25/03/2008 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 1

Persamaan Diferensial Linear Orde Dua

)()(')(")( xryxqyxpyxf =++-Suatu persamaan diferensial adalah linear, jika koefisiennyakonstan atau hanya merupakan fungsi dari variabel bebasnya.

Contoh :

xxyyxy sin2'3" =−+ (linear tak homogen)

(linear homogen)062")1( 2 =+−− yxyyxxeyxyxyy =+− 22)'(" (tak linear tak homogen)

25/03/2008 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 2

Konsep Penyelesaian Prinsip Superposisi

0" =+ yyxxy

xyxyxy

sin8cos2cos3

sincos

−====

Dalam kasus persamaan linear homogen kita dapatmemperoleh penyelesaian baru dari beberapapenyelesaian yang diketahui dengan perkalian danpenjumlahan konstanta (Prinsip Superposisi).

Contoh :

Kombinasi linear

sembarang)konstanta,( 212211 ccycycy +=

25/03/2008 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 3

Persamaan Diferensial Homogendengan Koefisien Konstan

0'" =++ cybyay

( )( )

00

0",',

2

2

2

2

a,b dan c konstan

=++

=++

=++

===

cbaecba

ceebeaeyeyey

x

xxx

xxx

λλ

λλ

λλ

λλ

λ

λλλ

λλλ

Persamaan Karakteristik

Penyelesaian :

25/03/2008 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 4

aacbbdan

aacbb

cba

24

24

02

2

2

1

2

−−−=

−+−=

=++

λλ

λλ

xx ececyUP 2121

21

..

danberbedayangriilakarDuaλλ

λλ

+=

Contoh : 02'3" =++ yyy

22

893dan12

893

023

21

2

−=−−−

=−=−+−

=

=++

λλ

λλ

xx ececyUP 221.. −− +=

25/03/2008 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 5

( )xBxAeyUPa

acbabjj

x ββ

βαβαλβαλ

λλ

α sincos..2

4,2

,

dankonjugatKompleksAkar 2

021

21

+=

−=−=⇒−=+=

010'2" =+− yyyContoh :

312

4042dan312

4042

0102

21

2

jj −=−−

=+=−+

=

=+−

λλ

λλ

( )xBxAeyUP x 3sin3cos.. +=

25/03/2008 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 6

xexccyUPab

α

αλλ

)(..2

,samaakarDua

21

21

+=

−==

22

16164dan22

16164

044

21

2

−=−−−

=−=−+−

=

=++

λλ

λλ04'4" =++ yyy

xexccyUP 221 )(.. −+=

Contoh :

Operator DiferensialL,''',",' 32 yyDyyDyDy ===

0)44( 2 =++ yDDContoh :

25/03/2008 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 7

Persamaan Diferensial Tak Homogen denganKoefisien Konstan )('" xrcybyay =++ (1)

homogen tak khususan penyelesai

homogen umuman penyelesai..

=

=+=

p

hph

y

yyyyUP

xkeγBentuk pada r(x) Pilihan untuk yp

xCeγ

),1,0( L=nkxn01

11 KxKxKxK n

nn

n ++++ −− L

xkxk

ωω

sincos

xMxK ωω sincos +

Tabel 1. Metode Koefisien Taktentu

25/03/2008 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 8

Aturan untuk Metode Koefisien Taktentu

A. Aturan dasar. Jika r(x) dalam persamaan (1) merupakan salahsatu fungsi yang terdapat pada kolom pertama dari tabel 1 pilihlahfungsi yp yang bersesuaian dari kolom kedua dan tentukan koefisientaktentunya dengan cara substitusi dan turunannya kedalampersamaan (1)

B. Aturan Modifikasi. Jika r(x) merupakan penyelesaian persamaanhomogen dari persamaan (1), maka kalikan yp yang kita pilih dengan x(atau x2 jika penyelesaian ini diperuntukan bagi akar kembarpersamaan karakterisrtik dari persamaan homogen

C. Aturan Penjumlahan. Jika r(x) merupakan penjumlahan fungsi-fungsi yang berasal dari beberapa baris dari kolom pertama pada tabel1, maka pilihlah yp yang berupa penjumlahan fungsi-fungsi dari barisyang bersesuaian dalam kolom kedua.

25/03/2008 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 9

xyyy 4sin26'5" =+−

06'5" =+− yyy

xxh ececy 2

23

1

21

2

22

24255dan32

24255

065

+=

=−−

==−+

=

=+−

λλ

λλ

xMxKy

xMxKy

xMxKy

p

p

p

4sin164cos16"

4cos44sin4'

4sin4cos

−−=

+−=

+=

Homogen

Tak HomogenPilihan untuk yp

Contoh :

25/03/2008 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 10

252

251

502

2502102004020

2)1020(0)2010(

=−=−=

=−=−=−−

=−=−−

KM

MMKMK

MKMK

xMKxMKxMxKxMxKxKxMxMxKxMxKxMxK

4sin)1020(4cos)2010(4sin64cos6)4sin4cos(64sin204cos20)4cos44sin4(54sin164cos16)4sin164cos16(

−+−−=+=++−=+−−−−=−−

Samakan koefisien

xyyy 4sin26'5" =+−Subtitusi yp

+

xxMKxMK 4sin24sin)1020(4cos)2010( =−+−−

xxececy

yyy

xxy

xx

ph

p

4sin2514cos

252

4sin2514cos

252

22

31 −++=

+=

−=