HANDOUT PERSAMAAN SCHRODINGERdisusun guna memenuhi tugas mata kuliah Fisika Kuantum Rombel 3

Dosen Pengampu : Ngurah Made Dharma Putra

Oleh :Fiki Layyinatun Najwa (4201412097)

JURUSAN FISIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS NEGERI SEMARANG2015PERSAMAAN SCHRODINGERPersamaan Schrodinger merupakan fungsi gelombang yang digunakan untuk memberikan informasi tentang perilaku gelombang dari partikel. Suatu persamaan differensial akan menghasilkan pemecahan yang sesuai dengan fisika kuantum.Fungsi gelombang dapat dituliskan sebagai berikut.

Dengan dan Sehingga, fungsi gelombang menjadi

Tinjaulah sebuah partikel yang memiliki massa m, bergerak dengan momentum p di dalam suatu medan konservatif. Menurut mekanika klasik, energi total partikel adalah jumlah energi kinetik dan potensial:

Sehingga dengan menstubtitusikan dan sebagai penurunan fungsi gelombang, maka diperoleh

Persamaan ini disebut sebagai Persamaan Schrodinger bergantung waktu.

1. Persamaan Schrodinger Bebas Waktu Aplikasi persamaan schrodinger dalam banyak hal akan berkaitan dengan energi potensial, yaitu besaran yang merupakan fungsi posisi dan bukan merupakan fungsi waktu. Perhatian kita tidak tertuju pada keberadaan elektron dari waktu ke waktu, melainkan tertuju pada kemungkinan elektron berada dalam selang waktu yang panjang. Untuk itu persamaan schrodinger dapat dinyatakan dalam persamaan schrodinger bebas waktu atau tak gayut waktu.Operator dapat dinyatakan sebagai

Sehingga persamaan schrodinger akan menjadi

Pada persamaan di atas yaitu energi potensial tidak bergantung waktu. Karena ruas kanan dan kiri memiliki peubah yang berbeda maka hanya benar jika kedua ruas pada persamaan tersebut sama dengan suatu tetapan tertentu.

Sehingga menurut persamaan fungsi gelombang, tetapan memiliki dimensi tenaga atau .

Persamaan di atas disebut sebagai persamaan schrodinger bebas waktu untuk satu dimensi. Sedangkan untuk tiga dimensi maka persamaan schrodinger bebas waktu menjadi

Dengan yang disebut dengan pengandar laplace. 2. Persamaan Schrodinger Bergantung WaktuSetelah persamaan schrodinger bebas waktu ditemukan, maka dengan mudah kita menemukan persamaan scrodinger bergantung yang memberikan gambaran mengenai keberadaan elektron dari waktu ke waktu.

Atau dapat ditulis juga dengan

Dengan, Karena , maka

Untuk tiga dimensi, maka persamaan schrodinger bergantung waktu menjadi

Fungsi keadaan dapat dinyatakan sebagai

3. Persamaan KontinuitasPersamaan kontinuitas digunakan untuk mengetahui apakah dalam aliran partikel flux arus bersifat konstan atau tidak. Jika terjadi terjadi perubahan flux arus di tempat yang berbeda dalam suatu aliran partikel berarti terjadi kebocoran dalam aliran tersebut. Persamaan kontinuitas diturunkan dari persamaan Schrodinger yang bergantung waktu. Persamaan tersebut dapat ditulis sebagai berikut :

, dengan konjugat kompleksnya :

. Jika masing masing persamaan dikalikan

dan .Jika keduanya dijumlahkan didapat :

Dimana Flux didefinisikan sebagai :

Jadi

Persamaan tersebut merupakan hukum konsevatif, jika persamaan tersebut diterapkan untuk mengetahui perubahan probabilitas disuatu tempat x=a sampai x=b terhadap waktu maka,

Jadi besarnya perubahan Probabilitas terhadap waktu antara a sampai b sama dengan perbedaan flux di tempat a dan b untuk waktu yang sama.

4. Sifat-sifat fungsi gelombangUntuk fungsi gelombang partikel yang tidak bergantung waktu berlaku persamaan-persamaan sebagai berikut. menyatakan peluang untuk menemukan partikel di antara dan menyatakan rapat peluang partikel berada di Sehingga, total peluang untuk menemukan partikel di sepanjang sumbu-x adalah

atau

Dengan adalah konjugasi dari . Fungsi yang memenuhi persamaan di atas disebut fungsi yang ternormalisasi.Suatu fungsi gelombang partikel harus memiliki kelakuan yang baik, yakni: tidak sama dengan nol dan bernilai tunggal, artinya untuk suatu harga , memiliki hanya satu harga saja. fungsi dan turunannya kontinu di semua harga , fungsi (harga mutlaknya) tetap terbatas untuk menuju ;Sebagai contoh,

, maka hasil integral di atas adalah , sehingga.Jadi secara lengkap fungsi yang ternormalisasi adalah

Jika adalah kombinasi linier dari sekumpulan fungsi-fungsi , maka penulisannya secara umum adalah seperti

Dengan adalah bagi fungsi yang bisa bernilai riil ataupun kompleks. Jika adalah fungsi-fungsi ternormalisasi dan orthogonal satu sama lain, maka

Jika fungsi-fungsi ternormalisasi dan juga orthogonal (disebut oronormal) satu sama lain, maka akan berlaku

Dengan disebut kronecker delta. Jika fungsi yang ternormalisasi, maka

Jadi,

5. Ortogonalisasi SchmidtAndaikan dan adalah fungsi-fungsi yang non-ortogonal satu terhadap lainnya. Misalkan , lalu pilih . Besarnya dihitung atas dasar dan yang ortogonal satu sama lain.

Secara umum harga rata-rata suatu besaran fisis pada fungsi keadaannya memenuhi persamaan

Dengan harga rata-rata besaran fisis untuk fungsi keadaan, dan merupakan fungsi keadaan partikel dan konjugatnya, dan adalah operator besaran fisis. Sedangkan untuk fungsi keadaan yang ternormalisasi adalah

Andaikan :

Jika adalah fungsi-fungsi yang ortonormal.

Karena harga rata-rata suatu besaran fisis adalah riil maka berlaku

Secara matematik, operator yang memenuhi persamaan di atas disebut operator hermitian.6. Persamaan Gerak HeisenbergSecara umum jika adalah harga rata-rata operator besaran fisis dengan fungsi gelombang , maka:

Variasi harga rata-rata itu terhadap waktu adalah

Mengingat : dan Sehingga,

maka :

Jadi, Dengan

operator turunan dari turunan dari Jika operator komut dengan maka . Jika operator selain komut dengan , juga tak bergantung waktu : . Besaran fisis seperti itu disebut tetapan gerak dari partikel (kekal dalam pengertian klasik.