preliminary problems

1 Introduction and System of Equations in R1. Misalkan a, b, c parameter real positif. Selesaikan persamaan

√a + bx +

√b + cx +

√c + ax =

√b− ax +

√c− bx +

√a− cx

2. Hitung nilai darin∑

k=0

1

(n− k)!(n + k)!

3. Misalkan x =√a2 + a + 1 −

√a2 − a + 1 dimana a bilangan real. Cari semua bilangan real yang

mungkin menjadi nilai dari x.

4. Cari semua pasangan bilangan real (x, y) yang memenuhi persamaan

(1 + x)(1 + x2)(1 + x4) = 1 + y7

(1 + y)(1 + y2)(1 + y4) = 1 + x7

5. Misalkan sistem persamaan berikut

x + y + z = 3

x3 + y3 + z3 = 15

x4 + y4 + z4 = 35

punya solusi (x, y, z) dimana x2 + y2 + z2 < 10. Tentukan nilai dari x5 + y5 + z5.

6. Tentukan semua akar real persamaan(√2x2 − 2x + 12−

√x2 − 5

)3(5x2 − 2x− 3)

√2x2 − 2x + 12

=2

9

7. Diberikan barisan bilangan {an}∞n=1 yang memenuhi am+n ≤ am + an untuk semua m,n ≥ 1. Tun-jukkan bahwa

a1 +a22

+a33

+ · · ·+ akk≥ ak

untuk semua k ≥ 1.

8. Tunjukkan bahwa

(a)1

2+

1

3+ · · ·+ 1

22n≥ n, ∀n ∈ N

(b)

min

{k ∈ N, k ≥ 2;

1

2+

1

3+ · · ·+ 1

k> n

}> 2n, ∀n ∈ N

Compiled by : Ronald Widjojo

2 Harder Problems, Invariant, Pigeon Hole Principle

1. Cari banyak persegi panjang yang bukan persegi yang dapat diperoleh dari papan berukuran n× n

2. Lima bilangan dipilih secara acak dari 1 hingga 2009. Tentukan banyak cara memilih kelima bilangantersebut, dimana diantara kelima bilangan tersebut tidak ada yang berurutan.

3. Ada berapa cara memilih tiga himpunan bagian tidak kosong dan tidak ada yang beririsan dari{1, 2, 3, · · · , 2008}

4. Diketahui terdapat 10 buah kotak kayu identik masing masing berukuran 3 × 4 × 6. Kotak kayupertama diletakkan pada lantai datar dan sisanya diletakkan diatasnya secara bertumpuk. Misalkanmn

adalah probabilitas bahwa tumpukan kayu memiliki tinggi 41 dimana gcd(m,n) = 1. Tentukannilai dari m.

5. Terdapat 6 orang disebuah pesta. Buktikan bahwa 3 orang diantaranya saling mengenal atau terdapat3 orang yang saling tidak mengenal. (Ramsey)

6. Terdapat 33 orang murid dalam satu kelas dan jumlah usia dari mereka adalah 430. Apakah benarbahwa terdapat 20 orang murid yang jumlah usianya lebih dari 260?

7. Misalkan a1, a2, · · · , an permutasi dari 1, 2, · · · , n. Jika n ganjil, buktikan bahwa

(a1 − 1)(a2 − 2) · · · (an − n) ≡ 0 (mod 2)

8. Diberikan 101 bilangan bulat non-negatif berbeda yang kurang dari 5050. Buktikan bahwa terdapat4 bilangan a, b, c, d sehingga a + b− c− d merupakan kelipatan 5050.

9. Buktikan bahwa ada kelipatan dari 2012 yang berbentuk kkkk · · · kkk

10. Misalkan a1, a2, · · · , an bilangan real dengan |ai| = 1. Misalkan bahwa

a1a2a3a4 + a2a3a4a5 + · · ·+ ana1a2a3 = 0

Buktikan bahwa n kelipatan 4

11. Dalam satu langkah, kita mengambil digit pertama dari 72012 dan menjumlahkannya dengan bilanganyang tersisa. Kemudian langkah ini diulangi sehingga hanya tersisa bilangan 10 digit. Buktikanbahwa bilangan yang tersisa mempunyai dua digit yang sama.

12. Misalkan n adalah bilangan asli ganjil. Al menulis bilangan - bilangan 1, 2, 3, ..., 2n di papan. Se-lanjutnya, dia memilih dua bilangan a dan b, menghapus keduanya, dan mengganti dengan |a − b|.Buktikan bahwa bilangan yang tertulis terakhir di papan selalu bilangan ganjil.

13. Bilangan asli dari 1 hingga 99 (tidak perlu berbeda) ditulis dalam 99 kartu. Diketahui bahwa jumlahsetiap k kartu (1 ≤ k ≤ 99) tidak habis dibagi 100. Buktikan bahwa ada setidaknya dua kartu yangbertuliskan angka yang sama.

14. Apakah kita bisa menutup papan berukuran 10× 10 dengan tetromino lurus 4× 1?


3 Introduction to Number Theory : Divisibility

1. Digit terakhit dari 22012 − 2012 adalah · · ·

2. Tentukan bilangan bulat positif terbesar n sehingga n3 + 100 merupakan kelipatan n + 10

3. Tentukan bilangan bulat positif terkecil n sehingga 31 membagi 5n + n

4. Sisa pembagian1.1! + 2.2! + · · ·+ 2012.2012!

oleh 2012 adalah · · ·

5. Tentukan semua bilangan asli n sehingga n membagi 2n − 1

6. Barisan Fibonacci didefinisikan dengan f1 = f2 = 1 dan fn+1 = fn + fn−1 untuk n ≥ 2. Hitungbanyak n dengan 1 < n < 2012 sehingga fn kelipatan 13.

7. Tunjukkan bahwa 13 6 | 3n + 1 untuk setiap bilangan asli n

8. Misalkan p bilangan prima dan a, b, c, d bilangan asli sehingga p = a + b + c + d. Buktikan bahwaab− cd bukan kelipatan p.

9. Misalkan a, b, c bilangan bulat sehingga 30|a + b + c. Buktikan bahwa 30|a5 + b5 + c5

10. Diberikan p > 3 adalah bilangan prima. Jika

1 +1

2+

1

3+ · · ·+ 1

p− 1=

a

b

dengan ab

pecahan paling sederhana, maka tunjukkan bahwa p|a.

11. Jika m|abn + cn + d untuk setiap n ≥ 0, buktikan bahwa m|c2

12. Tentukan banyaknya bilangan asli n ≤ 2012 sehingga b√nc|n.


4 Polynomials in Z[x] and R[x]1. Misalkan P (x) = anx

n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0 suatu polinom dengan koefisien bulat. Buktikan

bahwa

(a) Jika a, b bilangan bulat berbeda, buktikan bahwa a− b membagi P (a)− P (b).

(b) Jika r = ab

adalah suatu akar rasional dari P (x) dengan gcd(a, b) = 1. Buktikan bahwa a|a0dan b|an.

(c) Jika P (x) monik dan r adalah suatu akar rasional dari P (x), buktikan bahwa r bulat.

2. Misalkan P (x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x + a0 suatu polinom dengan n akar r1, r2, · · · , rn.

(a) Jika ri 6= 0 untuk semua i. Tentukan polinom dengan akar-akar 1r1, 1r2, · · · , 1

rn.

(b) Diberikan sebarang bilangan real r 6= 0. Tentukan suatu polinom dengan akar rr1, rr2, · · · , rrn.Tentukan juga suatu polinom dengan akar-akar r + r1, r + r2, · · · , r + rn.

3. Misalkan a, b, c bilangan-bilangan real sedemikian hingga

a + b + c > 0, ab + bc + ca > 0, abc > 0

Buktikan bahwa a, b, c > 0. Generalisasikan.

4. Polinom P (x) = x5 + 2x + 1 memiliki akar-akar r1, r2, r3, r4, r5. Jika Q(x) = x2 − 2. Tentukan nilaidari

Q(r1)Q(r2)Q(r3)Q(r4)Q(r5)

5. Misalkan a, b, c bilangan bilangan berbeda. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan real x, berlaku

(x− a)(x− b)

(c− a)(c− b)+

(x− b)(x− c)

(a− b)(a− c)+

(x− c)(x− a)

(b− c)(b− a)= 1

6. Misalkan p, q, r akar-akar dari polinom x3 − x− 1 = 0. Tentukan nilai

1− p

1 + p+

1− q

1 + q+

1− r

1 + r

7. Misalkan P (x) suatu polinom dengan koefisien bulat.

(a) Jika terdapat bilangan bulat berbeda a, b, c, d sehingga P (a) = P (b) = P (c) = P (d) = 5, makabuktikan bahwa tidak ada bilangan bulat k sehingga P (k) = 8.

(b) Buktikan bahwa tidak terdapat bilangan-bilangan bulat berbeda a, b, c sedemikian sehingga

P (a) = b, P (b) = c, P (c) = a

(c) Jika P (0) dan P (1) ganjil. Buktikan P (x) tidak mempunyai akar bulat.

(d) Jika terdapat bilangan bulat berbeda a, b, c sehingga P (a) = P (b) = P (c) = −1, buktikan P (x)tidak punya akar bulat.


8. Misalkan P (x) suatu polinom berderajat n.

(a) Jika P (k) = kk+1

untuk k = 0, 1, 2, · · · , n. Tentukan P (n + 1).

(b) Jika P (x) monik dan P (k) = 1k

untuk k = 1, 2, · · · , n. Tentukan P (n + 1).

9. Misalkan a1, a2, · · · , an bilangan-bilangan asli berbeda. Buktikan tidak terdapat polinomial non-konstan dengan koefisien bulat P (x) dan Q(x) sehingga

(x− a1)(x− a2) · · · (x− an)− 1 = P (x)Q(x)

10. Cari semua polinom P (x) yang memenuhi xP (x− 1) = (x− 26)P (x)

11. Diberikan bilangan asli n. Cari semua polinom P (x) yang memenuhi persamaan

P (P (x)) = [P (x)]n


preliminary problems

Technology