PERTEMUAN 4

KONTINUITAS DAN TEOREMA HARGA

EKSTRIM

Sasaran

Pengkajian mengenai Kontinuitas dan Teorema Harga Ekstrim. Juga dikaji cotoh-contoh dan latihan soal-soal yang berbobot dan menarik.

Pokok Bahasan

KONTINUITAS DAN TEOREMA HARGA

EKSTRIM

Definisi

Suatu fungsi f: D R dengan D R disebut kontinu pada titik x0 dalam D bila untuk setiap barisan {xn} dalam D yang konvergen ke x0, barisan {f(xn)} konvergen ke f(x0). Fungsi f: D R disebut kontinu bila f kontinu di setiap titik dalam D.

Gambar

0

f(x n )

f(x 0 )

x 0 x n

y

x

y=f(x)

Contoh

Ambil fungsi f: R R dengan f(x)= x2 - 2x + 4. Ambil sebarang titik x0 dalam R. Misalkan {xn} adalah barisan yang konvergen ke x0. Menggunakan sifat-sifat dari barisan yang konvergen,

Jadi f kontinu di x0.

) ( 4 2 ) 4 2 ( ) ( 0 0

2

0

2 x f x x x x Lim x f Lim n n n n n

Definisi

Diberikan dua fungsi f: D R dan g:D R. Yang dimaksud dengan jumlah f+g, selisih f-g, dan hasil kali f.g adalah fungsi – fungsi dari D ke R di mana (f+g)(x) = f(x) + g(x), (f-g)(x) = f(x) – g(x), (f.g)(x) = f(x).g(x) untuk setiap x dalam D. Bila g(x) 0 untuk setiap x dalam D, yang dimaksud dengan hasil bagi f/g adalah fungsi dari D ke R di mana

(f/g)(x) = f(x) / g(x)untuk setiap x dalam D.

Teorema

Diberikan fungsi – fungsi f: D R dan g: D R yang kontinu di x0 dalam D. Maka, jumlah

f+g : D R kontinu di x0,Selisih

f-g : D R kontinu di x0, Hasil kali

f.g : D R kontinu di x0. Bila g(x) 0 untuk setiap x dalam D, maka hasil bagi

f/g : D R kontinu di x0.

Definisi

Untuk setiap bilangan cacah k dan bilangan – bilangan c0, c1,… , ck, fungsi p: R R di mana untuk semua x dalam R

disebut polinomial. Bila ck 0, p: R R dikatakan punya derajat k.

k

i

iixcxp

0

)(

Akibat

Misalkan p: R R adalah polinomial. Maka p kontinu. Bila q: R R juga polinomial dan himpunan D={ x dalam R: q(x) 0}, maka hasil bagi p/q: D R juga kontinu.

Definisi

Untuk fungsi-fungsi f: D R dan g: U R sedemikian sehingga f(D) U, maka yang dimaksud dengan fungsi komposisi dari f dan g, ditulis

g o f : D R,didefinisikan dengan (gof)(x)=g(f(x)) untuk semua dalam D.

Teorema

Untuk fungsi-fungsi f: D R dan g: U R sedemikian sehingga f(D) U, misalkan f kontinu di x0 dalam D dan g kontinu di f(x0). Maka fungsi komposisi gof kontinu di x0.

Contoh

Diberikan fungsi dari [-1,1] ke R. Karena polinomial- polinomial dan fungsi akar adalah kontinu dan berdasar pada teorema di atas maka fungsi h juga kontinu.

21)( xxh

Teorema (Teorema Harga Ekstrim)

Misalkan fungsi f:[a,b] R adalah kontinu. Maka terdapat x1 dan x2 dalam [a,b] sedemikian sehingga f(x1) f(x) f(x2) untuk semua x dalam [a,b].

Gambar

y=f(x)

x

y

0 a bx1 x2

Lemma

Misalkan f:[a,b] R kontinu. Maka terdapat bilangan positif M sedemikian sehingga

f(x) M untuk semua x dalam [a,b].

Definisi

Himpunan K dari bilangan–bilangan real disebut kompak bila setiap barisan dalam K punya barisan bagian yang konvergen ke suatu titik dalam K.

Teorema

Misalkan K adalah kompak dan tidak kosong dan fungsi f: K R adalah kontinu. Maka f mencapai maksimum dan minimumnya dalam K, yaitu terdapat x1 dan x2 dalam K sedemikian sehingga f(x1)f(x)f(x2) untuk semua x dalam K.