 2 (6) = 17, sehingga g3 ≡ x + 2y = 17

D (6, 7) k = 6 + 2 (7) = 20, sehingga g4 ≡ x + 2y = 20

Jika kita perhatikan keempat garis selidik yang melalui titik A, B, C, dan D, maka

tampak bahwa garis yang paling dekat ke O (0, 0) yaitu garis g1 yang melalui A

(2, 1) mempunyai nilai k = 4 adalah minimum, sedangkan garis yang paling jauh

dari titik O (0, 0) yaitu garis g4 yang melalui D (6, 7), mempunyai nilai k = 20

adalah maksimum.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Jika suatu garis ax + by = k melalui suatu titik P(p, q) maka nilai fungsi

objektif ax + by yang diwakili oleh k adalah k = ap + bq.

Jika garis ax + by = k paling dekat ke titik pangkal O (0, 0), maka nilai k pada

persamaan tersebut adalah minimum.

Jika garis ax + by = k paling jauh dari titik pangkal O (0, 0), maka nilai k pada

persamaan tersebut adalah maksimum.

Semua garis selidik saling sejajar.

Contoh 6 :

Tentukan nilai minimum dan maksimum fungsi objektif (2x + y) dari sistem

pertidaksamaan:

x + y ≥ 5, x – 4y ≥ 0, x + y ≤ 10, dan 2y – 3x ≤ 0.

Jawab:

Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut ditunjukkan

dalam Gambar 2.8 di berikut ini.

Langkah-langkah menggunakan garis selidik.

1. Misalkan garis selidiknya adalah 2x + y = k.

2. Tentukan satu titik sembarang dalam daerah penyelesaian. Misalnya P(5, 3).

3. Jika garis g = 2x + y = k melalui P, maka koordinat P memenuhi persamaan

garis g, maka k = 2 (5) + 3 = 13. jadi, g ≡ 2x + y = 13.

4. Lukis garis g dalam diagram Cartesius yang melalui P.

5. Buatlah garis-garis yang sejajar dengan g dan perhatikan garis mana yang

terketak paling dekat dan paling jauh dari titik pangkal O (0, 0).

6. Garis yang paling dekat ke titik O adalah garis yang melalui titik A (2, 3),

maka nilai k = 7 adalah minimum.

7. Garis yang paling jauh dari titik O adalah garis yang melalui titik C (8, 2),

maka nilai k = 18 adalah maksimum.

METODE SIMPLEX I

A. Pengantar

Dari berbagai metode penyelesaian program linier, metode simpleks

merupakan metode yang paling ampuh dan terkenal. Metode simpleks didasarkan

atas pengertian bahwa solusi optimal dari masalah program linier, jika ada, selalu

dapat ditemukan di salah satu dari ”solusi dasar yang berlaku”. Oleh sebab itu

dalam metode simpleks, langkah pertama adalah selalu untuk memperoleh solusi

dasar yang berlaku.

Metode simpleks yang akan dibahas berikut adalah metode yang cukup

sederhana dan memiliki mekanisme alamiah. Langkah-langkah dalam metode

simpleks diulang-ulang sampai tercapai suatu solusi optimal, jika ada.

B. Penentuan Maksimum

Suatu masalah dalam pabrik memiliki data sebagai berikut :

Ukuran waktu pemprosesam oleh departemen

DepartemenUkuran

Kapasitas per- Periode waktuA B C

Pemotongan 10.7 5.0 2.0 2705

Pelipatan 5.4 10.0 4.0 2210

Pengepakan 0.7 1.0 2.0 445

Keuntungan/unit $10 $15 $20

Langkah pertama adalah menentukan model matematika untuk data-data yang

tertera dalam tabel.

Misalkan bahwa diproduksi sejumlah x unit dari produksi A, sejumlah y unit

produksi B dan sejumlah z unit dari produksi C.

Fungsi objektif:

Maksimumkan : f = 10x + 15y + 20z

Syarat : 10,7x + 5y + 2z ≤ 2705

5,4x + 10y + 4z ≤ 2210

0,7x + 1y +2z ≤ 445

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0

Dengan penambahan variabel ”slack” S1, S2, S3. pertidaksamaan tersebut

dapat diubah menjadi persamaan. Pembuatan produksi imaginer S1, S2, S3.

melibatkan keuntungan nol perunitnya. Sehingga Model matematikanya dapat

ditulis kembali sebagai berikut :

Maksimumkan : fo = 10x + 15y + 20z + S1 + 0S2 + 0S3

10,7x + 5y + 2z + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 2705

5,4x + 10y + 4z + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 2710

0,7x + 1y + 2z + 0S1 + 0S2 + 1S3 = 445.

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, S1 ≥ 0, S2 ≥ 0, S3 ≥ 0

metode simpleks melangkah dengan mengadakan perbaikan-perbaikan

terhadap solusi dasar yang memenuhi syarat sehingga dicapai suatu solusi

optimal. Setiap program yang akan dibuat berikut, diberikan dalam bentuk

matriks atau tabel.

1. Merancang Program Awal

Program pertama dalam metode simplek adalah program yang hanya

melibatkan variabel slack. Arti dari data-data yang tertera pada tabel simpleks

di atas harus dimengerti sepenuhnya agar dapat menghayati metode simpleks.

Oleh sebab itu marilah kita bahas tabelnya berikut ini:

Program Keuntungan

perunit

Kuantitas $10

x

$15

y

$20

z

$0

S1

$0

S2

$0

S3

S1 0 2705 10.7 5 2 1 0 0

S2 0 2710 5.4 10 4 0 1 0

S3 0 445 0.7 1 2 0 0 1

Keterangan:

a) Dalam kolom ”Program” terdaftar variabel-variabel khusus dalam solusi

(produksi yang dihasilkan). Maka dalam program awal kita produksi S1, S2,

S3.

b) Dalam kolom ”Keuntungan per unit” terdafat koefisien (dalam fungsi

objektif) dari variabel-variabel yang tercakup dalam program tersebut.

Dapat dipastikan dari fungsi objektif, koefisien dari S1, S2, S3 adalah nol.

c) Dalam kolom ”Kuantitas” terdaftar besarnya variabel yang tercakup dalam

solusi. Program awal mencakup produksi 2705 unit S1, 2210 unit S2, dan

445 unit S3.

d) Kontribusi keuntungan total yang dihasilkan dari program yang dimiliki

dapat dihitung dengan mengalikan angka-angka dalam kolom

“keuntungan per unit” dan kolom “kuantitas” bersangkutan dan kemudian

menjumlahkan hasil perkaliannya. Dalam program pertama kontribusi

keuntungan total adalah: 0 (2705) + 0 (2210) + 0 (445) = 0.

e) Bilangan-bilangan dalam bagian utama (bilangan-bilangan dibawak kolom

(x, y, dan z) dapat dijelaskan memiliki arti fisik. Misalnya, bilangan 10.7

menunjukkan perbandingan pertukaran antara x dan S1, berarti

memproduksi 1 unit x harus mengorbankan 1 10.7 unit S1. pada kolom

dibawah y berarti memproduksi 1 unit y harus mengorbankan 5 unit S1. 10

unit S2, dan 1 unit S3.

2. Menguji keoptimalan program yang sedang berlangsung

Program awal memberikan keuntungan nol, karena melibatkan x = 0, y =

0, z = 0, S1 = 2705 S2 = 2210, S3 = 445 dengan keuntungan :

Fo = 10(0) + 15(0) + 20(0) + 0(2705) + 0(2210) + 0(445) = 0

Perbaikan terhadap program awal dilakukan dengan mengikutsertakan z

dalam program. Dipilih z karena 1 unit z memberikan keuntungan $20, yang

lebih tinggi dari keuntungan yang diberikan oleh 1 unit x atau 1 unit y.

Pemasukan 1 unit dalam program mengubah fungsi keuntungan menjadi

+ 1(20) – 2(0) – 4(0) – 2(0) = +20.

Table 4.1Tabel Program

Rangkuman

Langkah-langkah yang dapat ditempuh dalam menentukan solusi optimal

permasalahan program linear dengan metode simpleks I adalah :

1. Menentukan model matematika untuk data-data yang terdapat pada

permasalahan program linear.

2. Menambahkan variabel “slack” (S1, S2, S3), sehingga model matematika dapat

diubah menjadi persamaan linear.

3. Membuat kerangka tabel simpleks

4. Merancang program awal

5. Menguji keoptimalan program yang sedang berlangsung.

Prog

ram

Profit

perunit

Kuant

itas

$10

x

$15

y

$20

z

$0

S1

$0

S2

$0

S3

S1 0 2705 10.7 5 2 1 0 0

S2 0 2710 5.4 10 4 0 1 0

S3 0 445 0.7 1 2 0 0 1

Net Evaluation Row 10 15 20 0 0 0

Kolom kunci (variabel masuk)

Bilangan Kunci

Baris kunci (variabel keluar)

x

6. Melakukan perbaikan-perbaikan terhadap program yang sedang berlangsung

sampai diperoleh program optimal. Langkah-langkah yang dilakukan dalam

melakukan perbaikan program tersebut adalah :

a. Menentukan kolom kunci, yaitu kolom yang dapat memberikan

keuntungan terbesar.

b. Menentukan baris kunci, yaitu barisan yang mempunyai bilangan hasil

bagi terkecil (bilangan pada kolom kuantitas dibagi dengan bilangan

bukan negatif pada kolom kunci).

c. Menentukan bilangan kunci, yaitu bilangan yang terdapat pada

persilangan antara kolom kunci dan baris kunci.

d. Menurunkan tabel dari tabel program awal ke tabel program berikutnya

hasil perbaikan, dengan cara :

Melakukan transformasi baris kunci, yaitu membagi semua bilangan

dalam baris kunci dengan bilangan kunci.

Melakukan transformasi bukan baris kunci, dengan rumus :

Bil.baris baru = bil.baris lama–

Program sudah optimal jika baris penilaian tidak memiliki bilangan

nol atau negatif.

METODE SIMPLEX II

A. Penentuan Minimum

Kasus mencari minimum akan dijelaskan dengan sebuah masalah serupa

dengan masalah diet yang sangat terkenal. Marilah kita rumuskan sebuah masalah

dimana seseorang memerlukan sejumlah tertentu dari masing-masing vitamin

setiap harinya.

Vitamin A dan B terdapat dalam dua makanan yang berbeda M1 dan M2.

jumlah vitamin disetiap makanan, harga perunit dari setiap makanan dan vitamin

yang diperlukan setiap harinya dapat dilihati pada tabel 5.1

VitaminMakanan

Keperluan sehariM1 M2

A 2 4 40

B 3 2 50

Harga makanan/unit

3 2.5

Data menunjukkan bahwa 1 M1 mengandung 2 unit vitamin A dan 3 unit

vitamin B, serta 1 unit M2 mengandung 4 unit vitamin A dan 2 unit vitamin B.

Keperluan sehari akan vitamin A paling sedikit 40 unit dan vitamin B sejumlah

540 unit. Tujuan kita adalah menentukan jumlah optimal dari makanan M1 dan M2

sehingga keperluan vitamin seharinya dipenuhi dengan biaya serendah mungkin.

Misalkan bahwa untuk memenuhi tujuan ini dibeli x makanan M1 dan

sejumlah y dari makanan M2. secara aljabar masalah ini dapat dituliskan sebagai

berkut :

Minimumkan : f = 3x + 2.5y

Syarat : 2x + 4y ≥ 40

3x + 2y ≥ 50

x ≥ 0, y ≥ 0

Metode simplek II menangani persyaratan ”lebih besar atau sama” dengan

suatu nilai. Untuk merubah pertidaksamaan menjadi persamaan memerlukan

”pengurangan” dengan variabel ”slack”. Misalkan sejumlah x dan y dari vitamin

A dan B diperlukan seharinya, maka model matematikanya dapat ditulis kembali

sebagai berikut:

Minimumkan : f = 3x + 2.5y + 0S1 + 0S2

Syarat : 2x + 4y – S1 ≥ 40

3x + 2y – S2 ≥ 50

x ≥ 0, y ≥ 0, S1 ≥ 0, S2 ≥ 0

B. Variabel Slack Tiruan (Artificial)

Jika variabel kerangka (struktual) x dan y dimisalkan nol seperti program

awal metode simpleks, maka diperoleh nilai-nilai negatif S1 dan S2 yang tidak

memenuhi persyaratan. Untuk tidak melanggar persyaratan-persyaratan yang

telah ditetapkan dalam program-program metode simplek maka diciptakan

variabel slack tiruan.

Model matematika dilengkapi dengan variabel slack tiruan A1 dan A2

sampai An, sehingga jika x dan y bernilai nol, persamaan-persamaan persyaratan

masih memiliki variabel slack yang bernilai positif. Maka model matematika

secara lengkap ditulis:

Minimumkan : f = 3x + 2.5y + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2

Syarat : 2x + 4y – S1 – A1 = 40

3x + 2y – S2 – A2 = 50

x ≥ 0, y ≥ 0, S1 ≥ 0, S2 ≥ 0, A1 ≥ 0, A2 ≥ 0

C. Merancang Program Awal

Dalam metode simpleks, program awal hanya melibatkan S1 dan S2,

sedangkan x dan y sebagai variabel kerangka bernilai nol. Untuk suatu masalah

berdimensi dua, ini berarti menyatakan vektor persyaratan P0 dalam vektor basis

.

Dalam contoh yang ditampilkan di atas, vektor persyaratan P0 = dapat

dinyatakan dengan vektor-vektor basis .

Untuk memudahkan penyusunan program awal dari metode simpleks II,

maka dengan menggunakan variabel slack A1 dan A2, model matematika perlu

ditulis kembali selengkapnya.

Minimumkan : f = 3x + 2.5y + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2

Syarat : 2x + 4y – 1.S1 – 0.S2 + 1.A1 + 0.A2 = 40

3x + 2y – 0.S2 – 1.S2 + 0.A1 + 1.A2 = 50

x ≥ 0, y ≥ 0, S1 ≥ 0, S2 ≥ 0, A1 ≥ 0, A2 ≥ 0

Program awal dimulai dengan memilih x, y, z, S1, S2 bernilai nol. Dari

persamaaan di atas, mudah dipahami bahwa ini berkaitan dengan nilai-nilai A1 =

40, A2 = 50. Oleh sebab itu tabel yang digunakan untuk perhitungan simpleks II

adalah program awal dapat dilihat pada tabel 5.2

Prog

ram

Biaya

perunit

Kuant

itas

3

x

2,5

y

0

S1

0

S2

M

A1

M

A2

A1 M 40 2 4 -1 0 1 0

A2 M 50 3 2 0 -1 0 1

Baris penilaian : 3-5M M M 0 0

Variabel Keluar Variabel Masuk

Langkah-langkah perbaikan program dalam metode simpleks II adalah:

1. Perhitungan dari baris penilaian

2. Mengenali kolom kunci

3. Mengenali baris kunci dan bilangan kunci

4. Transformasi dari baris kunci dan baris kunci untuk memperoleh program

yang diperbaiki.

D. Prosedur Penentuan Struktur Persyaratan

Karakteristik dari masalah program linear dapat dicakup dalam 3 jenis yang

berbeda.

1. Persyaratan yang dalam bentuk aslinya dinyatakan oleh pertidaksamaan dari

jenis ”kurang atau sama dengan” jenis ≤.

2. Persyaratan yang dalam bentuk aslinya dinyatakan oleh pertidaksamaan dari

jenis ”lebih besar atau sama dengan” jenis ≥.

Kedua kelompok ini ditangani dengan mengubahnya menjadi persamaan.

3. Persyaratan yang dalam bentuk aslinya merupakan campuran dari persamaan

dan pertidaksamaan.

Penyusunan kembali model matematika diperlukan untuk siap dan dapat

digunakan dalam perancangan program awal dari metode simpleks.

Rangkuman

Langkah-langkah yang dapat ditempuh dalam menentukan solusi optimal

permasalahan program linear dengan metode simplek I adalah :

1. Menentukan model matematika untuk data-data yang terdapat pada

permasalahan program linear.

2. Melakukan pengurangan dengan variabel ”slack” (S1, S2, S3,…), sehingga

model matematika dapat diubah menjadi persamaan linear.

3. Supaya tidak melanggar syarat yang ditetapkan, maka ditambahkan variabel

“slack tiruan” (A1, A2, A3,…).

4. Merancang Program Awal

5. Menguji keoptimalan program yang sedang berlangsung

6. Melakukan perbaikan-perbaikan terhadap program yang sedang berlangsung

sampai diperoleh program optimal. Langkah-langkah yang dilakukan dalam

melakukan perbaikan program tersebut adalah :

a. Menentukan kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai ”negatif

terbesar” pada baris penilaian.

x

b. Menentukan baris kunci, yaitu barisan yang mempunyai bilangan hasil

bagi terkecil (bilangan pada kolom kuantitas dibagi dengan bilangan

bukan negatif pada kolom kunci).

c. Menentukan bilangan kunci, yaitu bilangan yang terdapat pada

persilangan antara kolom kunci dan baris kunci.

d. Menurunkan tabel dari tabel program awal ke tabel program berikutnya

hasil perbaikan, dengan cara :

Melakukan transformasi baris kunci, yaitu membagi semua bilangan

dalam baris kunci dengan bilangan kunci.

Melakukan transformasi bukan baris kunci, dengan rumus :

Bil.baris baru = bil.baris lama–

Program sudah optimal jika baris penilaian tidak memiliki bilangan

nol atau negatif.