Pertemuan 4

Koordinat Homogen

Koordinat Homogen Untuk menyatakan transformasi geometri dua dimensi

ke dalam bentuk matriks, maka setiap koordinat Cartesian (x,y) dinyatakan dalam homogeneous coordinate (Koordinat homogen) sebagai pasangan triple (x,y,w).

Normalisasi koordinat homogen dengan (x/w, y/w, 1) dimana (x/w, y/w) merupakan titik dalam koordinat Cartesian. Di dalam koordinat homogen (x,y,w) (x/w, y/w,1) (ax, ay, aw),a bilangan real. Titik w=0titik pada infinity, dan seringkali tidak digunakan.

Translasi, Scaling, Rotasi

Translasi

Scaling Scaling

Rotasi

Rigid body transformationpanjang dan sudut (translasi atau rotasi)

Affine transformationparallelism dalam garis (translasi, rotasi, scaling and shearing)Shear adalah bentuk transformasi yang Shear adalah bentuk transformasi yang membuat distorsi dari bentuk suatu objek, seperti menggeser sisi tertentu.

Dua shear yang umum adalah shear menurut sumbu x, dan shear menurut sumbu y.

Transformasi Shear Suatu transformai shear diberikan oleh

persamaan:

dimana hx dan hy merepresentasikan shear sepanjang sumbu x dan sumbu y.

Komposisi Transformasi Salah satu keuntungan besar koordinat

homogen adalah transformasinya dapat dengan mudah dikombinasikan. Sebagai contoh jika kita ingin merotasikan suatu objek di sekitar titik-titik, p, pada (atau dalam) objek tersebut, maka dapat dengan mudah dengan di sekitar titik-titik, p, pada (atau dalam) objek tersebut, maka dapat dengan mudah dengan menggunakan :- translasi objek dengan –p- rotasi objek dengan sudut - translasi objek dengan p

Persamaannya adalah :

Transformasi Window ke Viewport

Objek-objek dan primitif direpresentasikan dalam model aplikasi disimpan dalam suatu World Coordinate (Koordinat Lingkungan), berisikan ukuran, shape, posisi, dsb.

untuk ditampilkan citra pendekatannya pada screen (atau device lainya)transformasi window ke viewport. viewport.

Gambar 5. Transformasi Window ke Viewport

Prosedur Transformasi

Jika window wolrd coordinate mempunyai dimensi (xmin, ymin) (xmvax, ymax) dan viewport (atau window screen coordinate) mempunyai dimensi (umin, vmin) (umax,v max), maka transformasi dapat diberikan dalam bentuk persamaan di bawah ini :bawah ini :

Translasi Scaling Rotasi

100

10

01

min

min

y

x

Tx

100

00

00

minmax

minmax

minmax

minmax

yy

vv

xx

uu

Sxu

100

10

01

min

min

v

u

Tu

Matriks Transformasi

Efisiensi Komposisi dari transformasi melibatkan translasi, scaling

dan rotasi yang dalam bentuk umumnya dapat dipandang sebagai matriks transformasi M

dengan menggunakan struktur yang pasti dalam baris akhir dari matriks, transformasi ini dapat dituliskan sebagai :

Invers Transformasi jika suatu transformasi secara umum ( komposit) diberikan

melaui matriks M 3x3, maka invers transformasinya M-1. Jika matriks invers didefinisikan maka akan didapatkan bahwa MM-1

= I, dimana I matriks identitas 3 x 3.

Matriks Identitas Matriks Translasi Matriks Scaling