pertemuan07
DESCRIPTION
Aljbar LinierTRANSCRIPT
Bagian IV
Determinan
A. Fungsi DeterminanMisalkan A adalah matriks bujusangkar. Fungsi determinan dinotasikan dengan det, dan det(A) adalah jumlah semua perkalian tanda dari A. Bilangan dari det(A) disebut juga dengan determinan A.
β Contoh, matriks 2 x 2 dan 3 x 3 :
211222112221
1211 aaaaaa
aadet β=
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
det a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
β a13a22a31 β a12a11a32 β a23a32a33
Bentuk perkalian ini dapat disajikan sebagai berikut :
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
2221
1211
aa
aa
ββ=
987
654
321
B
β
=24
13A
Diketahui matriks, berikut :
( ) 10)4)(1()2)(3(Adet β=ββ=
( ) 240)72()48()105()96()84()45(Bdet =βββββ++=
333231
232221
131211
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
det atau
Notasi determinan sering juga ditulis sebagai,
Misalkan A, matriks bujursangkar berukuran nxn maka berlaku :
(a). Jika mempunyai baris nol, atau kolom nol, maka det(A) = 0
(b). Det (A) = det (AT)
(c). Jika matriks segitiga (atas, bawah, atau diagonal) maka det (A) = a11a22 β¦ann
(d). Jika B merupakan matriks hasil perkalian baris tunggal atau kolom tunggal dari A dengan k skalar, maka det(B) = k det(A).
(e). Jika B merupakan matriks hasil dari baris atau kolom dari A yang dipertukarkan maka berlaku det(B) = β det(A).
333231
232221
131211
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
k
aaa
aaa
kakaka
=
(f). Jika B merupakan hasil dimana satu baris dari A dijumlahkan dengan baris lainnya atau dimana satu kolom dijumlahkan dengan kolom lainnnya, maka berlaku det (B) = det (A).
333231
232221
131211
333231
131211
232221
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
β=
333231
232221
131211
333231
232221
231322122111
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
kaakaakaa
=+++
B. Determinan Pada Matriks Dasar
Misalkan E adalah matriks dasar maka,
1. Jika E merupakan perkalian dari baris In dengan k, maka det(E) = k.
2. Jika E merupakan hasil pertukaran dua baris dari In, maka det(E) = -1.
3. Jika E merupakan hasil penjumlahan sebuah perkalian dari satu baris In, maka berlaku det(E) = 1.
1
0001
0100
0010
1000
, β=3
1000
0100
0030
0001
= 1
1000
0100
0010
7001
, =
C. Reduksi baris/kolom pada suatu Determinan
Metode untuk mendapatkan suatu determinan matriks dengan cepat, yaitu dengan mereduksi matriks tersebut menjadi matriks segitiga atas mengunakan OBE.
Contoh 1 :
dengan mereduksi ke bentuk baris eselon maka,
β=
162
963
510
A
162
963
510
A β=)(det R1 β R2
162
510
963
A
ββ=)(det
162
510
321
3
ββ=
5100
510
321
3
β
ββ=
R1 β faktor 3 pada baris 1 dikeluarkan dari determinan matriks.
R3β R3 + (β2)R1
5500
510
321
3
β
ββ=
R3β (β1/55)R3
R3β R3 + (β10)R2
1651553 =ββ= ))((
100
510
321
55 3
βββ= )(
Contoh 2, Carilah Determinan matriks berikut :
β
=
5137
0360
6072
3001
A Diketahui,
β
=
5137
0360
6072
3001
A det)det(
C4β C4 + (-3)C1
β
=
26137
0360
0072
0001
A det)det(
Dengan Operasi Pada kolomnya maka determinannya,
= (1)(7)(3)(β26) = β 546
D. Bentuk β bentuk Fungsi Determinan
Misalkan A, B, dan C, matriks berukuran nxn, hanya berbeda satu baris, katakan baris ke-r dan
diasumsikan bahwa baris ke-r dari C adalah hasil penjumlahan antara baris ke-r pada matriks A dan B.
maka,
det(C) = det(A) + det(B)
hasilnya sama.
β+++ )1(71401
302
571
det =
741
302
571
det +
β 110
302
571
det
E. Determinan Dari Perkalian MatriksJika A dan B merupakan matriks bujursangkar berukuran sama, maka
det(AB) = det(A). det(B)Hal ini berlaku juga untuk,Jika B adalah matriks berukuran nxn dan E adalah matriks elementer berukuran nxn, maka
det(EB) = det(E). Det(B)sehingga,
det(E1E2 β¦ ErB) = det(E1) det(E2)β¦ det(Er) det( B)
Contoh 1 : det(E1E2B) = det(E1).det(E2).det( B)
Contoh 2 :
Diketahui,
det(A) = 1, det(B)= β23 dan det(AB) = β23,
maka,
det(AB) = det(A). det(B) terbukti.
F. Determinan Dari Suatu Matriks Invers Jika A adalah matriks yang dapat diinvers maka,
det (A-1) =
=
12
13A
β=
85
31B
=
143
172AB
)(det A
1
G. Sistem Linier dalam bentuk Ax = Ξ»x
Jika suatu sistem linier n dapat dituliskan sebagai,
Ax = Ξ»x
dimana Ξ» adalah skalar maka persamaan ini dapat juga ditulis sebagai,
(Ξ»I β A)x = 0
Contoh :
x1 + 3x2 = Ξ»x1
4x1 + 2x2 = Ξ»x2
dengan bentuk matriks dapat ditulis sebagai,
2
1
x
x
24
31
=
2
1
x
xΞ»
dengan,
sehingga,
atau,
atau,
=
2
1
x
xxdan,
=
24
31A
2
1
x
xΞ»
β
24
31
2
1
x
x
=
0
0
2
1
x
x
10
01Ξ»
ββ
ββ24
31
λλ
=
0
0
β
2
1
x
x
24
31
2
1
x
x
=
0
0
Sehingga,
dan Ξ» adalah nilai eigen atau nilai karakteritik dari A. sedangkan penyelesaian tunggalnya disebut vektor eigen dari A dihubungkan dengan Ξ» .
Sistem persamaan (Ξ»I β A)x = 0, mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika,
det (Ξ»I β A)x = 0
Yang disebut juga sebagai persamaan karakteristik.
Jadi persamaan karakteristik dari A,
ββ
ββ=β
24
31AI
λλ
Ξ»
Jadi persamaan karakteristik dari A,
atau,
Ξ»2 β 3Ξ» β 10 = 0
dengan faktor β faktor persamaannya adalah,
(Ξ» + 2)(Ξ» β 5) = 0
Nilai eigen dari A, Ξ» = β2 dan Ξ» = 5.
Dari definisi diketahui,
024
31)AI =
ββββ
=βΞ»
λλdet(
ββ
ββ24
31
λλ
2
1
x
x
=
ββββ
β
=
0
0
x
x
44
33
0
0
2
1
Untuk, Ξ» = β2,
Untuk, Ξ» = 5
β=
=
t
t
x
xx
2
1
ββ
ββ24
31
λλ
2
1
x
x
=
ββββ
β
=
0
0
x
x
44
33
0
0
2
1
ββ
ββ24
31
λλ
2
1
x
x
=
β
ββ
=
0
0
x
x
34
34
0
0
2
1
=
=
t
t
x
xx 4
3
2
1
H. Ekspansi Kofaktor : Aturan Cramer
1. Kofaktor dan Minor
Jika A adalah matriks bujursangkar, maka elemen minor aij dinotasikan Mij dan didefinisikan sebagai submatriks yang mengandung baris ke-i dan kolom ke-j yang dihapus pada matriks A.
Bilangan (β1)i+j Mij dinotasikan sebagai Cij disebut Kofaktor dari elemen aij.
Contoh :
Misalkan
β=
841
652
413
A
1684
65
841
652
413
M11 ==β
=
16MM)1(C 111111
11 ==β= +
Elemen minor untuk a11 :
Kofaktornya untuk a11 :
Dengan cara yang sama elemen minor a32 :
26MM)1(C 323223
32 β=β=β= +
Kofaktornya untuk a11 :
2662
43
841
652
413
M 32 =β
=β
=
Catatan :
Perbedaan antara elemen minor dan kofaktor hanya pada tanda, Cij = Β± Mij. Langkah untuk menentukan tanda + dan β, disesuaikan dengan faktor baris ke-i dan kolom ke-j itu berada dapat ditunjukkan, susunan daftar berikut :
β+β+β+β+β+β+β+β+β+β+
Contoh : C11= M11 , C21= β M21 , C12 = β M12 , C22 = M22
2. Ekspansi Kofaktor
Misalkan matriks A :
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
det(A)= a11M11 + a12(β M12) + a13M13
= a11C11 + a12C12 + a13C13
Contoh :
βββ=
245
342
013
B Misalkan,
Maka,
45
420
25
321
24
343
245
342
013
Bdetββ
+β
ββ
ββ
=β
ββ=)(
= 3(β 4) β (1)(β 11) + 0 = β 1
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
det(A) = a11C11 + a12C12) + a13C13
= a11C11 + a21C21 + a31C31
= a21C21 + a22C22 + a23C23
= a12C12 + a22C22 + a32C32
= a31C31 + a32C32 + a33C33
= a13C13 + a23C23 + a33C33
Variasi lain penentuan Determinan A adalah :
3. Determinan matriks A, berukuran nxn dapat dihitung dari jumlah semua hasil perkalian elemen pada setiap baris (atau kolom) dengan kofaktornya, untuk setiap
1 β€ i β€ n dan 1 β€ j β€ n.
det(A)= a1jC1j + a2jC2j + β¦ + anjCnj
(ekspansi berdasarkan kofaktor kolom ke - j )
det(A)= ai1Ci1 + ai2Ci2 + β¦ + ainCin
(ekspansi berdasarkan kofaktor baris ke - i )
dan
Contoh 1 :
Misalkan matriks,
akan ditentukan determinannya berdasarkan ekspansi kofaktor kolom 1, maka
45
420
25
321
24
343
245
342
013
Adetββ
+β
ββ
ββ
=β
ββ=)(
= 3(β 4) β (1)(β 11) + 0 = β 1
βββ=
245
342
013
A
Contoh 2 :
Diketahui matriks A, akan ditentukan deteminannya berdasarkan ekspansi kofaktor Operasi barisnya.
0810
3300
1121
3110
Adetβ
β
=)(
Maka,
ββ
=
3573
5142
1121
6253
A
R1 β R1 + (β3)R2
R3 β R3 + (β2)R2
R4 β R4 + (β3)R2
081
330
311ββ=
390
330
311ββ=
Ekspansi berdasarkan baris ke β 2
R3 β R3 + R1
Ekspansi berdasarkan kolom ke β 1
1839
331 β=ββ= )(
4. Matriks Ajoint
Jika A matriks berukuran nxn dan Cij adalah kofaktor dari aij , maka matriks,
nn2n1n
n22221
n11211
CCC
CCC
CCC
Disebut matriks kofaktor dari A. Transpose dari matriks ini disebut adjoint dari A, dinotasikan sebagai adj(A)
β
β=
042
361
123
A
Contoh : misalkan matriks,
Kofaktor dari A
C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16
C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16
C31 = 12 C32 = β10 C33 = 16
β
β
161012
1624
16612
Jadi matriks kofaktornya :
dan adjoint dari A adalah :
ββ=161616
1026
12412
Aadj )(
5. Invers matriks menggunakan matriks Ajoint
Jika A adalah matriks yang dapat diinvers, maka
β
β=
042
361
123
A
Contoh :
)A(adj)A(det
1A 1 =β
ββ=161616
1026
12412
Aadj )(
det (A) = 64
=β΄
β
ββ
6416
6416
6416
6410
642
646
6412
644
6412
1
64
1A
5. Aturan Cramer
Jika Ax = b adalah sistem n persamaan linier yang tidak diketahui, sedemikian sehingga det(A) β 0, maka sistim itu mempunyai penyelesaiannya unik. Penyelesaian adalah :
,Adet
Adetx 1
1 )(
)(= ,Adet
Adetx 2
2 )(
)(= ,Adet
Adetx,... n
n )(
)(=
dimana, Aj merupakan matriks A yang elemen pada kolom keβj diganti oleh elemen matriks,
=
n
2
1
b
b
b
b
Diketahui,
x = A-1b
b)A(adjAdet
1bAx 1
)(== β
=
n
2
1
nnn2n1
2n2212
1n2111
b
b
b
CCC
CCC
CCC
Adet
1
)(
+++
++++++
=
nnnn22n11
2nn222121
1nn212111
CbCbCb
CbCbCb
CbCbCb
Adet
1
)(
Elemen baris ke β j dari x adalah,
)(Adet
Cb...CbCbx jnnj22j11
j
+++=
=
+
+
+
β
β
β
nn1njn
n21j22
n11j11
1nj2n1n
1j22221
1j11211
j
aab
aab
aab
aaa
aaa
aaa
A
)(
)(
Adet
Adetx j
j =
det(Aj) = b1C1j + b2C2j + β¦ + bnCnj
Contoh :
Gunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan sistim persamaan linier berikut :
x1 + + 2x3 = 6 β3x1 + 4x2 + 6x3 = 30 β x1 β 2x2 + 3x3 = 8
44Adet
321
643
201
A =β
βββ= )(
Penyelesaian
40Adet
328
6430
206
A 11 β=β
β= )(
11
10
44
40
Adet
Adetx 1
1
β=β==β)(
)(
72Adet
381
6303
261
A 12 =β
ββ= )(
152Adet
821
3043
601
A 33 =β
βββ= )(
11
18
44
72
Adet
Adetx 2
2 ===β)(
)(
11
38
44
152
Adet
Adetx 3
3 ===β)(
)(
Selesaikanlah SPL berikut dengan menggunakan Aturan Cramer : β a β 4b + 2c + d = β32 2a β b + 7c + 9d = 14
β a + b + 3c + d = 11 a β 2b + c β 4d = β 4