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PROBLEMARIO DE HIDROLOGIA APLICADAA LA INGENIERIA CIVIL

Autor: Oberto R., Livia R .

Barquisimeto, abril 2003

UCLA Decanato de Ingeniería CivilDepartamento de Hidráulica y Sanitaria


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ii

INDICE DE CONTENIDO

PagínaINDICE DE CONTENIDO iiINDICE DE TABLAS ivINDICE DE FIGURAS v

CAPITULO I. GENERALIDADES

1.0 Introducción 11.1 Justificación 1

1.2 Objetivo 1

CAPITULO II

2.0 Distribución espacial de la precipitación 2

2.1 Cálculo de la precipitación media 22.1.1 Promedio aritmético 22.1.2 Polígono de Thiessen 22.1.3 Métodos de las Isoyetas 3

2.2 Problemas relativos a la distribución espacialde la precipitación 4

CAPITULO III

3.0 Aplicación de la teoría de las probabilidades a la Hidrología 11

3.1 Distribución normal o Gaussiana 113.2 Distribución log-normal de 2 parámetros 123.3 Distribución log-normal de 3 parámetros 133.4 Distribución de valores extremos 14

3.5 Problemas de probabilidad aplicados a la hidrología 16

CAPITULO IV

4.0 Hidrograma de escorrentía 314.1 Coeficiente de escorrentía 314.2 Hidrograma de crecientes 324.3 Separación del caudal base 334.4 Hidrograma Unitario 34


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iii

4.5 Cálculo de Hu para diferentes duraciones efectivas 364.6 Problemas relativos a Hidrogramas 38

CAPITULO V

5.1 Método de la curva número 595.2 Distribución del evento en el tiempo 615.3 Problemas de aplicación de la Curva Número 64

CAPITULO VI

6.1 Tránsito por embalses 706.2 Tránsito por cauces naturales 736.3 Problemas relativos a el tránsito por el embalse y tránsito

por el cauce 75

CAPITULO VII

7.1 Hidrograma de C.O Clark 867.2 Problemas de aplicación del Hidrograma Unitario Instantáneo 88

CAPITULO VIII

8.1 Demanda de riego 1088.2 Problemas relativos a la demanda de riego 110

CAPITULO IX

9.1 Operación de embalse 1149.2 Problemas de aplicación de la operación de embalse 115

BIBLIOGRAFÍA 123ANEXO 1 124ANEXO 2 126ANEXO 3 129


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iv

INDICE DE TABLAS

Tabla No. Página

1 Gumbel 125

2 Número de curva de escorrentía para complejohidrológico suelos-cobertura, para condicionesde humedad antecedente II e Ia = 0.20 127

3 Número de curva (CN) para otras condiciones 128

4 Coeficiente de desarrollo foliar para el cálculode la evapotranspiración 130

5 Coeficiente de densidad de enraizamiento, r,Para el cálculo del umbral óptimo de riego(Norero,1976) 130


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v

INDICE DE FIGURAS

Figura Página

4.1 Relación lluvia – Escorrentía 31

4.2 Hidrograma de escorrentía 32

4.3 Separación del caudal base del Hidrograma 33

4.4 Método de las tangentes para la separación de Qb 34

4.5 Determinación de la duración efectiva de la lluvia 35

4.6 Cálculo de HU de 2t horas a partir del HU de t horas 364.7 4.8 Método de la curva “ S “ 374.9 5.1 Curva adimensionales de tormentas(SCS,1958) 62

6.1 Volúmenes característicos en un embalse 70

6.2 Esquema del transito de una creciente a través deun embalse 71

6.3 Esquema del transito por cauces naturales 73

7.1 Líneas de igual tiempo de viaje Isocronas 86


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CAPITULO I

1.0 Introducción

La hidrología es una disciplina muy importante para el ingeniero civil yaque estudia el agua en la tierra, su distribución y circulación, lo que le permite pordiferentes métodos y procedimientos cuantificar el agua que llega a un punto determinado.Ello es información básica imprescindible para el diseño de puentes, estructuras paracontrol de avenidas, presas, vertederos, sistemas de drenaje para poblaciones, carreteras,sistemas de abastecimiento de agua y otras estr ucturas similares.

Una de las dificultades que encuentra el estudiante de ingeniería es la falta de bibliografía asociada al planteamiento y solución de problemas similares a los que se le puedan presentar en su ejercicio profesional. Ello ha motivado la elaboración del presentetrabajo de problemas resueltos de hidrología, los cuáles pretender ayudar al estudiante acomprender mejor la enseñanza teórica que se les imparte, encaminándolos de formasencilla y clara a la aplicación de esos conocimientos con ejemplos prácticos.

1.1 Justificación

En la generalidad de los casos, los textos tradicionales de hidrología básica

desarrollan sus ejemplos y aplicaciones prácticas utilizando información de cuencas cuyascondiciones físico ambientales, y de disponibilidad de información, son diferentes alentorno regional y nacional en el cual se desenvolverá el futuro ingeniero civil. Unejemplo típico lo constituye el tópico de cálculo de la evapotranspiración y las demandasde riego, los cuáles usualmente se hacen a partir de ecuaciones basadas en informaciónclimática que usualmente no están disponibles en la mayoría de las cuencas locales.

Adicionalmente, se estima conveniente que el estudio de los diferentes procesos queintegran el ciclo hidrológico se presenten de manera interrelacionada, tal como sucede enla naturaleza. Por lo expuesto, se considera que el material aquí presentado constituye unvalioso aporte a la formación del futuro ingeniero civil

1.2 Objetivo

Elaborar un conjunto de ejemplos y problemas típicos que sirvan como material deapoyo en el aprendizaje de la hidrología básica para el ingeniero civil.


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2

CAPITULO II

2.0 Distr ibución espacial de la precipi tación

Desde el punto de vista espacial, la precipitación no se distribuye de manerauniforme en el ámbito de la cuenca, debido principalmente a los mecanismos de generaciónde la lluvia y a las características altitudinales de la hoya hidrográfica. De allí que uno delos aspectos iniciales de la hidrología es la estimación de la precipitación representativa para el conjunto del área en estudio.

Usualmente, este valor representativo puede tomarse como el promedio aritméticodel conjunto de las estaciones existentes o como el valor ponderado por un área deinfluencia determinado. En este segundo caso, el problema a resolver será la estimación delárea para el cuál el valor puntual, medido en una estación, es representativo.

2.1 Cálculo de la precipi tación media

Para la estimación de la precipitación media existen 3 métodos usuales:

• Promedio aritmético

• Polígono de Thiessen• Isoyetas.

2.1.1 Promedio ar i tméti co

Es el más simple de los procedimientos para determinar la lluvia promedio sobre unárea, se promedian las profundidades de lluvia que se registran en un número dado de pluviómetros. Este método es satisfactorio si los pluviómetros se distribuyenuniformemente sobre el área y sus mediciones individuales no varían de maneraconsiderable de la media.

n

Pn P P P Pm

++++=

.........321 (2.1)

donde:Pm: precipitación mediaP1, P2,P3…Pn: precipitación en cada una de las estacionesn: número de estaciones


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3

2.1.2 Polígono de Thiessen

Este método es aplicado a zonas con una distribución irregular de las estaciones yen dónde los accidentes topográficos no juegan un papel importante en la distribución de la precipitación.

El cálculo se inicia ubicando en los mapas las estaciones de precipitación ubicadasen la cuenca y en las áreas circunvecinas. Se unen estas estaciones con trazos rectos,tratando de formar triángulos, cuyos lados sean de la mínima longitud posible; después deque los triángulos hayan sido dibujados, se trazan las mediatrices de todos los lados, con loque se formarán unos polígonos alrededor de cada estación.

Se determina el área de cada polígono y, a partir de su relación con el área total, se

obtiene un coeficiente de ponderación para cada estación. La precipitación media resultantede la sumatoria de los productos de las lluvias registradas en cada estación por su áreacorrespondiente, entre el área total:

At

Pi Ai

Pm

n

i

∑== 1

*

(2.2)

para:Ai: área del polígono i Pi: precipitación en la estación i At: área total de la cuencaPm: precipitación media sobre la cuencan: número de polígonos

2.1.3 Métodos de las I soyetas

Utilizando las profundidades que se observan en los pluviómetros, e interpolandoentre pluviómetros adyacentes, se unen los puntos de igual profundidad de precipitación,(de modo semejante a como se trazan las curvas de nivel en topografía).

Una vez que el mapa de Isoyetas se construye, se mide el área Aj entre cada par deIsoyetas en la cuenca y se multiplica por el promedio Pj de las profundidades de la lluvia de

las dos isoyetas adyacentes para calcular la precipitación promedio sobre el área mediantela ecuación:

At

Pj Aj

Pm

n

j

∑== 1

*

(2.3)

donde:Aj : área entre cada par de IsoyetasPj : promedio de las profundidades de lluvia de dos isoyetas adyacentes.


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4

At : área total de la cuenca.

Pm: precipitación median: número de isoyetas adyacentes

El método de las isoyetas es flexible, y el conocimiento de los patrones de latormenta pueden influir en la gráfica de las mismas, pero es necesario una red de medidoresmás o menos densa para construir correctamente el mapa de Isoyetas de una tormentacompleja.


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5

2.2 Problemas relativos a la distribución espacial de la precipi tación

PROBLEMA 2.2.1

En la figura y cuadro adjuntos se muestran la ubicación de 5 estaciones de precipitación de una cuenca dada, así como los va lores de precipitación anual, enmilímetros. Calcular la precipitación media anual en la cuenca aplicando el método de polígonos de Thiessen, si cada cuadricula del gráfico equivale a 1 kilómetro cuadrado.

Estación Precipitación anual (mm)P1 800

P2 600P3 900P4 400

P5 200

SOLUCIÓN

El primer paso para la solución del problema es el trazado de los polígonos deThiessen, los mismos que se aprecian en el gráfico adjunto.


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6

Calculando las respectivas áreas, se tiene:

Estaciones Área (Km2) Precipitación (mm) A * P

P1 11.5 800 9200

P2 16.5 600 9900

P3 13 900 11700P4 12.5 400 5000

P5 11.5 200 230065 38100

Aplicando la ecuación (2.2) se obtiene:

mm Km

mm Km Pm 15.586

65

*381002

2

==

PROBLEMA 2.2.2Resolver el problema anterior por el método de las isoyetas.

SOLUCIÓN

Con la información proporcionada se construyen las isoyetas, tal como se muestraen el gráfico. Luego se mide el área encerrada por cada par de las isoyetas adyacentes,como por ejemplo la correspondiente a los valores 800 y 900 mm que se destaca en lafigura.


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7

De esta forma, puede elaborarse el cuadro siguiente, en el cuál el valor de lacolumna precipitación corresponde al promedio de los valores de las isoyetas adyacentes:

Isoyetas Áreas Precipitación Area*Precipitación

(mm) (Km2) (mm) (Km2*mm)

900 6 900 5400900-800 8 850 6800

800-700 9 750 6750

700-600 7 650 4550600-500 8.5 550 4675

500-400 8.5 450 3825

400-300 8 350 2800

300-200 6 250 1500200 4 200 800

65 37100

Aplicando ahora la ecuación (2.3) se tiene:

mm Km

mm Km Pm 77.570

65

*371002

2

==


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8

PROBLEMA 2.2.3

En la figura, las líneas delgadas identifican la delimitación de la cuenca ysubcuencas que como puede apreciarse son tres: SC1, SC2 y SC3. Cada cuadricula delgráfico puede asumirse igual a 1 Km2. Empleando el método de los polígonos de Thiessen,se pide calcular el volumen total de agua precipitada en cada una de las subcuencas, asícomo en el total de la cuenca, durante el mes 2, en millones de metros cúbicos, mmc.

Precipitación (mm)

Estación Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4

1 170 54 49.6 302 70 30 22 21

3 50 9.1 7.5 10.34 35 4.6 3.1 5


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9

SOLUCIÓN

En la figura adjunta se muestran los polígonos de Thiessen trazados para la cuenca.

Para cada subcuenca puede determinarse el área, en km2, que es influenciada porcada estación de precipitación, obteniéndose el cuadro siguiente:

Subc/Estación P1 P2 P3 P4 TotalSC 1 8 8 4.5 0.75 21.25SC2 8.5 0 18.75 3.25 30.5SC3 0 9 0 31 40Total 16.5 17 23.25 35 91.75

Como puede apreciarse, el área total de la cuenca es de 91.75 km2,correspondiendo superficies de 21.25, 30.5 y 40 km2 a las subcuencas 1, 2 y 3,respectivamente. Esta área total también puede expresarse en términos de cuál es lasuperficie de la cuenca influenciada por cada estación de precipitación lo cuál correspondea valores de 16.5, 17, 23.25 y 35 km2. para las estaciones P1, P2, P3 y P4, respectivamente.


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10

Aplicando ahora la ecuación (2.2) para el mes 2, la precipitación media en la cuencaserá:

mm Km

Kmmm Kmmm Kmmm Kmmm Pm 33.19

75.91

)3125.375.0(*6.4)75.185.4(*1.9)98(*30)5.88(*542

2222

=++++++++

=

Este valor corresponde a la precipitación media sobre toda la cuenca; a partir del

mismo, y considerando el área total, puede obtenerse el volumen total precipitado, Vp:

362 10*77.191750000*01933.0 mmmV p

==

Lo cuál equivale a 1.77 millones de metros cúbicos, mmc. Procediendo de formasimilar en cada una de las subcuencas, se tiene:

Subcuenca 1:

mm Km

Kmmm Kmmm Kmmm Kmmm Pm 71.33

25.21

75.0*6.45.4*1.98*308*542

2222

1 =+++

=

mmcmmmV p

716.05.71633721250000*0337.0 321 ===

Subcuenca 2:

mm Km

Kmmm Kmmm Kmmm Pm 13.21

5.3025.3*6.475.18*1.95.8*54

2

222

2 =++=

mmcmmmV p 644.064446530500000*02113.032

2 ===

Subcuenca 3:

mm Km

Kmmm Kmmm Pm 315.10

40

31*6.49*302

22

3 =+=

mmcmmmV p 4126.041260040000000*010315.032

3 ===

PROBLEMA 2.2.4

Calcule la precipitación media de la cuenca, que tiene las siguientes isoyetas, (línea punteada), cada cuadro de la cuadricula vale 1 Km2.


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11

SOLUCIÓN:

Se mide el área Aj entre cada par de isoyetas en la cuenca y se multiplica por el promedioPj de las profundidades de lluvia de las dos isoyetas adyacentes; luego, aplicando laecuación (2.3) se obtiene:

2

222222

5.53

25.7*55017*65025.8*75025.7*85010*95075.3*1000

Km

Kmmm Kmmm Kmmm Kmmm Kmmm Kmmm

Pm

++++=

mm Pm 58.759=


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CAPITULO III

3.0 Aplicaciones de la teoría de las probabilidades a la hidrología

El cálculo de un valor específico para una variable hidrológica que se evalúa es unode los aspectos básicos del análisis hidrológico en la ingeniería civil. Usualmente estevalor específico, también denominado valor de diseño, está referido a valores máximos de precipitación en un intervalo dado o de caudal para una sección específica del cauce. Enambos casos, constituye una información básica para el posterior dimensionamiento ydiseño de la estructura.

Sin embargo, el procedimiento de cálculo implica, además de los aspectos

númericos, los relativos a la posibilidad de que el valor de diseño sea igualado o excedidodurante un evento cualesquiera o durante un número de eventos dado.

Desde el punto de vista estadístico, las variables hidrológicas pueden considerarsecomo variables aleatorias continúas mientras que su ocurrencia efectiva para un evento, oun número de eventos dado, puede resolverse tratándolas como variables aleatoriasdiscretas.

3.1 Funciones de probabilidad: variable discreta

Un modelo probabilística asocia un valor de probabilidad a cada punto del espaciomuestral; dicho modelo se denomina función de probabilidad de masa (FPM) y se designa por px(x0) y se define como la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X seaigual a x0.

Para que una función matemática cualquiera se considere una función de probabilidad de masa debe cumplir las siguientes dos condiciones:

• Su valor debe estar comprendido entre 0 y 1• La sumatoria de todos los posibles valores de x debe ser igual 1

También conviene recordar que, a partir de la definición de variable condicionada, puede considerarse que dos variables aleatorias son independientes si:

)()(),( 0000 y p x p y x p y x xy = (3.1)

Se define como función distribución acumulada, FDA, a la función que define la probabilidad de que la variable aleatoria X tome valores menores o iguales a un valordado:


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13

∑∀==≤

x

x x x p x P x X ob )()()(Pr 000 (3.2)

Esta función es positiva, comprendida entre cero y uno, y es siempre creciente. Otroconcepto que conviene recordar es el del valor esperado, éste se define como la sumatoria para todos los posibles valores de X del producto de la función por la FPM evaluada en elmismo punto que la función:

{ } ∑∀

= x

x x p x g x g E )(*)()( 00 (3.3)

En particular interesan algunos casos especiales de la función g(x): los

correspondientes a las potencias enteras de x, las cuáles se denominan momentos de x:

∑= )(*)( 0 x p x x E xnn (3.4)La expresión (3.4) también puede definirse como la potencia centrada con respecto

al valor esperado o momento central n-ésimo de x:

{ }n x E x E )(( − (3.5)

3.2 Funciones de probabilidad: variable continua

La probabilidad asociada a una variable continua está representada por la funcióndensidad de probabilidad, fdp. Si X es una variable aleatoria continua en el rango a – b, setiene:

∫ =≤≤b

a

x dx x f b xaob )()(Pr (3.6)

donde:

)( x f x : función densidad de probabilidades

Figura 3.1. Area que representa la Prob(a = x = b)


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14

Se define como función de distribución acumulada, FDA, de la variable X a la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual a un valor dado:

∫ ∞−

==≤0

)()()(Pr 00

x

x X dx x f x F x xob (3.7)

La función de distribución acumulada mide la probabilidad de que el valor de lavariable sea menor o igual al valor x0; tiene las siguientes propiedades:

1)( =+∞ X F 0)( =−∞ X F (3.8)

)()()(Pr a F b F b xaob X X

−=≤≤ (3.9)

)()( a F b F X X ≥ para: ab ≥ (3.10)

)()(

x f dx

xdF x

X = (3.11)

3.3 Algunas distribuciones probabilísticas de uso frecuente en la hidrología

3.3.1 Distribución binomial

Esta es una distribución de probabilidad discreta; en este caso la variable aleatoriaK se define como el número de éxitos que ocurren en n ensayos; se define por laexpresión:

)1()1()( k k nk K p pC k p −−= nk ........2,1= (3.12)

siendo las combinaciones de k 0 grupos en n elementos:

)!(!

!

k nk

n

C n

k −= (3.13)

3.3.2 Distribución de probabilidad empírica

A esta distribución se le denomina también probabilidad experimental o frecuenciaacumulada. Para su cálculo existen varias formulas algunas de las cuáles se presentan en elcuadro 3.1.


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15

Cuadro 3.1 Formulas para la probabilidad experimental

Método Probabilidad(P) Método Probabilidad (P)

Californiam

n Weibull

1+nm

Hazenn

m 21−

Chegadayev4.0

3.0

+−

n

m

Blom

41

83

+

−

n

m Tukey

13

13

+

−

n

m

Gringortenan

am

21−+−

Donde:

P: probabilidad experimental o frecuencia relativa empíricam: número de ordenn: número de datosa: valor comprendido en el intervalo 0 a 1

el valor de a depende de n, de acuerdo a:

valor n 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100valor a 0.448 0.443 0.442 0.441 0.44 0.44 0.44 0.44 0.439 0.439

Fuente. Villón, 1993

3.3.3 Distribución normal o Gaussiana

Para esta distribución la función de densidad es:

−−

=

2

2

1

2

1)(

S

x x p

eS

x f

&&&

π 〈∞∞〈− x (3.14)


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16

donde: x p: promedio

S: desviación típica

Cada valor x de la muestra puede ser expresado en términos de la variable reducidautilizando la expresión:

S

x x Z

p−

= (3.15)

con lo cuál la ecuación (3.14) se transforma en:

−=

2

2

21)(

Z

eS

x f π

〈∞∞〈− Z (3.16)

La función de distribución acumulada, (FDA), es:

dxeS

dx x f x F x S

x x x

p

∫ ∫ ∞−

−−

∞−

==

2

2

1

2

1)()(

π (3.17)

o su equivalente:

dZ e Z F

Z Z

−

∞−∫ =2

2

2

1)(

π (3.18)

Para resolver la ecuación (3.18) existen algunos métodos de aproximación entre loscuáles puede mencionarse el de Abramowitz y Stegun:

32

9373.01217.0043618.0)((1)( V V V Z f Z F +−−≈ (3.19)donde:

F(Z): función de distribución acumuladaf(Z): función densidad de la variable estandarizada

V se define para valores de Z mayores o iguales a cero como:


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17

Z V

33267.01

1

+= (3.20)

el error de esta aproximación es menor de 10-5

Otra aproximación usual es la de Masting:

))((1)( 554

43

32

21 wbwbwbwbwb Z f Z F ++++−= (3.21)

donde w es definido para Z mayor o igual a cero como:

Z w

2316419.01

1

+= (3.22)

con: b1 = 0.319381530 b2 = -0.356563782 b3 = 1.781477937 b4 = -1.821255978 b5 = 1.330274429

el error de esta aproximación es menor de 10-8 . En ambas aproximaciones la FDA es (1 –F(Z) ) si Z < 0 el error de esta aproximación es menor de 10-5

3.3.4 Distribución Log-Normal de 2 parámetros

En este caso la variable aleatoria X es positiva y el límite inferior x0 no aparece.La variable aleatoria Y = lnX es normalmente distribuida, con media µ y y varianza σ2y

La función de densidad de Y es:

2

2

1

1)(

−−

= y y

y

y

e y f σ

µ

σ (3.23)

donde: para: 〈∞∞〈− y

la función de distribución acumulada es:

∫ ∞−

−−

= y

y

y

dye y F y y

2

2

1

2

1)(

σ

µ

πσ (3.24)

o, en términos de la variable reducida:


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18

∫ ∞−−

= z

Z

dZ e Z F 2

2

21)( π (3.25)

3.3.5 Distribuciones de valores extremos

Una muestra de valores extremos se genera tomando una serie continua de datos, delongitud T, de la variable aleatoria x y dividiéndola en n submuestras, cada una de longitudm, de forma tal que T = n*m. Luego, en cada una de dichas submuestras se seleccionanvalores de la variable x de acuerdo a un cierto criterio tal como la magnitud de la variable,un valor acumulativo o alguna propiedad. Tal proceso de selección generará una muestra de

una nueva variable aleatoria, y, con una longitud n.Usualmente los criterios de selección están asociados a la ocurrencia de eventos

máximos, tales como los caudales máximos, o mínimos, tal como las sequías. En amboscasos se tratan de eventos extremos.

Una de las distribuciones de valores extremos para eventos máximos es la presentada por R.A. Fisher y L.H.C. Tippet:

)(

)( βα −−−=

xee x F (3.26)

donde:

0 ‹ α ‹8 es el parámetro de escala-8 ‹ β ‹8 es el parámetro de posición, llamado también valor

central o moda

A esta distribución también se le denomina de Gumbel. Si se hace latransformación:

)( βα −= y

la ecuación (3.26) se transforma en: y

ee x F −−=)( (3.27)

También:

σα

281.1= σµβ *45.0−= (3.28)


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19

Gumbel obtuvo valores modificados minimizando la suma de los cuadrados de los

errores perpendiculares a la recta de ajuste de valores extremos.. Las ecuaciones que obtuvoson sólo función del tamaño de muestra y de los parámetros:

x

n

n

T

yY X X σ

σ*

−+= (3.29)

donde:XT : valor de la variable correspondiente al período de retorno

: X media de la serie de datossx : desviación estándar

s n , yn : funciones de la longitud de la serie de datos, en la tabla Nº1anexo 1.

3.4 Prueba de bondad de ajuste Smirnov - Kolmogorov

Esta prueba de ajuste consiste en comparar las diferencias, en valores absolutos,entre la probabilidad empírica y la probabilidad teórica seleccionada; de estas diferenciasse toma el valor máximo, el cuál se denomina discrepancia máxima calculada. Dicho valorse compara con el valor de la máxima discrepancia permitida o valor crítico del estadísticoSmirnov – Kolmogorov, el cuál es función del número de datos y del nivel de confiabilidad

seleccionado, tal como se aprecia en el cuadro 3.2.Cuadro 3.2 Valores críticos del estadístico Smirnov Kolmogorov

Tamaño de la NIVEL DE SIGNIFICACIÓN (α )Muestra (N) 0.20 0.10 0.05 0.01

5 0.45 0.51 0.56 0.6710 0.32 0.37 0.41 0.4915 0.27 0.30 0.34 0.4020 0.23 0.26 0.29 0.36

25 0.21 0.24 0.27 0.3230 0.19 0.22 0.24 0.2935 0.18 0.20 0.23 0.2740 0.17 0.19 0.21 0.2545 0.16 0.18 0.20 0.2450 0.15 0.17 0.19 0.23

N>50 N

07.1

N

22.1

N

36.1

N

63.1

Fuente: Yevjevich, 1972


25/138

20

3.5 Problemas de probabil idad apli cados a la hidrología

PROBLEMA 3.5.1

Para una estación de precipitación se tiene información de 15 años de registro para profundidades máximas de lluvia para una duración de 02 horas. Los mismos indican que lalluvia correspondiente a dicha duración y a un periodo de 15 años de período de retorno, esde 97.52 mm. Análogamente, para un período de retorno de 100 años, y la mismaduración, se tiene un valor de 120.91 mm.

Con base a ello, y asumiendo que los datos se ajustan a una distribución Gumbel, se pide calcular:

a. Profundidad de la lluvia correspondiente a 50 años de periodo de retorno. b. Probabilidad de que dicha lluvia sea igualada o excedida al menos una vez

durante 30 años de vida útil de la estructura a diseñar.c. Si se toma 110 mm como valor de diseño. ¿Cuál será la probabilidad de que

dicho valor sea igualado o excedido 2 veces durante un período igual a 2 vecessu periodo de retorno.

SOLUCION:

a. Aplicando la ecuación (3.29):

Los valores Yn y s n son función del número de datos, conforme al cuadro que semuestra en el anexo 1; el valor de Y depende del período de retorno Tr. Utilizando dichatabla 1 para n = 15 datos se obtiene:

Yn = 0.5128 s n = 1.0210

Análogamente, y utilizando la misma tabla se tiene:

Tr = 15 años Y = 2.674

Tr = 100 años Y = 4.6

Aplicando nuevamente la ecuación (3.29) para los valores dados correspondientes alos períodos de retorno de 15 y 100 años de período de retorno puede formarse el siguientesistema de ecuaciones:

x X σ*0210.1

)5128.0674.2(52.97

−+=

−


26/138

21

x X σ*0210.1

)5128.06.4(91.120

−+=

−

resolviendo, se obtiene:

s x = 12.40 mm−

X = 71.27 mm

Conocidas la media y la desviación típica puede aplicarse la ecuación (3.29) paraun período de retorno de 50 años para el cuál Y = 3.9020, obtenido de la tabla del anexo 1:

40.12*0210.1

)5128.09020.3(27.71

−+= X

de donde:P = X50 = 112.43 mm.

b. Por definición, la probabilidad de que un valor dado sea excedido al menos una vezdurante un período de vida útil n, corresponde al riesgo:

Riesgo = 1 – P(o)

En donde el valor P(o) se obtiene aplicando la ecua ción (3.12) con k = 0. También:

r T x X P

1

)( =≥ (3.30)luego:

02.050

11)( ===≥

Tr x X P

luego:

0300 )02.01(*)02.0(*)!030!*(0

!30)0( −−

−= P

P(0) = 0.545

Finalmente, el riesgo de que se presente una lluvia igual o mayor de 112.43 mm, al menosuna vez durante un período de 30 años, es:

R = 1 – P(0) = 1 – 0.545 = 0.455 R = 0.455

c. En este caso, aplicando la ecuación (3.29) para la precipitación de 110 mm:

40.12*0210.1

)5128.0(27.71110 −

+= Y


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22

se obtiene: Y = 3.702

De acuerdo al cuadro del apéndice 1 este valor de Y correspondería a un período de retornode Tr = 38.64 años ≈ 39 años; como el período de análisis, o vida útil, corresponde a dosveces este período de retorno: n = 2 * 39 = 78. Luego, aplicando (3.12) y teniendo encuenta (3.30):

k nk x X P x X P k nk

nk P −≥−≥

−= ))(1(*))((*

)!!*(

!)(

2782 )

39

11(*)

39

1(*

)!278!*(2

!78)2( −−

−

= P

Finalmente, la probabilidad de que la precipitación 110 mm ocurra 2 veces en un períodode 78 años es:

P(2) = 0.274

PROBLEMA 3.5.2

En una cuenca dada los caudales máximos anuales tienen un promedio de 421 m3/sy una desviación típica de 378 m3/s. Asumiendo que dichos caudales se ajustan a una

distribución de probabilidades Extrema Tipo I, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra uncaudal entre 450 y 600 m3/s?

SOLUCIÓN:

Aplicando la ecuación (3.26) para la probabilidad de excedencia, se tiene:

)(

1)(1)( βα −−−−=−=≥

xee x F x X P (3.31)

Ecuación en la cuál α y β son los parámetros de la distribución e iguales a:

Sx

281.1=α Sx X *45.0−=

−

β

reemplazando los valores dados:

0034.0378

281.1281.1===

Sxα 9.250378*45.0421*45.0 =−=−=

−

Sx X β


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23

reemplazando valores en la ecuación (3.31) para x = 450 m3/s:

)9.250450(0034.0

1)450( −−−−=≥ ee X P

P(X ≥ 450) = 0.398

Análogamente para x = 600 m3/s:

)9.25 060 0(0034.0

1)600( −−−−=≥ ee X P

P(X ≥ 600) = 0.263

Finalmente:

P(450 ≤ X ≤ 600) = 0.398 – 0.263 = 0.135

PROBLEMA 3.5.3

En una cuenca dada existen 3 estaciones de precipitación, P1, P2 y P3, queinfluencian en 30%, el 40% y el 30% del área de la cuenca respectivamente. Para laestación P2 se tiene un registro de 20 años de profundidades máximas de precipitación para6 horas de duración, con un promedio de 85.25 mm y una desviación típica de 27.65 mm.

Asumiendo que los datos de la estación 2 se ajustan a una distribución probabilística Extrema Tipo I, se pide calcular la precipitación media de la cuenca para unalluvia de 6 horas de duración, y 25 años de periodo de retorno, si se conoce que lasecuaciones de correlación entre las estaciones son:

P1 = 3.2 + 0.28 * P2

P3 = 2.5 + 0.021 * P22

SOLUCION:

La probabilidad de excedencia para la lluvia de 6 horas de duración y 25 años de período de retorno en la estación 2 será:

04.025

11)( ===≥

Tr x X P

calculando los parámetros de la distribución Extrema Tipo I:


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24

0463.065.27

281.1281.1

=== Sxα

81.7265.27*45.025.85*45.0 =−=−=−

Sx X β

sustituyendo en la ecuación (3.31) se tiene:

)81.72(0463.0

104.0 −−−−=

xee

de donde:X= P2 = 141.90 mm

Considerando las ecuaciones de correlación se tendrá para las estaciones P1 y P3:

P1 = 3.2 + 0.28 * 141.9 = 42.93 mm

P3 = 2.5 + 0.021 * 141.9 2 = 425.35 mm

Luego, la precipitación media sobre la cuenca será:

Pm = P1 * 0.30 + P2 * 0.40 + P3 * 0.30

Pm = 42.93 *0.30 + 141.9 * 0.40 + 425.35 * 0.30

Pm = 197.24 mm.

PROBLEMA 3.5.4

La planta de tratamiento de agua para el abastecimiento de una ciudad tiene unacapacidad de 1.5 millones de metros cúbicos, mmc, por semana y debe satisfacer unademanda aleatoria D, la cual puede considerarse que se ajusta a una distribución Gumbel,

como una media de 1.5 mmc por semana y desviación típica de 50.000 metros cúbicos porsemana. Estos valores se calcularon con base a 20 semanas de mediciones.

Para satisfacer una eventual demanda adicional durante una semana, lamunicipalidad ha previsto un tanque a fin de tener en almacenamiento una cierta reserva deseguridad. Calcular cuál debe ser la capacidad C del tanque de seguridad si se desea que la probabilidad de no satisfacer la demanda sea de 0.01.

SOLUCION:


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25

En este caso debe aplicarse la ecuación (3.29) que es la correspondiente a la

distribución Gumbel; para ello debe tenerse en cuenta que:

X=1.5 mmc s x = 0.05 mmc

utilizando la tabla Nº 1 del anexo 1 y para n = 20, se tiene:

Yn = 0.5236 s n = 1.063

De acuerdo al problema la probabilidad de excedencia de la demanda debe ser de0.01 lo cuál corresponde a un período de retorno de:

años x X P

Tr 10001.01

)(1 ==

≥=

para el cuál, y utilizando la tabla antes citada, se tendrá: Y = 4.6

reemplazando valores en la ecuación (3.29) se tendrá:

05.0*063.1

)5236.06.4(5.1

−+= X

de donde:

X= 1.692 mmcLuego la capacidad del tanque de seguridad será: C = 1.692 – 1.5 = 0.192 mmc

PROBLEMA 3.5.5

El análisis de una serie anual de crecientes desde 1900 a 1959 muestra que la crecientecorrespondiente a 100 años de período de retorno es de 3100 m3/seg y la de 10 años, 1400m3/seg. Si puede considerarse que la serie de datos se ajusta a una distribución Gumbelcalcular:

a. La media y la desviación típica de las crecientes anuales. b. La probabilidad de tener el próximo año una creciente mayor o igual a 2000 m3/segc. La magnitud del evento de 40 años de período de retorno.d. La probabilidad de tener como mínimo una creciente de 100 años en los próximos 8

años.

SOLUCIÓN:


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26

a. Utilizando la tabla correspondiente del anexo 1 y para n = 60, se tiene:

Yn = 0.5521 s n = 1.1750

Así mismo, para Tr = 100 años, Y = 4.6; luego reemplazando valores en la ecuación (3.29),se tiene :

x X σ*1750.1

)5521.06.4(3100

−+=

−

análogamente, para Tr = 10 años, Y = 2.25 se tiene:

x X σ*1750.1

)5521.025.2(1400

−+=

−

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:

s x = 850 X= 171.73

b. Para determinar la P(X ≥ 2000), se debe calcular el valor de Y para lo cualreemplazando en la ecuación(3.29):

850*1750.1 )5521.0(73.1712000 −+= Y

despejando se tiene: Y = 3.079

De acuerdo al anexo 1, para Y = 3.079 se tiene Tr = 22.37 años; luego:

0447.037.22

11)2000( ===≥

Tr X P

c. Para calcular la creciente correspondiente para un periodo de retorno de 40 años

debe considerarse que para este Tr se tiene Y = 3.643. Sustituyendo en la ecuación(3.29):

X = 850*1750.1

)5521.0643.3(73.171

−+

de donde: X = 2407.70 m3/seg.


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27

d. Para calcular el riesgo de que ocurra una creciente de 100 años de período deretorno en un lapso de 8 años debe considerarse que:

01.0100

11)( ===≥

Tr x X P

reemplazando valores en la ecuación (3.12):

080 )01.01(*01.0*)!08!*(0

!8)0( −−

−= P = 0.9227

de donde: R = 1 – P(0) = 1 – 0.9227 = 0.0773

PROBLEMA 3.5.6

Para un área turística, por ejemplo Chichiriviche, se ha planteado construir un campo de pozos para extraer agua para abastecimiento urbano, con una capacidad de 25 litros porsegundo, lps, en cada pozo. El problema de este tipo de centro urbano es que en época detemporada alta ( carnaval, semana santa, etc), la demanda de agua es bastante alta pudiendoconsiderarse que se ajusta a una distribución Extrema Tipo I. Para el resto del año, lademanda puede considerarse que se ajusta a una distribución normal.

a. Calcular cuantos pozos deben construirse para satisfacer la demanda de temporadanormal, si la misma tiene una media de 25 lps y una desviación típica de 0.25 lps. ( para una P(X ≥ x) = 0.8)

b. Para satisfacer la demanda de la temporada alta se ha propuesto habilitar 16 pozos.Calcular cuál será la probabilidad de que la demanda exceda la disponibilidad dedichos pozos, si existe un 5 % de probabilidad de que la demanda sea mayor de389.25 lps y 1 % que supere a 593.02 lps.

SOLUCIÓN

Utilizando tablas estadísticas o métodos aproximados de solución se obtiene, paraun 80 % de probabilidad de excedencia:

Z = - 0.8416remplazando en (3.15):

25.0

)25(8416.0

−=−

X

despejando: X= 24.79 lps, lo que equivale a 1 pozo.


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28

b. En temporada alta la disponibilidad de agua, incluyendo el pozo de temporada baja,será de: 16 pozos * 25 lps / pozo = 400 lps. Reemplazando valores en la ecuación (3.31)

para la probabilidad de excedencia del 5 %:

P(X≥389.5) = 5% =)5.389(

105.0 βα −−−−= ee

y para el 1 % se tendrá:

P(X≥593.02) = 1% =)02.59 3(

101.0 βα −−−−= ee

Resolviendo el sistema de ecuaciones : β=18.67 310*009.8 −=α

Nuevamente reemplazando valores en (3.31): )67.18400(310*009.81)400(

−−−−−=≥ ee X P de donde la probabilidad de que la demanda exceda los 400 l/s es:

P(X≥400) = 0.046

Lo cuál significa que cada año la probabilidad de falla del sistema de abastecimientoen temporada alta es de 4.6 %.

PROBLEMA 3.5.7

La reglamentación legal de una llanura de inundación prohíbe la construccióndentro de la zona de inundación con período de retorno de 25 años. ¿ Cuál es el riesgo deque una estructura construida exactamente en el borde de esta llanura se inunde durante los próximos 10 años?¿ Cuánto se reduciría este riesgo si la construcción estuviera limitada al borde de la inundación causada por la creciente de 100 años?.

SOLUCIÓN

Aplicando la ecuación (3.12) con x = 0 y n = 10 y teniendo en cuenta (3.30) setiene:

04.025

11)( ===≥

Tr x X P

0100 )04.01(*04.0*)!010!*(0

!10)0( −−

−= P = 0.6648

El riesgo de que la llanura se inunde durante los próximos 10 años será entonces:


34/138

29

R = 1 – P(0) = 1 – 0.6648 = 0.3352

De la misma forma para un período de retorno de 100 años:

01.0100

11)( ===≥

Tr x X P

0100 )01.01(*01.0*)!010!*(0

!10)0( −−

−= P = 0.9044

y el riesgo para este período de retorno será:R = 1 – P(0) = 1 – 0.9044 = 0.096

Luego, el riesgo se reduciría en 0.3352 – 0.096 = 0.2392 = 23.92 % si laconstrucción se limitase al borde del área inundada por la creciente de 100 años de períodode retorno.

PROBLEMA 3.5.8

Se tiene una cuenca de 20.000 hectáreas de superficie. Durante el mes de agosto, el promedio de lluvia mensual es de 242.9 milímetros y la desviación típica, 79.7 milímetros.Puede considerarse que el 8 % de esta lámina puede ser aprovechada almacenándola en una presa. Asumiendo que estas lluvias se ajustan a una distribución normal, se pide calcular:

a. Cuál sería la capacidad de la presa, en millones de m3, si se desea que el 80 % delas veces se llene.

b. La capacidad de la presa, en millones de m3, si se desea captar el 8% de lasláminas de lluvia que caen en el rango de 60% y el 75% de probabilidad deexcedencia.

SOLUCIÓN:

a. En este caso se sabe que para el mes de agosto: X = 242.9 mm Sx = 79.7 mm. Lacondición de diseño establece que el 80 % de las veces se llene o, lo que es lo mismo:

P(X ≥ x) = 0.80

Para esta probabilidad, y en distribución normal, la variable tipificada es: z = -0.84162; o lo que es lo mismo:


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30

Sx

X X z

)(−

−= ó:

7.79

)9.242(8416.0

−=−

X

de donde: X = 175.82 mm.

La lámina aprovechable será entonces: = 175.82 mm *0.08 =14.07 mmY la capacidad de la presa: = 14.07 * 10-3 m * 20* 103 *104 m2 = 2.814 * 106 m3

b. Análogamente, puede calcularse.

P(X ≥ x) Valor z Valor de X (mm)0.75 -0.67449 189.14

0.60 -0.25335 222.708

Considerando estas láminas como los límites inferior y superior del intervalo, el promedio de ambos será de 205.924 mm y la lámina aprovechable:

205.924 mm * 0.08 = 16.47 mm

y el volumen

V = 16.47 * 10-3 m * 2 * 108 m2 = 3.294 * 106 m3

PROBLEMA 3.5.9

Para un registro de 20 años de profundidad máximas de precipitación para 06 horas deduración se ha obtenido un promedio de 85.25 mm y una desviación típica de 27.65 mm.Asumiendo que los datos se ajustan a una distribución normal. Se pide:

a. Calcular el valor de la precipitación de diseño si se desea que la probabilidad de

que dicha precipitación ocurra en dos años consecutivos sea de 0.0004 ( 0.04%). Asumir que los eventos de precipitación máxima anual son independientes.

b. Determinar el riesgo de la precipitación de diseño calculada en el punto anterior para 25 años de vida útil.

c. Calcular el valor de la precipitación de diseño si se desea que el riesgo calculadoen el punto anterior se reduzca a la mitad.

SOLUCIÓN

a. Asumiendo independencia de los eventos de precipitación, se tiene para laocurrencia en dos años consecutivos:

P(X≥x) * P(X≥x) = 0.0004de donde:


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31

P(X≥x) = 0.02

Para esta probabilidad de excedencia el valor de la variable tipificada será z =2.0537 y reemplazando en la ecuación (3.15), se tiene:

65.27

)25.85(0537.2

−=

X y: X = 142.03 mm

b. Aplicando la ecuación (3.12), la probabilidad de no ocurrencia de la precipitación dediseño en un período de 25 años será:

0250 )02.01(*02.0*

)!025!*(0

!25)0( −−

−

= P = 0.6035

y el riesgo:R = 1 – P(0) = 1 – 0.6035 = 0.3965

c. Si ahora el riesgo se reduce a la mitad se tendrá:

R = 0.19825 = 1 – P(0) de donde: P(0) = 1 – 0.19825 = 0.80175

reemplazando en (3.12):

0250 )(1(*)(*)!025!*(0

!25)0( −≥−≥

−= x X P x X P P

despejando: P(X ≥ x) = 0.0088

para esta probabilidad de excedencia la variable tipificada será: Z = 2.3739 yreemplazando en (3.15):

65.27

)25.85(3739.2

−=

X despejando: X= 150.89 mm

PROBLEMA 3.5.10

Los datos siguientes corresponden a caudales máximos anuales registrados en el RíoPaguey, para el período 1948 – 1972 ( m3/s):

975.5 640.0 845.0 800.0 1190.0 1030.01450.0 940.0 1330.0 1534.0 1856.0 1882.01460.0 950.0 1136.0 644.0 995.0 658.01870.0 820.0 690.0 1240.0 1605.0 1745.0990.0


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32

a. Realizar la prueba de ajuste a distribución extrema tipo I, considerando un deltamáximo de 0.27

b. Calcular el caudal correspondiente a una período de retorno de 250 años.

SOLUCIÓN:

Para efectuar la prueba de ajuste se ordenan los datos de forma descendente y se calcula, para cada valor, su probabilidad empírica de acuerdo a la ecuación de Weibull, (Cuadro3.1). Para calcular la probabilidad teórica, en este caso Distribución Extrema Tipo I, secalculan:

X = 1171.02 m3/s Sx = 405.76 m3/sα = 3.157∗10−3 β = 988.43

con esta información puede elaborarse el cuadro siguiente:

N Datos ordenados Probabilidad empírica P(X≥x) delta

de mayor a menor n / (m+1) D. Extrema tipo I

1 1882 0.0385 0.0578 0.0193

2 1870 0.0769 0.05997 0.017

3 1856 0.1154 0.0626 0.0528

4 1745 0.1538 0.0877 0.06615 1605 0.1923 0.133 0.0593

6 1534 0.2308 0.1636 0.06727 1460 0.2692 0.202 0.0672

8 1450 0.3077 0.2078 0.09999 1330 0.3462 0.2883 0.0579

10 1240 0.3846 0.3636 0.02111 1190 0.4231 0.4109 0.012212 1136 0.4615 0.4661 0.0046

13 1030 0.5 0.584 0.08414 995 0.5385 0.6245 0.086

15 990 0.5769 0.6303 0.0534

16 975.5 0.6154 0.6471 0.0317

17 950 0.6538 0.6766 0.022818 940 0.6923 0.6881 0.0042

19 845 0.7308 0.7925 0.0617

20 820 0.7692 0.8177 0.048521 800 0.8077 0.8368 0.0291

22 690 0.8462 0.9231 0.076923 658 0.8846 0.9415 0.0569

24 644 0.9231 0.9485 0.0254

25 640 0.9615 0.9504 0.0111


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33

Como puede observarse, el máximo valor calculado de delta es igual 0.0999 el cuál

es menor que el delta máximo permitido, 0.27. Por lo tanto, puede concluirse que los datosse ajustan a una distribución Extrema Tipo I.

b. La probabilidad de excedencia para un período de retorno de 250 años será:

004.0250

11)( ===≥

Tr x X P

sustituyendo en la ecuación (3.31) se tiene:

)43.98 8(*310*15 7.3

1004.0

−−−−

−=

xe

e de donde:

X= 2736.75 m3/s


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34

CAPITULO IV4.0 H idrograma de escorrentía

4.1 Coef iciente de escor rentía

La escorrentía es consecuencia directa de la precipitación, estando ambas variablesestrechamente relacionadas. Sin embargo, en esta relación deben considerarse lascaracterísticas de la cuenca ya que , por ejemplo, dos tormentas con características igualessobre una misma hoya pueden producir escorrentías diferentes, dependiendo de suscondiciones iniciales al momento de producirse el evento. Esquemáticamente, esta relación puede apreciarse en la figura 4.1.

Figura 4.1 Relación lluvia - escorrentía

Un parámetro que cuantifica esta re lación es el denominado coeficiente deescorrentía, definido por la ecuación:

En la cuál:Ce: coeficiente de escorrentía.Ve: volumen de escorrentíaVp: volumen de precipitación

las magnitudes de la variable independiente de la ecuación (4.1) pueden expresarse tambiénen términos de lámina; en ambos casos el valor de Ce será menor que la unidad.

4.2 H idrograma de crecidas

El hidrograma de una corriente es la representación grafica o tabular del caudalcomo una función del tiempo y en una sección especifica del cauce. El hidrograma es una

Vp

VeCe = (4.1)


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35

expresión integral de las características fisiográficas y climáticas que gobiernan la relaciónlluvia-escorrentía de una cuenca en particular. En la figura 4.2 se observa la forma típica

del hidrograma.

Figura 4.2 Hidrograma de escorrentía

Como puede observarse, el hidrograma presenta un primer segmento ascendente,denominado curva de concentración, cuyas características dependen de la duración,intensidad y distribución en el tiempo y en el espacio de la tormenta. También lacondicionan la forma y tamaño de la cuenca receptora, así como las condiciones inicialesde humedad del suelo y la cobertura vegetal.

La denominada cresta del hidrograma corresponde al valor máximo de caudal;usualmente se le denomina el caudal pico. El sector denominado curva de descenso se debea la disminución gradual de la escorrentía directa y depende de las características de la redde drenaje. Finalmente, se ubica el segmento final, denominado curva de agotamiento, lacuál disminuye lenta y progresivamente, representando los aportes al flujo de la escorrentíasubterránea. Usualmente, la curva de agotamiento se define por la expresión:

Qt = Qo * e-αt (4.2)

donde:

Qt: caudal en el instante tQo: caudal en el tiempo to, al inicio del agotamientoe: base del logaritmo neperiano.a: coeficiente de agotamiento expresado en unidades de tiempo.t: tiempo

El valor de a depende de la morfología de la cuenca receptora y de su naturalezageológica.


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4.3 Separación del caudal base

El caudal que circula por un cauce puede tener dos componentes: uno provenientede la precipitación efectiva del evento o escorrentía directa, Q d y otro originado por flujossusbsuperficiales generados por eventos anteriores o caudal base, Q b. A la suma de ambosse le denomina caudal total, Q t.

Si se desea analizar la respuesta de la cuenca a la ocurrencia de una precipitaciónespecífica deben eliminarse los aportes al hidrograma provenientes de eventos anteriores; aeste proceso se le denomina separación del caudal base del hidrograma, tal como se ilustraen la figura 4.3

Figura 4.3 Separación del caudal base del hidrograma

Para ello existen diferentes procedimientos, siendo uno de los más usuales áquel queconsiste en trazar una línea recta desde el comienzo del hidrograma hasta un tiempo N, endías, después de la ocurrencia del pico. Una relación que permite estimar el valor de N estádada por:

en la cuál: N: tiempo en días.A: área de la cuenca, Km2

Otro procedimiento consiste en proyectar hacia atrás la línea de recesión del aguasubterránea hasta un punto bajo el punto de inflexión del limbo descendente; luego se trazaun segmento arbitrario ascendente desde el punto de ascenso del hidrograma hastaintersectarse con la recesión antes proyectada, tal como se ilustra en la figura 4.4.

Este tipo de separación puede presentar algunas ventajas cuando el aporte de aguasubterránea es relativamente grande y llega a la corriente con rapidez como sucede enterrenos con calizas.

AO N 2.0

*827.= (4.3)


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Figura 4.4 Método de las tangentes para la separación de Q b

4.4 H idrograma uni tari o

El hidrograma unitario se define como aquél cuyo volumen de escurrimiento directorepresenta para el área de la cuenca una altura de agua o lamina escurrida, de una unidad,usualmente esta lámina unidad se expresa en milímetros. Para un evento cualquiera, lalámina de escorrentía directa, Le, será igual a:

A

Ve Le = (4.4)

dónde Ve es el volumen escurr ido, A es el área es el de la cuenca y Le es la láminaescurrida

Para cada ordenada del hidrograma unitario se tendrá:

Le

qq

u = (4.5)

expresión en la cuál:

qu: ordenada del hidrograma unitario.q: ordedenada del hidrograma de escorrentía directa.Le lámina de escorrentía directa.

A la lámina de escorrentía directa también se le denomina lluvia efectiva o excesode precipitación. Un aspecto importante de este exceso de precipitación es el intervalo detiempo en el cuál se produce.


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38

En otras palabras, el escurrimiento directo es generado durante un intervalo detiempo que no necesariamente es igual a la duración total del evento de lluvia, siendo

usualmente menor. A dicha duración se le denomina duración efectiva de la lluvia y sudeterminación se efectúa relacionando el histograma de precipitación y el hidrograma deescorrentía directa, tal como se ilustra en la figura 4.5

Figura 4.5 Determinación de la duración efectiva de la lluvia

El procedimiento se basa en la asunción que la capacidad de infiltración del suelo,o índice φ, permanece constante a lo largo del evento, lo cuál puede ser representado poruna línea horizontal en el hietograma de precipitación, tal como se aprecia en la figura.Luego, la sumatoria de los valores de precipitación por encima de esta línea de φ, debecoincidir con el valor obtenido aplicando la ecuación (4.4); si ello no sucede, debe

asumirse un nuevo valor de infiltración y repetir el cálculo.

Finalmente, cuando se haya establecido, por tanteo, el valor de φ, el número deintervalos que queden por encima de esta línea definirá la duración efectiva de la lluvia.Todo hidrograma unitario , HU, debe estar asociado a una duración efectiva.


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4.5 Cálcul o de HU para dif erentes duraciones efectivas

Si se tiene un hidrograma unitario correspondiente a una duración efectiva igual a“t” horas y se le suma el mismo hidrograma, desplazado un intervalo “t”, el hidrogramaresultante representa el de 2 unidades de escorrentía para 2t horas. Si las ordenadas dedicho diagrama se dividen por 2, el resultado es un hidrograma unitario para una duraciónde 2t horas. El procedimiento se ilustra en la figura 4.6

Figura 4.6 Cálculo del HU de 2t horas a partir del HU de t horas

Sin embargo, el procedimiento descrito sólo sería aplicable para determinarhidrogramas unitarios de duración efectiva múltiplo del inicial. Para obtener el HU de una

duración cualquiera se utiliza el denominado método de la curva “S”, definiéndose comotal al hidrograma resultante del desplazamiento, un número infinito de veces, del HUoriginal, tal como se ilustra en la figura 4.7. La magnitud de cada desplazamiento será “t”horas respecto al anterior.

En la práctica, no es necesario realizar un número infinito de desplazamientos; bastará efectuar los necesarios para alcanzar la zona de estabilización de la curva. Elnúmero de desplazamientos que usualmente permite cumplir esta condición está dada por larelación:

Du

Tb Nd = (4.6)

dónde:

Tb: tiempo base del HU originalDu: duración efectiva del HU original


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Figura 4.7 Método de la curva “S”

En algunos casos la curva “S” puede presentar oscilaciones que serán necesariascorregir. Para ello se traza una línea recta, siguiendo el criterio de mejor ajuste, en elsegmento superior de la curva, tal como se aprecia en la figura; luego se procede asustituir los valores de la curva original por las nuevas lecturas que se harán en la rectaajustada. A la nueva curva S así obtenida se le denomina curva S corregida.

El HU para cualquier duración efectiva puede ahora obtenerse desplazando la curvaS corregida un intervalo igual a la duración del hidrograma deseado, obteniéndose lo que sedenomina curva S desplazada; luego dicha curva desplazada se resta de la corregida.Finalmente, para obtener el HU buscado cada uno de los valores de esta diferencia semultiplica por el factor:

t

Du Factor = (4.7)

dónde:

Du: duración del HU con el cuál se construyó la curva St: duración efectiva del HU deseado


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4.6 Problemas relativos a H idrogramas

PROBLEMA 4.6.1

Una tormenta de 6 horas de duración total ocurre en una cuenca de 150 Km2 desuperficie, con un hietograma de 42, 18 y 26 mm, respectivamente, cada 2 horas. Estimarel caudal pico, en m3/s, del hidrograma generado. Asumir un índice φ igual a 10 mm/h.

Adicionalmente se dispone de la información de una creciente producida por unalluvia de 2 horas de duración efectiva y cuyo hidrograma de escorrentía total fue:

T(h) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Q(m3/s) 20 20 110 200 270 220 180 120 70 45 20 20

SOLUCIÓN

En primer lugar, se determina el hietograma de precipitación efectiva para unintervalo de trabajo de 2 horas:

Pe0-2 = P0-2 - φ = 42 mm – 10 mm/h * 2h = 22 mmPe2-4 = P2-4 - φ = 18 mm – 10 mm/h * 2h = 0Pe4-6 = P4-6 - φ = 26 mm – 10 mm/h * 2h = 6 mm

El siguiente paso es calcular el hidrograma unitario de 2 horas lo cuál puede hacerse a partir de la información de la creciente y siguiendo la secuencia que a continuación sedescribe:

1. Se determinan los caudales de escorrentía directa. Para ello, a cada valor de laescorrentía total se le resta el caudal base; como puede observarse, en este caso dichocaudal base puede tomarse como un valor constante e igual a 20 m3 /s.

2. El volumen de escorrentía directa puede calcularse sumando las ordenadas delhidrograma de escorrentía directa, en m3/s, y multiplicándolo por el intervalo de tiempo delhidrograma, en segundos: 2 * 3600 seg

3. Este volumen escurrido se divide entre el área de la cuenca para obtener la lámina deescorrentía directa del evento:

.0506.010*150

3600*2*/31055*6 mts

sm

Area

t Qd Le === ∑


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42

4. El Hidrograma Unitario, HU, de la cuenca se determina dividiendo cada uno de losvalores de caudal de escorrentía directa entre Le. Los cálculos detallados se presentan en el

cuadro siguiente:

T(h) Qt(m3/s) Qb(m3/s) Qd(m3/s) HU(m3/s)mm

2 horas

0 20 20 0 0

2 20 20 0 0

4 110 20 90 1.786 200 20 180 3.55

8 270 20 250 4.94

10 220 20 200 3.9512 180 20 160 3.1614 120 20 100 1.97

16 70 20 50 0.9918 45 20 25 0.49

20 20 20 0 022 20 20 0 0

Multiplicando ahora el HU por cada una de las láminas de escorrentía directa,teniendo en cuenta los respectivos desplazamientos, y sumando se obtiene el hidrograma de

escorrentía directa resultante, tal como se aprecia en el cuadro adjunto:

T(h) HU(m3/s)mm Qd=Hu*22 Qd =HU*6 Qdt(m3/s)

2 horas

0 0 0 0

2 0 0 0

4 1.78 39.16 0 39.16

6 3.55 78.1 0 78.18 4.94 108.68 10.68 119.36

10 3.95 86.9 21.3 108.212 3.16 69.52 29.64 99.16

14 1.97 43.34 23.7 67.0416 0.99 21.78 18.96 40.74

18 0.49 10.78 11.82 22.620 0 0 5.94 5.9422 0 0 2.94 2.94

Como puede observarse, el caudal pico generado es de 119.36 m3/s.PROBLEMA 4.6.2


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43

Es una cuenca de 0.5 Km2 determine el índice φ , la infiltración acumulada, la precipitación efectiva acumulada y el hidrograma unitario de los siguientes datos de lluvia-escorrentía.

T(h) 0 1 2 3 4 5 6P(mm) 0 27 33 20 19 18 15Qd(m3/s) 0 0.8 1.6 1.3 0.8 0.4

SOLUCIÓN:

La lámina de escorrentía directa será:

m Area

t Qd Le 03528.0

10*5.0

3600*9.4*6

=== ∑

Le = 35.28 mm

En cada intervalo de tiempo una parte de la precipitación se infiltra y otra queda enla superficie como lámina de escorrentía directa; el valor de la infiltración puede asumirseconstante e igual al denominado índice φ.

Para determinar el valor deφ

puede seguirse el procedimiento que se ilustra en elgráfico adjunto y que se explica a continuación. En primer lugar, se asume un valor inicialde φ; por ejemplo, 1 mm; eso implica que las láminas de escorrentía directa en cadaintervalo serán:

Le = (27-1) + (33-1) + (20-1) + (19-1) + (18-1) +(15-1) = 126 mm


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Este valor de Le supera largamente al valor de 35.28 mm por lo que deberáasumirse un valor mayor de φ ; este procedimiento de tanteo debe seguirse hasta obteneruna sumatoria de láminas de escorrentía directa igual a 35.28 mm. En este caso, ello se produce para un valor de φ igual a 16.344 mm.

Luego la infiltración acumulada será:

Infiltración acumulada = 16.344 mm*5 + 15mm = 96.72 mm

Y la precipitación efectiva acumulada:

Precipitación efectiva acumulada = Precipitación acumulada – infiltración acumuladaPrecipitación efectiva acumulada = 132 mm – 96.72 mm = 35.28 mm

Para calcular las ordenadas del hidrograma unitario, se dividen las ordenadas delhidrograma de escorrentía directa entre la lamina de escorrentía directa. La duración de esteHU será de 5 horas ya que esa es la duración efectiva del evento o, dicho en otras palabras,el número de horas durante los cuáles se produce escorrentía directa.

T(h) Qd(m3/s) HU(m3/s)/mm 0 0 0 1 0.8 0.023 2 1.6 0.045

3 1.3 0.037 4 0.8 0.023 5 0.4 0.011

PROBLEMA 4.6.3

La precipitación efectiva y la escorrentía directa registrada para una tormenta son lassiguientes:

T(h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Pe(mm) 1 2 1Qd(m3/s) 10 120 400 560 425 300 265 170 50

Calcular el hidrograma unitario de 1 hora, sin utilizar el método de la curva S.

SOLUCIÓN

Designando por X1, X2, ... X7 a los valores del hidrograma unitario buscado. Sieste HU se multiplicase por cada una de las precipitaciones efectivas, considerando losrespectivos desplazamientos, el resultado sería el hidrograma de escorrentía directa que es


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proporcionado como dato del problema. Este procedimiento permitiría formar el sistema deecuaciones que se muestra en el cuadro siguiente:

T(h) Qd(m3/s) HU*Pe0-1 HU*Pe1-2 HU*Pe2-3

1 10 X1*12 120 X2*1 X1*23 400 X3*1 X2*2 X1*1

4 560 X4*1 X3*2 X2*15 425 X5*1 X4*2 X3*1

6 300 X6*1 X5*2 X4*17 265 X7*1 X6*2 X5*1

8 170 X7*2 X6*19 50 X7*1

Resolviendo el sistema se tiene:

X1 = 10 1001

2*101202 =

−= X

1901

1*102*1004003 =

−−= X 80

1

1*1002*1905604 =

−−= X

75

1

1*1902*804255 =

−−= X 70

1

1*802*753006 =

−−= X

501

1*752*702657 =

−−= X

luego, el HU buscado será:

T(h) HU(m3/s)/mm

1 hora

1 102 100

3 1904 80

5 756 70

7 50

Sin embargo, es conveniente acotar que este procedimiento no siempre conduce asoluciones directas, debiendo realizarse procesos de corrección y ajuste.


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PROBLEMA 4.6.4

Sobre una cuenca dada ocurre el siguiente evento de precipitación:

Tiempo (h) Precipitación Acumulada(mm) Índice Fí (mm/h) 1 5 2.5

2 11 2

3 19 1.5

Dicho evento genera el siguiente hidrograma de escorrentía directa:

T(h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9Qd(m3/s) 4.5 84.45 349.3 647.75 898.86 638.37 598.18 231.52 11.7

Con base a ello, se pide calcular el hidrograma unitario de la cuenca para una horade duración. Así mismo, determinar el área de la cuenca:

SOLUCIÓN

1. Calculo de la precipitación efectiva.

Para el calculo de la precipitación efectiva es necesario, determinar la precipitación parcial y restarle la infiltración o índice Fí.

Tiempo(h) Precipitación parcial (mm) 1 5

2 6

3 8

Pe1 = 5 mm - 2.5 mm/h * 1 h = 2.5 mmPe2 = 6 mm - 2.0 mm/h * 1 h = 4 mmPe3 = 8 mm – 1.5 mm/h * 1 h = 6.5 mm

2. Calculo del Hidrograma Unitario de 1 hora de duración.

Se hace un sistema de ecuaciones donde las incógnitas son las ordenadas delHidrodrama Unitario.


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T(h) Qd(m3/s) HU*Pe0-1 HU*Pe1-2 HU*Pe2-3

1 4.5 X1*2.5

2 84.45 X2*2.5 X1*4

3 349.3 X3*2.5 X2*4 X1*6.5

4 647.75 X4*2.5 X3*4 X2*6.5

5 820.4 X5*2.5 X4*4 X3*6.56 512.86 X6*2.5 X5*4 X4*6.57 394.22 X7*2.5 X6*4 X5*6.5

8 231.52 X7*4 X6*6.59 11.7 X7*6.5

X1 =

5.2

5.4=1.8

9.305.2

4*8.145.842 =

−= X

6.855.2

5.6*8.14*9.303.3493 =

−−= X

8.415.2

5.6*9.304*6.8575.6474 =

−−= X

72.385.2

5.6*6.854*8.414.8205 =

−−= X

51.345.2

5.6*8.414*72.3886.5126 =

−−= X

8.15.2

5.6*72.384*51.3422.3947 =

−−= X

T(h) HU(m3/s)/mm

1 hora

1 1.8

2 30.9

3 85.64 41.8

5 38.726 34.51

7 1.8

Para determinar el área de la cuenca se suman las ordenadas del hidrograma unitario, semultiplica por el tiempo y los milímetros se llevan a metros, de la siguiente forma:


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263

10*468.846

/001.0

3600*/)/((m

mmm

smm sm HU A =Σ=

A= 846.468 km2

PROBLEMA 4.6.5

Tres subcuencas A, B y C confluyen en un punto común a la salida de ellas. Sobre lasmismas ocurren los siguientes hietogramas de precipitación media efectiva, en milímetros.

El hidrograma de escorrentía directa resultante del evento, en el punto de confluencia, es elsiguiente:

T(h) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5Qd(m3/s) 9 159.2 444.2 487.1 872.2 898.1 1510 718.3 249.8 88 28.8

Tiempo después se produce una tormenta de seis horas de duración en la subcuenca A, enel cuál existen tres estaciones de precipitación P1, P2, y P3, con porcentajes de influencia

de 30%, 40% y 30%, del área de la subcuenca, el cual es de 85 Km2. Los valores del índiceφ, expresados en mm/h, pueden considerarse variables de acuerdo a los tipos de suelos, talcomo se muestra en el cuadro adjunto. Los hietogramas de precipitación en las estacionestambién se presentan en el cuadro adjunto de la derecha.

Calcular el hidrograma de escorrentía directa resultante de este evento, asumiendo que elhidrograma unitario de 1 hora es el mismo para las tres subcuencas.

Valor de φ mm/h Hietograma (mm)

Area(Km2) h02 h04 h06 h02 h04 h06

10 5 4 3 P1 18 12 14 30 4 3 2.5 P2 16 12 9

45 5 4.5 3.5 P3 13 10 8

Tiempo(h) A B C 1 10

2 12 63 15 8 9


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SOLUCIÓN.

1. Calculo del HU de 1 hora, por el método de deconvolución:

Se realiza un sistema de ecuaciones teniendo como incógnita el hidrograma unitario, comodicho hidrograma es el mismo para las tres subcuencas, se procede de la siguiente manera:

SUBCUENCA A SUBCUENCA B SUBCUENCA C

T(h) Qd=HU*10 Qd=HU*15 Qd=HU*12 Qd=HU*8 Qd=HU*6 Qd=HU*9 QdR(m3/s)

0 X1*10 0

0.5 X2*10 91 X3*10 X1*12 X1*6 159.2

1.5 X4*10 X2*12 X2*6 444.2

2 X5*10 X1*15 X3*12 X1*8 X3*6 X1*9 487.1

2.5 X6*10 X2*15 X4*12 X2*8 X4*6 X2*9 872.2

3 X7*10 X3*15 X5*12 X3*8 X5*6 X3*9 898.13.5 X8*10 X4*15 X6*12 X4*8 X6*6 X4*9 1510

4 X5*15 X7*12 X5*8 X7*6 X5*9 718.3

4.5 X6*15 X8*12 X6*8 X8*6 X6*9 249.85 X7*15 X7*8 X7*9 88

5.5 X8*15 X8*8 X8*9 28.8

01 = X

9.010

92 == X

92.1510

6*112*12.1593 =

−−=

X X X

8.4210

6*212*22.4444 =

−−=

X X X

054.2010

9*16*38*112*315*11.4875 =

−−−−−=

X X X X X X

3.710

9*26*48*212*415*22.8726 =

−−−−−=

X X X X X X

769.210

9*36*58*312*515*31.8987 =

−−−−−=

X X X X X X

9.010

9*46*68*412*615*415108 =

−−−−−=

X X X X X X


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50

T(h) HU(m3/s)/mm1 hora

0 00.5 0.9

1 15.92

1.5 42.82 20.054

2.5 7.3

3 2.769

3.5 0.9

Como la precipitación en el hietograma de precipitación esta cada 2 horas se debedeterminar el Hu de 2 horas de duración:

T(h) HU(m3/s)/mm HU(m3/s)/mm HU(m3/s)/mm1 horas 1 hora 2 horas

0 0 0 00.5 0.9 0.9 0.45

1 15.92 0 15.92 7.96

1.5 42.8 0.9 43.7 21.852 20.054 15.92 35.974 17.99

2.5 7.3 42.8 50.1 25.053 2.769 20.054 22.823 11.41

3.5 0.9 7.3 8.2 4.1

4 2.769 2.769 1.384.5 0.9 0.9 0.45

2. Calculo de la precipitación efectiva:

2.1 Calculo de la precipitación media en cada intervalo:

P0-2 = 18 * 0.3 + 16 * 0.4 + 13 * 0.3 = 15.7 mmP2-4 = 12 * 0.3 +12 * 0.4 + 10 * 0.3 = 11.40 mmP4-6 = 14 * 0.3 + 9 * 0.4 + 8 * 0.3 = 10.2 mm2.2. Calculo del φ promedio:

hmm /65.485

45*530*410*520 =

++=−φ

hmm /91.385

455.430*310*442 =

+++=−φ

hmm /09.385

45*5.330*5.210*364 =

++=−φ


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51

2.3 Precipitación efectiva:

Pe0-2 = 15.7 mm – 4.65 mm/h * 2h = 6.4 mmPe2-4 = 11.4 mm – 3.91 mm/h * 2h = 3.58 mmPe4-6 = 10.2 mm – 3.09 mm/h * 2h = 4.02 mm

Para calcular el hidrograma de escorrentía directa, se multiplica el hidrograma unitario de 2horas por la precipitación efectiva de 2 horas de la forma siguiente:

T(h) HU(m3/s)/mm Qd=HU*6.4 Qd=HU*3.58 Qd=HU*4.02 QdR(m3/s)2 horas

0 0 0 0

0.5 0.45 2.88 2.88

1 7.96 50.94 50.941.5 21.85 139.84 139.84

2 17.99 115.14 0 115.14

2.5 25.05 160.32 1.61 161.933 11.41 73.02 28.5 101.52

3.5 4.1 26.24 78.22 104.46

4 1.38 8.83 64.4 0 73.244.5 0.45 2.88 89.68 1.81 94.37

5 40.85 32 72.855.5 14.68 87.84 102.52

6 4.94 72.32 77.26

6.5 1.61 100.7 102.317 0 45.87 45.87

7.5 16.48 16.48

8 5.55 5.55

8.5 1.81 1.81

PROBLEMA 4.6.6

Se tiene dos cuencas, A y B, que confluyen en un punto común a la salida de ambas y en

las cuales simultáneamente ocurre un evento de precipitación, con los siguienteshietogramas:

Intervalo (hrs) Precipitación

cuenca A (mm) Precipitación

cuenca B (mm)

0 - 1.0 31 13

1.0 - 2.0 21 2.0 - 3.0 22


57/138

52

El hidrograma unitario de ½ hora para ambas cuencas es el siguiente:

t(h) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0HU(m3 /s/mm) 0 0.47 2.12 2.60 2.24 1.65 1.06 0.59 0.30 0.12 0

En la cuenca A el índice φ inicial es de 8 mm/h y se reduce en 10% en cada intervalo; enla cuenca B puede considerarse constante e igual a 6 mm/hora. Calcular el hidrograma deescorrentía directa resultante en la confluencia de ambas cuencas.

SOLUCIÓN

Cálculo de la precipitación efectiva en cada subcuenca:

Los valores del índice φ y de la precipitación efectiva en la subcuenca A, en cadaintervalo serán:

Intervalo Indice φ (mm/h) Precipitación efectiva (mm)

0 - 1 8 31 – 8 = 231 – 2 8 – 0.10*8 = 7.2 02 – 3 7.2 – 0.10*7.2 = 6.48 22 – 6.48 = 15.52

Análogamente, para la subcuenca B se tendrá:

Intervalo Indice φ (mm/h) Precipitación efectiva (mm)

0 - 1 6 13 – 6 = 71 – 2 6 21 – 6 = 15

Los hietogramas de precipitación para cada subcuenca están en intervalos de 01hora mientras que el hidrograma unitario proporcionado como dato corresponde a 0.5 horas

de duración. Ello hace aconsejable determinar el HU de 01 horas.

Para ello, se desplaza el HU de ½ hora, una vez y un intervalo respecto a sí mismo,determinándose luego la sumatoria del hidrograma original y el desplazado. El resultadoserá un hidrograma de 1 hora de duración y 2 mm de precipitación efectiva; dividiendo estenuevo hidrograma entre dos se obtendrá el HU correspondiente a 01 horas de duración. El procedimiento descrito se resume en el cuadro adjunto:


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53

T(h) HU(m3/s)/mm HU(m3/s)/mm) HU(m3/s)/mm)

1/2 hora 1/2 hora 1 hora

0 0 0 00.5 0.47 0 0.47 0.24

1 2.12 0.47 2.59 1.31.5 2.6 2.12 4.72 2.36

2 2.24 2.6 4.84 2.42

2.5 1.65 2.24 3.89 1.953 1.06 1.65 2.71 1.36

3.5 0.59 1.06 1.65 0.83

4 0.3 0.59 0.89 0.45

4.5 0.12 0.3 0.42 0.215 0 0.12 0.12 0.06

5.5 0 0 0

Para calcular el hidrograma de escorrentía directa resultante en la confluencia deambas cuencas, se procede de la forma siguiente:

SUBCUENCA A SUBCUENCA B

T(h) HU(m3/s)/mm) Qd= HU*23 Qd= HU*15.52 Qd=HU*7 Qd=HU*15 QdR(m3/S)

1 hora

0 0 0 0 0

0.5 0.24 5.52 1.68 7.201 1.3 29.9 9.10 0 39.00

1.5 2.36 54.28 16.52 3.60 74.42 2.42 55.66 0 16.94 19.50 92.04

2.5 1.95 44.85 3.72 13.65 35.4 97.62

3 1.36 31.28 20.18 9.52 36.3 97.28

3.5 0.83 19.09 36.63 5.81 29.25 90.674 0.45 10.35 37.56 3.15 20.40 71.46

4.5 0.21 4.83 30.26 1.47 12.45 49.01

5 0.06 1.38 21.11 0.42 6.75 29.665.5 0 0 12.88 0 3.15 16.03

6 6.98 0.9 7.886.5 3.26 0 3.26

7 0.93 0.93

7.5 0 0

PROBLEMA 4.6.7

En una cuenca de 15 Km2 de superficie se tiene información de precipitaciones máximasanuales para una hora de duración las cuáles puede asumirse se ajustan a una distribución


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54

Extrema Tipo I. Dicha información indica que la probabilidad de exceder la lámina de 80mm en una hora es del 29 %, mientras que la probabilidad de exceder los 140 mm de lluvia,

también en una hora, es de 5.19 %.

Sobre dicha cuenca ocurre una precipitación de 3 horas de duración. En la primera hora,cae la precipitación de periodo de retorno, Tr = 25 años; en la segunda hora cae la precipitación Tr = 15 años y finalmente, en la tercera ocurre la precipitación de Tr = 10años. El hidrograma unitario de la cuenca, para una duración de 1/3 de hora, es:

T(h) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5HU((m3/s)/mm) 0 0.47 2.12 2.6 2.24 1.65 1.06 0.59 0.3 0.12 0

El índice φ inicial es de 8 mm/h y se reduce en un 15 % cada intervalo. Calcular el

hidrograma de escorrentía directa generado por la tormenta.

SOLUCIÓN

Como las precipitaciones se ajustan a una distribución extrema Tipo I , se calcula los parámetros de la distribución con los siguientes datos:

Para P= 80 mm la P(X≥x) = 0.29 Para P = 140mm la P(X≥x) = 0.0519

luego:

e e

x )(

129.0

βα −−−

−=− e e

x )(

10519.0

βα −−−

−=−

resolviendo:β= 45.45 α=0.031

Con los parámetros calculados se determinan las precipitaciones para las horas indicadas en

el hietograma. En la primera hora, para Tr = 25 años se tiene: Tr

x X P 1

)( =≥ =25

1= 0.04

Luego, sustituyendo en la ecuación probabilística se obtiene:

e e

x

−−=

−− )45.45(031.0

104.0

despejando el valor de x (precipitación en la primera hora): P01= 148,63 mm

Igualmente, en la segunda hora y para Tr = 15 años: Tr

x X P 1

)( =≥ =15

1= 0.0667


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55

Sustituyendo: e e x

−−=−− )45.45(031.0

10667.0

el valor de x, (precipitación en la segunda hora), será: P02= 131.68 mm

análogamente, para la tercera hora: Tr = 10 años, la Tr

x X P 1

)( => =10

1= 0.1

Sustituyendo: e e x

−−=−− )45.45(031.0

11.0

despejando el valor de x (precipitación en la tercera hora): P03= 118.04 mm

Para determinar la precipitación efectiva, se debe calcular el índice φ para cada intervalo yrestárselo a la precipitación: luego: Hora (h) Indice φ (mm/h) Precipitación efectiva (mm)

1 8 148.63 – 8 = 140.632 8 – 0.15*8 = 6.8 131.68 – 6.8 = 124.883 6.8 – 0.15*6.8 = 5.78 118.04 – 5.78 = 112.26

Para calcular el hidrograma de escorrentía directa se debe determinar primero elhidrograma unitario de 1 hora, por desplazamientos, tal como se ilustra a continuació n:

T(horas) HU 1/3 h HU 1/3 h HU 1/3 h HU 1 hora(m3/s)/mm (m3/s)/mm (m3/s)/mm (m3/s/mm)

0 0 0 00.33 0.31 0 0.31 0.1

0.67 1.02 0.31 0 1.33 0.441 2.12 1.02 0.31 3.45 1.15

1.33 2.44 2.12 1.02 5.58 1.86

1.67 2.48 2.44 2.12 7.04 2.352 2.24 2.48 2.44 7.16 2.39

2.33 1.85 2.24 2.48 6.57 2.192.67 1.45 1.85 2.24 5.54 1.85

3 1.06 1.45 1.85 4.36 1.453.33 0.75 1.06 1.45 3.26 1.09

4 0.3 0.75 1.06 2.11 0.7

4.33 0.18 0.3 0.75 1.23 0.41

4.67 0.08 0.18 0.3 0.56 0.19

5 0.08 0.18 0.26 0.095.33 0.08 0.08 0.03


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56

T(horas) HU 1 hora Qd=HU*140.63 Qd=HU*124.88 Qd=HU*112.26 QdR(m3/s/mm) m3/s m3/s m3/s m3/s

0 0 0 00.33 0.1 14.06 14.06

0.67 0.44 61.88 61.88

1 1.15 161.72 0 161.721.33 1.86 261.57 12.49 274.06

1.67 2.35 330.48 54.95 385.43

2 2.39 336.11 143.61 0 479.72

2.33 2.19 307.98 232.28 11.23 551.492.67 1.85 260.17 293.47 49.39 603.03

3 1.45 203.91 298.46 129.10 631.47

3.33 1.09 153.29 273.49 208.80 635.58

4 0.7 98.44 231.03 263.81 593.284.33 0.41 57.66 181.08 268.30 507.044.67 0.19 26.72 136.12 245.85 408.69

5 0.09 12.66 87.42 207.68 307.76

5.33 0.03 4.22 51.20 162.78 218.25.67 23.73 122.36 146.09

6 11.24 78.58 89.82

6.33 3.75 46.03 49.78

6.67 21.33 21.337 10.10 10.10

7.33 3.37 3.37

PROBLEMA 4.6.8

Dado el hidrograma unitario de 4 h de duración, se pide calcular el hidrograma unitario de3 horas, en una cuenca de 300 Km2 de superficie.

T(h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10HU(m3 /s)/mm 0 6 36 66 91 106 93 79 68 58 49

11 12 13 14 15 16 17 18 19 2041 34 27 23 17 13 9 6 3 1.5

SOLUCIÓN

Para resolver este problema se utilizará el procedimiento de la curva S para lo cuál debedeterminarse primero el número de desplazamientos mínimos que deben efectuarseempleando la relación:


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57

Du

Tb Nd =

donde: Nd: número mínimo de desplazamientosTb: tiempo base del hidrograma unitario en hDu: duración del hidrograma unitario h.

Luego:

54

20== Nd

Se calcula ahora la curva S, sumando el hidrograma unitario y los 5 desplazamientoscada 4 horas (duración del hidrograma unitario), obteniéndose:

T(h) HU(m3/s/)mm Suma de los 5 Curva S

4 h Desplazamientos

0 0 0

1 6 62 36 36

3 66 66

4 91 0 915 106 6 112

6 93 36 129

7 79 66 145

8 68 91 1599 58 112 170

10 49 129 17811 41 145 18612 34 159 193

13 27 170 19714 23 178 201

15 17 186 203

16 13 193 206

17 9 197 20618 6 201 207

19 3 203 20620 1.5 206 207.521 206 206

22 207 20723 206 206

Esta curva S debe corregirse a fin de eliminar las oscilaciones que se presentan en la partesuperior de la curva; esta corrección puede efectuarse de manera gráfica, tal como seaprecia en la figura adjunta y cuadro adjuntos.


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59

Como puede apreciarse, para determinar el hidrogr ama unitario de 3 horas se resta de la

curva S corregida la curva S, también corregida, desplazada previamente un intervalo iguala la duración del hidrograma que se desea calcular. En el cuadro, el resultado corresponde ala columna CSC – CSCD.

Luego, dicho resultado se multiplica por el factor obtenido al dividir la duración delhidrograma con el que se construyó la curva S, en este caso 4 horas, entre la duración delhidrograma que se desea calcular. Para el problema el factor es igual a 4/3; el resultado seráel HU de la duración deseada.

PROBLEMA 4.6.9

Se tiene dos cuencas A y B, que confluyen en un punto común a la salida de ambas y en lascuales simultáneamente empieza a llover, con los siguientes hietogramas de precipitaciónen cada cuenca:

Cuenca A Cuenca B 0 - 1.5 40

1.5 – 3 30

3.0 – 4.5 60 25

El hidrograma unitario de 1/3 de hora para ambas cuencas es el siguiente:

T(h) 0 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3 7/3 8/3 9/3HU(m3 /s)/mm 0 0.47 2.12 2.6 2.24 1.65 1.06 0.59 0.3 0.12

En la cuenca A el índice φ es de 7 mm/h y se reduce en 12 % cada intervalo; en la cuenca B puede considerarse constante e igual a 5 mm/h. Calcular el hidrograma de escorrentíadirecta resultante en la confluencia de ambas cuencas.

SOLUCIÓN:

En este caso, y procediendo de forma similar a problemas anteriores se tendrá para la

cuenca A:

Intervalo (h) Indice φ Precipitación efectiva (mm)0 – 1.5 7 40 – 7*1.5 = 29.51.5 – 3.0 7 – 7*0.12 = 6.163.0 – 4.5 6.16 – 6.16*0.12 = 5.42 60 – 5.42*1.5 = 51.87

En la cuenca B el índice φ es constante, por lo tanto, la precipitación efectiva en cadaintervalo será:


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60

Pe 1.5-3 = 30 mm – 5 mm/h*1.5 h =22.5 mmPe 3-4.5= 25 mm – 5 mm/h*1.5 h =17.5 mm

Para determinar el hidrograma unitario de 1.5 h puede emplearse el método de la curva S a partir del HU de 1/3 hora; el número mínimo de desplazamientos será:

10

31

310

=== Du

Tb Nd

Luego, la curva S será:

T(h) HU(m3/s)/mm Suma de los 10 Cuva S1/3 h desplazamientos

0 0 00.33 0.47 0 0.470.67 2.12 0.47 2.59

1 2.6 2.59 5.191.33 2.24 5.19 7.43

1.67 1.65 7.43 9.08

2 1.06 9.08 10.14

2.33 0.59 10.14 10.732.67 0.3 10.73 11.03

3 0.12 11.03 11.15

3.33 0 11.15 11.15

Y la curvas S corregida:


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61

El HU de 1.5 horas de duración será entonces:

T(h) CSC CSCD CSC –CSCD HU(m3/s)/mm1.5 H

(CSC-CSCD)*(1/3)/1.50 0 0 0

0.5 1.4 1.4 0.31

1 5.19 5.19 1.151.5 8.5 0 8.5 1.89

2 10.14 1.4 8.74 1.94

2.5 10.9 5.19 5.71 1.273 11.15 8.5 2.65 0.59

3.5 11.15 10.14 1.01 0.22

4 11.15 10.9 0.25 0.064.5 11.15 11.15 0 0

CSC: CURVA S CORREGIDACSCD: CUEVA S CORREGIDA DESPLAZADA

Luego, el hidrograma de escorrentía directa en la confluencia de ambas cuencas es:

Cuenca A Cuenca B

T(h) HU(m3/s)/mm Qd = HU*29.50 Qd=HU*51.87 Qd =HU*22.5 Qd=HU*17.5 QdR(m3/s)

0 0 0 00.5 0.31 9.15 9.15

1 1.15 33.93 33.931.5 1.89 55.76 0 55.762 1.94 57.23 6.98 64.21

2.5 1.167 34.43 25.88 60.313 0.59 17.41 0 42.53 0 59.94

3.5 0.22 6.49 16.08 43.65 5.43 71.654 0.06 1.77 59.65 26.26 20.13 107.81

4.5 0 0 98.03 13.28 33.08 144.395 100.63 4.95 33.95 139.53

5.5 60.53 1.35 20.42 82.3

6 30.6 10.33 40.936.5 11.41 3.85 15.26

7 3.11 1.05 4.16


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62

CAPÍTULO V

5.1 Método de la curva número

La relación entre la escorrentía y la lluvia que la origina ha sido objeto de múltiplesanálisis e interpretaciones hidrológicas. Si bien es cierto que existe una estrechainterrelación entre ambos elementos hidrológicos, ésta no es una asociación fija e invariableen el tiempo y en el espacio. Básicamente, la relación lluvia- escorrentía está determinada por las características específicas de la cuenca tales como pendiente, vegetación, tipo desuelos y otras. El conjunto de ellas determina la respuesta del sistema, o cuenca, ante laocurrencia de la lluvia.

Los diversos métodos desarrollados para el análisis del proceso tratan de cuantificaresta capacidad de respuesta de la cuenca. La forma más simple está dada por la adopción deun coeficiente global que expresa, en forma de porcentaje, la relación entre lo precipitado ylo escurrido. Esto es lo que se denomina el coeficiente de escorrentía. Aún cuando estemétodo ha sido bastante difundido, sus limitaciones son obvias si se tiene en cuenta laexcesiva simplificación del ciclo hidrológico que él mismo hace.

El servicio de Conservación de Suelos, SCS, de los Estados Unidos, luego delanálisis de gran número de datos de cuencas experimentales, ha desarrollado un método deestimación de la escorrentía. Dicho método se basa en el análisis del complejo suelo -cobertura y las condiciones de humedad del suelo antes de la ocurrencia de la precipitación.

La relación básica del procedimiento es:

Potencial a Escorrentì

al a Escorrentí

Potencial tención

al tención

_

Re _

_ Re

Re _ Re= (5.1)

Si se adopta la designación de variables siguientes:

S: retención potencialQ: escorrentía realIa: pérdidas por intercepción, almacenamiento en depresiones e infiltración.P: precipitación.

La ecuación (5.1) puede escribirse ahora como:

Ia P

Q

S

Q Ia P

−=

−− )( (5.2)

Efectuando operaciones:

[ ] S Q Ia P Q Ia P *)(*)( =−−−


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63

S QQ Ia P Ia P **)()( 2 =−−−

)(**)( 2 Ia P QS Q Ia P −+=−

))((*)( 2 Ia P S Q Ia P −+=−

)(

)( 2

Ia P S

Ia P Q

−+−

= (5.3)

Tr

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