pidato ilmiah prof iwan prano

Majel is Guru Besar

Inst itut Teknologi Bandung

Pidato Ilmiah Guru Besar

Institut Teknologi Bandung

Hak cipta ada pada penulis

Majelis Guru Besar


30 Maret 2012Balai Pertemuan Ilmiah ITB

Profesor Iwan Pranoto

MENGGALI HAKIKAT BERMATEMATIKA

MELALUI PENGEMBANGAN TEORI KONTROL

Hak cipta ada pada penulis58

Majelis Guru Besar


Pidato Ilmiah Guru Besar

Institut Teknologi Bandung30 Maret 2012

Profesor Iwan Pranoto



ii iii


MELALUI PENGEMBANGAN TEORI KONTROL.

Disampaikan pada sidang terbuka Majelis Guru Besar ITB,

tanggal 30 Maret 2012.

Judul:



Disunting oleh Iwan Pranoto

Hak Cipta ada pada penulis

Data katalog dalam terbitan

Bandung: Majelis Guru Besar ITB, 2012

viii+58 h., 17,5 x 25 cm

1. Sains 1. Iwan Pranoto

ISBN 978-602-8468-49-7

Hak Cipta dilindungi undang-undang.Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apapun, baik secara

elektronik maupun mekanik, termasuk memfotokopi, merekam atau dengan menggunakan sistem

penyimpanan lainnya, tanpa izin tertulis dari Penulis.

UNDANG-UNDANG NOMOR 19 TAHUN 2002 TENTANG HAK CIPTA

1. Barang siapa dengan sengaja dan tanpa hak mengumumkan atau memperbanyak suatu

ciptaan atau memberi izin untuk itu, dipidana dengan pidana penjara paling lama

dan/atau denda paling banyak

2. Barang siapa dengan sengaja menyiarkan, memamerkan, mengedarkan, atau menjual

kepada umum suatu ciptaan atau barang hasil pelanggaran Hak Cipta atau Hak Terkait

sebagaimana dimaksud pada ayat (1), dipidana dengan pidana penjara paling lama

dan/atau denda paling banyak

7 (tujuh)

tahun Rp 5.000.000.000,00 (lima miliar rupiah).

5

(lima) tahun Rp 500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah).

Iwan Pranoto

KATA PENGANTAR

Sungguh tak terkatakan ucapan syukur atas berkat yang telah

diterima sampai hari ini. Sebenarnya kami tak layak menerima berkat

sebesar dan seterhormat ini, sampai menyampaikan sebuah pidato ilmiah

di depan para guru besar yang budiman di Majelis Guru Besar ITB sore ini.

Khusus kepada Ketua dan Sekretaris MGB ITB, kami menghaturkan

penghargaan setulus-tulusnya atas kehormatan untuk penyampaian

pidato di depan hadirin sekalian.

Pidato ini disampaikan berdasarkan naskah

. Secara ringkas,

naskah ini menggambarkan pemikiran dan kepedulian yang tumbuh

selama kami menjadi sivitas akademika di ITB, dan naskah ini mencakup

gagasan-gagasan inti berikut:

1. Hakikat bermatematika dipandang dari gagasan matematika

sendiri, yakni dari persepsi fungsi dan estetika.

2. Perkembangan Teori Kontrol dari sistem linear berdimensi hingga

ke sistem berparameter terdistribusi yang berdimensi tak hingga,

khususnya penelitian dalam sistem tak konservatif.

3. Perkembangan sistem kontrol geometri tak linear yang

menggabungkan berbagai cabang matematika.

4. Penggunaan Teori Kontrol dan inspirasi fenomena dalam

upaya pengendalian sistem multi-agen di masalah transportasi,

“Menggali Hakikat

Bermatematika melalui Pengembangan Teori Kontrol”

swarm

iv v

dan penggunaan algoritma optimasi berdasarkan swarm untuk

penyelesaian masalah matematika dan terapannya.

5. Upaya pelestarian dan penguatan budaya bermatematika

generasi mendatang di Indonesia serta implikasinya untuk

pembangunan Indonesia berkelanjutan bermodalkan kecendikia-

an di dunia tanpa batas.

Hari ini sesungguhnya merupakan satu pertanda penting dalam karir

kami untuk mengingatkan kesungguhan dan pertanggungjawaban

akademik sebagai guru besar kepada Bangsa Indonesia. Besar harapan

kami, naskah dan pidato ini akan memicu banyak gagasan-gagasan lain

yang lebih baik lagi dari akademisi lain dalam kebermatematikaan dan

pemanfaatannya. Wacana dan pemikiran-pemikiran baru itu akan

menghela kejayaan Republik Indonesia di masa depan.

Terima kasih kami sampaikan kepada banyak Guru Besar yang sudah

memberikan dukungan selama karir kami dan khususnya untuk

mendorong pengajuan jabatan Guru Besar ini. Dukungan tertulis maupun

lisan yang sudah diberikan sungguh akan kami ingat selamanya.

Acara agung hari ini semakin mengingatkan kami kepada almarhum

ayahanda Henry Pranoto yang telah menjadi tauladan sebagai seorang

pemelajar sepanjang hayat. Terima kasih atas tauladan dan sudah menjadi

orang pertama yang mempercayai kemampuan putranya. Juga kepada

ibunda kami Handajani yang tak kenal lelah membantu bekerja siang-

malam dan mengajarkan berhitung saat putranya masih SD. Sampai

kapanpun kasihmu tak akan sanggup terbalas. Terima kasih. Kepada istri

tercinta Mariani L. Santoso yang tabah mendampingi di saat sulit pada

masa studi maupun pada saat berkarir di ITB. Kekaguman dan terima

kasih kepada putriku tersayang, Prishanti Dipita.

Semoga pidato ini bermanfaat bagi kemanusiaan.

Bandung, 30 Maret 2012

Iwan Pranoto

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .................................................................................. iii

DAFTAR ISI ................................................................................................. v

1. PENDAHULUAN ................................................................................. 1

1.1. Matematika Diciptakan atau Ditemukan?................................... 1

1.2. Peran Matematika dalam Kebudayaan Manusia Modern ...... 4

2. TEORI KONTROL DARI SIFAT ALAMI MANUSIA ...................... 9

2.1. Sistem Kontrol Linear Dimensi Hingga: Pendekatan

Geometri ......................................................................................... 11

2.1.1 Sistem Berparameter Terdistribusi .................................... 13

2.1.2 Sistem Berparameter Terdistribusi Tak Konservatif ...... 16

2.1.3 Teori Kontrol Geometri ...................................................... 18

2.1.4 Rekacipta Kendali Sistem Banyak Agen dengan

Inspirasi Swarm .................................................................. 21

2.1.5 Optimisasi dengan Algoritma Berdasarkan Perilaku

Swarm.................................................................................... 26

3. PENYATUAN MATEMATIKA MELALUI TEORI KONTROL ...... 27

3.1 Sekilas Upaya Penyatuan Matematika ....................................... 27

3.2 Teori Kontrol dalam Matematika dan Penerapannya .............. 28

4. MASA DEPAN KEBERMATEMATIKAAN DI INDONESIA ......... 31

4.1 Masyarakat yang Belajar dan Ekonomi berdasar Kecerdasan 31

4.2 Matematika bagi Pengembangan Sains, Rekayasa, dan Seni .. 32

viivi

viii 1



Die ganze Zahl shuf der liebe Gott,

alles brige ist Menschenwerk.

(Tuhan menciptakan bilangan asli,

sisanya dibuat manusia.)

-- ,

Jahresberichte der Deutschen Mathematiker Vereinigung

Leopold Kronecker

1. PENDAHULUAN

1.1 Matematika Diciptakan atau Ditemukan?

Pada suatu awal, pada saat semesta dengan benda-benda angkasa

baru saja lahir, sesungguhnya gagasan bilangan serta membilang telah

ada di bayi semesta itu. Dengan adanya partikel atau

benda di semesta pada masa awal kelahiran semesta tersebut, maka

gagasan bilangan asli 1, 2, 3, … sudah lahir. Dan, sesungguhnya semesta

sudah cukup menyediakan satu-satunya modalnya, yakni gagasan

bilangan asli. Sesungguhnya, cukup dengan modal bilangan asli itu

sajalah kemudian matematika dibangun kebudayaan manusia di berbagai

tempat melalui rangkaian peradabannya sampai detik ini. Oleh

karenanya, sangat wajar jika matematika disebut sebagai sebuah hasil

peradaban manusia serta bukti keagungan kebudayaan manusia sejak

awal kehidupan.

Matematika mungkin satu dari tak banyak disiplin yang memang

mempelajari objek buatan manusia semata, serta bebas dari faktor alam.

beberapa beberapa

4.3 Penyiapan Matematikawan Mendatang .................................... 35

4.4 Matematika untuk Semua di Indonesia ..................................... 36

5. PENUTUP .............................................................................................. 43

6. UCAPAN TERIMA KASIH .................................................................. 44

BAHAN RUJUKAN ................................................................................... 49

CURRICULUM VITAE .............................................................................. 55

2 3

Manusia dengan kebudayaannya selama kurang lebih tiga milenia telah

berhasil membangun sebuah matematika sampai pada taraf seperti

sekarang hanya bermodalkan gagasan bilangan asli saja.

Kalau demikian, pertanyaan logis selanjutnya adalah, apakah benar

matematika diciptakan oleh manusia? Dengan kata lain, apakah manusia

memang punya kebebasan mutlak dalam menciptakan matematika?

Apakah mungkin manusia menciptakan matematika benar-benar

berdasarkan kehendak bebasnya semata, bebas dari pengaruh apapun

dari semesta? Pertanyaan ini sangat wajar dipertanyakan. Namun, fakta

yang ada menunjukkan bahwa walaupun banyak gagasan matematika

diciptakan oleh manusia-manusia yang saling tak pernah saling bertemu,

tak terhubung secara demografis dan juga hidup pada masa yang tak

bersamaan, gagasan-gagasan tersebut saling berkaitan. Sejarah

matematika menunjukkan bahwa gagasan-gagasan matematika ternyata

saling terkait. Banyak gagasan yang pada awalnya diciptakan manusia

secara saling terlepas, ternyata terhubung melalui suatu persamaan yang

umumnya sangat sederhana.

Sebagai ilustrasi bagaimana gagasan matematika yang diciptakan

secara independen oleh manusia yang tak saling kenal dengan tempat

yang berjauhan serta masa yang juga sangat berbeda adalah bilangan

bulat, konstanta , bilangan natural/alamiah , bilangan kompleks, dan

bilangan nol. Semua bilangan dan konstanta ini adalah buatan manusia.

Diciptakannya bilangan-bilangan ini juga saling bebas pada masa yang

� e

berbeda. Namun, dalam rumus Euler, yang sudah diakui sebagai rumus

matematika terindah, semua bilangan dan konstanta tersebut dapat

ditunjukkan saling terkait dalam sebuah persamaan yang sangat

Ini sangat mencengangkan, karena dapat diamati bahwa bilangan-

bilangan: alamiah , bilangan kompleks , konstanta , dan nol, yang

semuanya merupakan ciptaan manusia yang tak saling kenal itu ternyata

terhubung dengan sederhana dan cermatnya. Dan, juga harus disadari

bahwa keterkaitan bilangan-bilangan ciptaan manusia tersebut juga

melibatkan bilangan asli 1 yang bukan ciptaan manusia. Ilustrasi ini yang

merupakan salah satu alasan sekelompok matematikawan berkeyakinan

bahwa matematika ditemukan, bukan diciptakan. Kelompok terakhir ini

beranggapan bahwa tak mungkin matematika diciptakan secara benar-

benar acak dan bebas, hanya berdasarkan pemikiran manusia semata.

Kelompok ini yakin bahwa sebenarnya di semesta ini sudah di

dalamnya matematika. Hanya satu saja matematika yang mungkin di

semesta ini. Sebenarnya, manusia dengan kecakapan bernalarnya hanya

tinggal menemukannya saja. Artinya, seorang matematikawan yang

menciptakan gagasan baru, jika sahih dan tak bertentangan dengan

gagasan lain, maka yang dapat dikatakan adalah mereka sebenarnya

menemukan apa yang memang sudah ada dalam semesta. Mereka tidak

benar-benar menciptakan secara murni. Dengan sudut pandang bahwa

matematika ditemukan ini lah, akan dijabarkan di sini karya dari penulis

e i

built-in

satu

�

Walaupun pada awalnya juga melihat

matematika dari sisi manfaatnya dalam

kehidupan sehari-hari, akhirnya mereka

melihat kegiatan bermatematika sebagai

sebuah atau kegiatan yang menye-

nangkan serta dipelajari karena keindah-

annya. Sebagian dari matematikawan ini

bermatematika untuk atau untuk matematika itu sendiri.

Matematikawan saat itu sudah memandang kegiatan bermatematika

sebagai sebuah kegiatan intelektual manusia guna menjawab

keingintahuan yang dirumuskan dalam gugusan rantai pertanyaan yang

dibuatnya sendiri.

Seperti saudari kandungnya, yaitu seni yang di abad 19 telah

menginisiasi upaya memuliakan semangat berkesenian dengan

, di matematika ada pula semangat sejenis: .

Tentunya, agak beda dengan seni, matematika sangat menonjol persepsi

pemanfaatannya. Keadaan ini merupakan berkat sekaligus “bencana”

bagi matematika. Dikatakan berkat, karena orang sadar perlunya belajar

matematika. Dikatakan bencana, karena begitu bermanfaatnya,

masyarakat awam seringkali memandang matematika sebagai alat

semata, malah seringkali mereduksinya menjadi sekedar kegiatan

berhitung. Masyarakat awam, bahkan mungkin saintis dan rekayasawan

yang memang sangat memanfaatkan matematika dalam pekerjaannya

leisure

its own sake

l’art pour

l’art math for math’s sake

ini untuk menemukan matematika dalam teori kontrol serta melihatnya

sebagai sebuah upaya menyatukan matematika. Penulis melalui

penelitiannya, sifat-sifat dalam teori kontrol, bukan

.

Dalam kehidupan sehari-hari matematika sangat berperan mutlak.

Dari kegiatan keseharian manusia di tataran paling rendah sampai tataran

tinggi seperti teknologi, matematika senantiasa berperan penting. Ini

berarti bahwa dari sisi fungsinya, matematika serta kebermatematikaan-

nya telah menyatu dengan kehidupan. Lebih daripada itu, manusia sudah

tergantung pada fungsi matematika. Hampir mustahil hidup sehari tanpa

menggunakan matematika saat sekarang ini. Jadi, bahwa matematika

sangat bermanfaat bagi kehidupan bukan suatu hal aneh. Fungsi atau

manfaat ini lah yang merupakan satu sisi dari matematika. Namun, ini

sebenarnya bukan gambaran tentang matematika dan bermatematika

secara utuh.

Matematikawan Yunani dengan tradisinya, dari abad ke-tujuh SM

sampai abad ke-empat Masehi, sangat unik dalam meletakkan

matematika ke dalam kebudayaannya. Para pendeta Hindu di India dan

pedagang diArab dan Persia melihat bermatematika sebagai sesuatu yang

bermanfaat untuk berdagang dan matematika dipelajari karena

manfaatnya. Namun, tidak demikian dengan matematikawan Yunani.

menemukan

menciptakan

1.2 Peran Matematika dalam Kebudayaan Manusia Modern

4 5

… dalam perasaan kekurangan

benda itu penulis banyak

mendapatkan benda pada ilmu

tak berbenda, pada

matematika ini.

Tan Malaka

ulang tahunnya yang ke-90 (Gelfand, 2006).

Beliau menyatakan bahwa seperti musik

(klasik), inti matematika adalah gabungan

dari empat hal: keinda-han, ketepatan,

kesederhanaan, dan gagasan liar. Sebenar-

nya tidak saja dalam musik dan mate-

matika, empat hal tersebut terwujud pula

dalam dunia seni rupa modern. Misalnya, litografi “Bull, State XI” dan “La

Femme”, karya Pablo Picasso, serta “L’escargot”, karya Henri Matisse,

sangat jelas menggambarkan 4 ciri tersebut. Karya “Bull” juga dibahas

(Wagensberg, 2004) dan disinggung pula bahwa proses abstraksi di seni

sangat mirip abstraksi di matematika dan sains. Karya-karya seni tersebut,

seperti juga gagasan-gagasan matematika yang baik selalu memiliki

unsur kesemestaan (mendasar dan mencakup luas), ketepatan (tidak

lebih, tidak kurang), kesederhanaan (mudah dipahami), di luar kebiasaan,

dan menyatukan perasaan dan kecerdasan.

Dalam proses abstraksi, berkesenian dan berkematematikaan melalui

tahapan-tahapan yang jelas sekali sejalan. Dalam berkesenian, Pablo

Picasso mengatakan:

Pernyataan yang disampaikan Picasso ini sama dan sebangun dengan

To arrive at abstraction, it is always necessary to begin with a concrete reality . . . .

You must always start with something. Afterward you can remove all traces of

reality . . . (Picasso di Roots-Bernstein et al, 2003)

6 7

akan mempersepsi matematika dari sudut manfaat semata.

Perguruan tinggi ITB memiliki tradisi panjang sebagai salah satu

episentrum pengembangan sains, teknologi, dan seni. Seringkali menjadi

bahan perenungan penulis, sebenarnya di antara tiga kelompok itu, di

manakah tepatnya letak matematika? Jelas matematika bukan bagian dari

atau IPA. Meski matematika

juga kadang termotivasi oleh hasil

pengamatan fenomena nyata, tetapi

umumnya lebih termotivasi oleh penga

matan pola dalam tataran gagasan. Mate

matika juga tidak menerima pembuktian

empirik seperti di sains alam. Lalu,

bagaimana dengan teknologi? Benar bahwa teknologi sangat tergantung

pada matematika, namun jelas sekali bahwa matematika bukan salah satu

dari teknologi itu. Oleh karenanya, wajarlah dan perbolehkan penulis

dalam eksposisi ini kerap memandang dan meletakkan matematika di

dalam kelompok terakhir. Terutama, argumen terkuat untuk ini adalah

karena keduanya studi terhadap gagasan dan cara mengungkapannya.

Lebih daripada itu, matematika dan seni memiliki banyak kesamaan.

Seperti yang dikatakan pakar topologi diferensial Marston Morse, bahwa

matematika dan seni sama-sama disentuh oleh kecerdasan dan

“kesintingan” atau keberanian berpikir total di luar kewajaran.

Pendapat senada dikemukakan Israel M. Gelfand di pidato perayaan

natural sciences

-

-

But mathematics is the sister, as

well as the servant, of the arts

and is touched by the same

madness and genius.

Marston Morse

The combination of these four

things: beauty, exactness,

simplicity and crazy ideas is

just the heart of mathematics,

the heart of classical music.

Israel M. Gelfand, in the Unity

of Mathematics.

proses abstraksi dalam bermatematika. Perumusan gagasan matematika

juga mulai dengan pengamatan terhadap pola yang ditangkap oleh

pikiran, bukan realita yang ditangkap panca indra. Jadi, apakah

matematika beda dengan seni yang selalu berangkat dari realita?

Pertanyaan yang perlu dijawab kemudian

adalah apa yang disebut “realita” atau

“ada” di dunia matematika? Jika realita

diharuskan ada wujud nyata yang dapat

ditangkap panca indra, maka di mate

matika tidak ada realita. Tetapi, jika

mengikuti pendapat Picasso, bahwa semua

hal yang dapat diimajinasikan pikiran

manusia adalah nyata, maka bermatematika

juga berangkat dari “realita”. Sebagai ilustrasi, barisan bilangan seperti

barisan Fibonacci {1,1,2,3,5,8,…} sudah cukup atau nyata di

matematika. Jadi, jika disepakati bahwa apa yang dapat dipikirkan dan

tak mengakibatkan kontradiksi dikatakan nyata, memang proses

abstraksi di berkesenian dan berkematematikaan sungguh-sungguh

sejajar. Karakteristik penting dalam proses abstraksi yang sama dan

sebangun dengan berkesenian ini lah yang justru kerap diabaikan dalam

penelitian dan bahkan dalam praktik pendidikan matematika.

Perlu dicatat pula bahwa salah satu hakikat bermatematika adalah

sebagai sebuah seni menjalin kesimpulan yang didasarkan pernalaran,

-

real

8 9

bukan panca indra. Malahan, lima indra konvensional kita diharapkan

tidak “mengganggu” atau “menipu” dalam penarikan kesimpulan ini.

Penjalinan kesimpulan itu diharapkan bergantung pada pernalaran

deduktif semata. Sebagai ilustrasi, benar bahwa matematikawan

menyajikan gagasan matematika mungkin melalui gambar. Namun,

sangat tabu untuk menyimpulkan berdasarkan gambar tersebut. Dengan

gambar yang sangat akurat pun, seorang yang belajar geometri tak boleh

menyimpulkan tegak lurusnya sudut berdasar gambar itu. Seorang

adalah orang yang tak ingin tertipu oleh gambar, dan geometri

adalah studi tentang objek yang tidak dapat digambar atau gambarnya

buruk. Dan, secara umum, matematikawan adalah orang yang mengkaji

gagasan melalui pernalarannya, tetapi tak mau tertipu oleh panca

indranya.

Hakikat matematika serta kebermatematikaan adalah sebuah

keutuhan beberapa sisi sekaligus. Hakikatnya mencakup sisi manfaat

dalam kehidupan serta sisi pengembangan matematika sendiri dengan

sudut pemuasan keingintahuan manusia, , dan estetika. Dengan

dasar angan-angan itu lah, eksposisi ini dibangun dan dikembangkan.

Sejak masa purba, yakni pada era atau pemulung/pemburu,

manusia pada dasarnya sudah berupaya mengendalikan lingkungannya,

geometer

leisure

gatherer

2. TEORI KONTROL DARI SIFAT ALAMI MANUSIA

Mathematics is independent of

the existence of material

objects; in mathematics the

word exist can have only one

meaning, it means free from

contradiction.

Henri Poincaré, dikutip di

(McLarty, 1997)

10 11

serta berupaya membuat kehidupannya lebih baik/nyaman. Manusia

pada dasarnya memiliki sifat alaminya untuk senatiasa hendak

mengendalikan keadaan di sekelilingnya. Dalam dunia pertanian,

misalnya, hama tanaman ingin dikendalikan manusia sejak jaman dahulu.

Dengan berbagai cara, hama tanaman hendak dikendalikan sehingga

hasil pertaniannya semakin baik dan banyak.

Karena sifat alami manusia yang ingin mengendalikan lingkungan-

nya tersebut, teori kontrol atau teori kendali merupakan sebuah disiplin

yang menyatu dengan karakteristik alami manusia. Namun, studi formal

tentang teori kontrol dalam rekayasa dan matematika baru dimulai

dengan pendekatan modern dimulai oleh James C. Maxwell (1831-1879),

Edward J. Routh (1831-1907), dan Adolf Hurwitz (1859-1919) pada akhir

abad 19. Sedangkan pemanfaatan teori kendali secara berarti, pertama kali

adalah saat Wright bersaudara menerbangkan pesawat udaranya pada 17

Desember 1903. Selanjutnya, pada Perang Dunia II, peranan teori kendali

semakin besar, dengan dimanfaatkannya ke dalam persenjataan,

elektronika, dan sistem navigasi.

Dari sisi gagasan matematika dalam teori kontrol, Maxwell juga

termasuk yang pertama kali menggunakan pendekatan domain-waktu.

Model sistem kontrol yang melibatkan persamaan diferensial dan sangat

padat dengan kalkulus infinitesimal buatan Leibniz dan Newton dimulai

masa itu. Dalam studinya, Maxwell mempelajari kestabilan sistem.

Sungguh menarik untuk dicatat pula bahwa saat itu, Maxwell telah

berhasil melinearkan sistem guna mengkaji kestabilannya. Kemudian,

Alexander Lyapunov memformalkan hasil Maxwell dan merumuskannya

dengan lebih baik.

Gagasan optimisasi dimulai oleh Johann Bernoulli (1667-1748).

Walaupun perumusannya bukan sebagai sistem kontrol eksplisit, tetapi

sebagai kalkulus variasi, masalah kontrol optimum muncul pada masa itu.

Masalah optimasi Brachistochrone yang dipecahkan oleh Newton secara

anonim dapat dipandang sebagai sebuah keberhasilan kalkulus untuk

menyelesaikan permasalahan optimisasi yang terkait dengan mekanika.

Kemudian, temuan yang gemilang dan elegan dibuat oleh Lev Pontryagin

dengan dirumuskannya Prinsip Maksimum Pontryagin yang merupakan

sebuah instrumen penting dalam kontrol optimum untuk sistem tak

linear.

Era modern dalam teori kontrol dapat dikatakan terjadi saat mulainya

perumusan sistem kontrol yang melibatkan entitas atau keadaan oleh

Rudolf Kalman pada tahun 1960an. Dengan entitas keadaan ini yang

merupakan jembatan antara masukan dan keluaran, Kalman merumus

kan sistem kontrol serta permasalahannya secara formal. Pendekatan dan

argumen Kalman padat dengan gagasan aljabar linear. Beliaulah yang

merumuskan gagasan keterkontrolan, keterobservasian, serta dualitasnya

secara akurat.

2.1 Sistem Kontrol Linear Dimensi Hingga: Pendekatan Geometri

state

-

12 13

membawa keadaan awal dari sistem semula ke keadaan setimbang dalam

waktu

yang didefinisikan sebagai

2.2

14 15

parsial. Sebagai ilustrasi, sistem DPS berikut memberikan gambaran Di sini, adalah subhimpunan relatif buka dari batas domain .� ��

16 17

2.3 Sistem Berparameter Terdistribusi Tak Konservatif

Sistem DPS seperti yang melibatkan persamaan gelombang atau

getaran batang Euler-Bernoulli semuanya punya sifat dasar yang sangat

mendasar, yakni energi totalnya konservatif atau konstan. Secara

matematika, ini artinya dapat ditemukan suatu fungsi positif yang

konstan terhadap waktu. Akibatnya, penurunan serta pembuktian

ketaksamaan di atas untuk sistem konservatif relatif mudah.

Mulai pada penelitian di jenjang Ph.D. di University of Toronto,

Canada, dilanjutkan penelitian post-doctor di Laboratoire de Topologie,

Université de Bourgogne, Perancis, penelitian penulis (Pranoto, 2001,

2002, 2004) fokus pada sistem berparameter terdistribusi yang tidak

konservatif. Khususnya, penulis mengkhususkan mengkaji sistem

berparameter terdistribusi yang melibatkan gelombang pada membran,

getaran batang, dan getaran lamina yang dipengaruhi aliran fluida

terhadapnya. Pengaruh ini dalam dunia rekayasa sering terjadi, seperti

fenomena di sayap pesawat terbang dan getaran pada pipa-pipa

yang mengalirkan cairan dengan kecepatan tinggi.

Kompleksitas sistem tak konservatif seperti di atas membuat

penurunan dan pembuktian sifat keterkontrolan eksaknya lebih rumit.

Kecuali itu, pada sistem konservatif dengan kecepatan propogasi hingga,

seperti persamaan gelombang, waktu yang dibutuhkan untuk

mengendalikan keadaan ke keadaan setimbang dapat ditentukan secara

eksak sebagai sebuah besaran tertentu. Namun, pada sistem tak

konservatif, jaminan ini sulit diberikan. Melalui penelitian-penelitian

penulis, ditemukan bahwa masih mungkin mengendalikan secara eksak

dan besaran waktu yang dibutuhkannya juga tetap ada, asalkan pengaruh

luarnya masih “beraturan”.

Kemudian, penulis juga melakukan sejumlah penelitian yang terkait

dengan berbagai DPS linear dan semi-linear. Permasalahan yang diselidiki

juga sejenis permasalahan kebalikan. Secara ringkas, dalam beberapa

penelitian akhir ini, penulis melakukan kajian tentang metode untuk

menentukan kembali suatu masukan atau kontrol yang diterapkan pada

suatu sistem, jika pengamatan pada keluarannya dimiliki secara lengkap.

Melalui beberapa paper (Pranoto, 2004, 2009a, 2009b), penulis

flutter

18 19

menunjukkan bahwa sebagian informasi dari masukan yang sudah

diterapkan pada DPS masih dapat ditentukan kembali, asalkan waktu

yang tersedia cukup. Syarat cukup untuk kasus ini melibatkan posisi

relatif dengan batas domain bersifat geometris, bukan topologi, dan

ini sama dengan syarat keterkontrolan eksak.

Langkah perumuman yang dilakukan beberapa pakar teori kontrol,

pakar analisis fungsional, serta pakar persamaan diferensial parsial

dengan membangun sistem kontrol dengan ruang keadaan berdimensi

tak hingga di DPS juga terjadi pada kelompok pakar lain. Beberapa pakar

teori kontrol lain bersama pakar geometri diferensial memperumum

sistem kontrol ala Kalman dengan sudut pandang geometri diferensial.

Melalui estetika dan kesemestaan analisis global serta gagasan grup dan

aljabar Lie, formalisme sistem kontrol tak linear dirumuskan dengan tata

bahasa yang sangat berbeda dengan DPS.

Melalui pendekatan elegan ini, yang secara bersamaan ternyata

sangat sesuai dengan pemanfaatannya dalam dunia robotika, mekanika,

dan navigasi, yang memang umumnya tidak linear dan tidak boleh

dilinearisasi, sistem kontrol secara umum dapat dirumuskan sebagai

keluarga medan vektor pada suatu manifold. Dengan pengertian dan

lambang di Geometri Diferensial, sistem kontrol pada manifold

dipandang sebagai keluarga medan vektor mulus pada manifold .

� ��

2.4 Teori Kontrol Geometri

M

M

Permasalahan keterkontrolan sekarang menjadi pertanyaan mendasar di

geometri dan persamaan diferensial parsial, yakni apakah submanifold

integral dari keluarga medan vektor itu sama dengan . Dari sebuah titik

apakah dapat menuju titik lain?

M

Kemudian, Jurdjevic dkk mulai 1990an memusatkan studinya pada

20 21

kontrol optimum pada grup Lie (Jurdjevic, 1997). Perumusannya menjadi

lebih estetis dan sederhana. Kecuali itu, ternyata banyak masalah-masalah

mekanika klasik seperti masalah elastika Euler dan Kirchoff serta

Caratheodory yang secara alami ternyata mempunyai ruang fasa berupa

grup Lie. Lebih dari itu, masalah-masalah robotika modern juga memiliki

ruang keadaan yang berupa grup Lie atau ruang dari

grup isometri dan ruang manifoldnya. Kemudian, masalah pencarian

lintasan terpendek dalam geometri (geodesik) dan lintasan optimum

dalam mekanika dapat dipandang sebagai satu masalah, yakni kontrol

optimum. Lebih menariknya lagi, melalui penerapan Prinsip Maksimum

Pontryagin (PMP) dengan sistem Hamiltonnya dapat ditemukan kembali

solusi-solusi klasik dari masalah-masalah geometri/mekanika.

Dengan cara pandang ini, geometri Riemann menjadi masuk akal

untuk dikembangkan menjadi geometri SubRieman, yang secara alamiah

menggambarkan masalah kontrol optimum dan sistem mekanika non-

holonomik. Yang dalam geometri Riemann, metrik didefinisikan secara

eksplisit pada seluruh , yakni adanya perkalian dalam

pada setiap ruang singgung , namun dalam geometri SubRiemann,

metrik didefinisikan hanya pada suatu distribusi (subruang) dari

tersebut. Harus disampaikan bahwa awal ketertarikan terhadap

geometri SubRiemann ini dimulai pada saat meneliti di Fields Institute,

Canada, dan kemudian saat belajar dengan Prof. B. Bonnard di Université

de Bourgogne, Dijon, Perancis. Salah satu yang dikaji penulis tentang

semi direct product

tangent bundle TM

T M

tangent

bundle

x

geometri SubRiemann ini adalah sistem Heisenberg. Keluarga medan

vektor sistem kontrol ini yang hanya membangun secara linear

subruang berdimensi 2, padahal ruang singgungnya berdimensi 3,

menggambarkan situasi dengan metrik yang hanya didefinisikan pada

suatu subruang dari ruang singgung. Ini situasi yang analog dengan

pengendalian mobil kita yang ruang keadaannya adalah manifold

berdimensi 3 (posisi dan orientasi ), padahal yang dapat

dikendalikan hanya dua medan vektor: stir dan maju-mundur. Dengan

memandangnya sebagai suatu sistem kontrol, permasalahan mencari

lintasan terpendek atau geodesik di geometri menjadi permasalahan

kontrol optimum yang dapat diselesaikan dengan mekanisme PMP.

Penulis selanjutnya mengembangkan ini untuk sistem multi-agen.

Di alam, banyak jenis mahluk yang biasanya hidup bergerombol,

seperti burung angsa liar, semut, ikan hering, dan yang lain menunjukkan

perilaku dan kecerdasan yang menarik. Sebagai sebuah koloni, hewan-

hewan tersebut menunjukkan perilaku kolektif yang terkoordinasi,

walaupun sebenarnya tidak ada satu hewan pun yang didedikasikan

sebagai pemimpin. Kawanan burung angsa, misalnya, pada saat terbang

bersama berusaha membentuk formasi terbang seperti huruf “V” yang

terbalik. Pakar biologi Henri Weimerskirch (Weimerskirch, 2002)

menyelidiki perilaku burung dan menemukan bahwa ternyata dengan

(linear

span)

(x,y) �

2.5. Rekacipta Kendali Sistem Banyak Agen dengan Inspirasi Swarm

22 23

formasi terbang tersebut, burung-burung tersebut dapat menurunkan

detak jantungnya dan lebih sering meluncur, sehingga lebih ringan dan

energi yang dibutuhkan berkurang. Demikian pula ikan hering yang

bergerombol berenang memberikan keuntungan, karena atau

hambatan yang dialami ikan di bagian belakang berkurang. Keuntungan

yang diperoleh secara keseluruhan jauh lebih besar dibanding jika

masing-masing terbang atau berenang sendiri. Ini ciri khas dari perilaku

gerombolan binatang di alam yang dikenal dengan sebutan .

Kecuali itu, kecerdasan dari binatang yang bergerombol, seperti semut

misalnya, secara individu sangatlah terbatas. Namun demikian, secara

kolektif, kawanan semut itu memiliki kecerdasan kolektif sehingga dapat

menyelesaikan permasalahan yang relatif sangat besar. Di sini, satu

prinsip penting yang dimiliki adalah kecerdasan individu boleh

sederhana, tetapi kecerdasan kolektifnya sangat tinggi.

Di dunia navigasi, seringkali situasi menghendaki untuk mengen-

dalikan banyak wahana sekaligus. Misalnya, kapal memandu kapal

tanker di laut yang berbatu karang, konvoi kapal perang, atau sejumlah

pesawat terbang militer bermanufer dengan formasi tertentu. Jadi, selain

memindahkan sekumpulan wahana dari satu tempat ke tempat lain,

dituntut pula saat perpindahannya kumpulan wahana tersebut

membentuk formasi tertentu dengan “biaya” sekecil mungkin.

Dengan motivasi perilaku di alam serta kebutuhan navigasi,

penulis bersama Dr. Hari Muhammad, Dr. Janson Naiborhu, dan Dr.

drag

swarm

swarm

swarm

Dimitri Mahayana membimbing dua mahasiswa S3 melakukan penelitian

mendesain kontrol untuk sistem kontrol dengan agen banyak (Tjahjana et

al, 2006, 2007, 2008, 2009). Sama dengan prinsip kecerdasan swarm yang

secara individu sederhana, tetapi secara kolektif sangat canggih, dalam

penelitian ini, perumusan kontrol tiap agen dijaga tetap sederhana tetapi

menyelesaikan tugas yang diminta.

Peneliti lain fokus pada cara pandang sebagai sebuah sistem

dinamik yang dikaji sifat-sifatnya, seperti kestasioneran pusat swarm-nya.

Sangat beruntung salah satu mahasiswa S3 penulis, yakni Dr. Miswanto,

dapat meneliti dengan salah satu pencipta model swarm Dr. Veysel Gazi.

Pakar yang pada tahun 2010 bekerja di TOBB University of Economics and

Technology di Ankara ini bersama Kevin M. Passino merumuskan model

dengan agen sebagai berikut.

swarm

swarm M

dan konstanta positif yang merupakan karakteristik koloni tersebut.

Jika model swarm semula seperti di atas relatif berkumpul di suatu lokasi

tertentu, kami mengembangkan model swarm untuk situasi di mana

koloni tersebut perlu berpindah jauh dan menelusuri sebuah lintasan

yang diberikan secara bersama-sama atau dapat ditafsirkan sebagai

“mengejar suatu mangsa”. Pengembangan model ini tentunya wajar,

karena motivasi awalnya untuk menerapkan gagasan swarm ini untuk

a,b,c

24 25

masalah navigasi yang jelas masalahnya adalah memindahkan

sekumpulan wahana dari satu tempat ke tempat lain yang relatif jauh. Di

(Miswanto, 2007a, 2007b, 2010, 2011) dirumuskan model matematika

untuk banyak agen yang menelusuri lintasan . Salah satunya sebagai:�

Di sini, lambang adalah konstanta positif. Dalam penelitian itu

ditunjukkan bahwa pusat menelusuri lintasan tersebut dan koloni

secara bergerak mengumpul pada lintasan tersebut.

Yang perlu dicatat, perumusan model di atas tetap mengikuti prinsip

utama , yakni “kecerdasan” individu harus terbatas. Ini kami

tafsirkan bahwa perumusan aturan kendali untuk setiap agen haruslah

sederhana dan komputasinya sedikit. Penelitian pada pemanfaatan di

dunia transportasi dan militer terbuka lebar.

Masalah multi-agen lain yang diteliti kami adalah masalah

perancangan kontrol untuk mengendalikan gerombolan wahana dari satu

tempat ke tempat lain yang relatif jauh, dengan suatu tuntutan bahwa

selama perpindahan tersebut, para anggota swarm tersebut harus

membentuk suatu formasi geometri tertentu. Ini dikerjakan dalam

pembimbingan mahasiswa S3, yakni Heru Tjahjana (Tjahjana et al, 2006,

2008, 2009). Antara lain, direkacipta kontrol untuk banyak kapal

berpindah dari satu tempat ke tempat lain dengan formasi huruf V

terbalik, mirip dengan formasi kumpulan burung terbang bersama.

p

swarm

swarm

Dengan PMP, masalah kontrol optimum dengan posisi awal dan akhir

serta waktu ditentukan, diubah menjadi sistem Hamilton yang terdiri dari

sepasang persamaan diferensial. Persamaan pertama atau,

tepatnya, syarat batas yang diberikan berlebihan, karena syarat awal dan

akhir diberikan. Namun, pada persamaan kedua tidak memiliki syarat

batas apapun. Untuk beberapa sistem mekanika klasik, misalnya kereta

Dubins atau elastika, sistem Hamilton ini dapat diintegralkan secara

lengkap dan ditemukan solusi analitis dalam bentuk . Namun,

penulis fokus untuk model-model sistem multi-agen yang hampir

semuanya tidak terintegralkan secara lengkap. Untuk itu, penulis bersama

beberapa peneliti lain mengembangkan algoritma numerik untuk

menyelesaikan masalah klasik ini. Ini merupakan hasil samping dari

penelitian sistem kontrol banyak agen yang kami lakukan. Secara ringkas,

masalah klasik tersebut diterjemahkan menjadi masalah optimasi dan

kemudian secara iterasi dengan berbagai metode optimasi, masalah di

atas ditentukan pendekatan solusinya (Tjahjana et al, 2007).

Selanjutnya, jika dalam fenomena dan perumusan skenario di

atas dengan masalah memindahkan koloni wahana dari satu tempat ke

tempat lain dengan membentuk formasi geometri tertentu, saat sekarang

penulis meneliti fenomena lain, yang kami sebut . Di sini,

berbeda dengan memindahkan kumpulan wahana dari satu tempat ke

tempat lain dengan saling berdekatan, dalam situasi justru

skenarionya menghendaki pemindahan banyak wahana yang berdekatan

overdetermined

closed form

swarm

un-swarm

un-swarm

26 27

pada saat awal dan akhir, tetapi mereka harus saling berjauhan pada saat

bergerak. Skenario ini relevan di dunia militer, yang seringkali harus

memindahkan kendaraan, pesawat, kapal, serta senjata ke tempat lain

dengan aman dari serangan musuh. Dengan , untuk

melumpuhkannya butuh strategi kompleks.

Pada tahun 1995, Kennedy dan Eberhart membangun sebuah teknik

komputasi yang diinspirasi oleh fenomena . Teknik komputasi ini

disebut sebagai , disingkat PSO. Dengan

diimajinasikan sebagai komunitas semut yang sedang mencari lokasi

sumber makanan, algoritma ini memanfaatkan banyak agen yang

menggambarkan posisi masing-masing semut. Dengan pengetahuan

setiap semut terhadap “kadar” makanan di lokasinya dibagikan ke semut

lainnya, setiap semut akan bergerak mengikuti gabungan kecenderungan

“pribadi”nya dan perilaku koloni semut lainnya. Pengembangan

algoritma sejenis ini berkembang maju.

Salah satu penerapan yang relevan dan dikembangkan dalam

penelitian kami adalah pemanfaatan PSO untuk memecahkan masalah

klasik penyelesaian sistem Hamilton yang merupakan produk dari

penerapan PMP pada masalah kontrol optimum. Kemudian, mulai tahun

2011, pemanfaatan PSO ini kami kembangkan untuk menyelesaikan

masalah yang mirip interpolasi. Beberapa hasil akan disajikan di tahun

un-swarm

swarm

Particle Swarm Optimization

2.6. Optimisasi dengan Algoritma Berdasarkan Perilaku Swarm

2012 ini. PSO banyak dimanfaatkan pada permasalahan pembuatan

keputusan di dunia industri.

Jika membahas upaya penyatuan matematika, mau tak mau nama

Henri Poincaré (1854-1912) harus disinggung. Dapat dikatakan bahwa

Poincaré adalah matematikawan terakhir yang memiliki visi, kemam-

puan, dan berhasil menyatukan matematika, setidaknya beberapa bidang

matematika inti. Poincaré menyederhanakan dan mengorganisir untuk

menyatukan gagasan persamaan diferensial, mekanika, teori fungsi

kompleks, dan teori grup. Terobosan gagasannya disertai intuisinya

dalam topologi yang begitu mendasar berhasil mengungkap kesatuan

antarbidang matematika tersebut.

Mulai akhir abad 20 sampai sekarang di penghujung abad 21, upaya

penyatuan matematika masih diimpikan. Ada bidang matematika yang

memang kental melibatkan berbagai cabang matematika. Bidang seperti

geometri diferensial secara alamiah melibatkan tiga cabang inti

matematika, yakni analisis, aljabar, dan topologi (Hermann, 1980).

Upaya “penyatuan” geometri oleh Felix Klein dengan

-nya, juga perlu dicatat sebagai sebuah usaha untuk menyatukan

matematika. Dengan simplifikasi gagasan geometri sebagai sebuah

3. PENYATUAN MATEMATIKA MELALUI TEORI KONTROL

3.1 Sekilas Upaya Penyatuan Matematika

Erlangen

Program

28 29

tindakan sebuah grup Lie pada manifold, program Erlangen berupaya

mendata semua geometri dengan menemukan grup dan manifold yang

sesuai untuk setiap geometri. Perumusan ini memiliki empat ciri seperti

yang disampaikan Gelfand sebelumnya, yakni indah, sederhana, tepat,

dan punya sisi “kesintingan”, menerobos melewati kewajaran yang

dibatasi waktu dan ruang. Sampai sekarang gagasan Klein ini masih

dianggap sebuah terobosan yang memiliki dampak kesemestaan yang

luas. Bahkan pelajaran geometri bidang di sekolah menengahpun

dipengaruhi oleh terobosan cara pandang ini.

Saat sekarang teori kontrol telah meluas bukan saja dalam

pemanfaatannya, tetapi juga sebagai sebuah disiplin sendiri di

matematika yang berkembang meluas dan mendasar. Dalam perkem-

bangannya ke dalam, teori kontrol geometri dan DPS secara alamiah

banyak memanfaatkan dari analisis fungsional, geometri, dan

topologi. Ini dapat dilihat sebagai satu penyatu matematika.

Pada pengembangan DPS, bidang analisis fungsional,

, persamaan diferensial parsial, geometri diferensial, dan statistika

menjadi menyatu. Permasalahan-permasalahan klasik dalam analisis

fungsional menjadi relevan, karena ada tafsirannya pada sistem kontrol.

Sebaliknya, gagasan-gagasan dalam teori kontrol umum seperti

keterkontrolan, keterobservasian, keter-realisasi-an, dan kestabilan

machinery

micro local

analysis

3.2 Teori Kontrol dalam Matematika dan Penerapannya

diterjemahkan menjadi permasalahan dalam persamaan diferensial

parsial, analisis, dan aljabar. Sejalan dengan ini, pengembangan teori

kontrol dimensi hingga pun menjadi semakin dalam, karena sifat-sifat

sistem kontrol linear berdimensi hingga yang klasik yang sudah mapan,

sekarang dipandang sebagai suatu hal khusus dari sifat yang lebih umum.

Secara sederhana, dengan situasi ini, sifat-sifat teori kontrol klasik

menjadi hal khusus dari pengembangan teori kontrol untuk sistem

berdimensi tak hingga, seperti sistem berparameter terdistribusi ini.

Kecuali itu, pengembangan teknik numerik untuk permasalahan

kontrol eksak pada DPS juga mulai berkembang pesat di dua tahun

terakhir ini (Ervedoza dan Zuazua, 2012). Permasalahan numerik untuk

DPS tidak sederhana, karena para peneliti ingin mempertahankan

gagasan keterkontrolan eksak pada ruang fungsi yang berdimensi tak

hingga. Padahal metode numerik konvensional untuk persamaan

diferensial parsial umumnya mengaproksimasi solusi eksak.

Sedangkan pada pengembangan teori kontrol geometri, berbagai

bidang studi di matematika, seperti teori grup Lie, geometri simplektik,

geometri sub-Riemann, aljabar, mekanika, dan kalkulus variasi menjadi

menyatu dengan alami. Keadaan seperti ini tentunya baik bagi

matematika sendiri, karena pengembangan matematika ke dalam yang

tadinya cenderung sangat spesialis menjadi kembali utuh. Hal yang sama

juga terjadi pada Geometri Sub-Riemann yang tadinya pengembangannya

didasarkan murni sebagai generalisasi geometri Riemann atau rasa

30 31

keingintahuan semata, menjadi sangat relevan untuk dikembangkan.

Pengembangan ini juga membantu pemahaman pada mekanika.

Khusus di Indonesia, pengembangan teori kontrol di masa depan

membutuhkan banyak matematikawan dan rekayasawan muda dengan

pemahaman aljabar, topologi, analisis fungsional, geometri diferensial,

dan metode komputasi yang luas, utuh, dan mendalam. Untuk memung-

kinkan pengembangan bidang teori kontrol ini, mutu pendidikan

matematika sekolah, khususnya proses bermatematika di pendidikan pra-

universitas, perlu dibenahi.

Penerapan teori kontrol dan matematika umumnya di dunia industri

dan juga Hankam terbuka sangat lebar di Indonesia. Hal ini penulis

rasakan pada saat membantu Ir. Jusman S. Djamal di PT DI (dahulu IPTN.)

Kecuali membantu industri, hal seperti ini akan memberikan sudut

pandang baru dan kaya bagi seorang matematikawan. Pengalaman

dengan industri strategis serupa sangat perlu diupayakan bagi para

matematikawan muda. Upaya ini juga akan membantu peningkatan citra

matematika di masyarakat.

Pendidikan matematika pra-universitas akan menentukan keber-

hasilan pengembangan matematika lanjut di tingkat tersier seperti teori

4. MASA DEPAN KEBERMATEMATIKAAN DI INDONESIA

4.1 Masyarakat yang Belajar dan Ekonomi berdasar Kecerdasan

kontrol ini di masa depan. Namun, lebih daripada itu, pendidikan

matematika sekolah sangat berpengaruh terhadap pembangunan negara,

termasuk pertumbuhan ekonominya. Setidaknya, ini gagasan pemba-

ngunan yang diikuti beberapa negara atau organisasi ekonomi dunia

seperti (OECD.)

Dalam pembangunan bermodalkan kecerdasan, peranan pengelolaan

pengetahuan serta teknologi informasi menjadi dominan (Hargreaves,

2000).

Dalam gagasan pembangunan berdasarkan kecerdasan ini yang

kadang disebut Budaya Pendidikan Dunia, peranan pendidikan,

khususnya literasi matematika, dalam strategi pembangunan kekuatan

ekonomi suatu negara menjadi mutlak. Pendidikan merupakan sebuah

lokomotif inti guna mempertahankan dan mengembangkan pemba-

ngunan negara secara berkelanjutan dalam sistem dunia tanpa batas.

Khususnya, penyediaan pendidikan oleh negara dituntut agar mening-

katkan pengetahuan, kecakapan, dan sikap positif warganya yang sesuai

dengan tuntutan kehidupan era sekarang dan masa depan. Pendidikan

matematika di pra-universitas dan perguruan tinggi harus mendukung

dan memfasilitasi setiap warga untuk mengembangkan dirinya agar

mampu berfungsi secara efektif sebagai warga Indonesia dan warga

dunia. Peningkatan tiga hal tadi berdampak langsung pada strategi

mensejahterakan negara, khususnya demi meningkatkan mutu kondisi

sosial dan kekuatan ekonomi negara.

Organisation for Economic Co-operation and Development

32 33

Dalam konteks RI di era sekarang dan masa depan, kesejahteraan dan

kedigjayaan Bangsa Indonesia ditentukan oleh tingkat kesuburan nilai-

nilai perikemanusiaan yang dihayati masyarakat dan berkembangnya

tingkat keberdayaannya dalam sistem dunia yang terbuka untuk semua.

Untuk itu, perlu tumbuh atau masyarakat yang belajar

sepanjang hayat dan meluasnya pemahaman gagasan pembangunan

berkelanjutan bermodalkan kecerdasan tersebut. Guna mendukung serta

memungkinkan tumbuhnya dua kondisi tadi, pendidikan matematika

yang handal di institusi pra-universitas sangat mutlak.

Pada abad 21 ini, negara-negara yang kurang berkembang berpusat

pada pengembangan jenis industri-industri yang menggantungkan

hampir mutlak pada sumber daya alam, seperti pertanian dan pertam-

bangan. Untuk negara-negara yang sedang berkembang, pengembangan

industrinya pada jenis manufaktur dan sedikit menggantungkan pada

sumber daya alamnya. Sedangkan pada negara-negara yang telah sangat

berkembang, pengembangan industrinya berpusat pada jenis jasa.

Indonesia mengembangkan tiga macam industri tersebut secara

bersamaan. Untuk memungkinkan ini, pengembangan sains, rekayasa,

dan seni di Republik ini harus sangat baik. Di sisi ini, peranan matematika

menjadi mutlak untuk membangun generasi saintis, rekayasawan/wati,

dan seniman/wati yang sanggup mengembangkan industri-industri

tersebut di Indonesia.

learning society

4.2 Matematika bagi Pengembangan Sains, Rekayasa, dan Seni

Guna memungkinkan terobosan-terobosan baru di sains, teknologi,

dan seni di Indonesia, dukungan kecakapan dalam matematika serta

kecakapan lain yang tumbuh melalui proses bermatematika merupakan

syarat mutlak. Pada sudut pandang ini, ITB harus mempeloporinya

sekarang. Pelayanan pendidikan matematika bagi seluruh Republik ini

guna mendukung perkembangan dunia sains, rekayasa, dan seni harus

dipelopori dan dikembangkan ITB. Cara pandang pengembangan

pelayanan pendidikan matematika oleh ITB yang ditujukan khusus bagi

komunitas ITB semata, saat ini menjadi gagasan yang kadaluarsa. Ini

gagasan yang melawan arus kecenderungan budaya dunia yang justru

berupaya membagikan pengetahuannya ke semua. Dengan dukungan

kecanggihan teknologi informasi, penyebaran pelayanan pendidikan

matematika bagi seluruh putra-putri Indonesia di mana saja tanpa perlu

biaya saat sekarang menjadi mungkin. Untuk merealisasikan gagasan

demokratisasi pendidikan ini, kepemimpinan ITB dengan modal

kepakaran sivitas akademikanya menjadi satu-satunya harapan Bangsa

Indonesia.

Saat sekarang kecenderungan penyediaan pendidikan bermutu dan

gratis berkembang luar biasa, misalnya MITx, Stanford online, Udacity,

dan Khan Academy. Dengan semangat dan impian yang sama, penulis

mengembangkan pakiwan.com mulai tahun 2010. Budaya berbagi

pengetahuan khususnya matematika, sains, teknologi, dan lainnya bagi

semua menjadi kecenderungan dunia. Keberhasilan penumbuhmekaran

budaya “berbagi” yang merupakan bentuk

pemberontakan terhadap budaya mono-

polistik pengetahuan oleh golongan

terpilih saja di era sebelumnya ditunjuk-

kan dengan menjamurnya situs-situs

pendidikan bermutu yang gratis tersedia

untuk melayani warga masyarakat dunia

tanpa batas saat ini. Keadaan sangat baik

yang didukung dengan teknologi Internet

2.0 membuat saat sekarang sangat mudah

untuk belajar. Di era sekarang, kebodohan

merupakan pilihan, bukan nasib.

Era sekarang ini yang mungkin tepat dinamai era “berbagi”, sangat

banyak insan-insan pemimpin dunia pendidikan dari pendidikan dasar

sampai pendidikan tinggi merasa bertanggung-jawab terhadap

kesejahteraan seluruh dunia. Mereka secara aktif melayani semua warga

dunia, tanpa pamrih. Salah satunya pakar ilmu komputer dan robotika,

profesor Sebastian Thrun dari Universitas Stanford, yang memelopori

penyediaan kuliah ilmu komputer online secara gratis melalui Udacity.

Bahkan, tidak saja sudah menyediakan kuliah yang bermutu dan gratis

secara online bagi ratusan ribu “mahasiswa”, tetapi perguruan tinggi

kaliber dunia seperti Universitas Stanford sampai Januari tahun 2012 lalu,

sudah berhasil memberikan ijazah bagi 23.000 lulusannya melalui

34 35

programnya, tanpa harus membayar uang satu sen pun (Hagnéré, 2012).

Nilai “berbagi” seperti ini tentunya sebuah atau warisan dari

warga dunia generasi sekarang yang harus sama-sama kita pancarkan dan

resonansikan terus menerus ke generasi mendatang. Di Asia, ITB harus

memelopori penumbuhmekaran nilai “berbagi” tersebut. Berbagi adalah

satu nilai paling agung generasi kita. Dengan jalan ini, pengembangan

sains, rekayasa, dan seni akan berhasil mendukung pembangunan Bangsa

dan dunia secara berkelanjutan.

Untuk pengembangan matematika bagi matematika sendiri di

Indonesia, juga perlu upaya perbaikan mutu , atau lulusan sekolah

menengah. Budaya bermatematika yang anggun, bermakna, dan utuh

serta menghargai keindahannya harus sudah dibelajarkan dan

ditanamkan sejak pendidikan dasar. Ini sebuah syarat mutlak lahirnya

komunitas matematikawan handal di generasi mendatang.

Sejalan dengan syarat di atas, pencitraan buruk matematika –akibat

praktik pengajaran ceroboh– sebagai kumpulan rumus-rumus tak

bermakna di masyarakat harus dibenahi. Pencitraan buruk ini telah

mereduksi nilai keagungan kebermatematikaan menjadi sekedar

tumpukan rumus-rumus mistis. Citra ini harus digantikan dengan

kegiatan bermatematika yang anggun memadukan ke- -an dan

untuk menyelesaikan masalah dengan terobosan kecerdasan,

legacy

intake

genius

madness

4.3 Penyiapan Matematikawan Mendatang

I am education that is

only available to the top 1% of

all students.

I am tens of thousands

of dollars of tuition expenses.

I am the imbalance

that the present system brings

to the world.

I want to the 99%.

I want to

education.

Education should be .

Accessible for ,

and .

against

against

against

empower

democratize

free

all, everywhere

any time

Sebastian Thrun

36 37

seperti yang digambarkan Morse.

Perguruan tinggi yang menyediakan pendidikan matematika di

Indonesia harus segera membangun strategi bersama agar kepakarannya

lebih mudah diakses oleh masyarakat luas. Berbagai kegiatan ilmiah

seperti lokakarya yang dapat mengenalkan matematika ke masyarakat

umum perlu diperluas. Jurang antara matematikawan dengan dunia

industri serta pakar disiplin lain perlu dihilangkan.

Masyarakat media perlu diajak dalam mengupayakan penyebaran

gagasan bermatematika yang anggun dan bermakna tersebut. Dengan

upaya-upaya ini semua, akan banyak pemuda-pemudi Indonesia

berbakat yang akan berkarya dalam matematika di masa depan.

Pada Era Industri dahulu, hanya siswa berbakat saja yang perlu belajar

matematika. Hanya siswa sekolah menengah yang hendak melanjutkan

ke studi di perguruan tinggi saja yang butuh belajar matematika. Namun,

di era sekarang dan mendatang, peranan matematika dalam kehidupan

sangat berbeda. Jenis matematika dan kecakapan bermatematika yang

dibutuhkan di era sekarang pun berbeda dengan di era terdahulu. Saat

sekarang, dengan pemanfaatan teknologi dalam kehidupan manusia,

matematika berperan di hampir semua karir dan bahkan berperan mutlak

dalam kehidupan sehari-hari. Kecuali itu, kecakapan-kecakapan yang

ditumbuhkan melalui bermatematika juga semakin dibutuhkan di

4.4 Matematika untuk Semua di Indonesia

kehidupan abad 21 ini, seperti atau bernalar pakar

(memecahkan masalah tak rutin) dan berkomunikasi kompleks (Trilling et

al, 2009). Ini merupakan turunan hasil riset bersama Richard J. Murnane

dan Frank Levy. Hasil kerjasama riset pakar kebijakan pendidikan dan

ekonomi urban, masing-masing dari Universitas Harvard dan MIT ini

pada tahun 2004, mengidentifikasi kecakapan yang dibutuhkan di masa

depan.

Materi matematika di era sekarang semakin lebar spektrumnya.

Sedangkan pada sisi pembelajarannya, filosofi pendidikan masa sekarang

memahami keunikan gaya belajar tiap siswa dan kecepatan belajarnya.

Oleh karenanya, pembelajaran matematika sekolah pada era sekarang

memungkinkan siswa untuk belajar semaksimum mungkin.

Dampaknya, di era sekarang, semua siswa dari TK sampai kelas 12

dan belajar matematika agar mampu hidup dan memuliakan

kehidupannya.

Kehidupan manusia masa kini dan sistem ekonomi yang bermodal-

kan kecerdasan ini membuat pembelajaran matematika sekolah harus

semakin fokus untuk mengembangkan kecakapan berpikir pakar dan

berkomunikasi kompleks. Khusus untuk konteks Republik Indonesia,

kebijakan pendidikan matematika nasional harus sangat strategis.

Tantangan yang dihadapi Bangsa Indonesia di masa depan tidak ringan.

Fakta pertama yang harus dicermati adalah jumlah calon pekerja

berpengetahuan menengah dan tinggi di RI lebih rendah dibandingkan

expert thinking

semua

dapat

harus

38 39

dengan dua negara Asia besar lainnya, yakni China dan India. Jumlah

pelajar kita pada tahun 2009 hanya 50 juta. Sedangkan di China ada 204

juta dan di India ada 251,3 juta. Dengan jumlah pelajar yang hanya

seperempat China, seperlima India, dan 3 juta lebih sedikit dari AS, kita

diperkirakan akan sangat kekurangan pekerja kelas “menengah”.

Keadaan seperti ini sudah terasa saat sekarang di AS yang kehilangan

pekerjaan kelas menengahnya, misalnya fenomena perusahaan Apple.

Produk-produknya dibuat di China saat ini bukan semata karena harga

tenaga buruh yang murah di sana, tetapi sangat sulit merekrut 8.700

rekayasawan industri dan 200.000 teknisi handal di AS seperti yang

dibutuhkan Apple dalam waktu tak lama. Di China, ini dapat dilakukan

dalam 15 hari (Duhigg, 2012).

Dengan keadaan seperti ini, pelajar RI haruslah sangat cakap. Untuk

dapat turut bersanding di dunia tanpa batas, pendidikan matematika di RI

harus luar biasa istimewanya. Lalu, bagaimana dengan mutu pendidikan

matematika di RI dibanding dengan negara lain? Yang dimaksud bermutu

di sini adalah seberapa besar penguasaan pelajar kita terhadap kecakapan

bermatematika yang sesuai dengan tuntutan kehidupan masa kini dan

masa depan. Untuk menjawabnya, harus dicermati data dari dua survei

internasional dalam pendidikan matematika, yakni TIMSS

dan PISA

.

Indonesia turut serta dalam TIMSS pada tahun 1999, 2003, dan 2007.

(Trends in

International Mathematics and Science Study) (Programme for

International Student Assessment)

Memang performa pelajar kelas 8 RI di peringkat cukup bawah. Di ujian

tahun 2007, siswa RI di peringkat ke-36 dari 48 negara. Namun, yang justru

perlu dicermati dari data TIMSS ini adalah kegagalan peningkatan

performanya dalam jangka 8 tahun tersebut.

Sedangkan pada PISA matematika, hasilnya menunjukkan performa

yang tak berbeda jauh dengan yang ditunjukkan TIMSS di atas. Kecuali

hasilnya tidak baik, performa pada tahun 2003 dan 2009 secara statistika

tidak ada perubahan yang signifikan. Khususnya, data menunjukkan

bahwa jumlah siswa kelas 8 yang literasi matematikanya berada di bawah

Level 2 jumlahnya sekitar 80%, lihat Tabel 2. Menurut definisi, Level 2

adalah jenjang paling minimum yang diprediksi akan sanggup berfungsi

efektif di abad 21. Jadi, di bawah jenjang itu diprediksi tidak akan sanggup

berfungsi efektif di dunia global ini.

Tabel 1.: Nilai rata-rata matematika siswa RI kelas 8, dari http://nces.ed.gov dan

(Gonzales, 2004)

Nilai rata-rata matematika

1999 2003 2007

403 411 397

40 41

Jumlah siswa di bawah Level 2 terlalu banyak. Keadaan seperti ini

berarti bahwa RI akan kekurangan pekerja berpengetahuan kelas

menengah, di masa siswa umur 15 di tahun 2009 itu masuk dunia kerja.

Hasil penelitian PISA2009 juga mengungkapkan bahwa pelajar RI dengan

performa tinggi (Level 5 dan 6) secara statistika tidak ada (OECD, 2010).

Ini berarti, kemungkinan RI juga akan kekurangan pekerja kelas atas dan

pemimpin di berbagai bidang.

Dengan praktik pendidikan matematika sekolah yang umumnya tak

bermakna seperti sekarang, akan tidak mudah melahirkan pemimpin

dalam matematika, sains, rekayasa, dan seni yang handal di RI. Bahkan,

Tabel 2.: Persentase siswa dengan literasi matematikanya di bawah Level 2, dari

(OECD, 2010, p.67)

akan sangat sulit menyiapkan warganya untuk berperan aktif dalam

kehidupan di abad 21 yang mendukung pembangunan berkelanjutan

berbasiskan pengetahuan. Penyebabnya tentunya lebih dari satu, namun

sumber masalah utama ada pada cetak-biru pendidikan matematika

nasional RI yang sudah tak sesuai dengan perkembangan di dunia.

Saat sekarang, umumnya praktik pengajaran matematika sekolah di

Indonesia berpusat pada penyampaian bertumpuk-tumpuk pengetahuan

tak bermakna dan melatihkan ketrampilan-ketrampilan sepele yang

mengasingkan proses bernalar. Ketrampilan semacam menghafal rumus

dan kemampuan berhitung cepat tanpa makna sudah dihapuskan dari

sasaran belajar matematika negara lain. Namun, ketrampilan macam ini

justru masih menjadi fokus praktik pendidikan matematika sekolah di RI.

Cara memandang matematika seperti ini juga sangat merendahkan

matematika. Dan, ini pula lah yang menjadi sumber utama penyebab

parahnya performa pelajar RI dibanding negara lain, bahkan dibanding

dengan negara sedang berkembang lain.

Kesalahan cetak biru pendidikan matematika sekolah ini diperparah

lagi dengan adanya campur tangan kebijakan yang kurang direncanakan

dan tak berdasarkan riset yang cukup oleh Negara, seperti sistem Ujian

Nasional. Dengan pemaksaan sistem Ujian Nasional matematika yang

mengukur kecakapan kadaluarsa yang sudah tak sesuai tuntutan jaman,

siswa dan guru akan berlomba mengejar ketrampilan-ketrampilan yang

sebenarnya sudah tak dibutuhkan di kehidupan masa kini dan depan

5. PENUTUP

Industri pada masa kini dan esok akan semakin dituntut efisien, selain

karena sumber daya alam yang semakin terbatas, juga karena manusia

semakin dibutuhkan dan membutuhkan peranannya pada tataran

kecerdasan, bukan tenaga manual. Sebaliknya, banyak pekerjaan manual

yang akan diambil alih mesin. Akibatnya, pengendalian dalam proses

produksi menjadi sangat penting. Untuk itu, teori kontrol di masa

mendatang akan semakin dibutuhkan. Secara umum, keseluruhan dunia

tanpa batas dengan pembangunan ber-

kelanjutannya bermodalkan kecerdasan

akan semakin menuntut kecakapan

bermatematika.

Pengembangan teori kontrol dan

matematika pada umumnya selain

membutuhkan usaha perbaikan terus menerus pada tingkat perguruan

tinggi, juga harus dibenahi pendidikan matematika di pra-universitas.

Dampak perbaikan pendidikan matematika secara menyeluruh akan

meningkatkan kemampuan Bangsa Indonesia dalam pembangunan

dunia dengan fokus pada era sekarang. Dengan disertai kepemimpinan

dalam pendidikan yang serius, bukan tak mungkin hal ini dapat

diwujudkan dengan waktu di bawah 15 tahun.

Budaya bermatematika yang tumbuh di pemuda-pemudi Indonesia

akan meningkatkan kesejahteraan bukan saja pada sisi materi, tetapi

42 43

yang padat teknologi. Ditambah kenyataan bahwa masih ada anak kita

yang harus berjalan dua hari melewati hutan untuk ke sekolah di Republik

ini, sistem ini sangat tak berperikemanusiaan jika dipaksakan untuk

kelulusan.

Untuk memperbaiki performa siswa-siswi RI dalam matematika,

sistem dan kebijakan pendidikan nasional perlu memperhatikan nilai

utama serta hakikat kebermatematikaan. Pada tataran praktis, perlu

upaya peningkatan mutu guru matematika. Untuk ini, sangat

membanggakan karena ITB sudah memelopori dalam merancang sebuah

model baru pendidikan magister bagi guru matematika. Model ini

memberikan kesempatan guru-guru matematika sekolah menengah

untuk mengalami proses bermatematika untuk nantinya dapat jadi guru

matematika yang handal. Prinsip utama program unik ini adalah

keyakinan bahwa guru matematika yang baik mutlak harus berangkat

dengan pemahaman matematika yang baik. Model pendidikan guru

matematika ini sudah disebarkan pula di pertemuan regional Asia

Tenggara (Pranoto, 2011). Yang perlu ditingkatkan taraf multiplisitas

dampaknya adalah penyebaran kuliah sejenis melalui Internet. Beberapa

perguruan tinggi di Indonesia berminat menerapkan model yang sama.

Ini tentunya membahagiakan.

Aku tak akan pulang ke sebuah

negeri yang mengelakkan ilmu

bukti.

Tan Malaka: Sebuah esei,

sebuah opera, 2011.

44 45

justru kecerdasan warganya akan memajukan mutu hubungan sosial

masyarakat. Pendidikan matematika harus membuat rakyat Indonesia

kebal terhadap propaganda, seperti tujuan dari (Hutchins,

1970). Kemampuan berpikir kritis di sistem kenegaraan sekarang mutlak

diperlukan. Melalui proses bermatematika yang bermakna, pemuda-

pemudi Indonesia akan membangun kemampuan bernalar guna

mewujudkan kejayaan Indonesia 2.0. Semoga, budaya bernalar di

Indonesia nanti akan mengedepan serta menjadi fondasi masyarakat

Indonesia baru yang hidup damai saling bergandengan dan mewujudkan

, , dan di negeri ini.Amin.

Jika suku Igbo di Nigeria memiliki kalimat bijak "ora na azu nwa" yang

terjemahan bebasnya “dibutuhkan seluruh desa” untuk membesarkan

seorang anak, mungkin hal yang sama penulis rasakan pada hari ini. Saat

penulis merenungkan siapa saja yang telah “mendidik” penulis sampai

sore ini, mungkin penulis harus katakan bahwa ribuan orang di ratusan

desa dan puluhan sudah menjadi pendidik penulis. Oleh karenanya,

maafkan jika ada nama penting terlewatkan.

Pertama penulis harus mengucapkan terima kasih kepada seluruh

guru besar di Majelis Guru Besar ITB. Khususnya pula, penulis

menghaturkan terima kasih kepada Ketua dan Sekretaris MGB-ITB yang

learning society

kemerdekaan kesejahteraan kesetaraan

6. UCAPAN TERIMA KASIH

telah memberikan kehormatan bagi penulis menyajikan pidato ilmiah

guru besar sore ini.

Penghargaan dan ucapan terima kasih tak terhingga penulis

sampaikan kepada puluhan guru selama pendidikan penulis dari TK St.

Maria, SD St. Maria, SMP St. Yusuf, SMA Dempo, semuanya di Malang.

Khususnya, penulis sangat berterima kasih kepada Bapak Putu Mester,

guru di SMA yang menginspirasi dan membuat penulis memutuskan

untuk mempelajari matematika. Penulis sangat bangga menjadi salah satu

murid beliau.

Setelah SMA, penulis berlanjut belajar dengan dosen-dosen penulis di

ITB, dan University of Toronto. Terima kasih secara khusus penulis

sampaikan pertama kepada Prof. Moedomo, yang telah membelajarkan

esensi matematika, yakni seni bernalar matematika, serta menjadi

layaknya ayah penulis sendiri yang setia berdiskusi berbagai gagasan

sampai akhir hayatnya. Juga penulis sampaikan penghargaan tak terbatas

atas kesempatan belajar dengan para dosen pembimbing penulis, yakni

Prof. M. Ansjar, Prof. S. Kamil, Prof. A. Arifin, Prof. V. Jurdjevic, dan Prof. I.

Kupka. Secara khusus pula penulis sampaikan terima kasih penulis

kepada guru-guru istimewa yang pernah mendidik penulis, beberapa

sudah pensiun dan meninggal: drs. E. Hutahaean, M.Si., drs. Henk

Sengkey, Prof. S.M. Nababan, Prof. D. Handali, Prof. Soenardi, Dr. J.

Ibrahim, drs. Rawuh, drs. R.J. Pamuntjak, Prof. J. Repka, dan Prof. R.

Sharpe. Kemudian, juga penulis tak lupa mengucapkan terima kasih

46 47

kepada banyak matematikawan di Fields Institute, Canada, dan di

Laboratoire de Topologie, Université de Bourgogne. Khususnya, penulis

mengucapkan terima kasih kepada Prof. B. Bonnard dan Prof. J.P.

Gauthier.

Penulis juga perlu mengucapkan terima kasih yang tak ternilai atas

dukungan sejak mulai menjadi dosen ITB, saat studi di luar negeri sampai

sekarang, yakni: Prof. W. Arismunandar, Prof. Satrio S. Brojonegoro, Prof.

E. Soewono, Prof. H. Gunawan, Prof. Edy T. Baskoro, Prof. Hariadi

Supangkat, Prof. R.K. Sembiring, Prof. M. Abdurrahman, Prof. Ichsan S.P.,

Prof. HarijonoA. Tjokronegoro, dan Dr. Kusmayanto Kadiman.

Dalam perkembangan kecerdasan penulis yang terkait dengan

matematika, pemanfaatan matematika dalam industri, dan pendidikan

matematika, penulis beruntung pernah bertemu dengan beberapa orang

yang menginspirasi dan membuat penulis semakin benar-benar

menekuni profesi ini. Pertama, penulis ingin mengucapkan penghargaan

kepada Ir. Jusman S. Djamal di IPTN yang mengajarkan untuk berani

berpikir dan mengeksplor imajinasi. Pada saat membantu beliau, penulis

belajar dan mengalami kesempatan untuk mengerjakan hal-hal yang

biasanya jarang ditemui matematikawan. Kedua, penulis harus

mengucapkan terima kasih kepada ibu Antarina S.F. Amir, MBA yang

membolehkan penulis belajar pendidikan matematika yang nyata di

dalam kelas. Ketiga, penulis belajar banyak tentang keagungan

pendidikan dari Prof. M. Buchori. Keempat, penulis belajar banyak sekali

tentang komunikasi dan metode mengajar dari ahlinya sampai detik ini,

yakni Dr. B.G. Kartasasmita. Dan, penulis belajar dari Prof. I.G. Raka

tentang pentingnya pendidikan karakter dalam bingkai kebangsaan RI.

Penulis juga tak lupa mengucapkan terima kasih kepada Pemerintah

RI yang telah memberikan beasiswa selama penulis studi S1 dan S2.

Kemudian, penulis perlu berterima kasih kepada University of Toronto

dan Pemerintah Propinsi Ontario, Canada yang telah menyediakan

beasiswa selama penulis studi Ph.D. Kemudian, penulis harus

mengucapkan banyak terima kasih kepada Kementerian Luar Negeri

Perancis yang telah memberikan beasiswa untuk program Post-Doctor

penulis di Laboratoire de Topologie, Université de Bourgogne.

Dalam pembimbingan program doktor, penulis telah membimbing

bersama pakar-pakar teori kontrol, yakni Prof. S.M. Nababan, Prof. R.J.

Widodo, Dr. Hari Muhammad, Dr. Janson N., dan Dr. Dimitri Mahayana.

Penulis mengucapkan banyak terima kasih.

Dukungan tak ternilai dari para Dekan FMIPAITB juga sangat berarti.

Khususnya, penulis perlu mengucapkan terima kasih kepada Prof.

Ahmaloka, Prof. Pudji Astuti, dan Prof. Umar Fauzi. Dukungan dari KK

MIK: Prof R. Saragih, Dr. Janson N., dan rekan-rekan lainnya. Dukungan

yang tak kalah juga diberikan rekan-rekan dosen matematika yang

langsung atau tidak pernah bekerja dengan penulis, khususnya Dr. Wono

S.B., Dr. Yudi S., Prof. Irawati, Prof. Salman, Dr. A. Muchlis, Dr. Oki

Neswan, Dr. Udjiana S.P., Dr. IntanA., dan Dr. Jalina W.

48 49

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Satuan Pengawas

Internal ITB, khususnya Prof. Soelarso, Prof. Irwandy Arif, Ir. Leksananto,

M.Eng., Prof. Asep Suganda, Dr. Sigit Darmawan, Dr. Wahyudi W.

Parnadi, Prof.Andreanus Sumarji, dan rekan-rekan auditor lainnya.

Jabatan akademik tertinggi ini tak ada maknanya jika penulis tak

pernah belajar dari murid-murid penulis. Entah yang hanya ikut kuliah

penulis atau yang dibimbing penulis, penulis telah belajar banyak. Secara

khusus, penulis mengucapkan terima kasih ke Luis Tirtasanjaya, M.Sc.,

Dr. Miswanto, dan Dr. Heru Tjahjana. Juga penulis mengucapkan terima

kasih kepada sekolah, pesantren: Global Jaya, HighScope, Madania,

Mutiara Bunda, Bunda Ganesha, Al Kautsar, dsb. yang memungkinkan

penulis menyebarkan gagasan bermatematika yang anggun ke

masyarakat. Terima kasih juga kepada Pustekkom/Tve, LSM Gentala

(Siva, Chitra, dll), LSM CFBE (Mas Nanang dan Mas Satria Dharma), LSM

Simpul Pendidikan, dan Mentari Books (Ibu Anna Rimba) yang telah

memfasilitasi penulis menyebarkan gagasan bermatematika yang anggun

ke pelosok. Juga penulis harus menyampaikan terima kasih kepada Prof.

Fasli Jalal yang telah mengajak membenahi pendidikan nasional.

Kemudian, penulis mengucapkan terima kasih kepada SEAMEO dengan

program QITEP in Math-nya.

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada para sahabat di

Himatika ITB, pendaki gunung Waparsa/YePe, pemanjat tebing Skygers,

dan kerabat di Loedroek ITB. Khususnya, penulis mengucapkan terima

kasih ke para sahabat: Nara, Eko,Alex, Irawan, Rudi Katab,Agoeng, dll.

Rasa syukur penuh disampaikan kepada orangtua penulis Henry

Pranoto (alm) dan Handajani. Juga kepada mertua penulis Budiman J.

Santoso (alm) dan Euis R., serta kepada sanak saudara lainnya penulis

sangat berterima kasih atas dukungannya. Penulis sulit mengungkapkan

penghargaan khusus kepada istri terkasih, Mariani L. Santoso, dan putri

tersayang, Prishanti Dipita, yang telah mendukung dan berkurban banyak

sejak penulis studi dan berkarir sampai saat ini.

1. Anzaldo-Meneses, A., et al,

, World Scientific, 2002.

2. Duhigg, C. et al, , New York

Times, 21 Jan 2012.

3. Ervedoza, S., Zuazua, E.,

, P. M. Cannarsa and J. M.

Coron, eds., “Lecture Notes in Mathematics”, CIME Subseries,

Springer Verlag. to appear in 2012.

4. Gelfand, I.M. in

, Pavel Etingov et al, Birkhauser, 2006.

5. Gonzales, P. et al,

2003, NCES, 2004.

6. Hagnéré, D. , SFBay, 26

BAHAN RUJUKAN

Contemporary Trends in Nonlinear Geometric

Control Theory and Its Applications

How the U.S. Lost Out on iPhone Works

The Wave Equation: Control and Numerics ,

``Control of Partial Differential Equations"

The Unity of Mathematics: in Honor of the Ninetieth

Birthday of I.M. Gelfand

Highlights from the Trends in International Mathematics

and Science Study (TIMSS)

Stanford Prof Quits to Teach for Free Online

50 51

Januari 2012.

7. Hargreaves, D., ,

presented in Forum of OECD Education Ministers: Developing New

Tools for Education Policy-Making, 13-14 March 2000, Copenhagen,

Denmark.

8. Hermann, R.

, Interdisciplinary Mathematics, Vol. XXI, Math Sci Press, 1980.

9. Hutchins, R.M. , Harmondsworth: Penguin, 1970.

10. Jurdjevic, V., , Cambridge Studies in

Advanced Mathematics 51, Cambridge Univ. Press, 1997.

11. McLarty, C. , PHILOSOPHIA

MATHEMATICA(3) Vol. 5 (1997), pp. 97-115.

12. OECD. Vol 5, OECD, 2010.

13. Malaka, T., , TePLOK PRESS, 2000.

14. Miswanto, Pranoto, I., Muhammad, H., Mahayana, D.,

, Journal of Mathematics and Its Applications,

Volume 4, Number 1, May 2007, hal:1–8.

15. Miswanto, Pranoto, I., Muhammad, H., Mahayana, D., Tjahjana, H.,

The 2

Regional Conference on Aerospace Science, Technology and Industry

(RC-ASTI) , September 4-6, 2007.


, Contribution in Math and Applications

III, East-West J. of Mathematics, a special volume, 2010, pp. 221-230.

Knowledge Management in the Learning Society

Cartanian Geometry, Nonlinear Waves, and Control Theory,

Part B

The Learning Society

Geometric Control Theory

Poincaré: Mathematics & Logic & Intuition

PISA2009 Results: Learning Trends,

Madilog

The Application

of the Steepest Gradient Descent for Control Design of Dubins Car for

Tracking a Desired Path

Tracking Control for Swarm Model with the Presence of a Leader,

The Control

Design of Symmetric System for Tracking a Desired Path with an Obstacle

Using Tracking Error Dynamics

nd


, International

Journal of Basic & Applied Sciences IJBAS-IJENS, Vol: 11, No: 01, 2011,

pp. 81-86.

18. Mohamad, G., Prabowo, T., ,

Salihara, 2011.

19. Pranoto, I. , Journal of

Indonesian Mathematical Society (MIHMI) Vol. 10 No. 2, 2004, pp.

115-123.

20. Pranoto, I.

, International Journal of Modelling, Identification and

Control, Vol. 8, No.1, 2009, pp. 32-37.

21. Pranoto, I. ,

Prosiding ITB, V.42, No.2, Maret 2009.

22. Pranoto, I. , Proceeding IndoMS,

Konferensi IICMA2009.

23. Pranoto, I.,

, in Topics in Applied and Theoretical Mathematics

and Computer Science: A Series of Reference Books and Textbooks,

Eds. V.V. Kluev et al, WSEAS, pp. 76-80, 2001.

24. Pranoto, I.,

, Journal of Inequality in Pure and Applied

Mathematics, Vol. 3, Issue 3,Art. 45, 2002.

25. Pranoto, I., Monografi, Penerbit ITB,

2004.

26. Pranoto, I., , Keynote speech,

The Collective

Behavior of Multi-Agents System for Tracking a Desired Path

Tan Malaka: Sebuah Esei, Sebuah Opera

Internal Control recovery on Klein-Gordon Systems

A Brief Summary on the Control Recovery of Time-Varying K-G

Systems

Partial Internal Control Recovery on 1-D Klein-Gordon Systems

Some Misconceptions On Variable Ideas

Exact Controllability of Klein-Gordon Systems with a Time-

Varying Parameter

An Inequality of the 1-D Klein-Gordon Equation with A Time-

Varying Parameter

Pengenalan Geometri Diferensial,

Math Teacher Profesional Development 2.0

Proceedings of International Symposium on Math Education

Innovation, SEAMEO, Yogyakarta, 18-19 November 2011.

27. Pranoto, I.,

, Invited Speech at SSE: The 2nd International Education

Seminar 2011, 26-27 Oct 2011.

28. Root-Bernstein, et al.

, First Mariner Books, 2001.

29. Root-Bernstein, et al. ,

International Handbook on Innovation, Part VI, Elsevier Science, 2003.

30. Sussmann, H.J., Jurdjevic, V. , J. Diff

Equations, 12, 1972, pp. 95-116.

31. Tjahjana, H., Pranoto, I., Muhammad, H., Naiborhu, J.,

, International Conference on Mathematics and

Natural Sciences (ICMNS) November 29-30, 2006, p.778.

32. Tjahjana, H., Pranoto, I., Muhammad, H., Naiborhu, J., Miswanto.

, ICIUS 2007, Oct

24-25, 2007.

33. Tjahjana, H., Pranoto, I., Naiborhu, J., Muhammad, H.

, Jurnal Teknik Mesin, V. 8 No.2,

Mei 2008, pp. 99-106.

34. Tjahjana, H., Pranoto, I., Muhammad, H., Naiborhu, J.

, J. Indonesian Math.Soc.

(MIHMI), V.15, no.1,April 2009, pp. 13-20.

35. Trilling, B. et al. , Jossey-

Bass, 2009.

Digital natives call for creative and innovative means to engage

and learn math

Sparks of Genius: The Thirteen Thinking Tools of the

World's Most Creative People

Intuitive Tools for Innovative Thinking

Controllablity of Non-linear Systems

Swarm with

Triangle Formation

The

Numerical Control Design for a Pair of Dubins Vehicles

Aplikasi

Optimisasi Trajektori Sistem Dua Agen Linear dengan Metoda Steepest

Descent pada Pengendalian Dua Kapal

On The Optimal

Control Computational of Linear System

21 Century Skills: Learning for Life in Our Timesst

36. Wagensberg, J. ,

ECSITE Newsletter (60),Autumn 2004, pp.9-11.

37. Weimerskirsch, H. et al.

, the Journal of Experimental Biology 205, 2002, pp.

475–483.

The Beautiful and the Intelligible: Art in a Science Museum

Heart Rate and Energy Expenditure of Incubating

Wandering Albatrosses: Basal Levels, Natural Variation, and the Effect of

Human Disturbance

5352

CURRICULUM VITAE

Nama : IWAN PRANOTO

Tempat/tgl. lahir : Jakarta, 27 Oktober 1961

Pekerjaan : Staf Pengajar Matematika

FMIPA ITB

Alamat Kantor : KK Matematika Industri dan

Keuangan, Jl. Ganesha No. 10

Bandung. Telp. :(022) 2502545

Nama Istri : Mariani L. Santoso

Nama Anak : Prishanti Dipita

1. RIWAYAT PENDIDIKAN:

2. RIWAYAT KERJA DI ITB

• Sarjana (S1) Matematika, ITB, Bandung, 1985.

Magister (S2) Matematika, ITB, Bandung, 1987.

Master of Science (MSc), Mathematics, Univ. of Toronto, Toronto,

Canada, 1989.

Philosophiae Doctor (PhD), Mathematics, Univ. of Toronto,

Toronto, Canada, 1994.

• Staf Pengajar Matematika, FMIPA ITB, 1988 - sekarang.

• Ketua KBK Geometri, 2002-2006.

• Auditor Akademik, Satuan Pengawas Internal ITB (dahulu UPI

ITB), 2003-sekarang.

• Koordinator Pengembangan Materi dan Kebijakan Pendidikan

•

•

•

5554

5756

Matematika dan IPA, ITB, 2012-sekarang.

• Guru Besar, 2011

• Lektor Kepala, 2003

1. Indonesian Mathematical Society

2. National Council of Teachers of Mathematics

1. Fields Institute for Research in Mathematical Sciences, Canada,

1992-1993.

2. Laboratoire de Topologie, Université de Bourgogne, France, 1994-

1995.

3. Miswanto, ., Muhammad, H., Mahayana, D.,

, Journal of Mathematics and

ItsApplications, Volume 4, Number 1, May 2007, hal:1-8.

4. Miswanto, ., Muhammad, H., Mahayana, D., Tjahjana,

H., ,

The 2 Regional Conference on Aerospace Science, Technology

and Industry (RC-ASTI), September 4-6, 2007.

3. RIWAYAT JABATAN FUNGSIONAL FMIPA-ITB :

4. RIWAYAT DALAM ORGANISASI PROFESI/MASYARAKAT

KEILMUAN:

5. KEGIATAN PENELITIAN DAN LAIN-LAIN:

Pranoto, I

Pranoto, I

• Lektor, 2001

• Lektor Madya, 1998

• AsistenAhli Madya 1988

The

Application of the Steepest Gradient Descent for Control Design of

Dubins Car for Tracking a Desired Path

Tracking Control for Swarm Model with the Presence of a Leadernd

5. Miswanto, , Muhammad, H., Mahayana, D.,

, Contribution in Math and

Applications III, East-West J. of Mathematics, a special volume,

2010, pp. 221-230.

6. Miswanto, ., Muhammad, H., Mahayana, D.,

,

International Journal of Basic & Applied Sciences IJBAS-IJENS,

Vol: 11, No: 01, 2011, pp. 81-86.

7. . ,

Journal of Indonesian Mathematical Society (MIHMI) Vol. 10 No.

2, 2004, pp. 115-123.

8. .

, International Journal of Modelling, Identification

and Control, Vol. 8, No.1, 2009, pp. 32-37.

9.

, Prosiding ITB, V.42, No.2, Maret 2009.

10. ,

, in Topics in Applied and Theoretical

Mathematics and Computer Science: A Series of Reference Books

and Textbooks, Eds. V.V. Kluev et al, WSEAS, pp. 76-80, 2001.

11. ,

, Journal of Inequality in Pure and Applied

Mathematics, Vol. 3, Issue 3,Art. 45, 2002.

12. , , Monografi, Penerbit

ITB, 2004.

13. , , Keynote

Pranoto, I.

Pranoto, I

Pranoto, I

Pranoto, I

Pranoto, I.

Pranoto, I.

Pranoto, I.

Pranoto, I.

Pranoto, I.

The Control

Design of Symmetric System for Tracking a Desired Path with an

Obstacle Using Tracking Error Dynamics

The

Collective Behavior of Multi-Agents System for Tracking a Desired Path

Internal Control recovery on Klein-Gordon Systems

A Brief Summary on the Control Recovery of Time-Varying

K-G Systems

Partial Internal Control Recovery on 1-D Klein-Gordon

Systems

Exact Controllability of Klein-Gordon Systems with a Time-

Varying Parameter

An Inequality of the 1-D Klein-Gordon Equation with A

Time-Varying Parameter

Pengenalan Geometri Diferensial

Math Teacher Profesional Development 2.0

58 59

speech, Proceedings of International Symposium on Math

Education Innovation, SEAMEO, Yogyakarta, 18-19 November

2011.

14. .,

, Invited Speech at SSE: The 2nd International

Education Seminar 2011, 26-27 Oct 2011.

15. Tjahjana, H., ., Muhammad, H., Naiborhu, J.,

, International Conference on Mathematics and

Natural Sciences (ICMNS) November 29-30, 2006, p.778.

16. Tjahjana, H., Muhammad, H., Naiborhu, J., Miswanto.

, ICIUS

2007, Oct 24-25, 2007.

17. Tjahjana, H., ., Naiborhu, J., Muhammad, H.

, Jurnal Teknik Mesin, V. 8

No.2, Mei 2008, pp. 99-106.

18. Tjahjana, H., Muhammad, H., Naiborhu, J.

, J. Indonesian

Math.Soc. (MIHMI), V.15, no.1,April 2009, pp. 13-20.

Pranoto, I

Pranoto, I

Pranoto, I.,

Pranoto, I

Pranoto, I.,

Digital natives call for creative and innovative means to

engage and learn math

Swarm with

Triangle Formation

The Numerical Control Design for a Pair of Dubins Vehicles

Aplikasi

Optimisasi Trajektori Sistem Dua Agen Linear dengan Metoda Steepest

Descent pada Pengendalian Dua Kapal

On The

Optimal Control Computational of Linear System

pidato ilmiah prof iwan prano

Documents