Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan. Di

dalam kombinasi, urutan tidak diperhatikan.

{1,2,3} adalah sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}.

Contoh: Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang

disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C. Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk

mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan?

Solusi: Ada 3 kombinasi yaitu; A-B, A-C dan B-C.

Sedangkan permutasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup dengan memperhatikan

urutan. Di dalam permutasi, urutan diperhatikan.

{1,2,3} tidak sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}

Contoh: Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijau dan biru. Jika seorang

anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak dan urutan pengambilan diperhatikan, ada berapa

permutasi yang terjadi?

Solusi: Ada 6 permutasi yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.

Salah satu aplikasi kombinasi dan permutasi adalah digunakan untuk mencari probabilitas suatu

kejadian.

Daftar isi

  [sembunyikan] 

1 Rumus

o 1.1 Permutasi pengulangan

o 1.2 Permutasi tanpa pengulangan

o 1.3 Kombinasi tanpa pengulangan

o 1.4 Kombinasi pengulangan

2 Lihat pula

[sunting]Rumus

[sunting]Permutasi pengulangan

Jika urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali maka jumlah permutasinya adalah:

di mana n adalah banyaknya objek yang dapat dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.

Sebagai contoh, jika kamu memiliki huruf A, B, C, dan D dan kamu ingin mencari tahu ada berapa

cara untuk menyusunnya dalam suatu grup yang berisi tiga angka maka kamu akan menemukan

bahwa ada 43 atau 64 cara untuk menyusunnya. Beberapa cara untuk menyusunnya adalah: AAA,

BBB, CCC, DDD, ABB, CBB, DBB, dst.

[sunting]Permutasi tanpa pengulangan

Jika urutan diperhatikan dan setiap objek yang tersedia hanya bisa dipilih atau dipakai sekali maka

jumlah permutasi yang ada adalah:

di mana n adalah jumlah objek yang dapat kamu pilih, r adalah jumlah yang harus dipilih

dan ! adalah simbol faktorial.

Sebagai contoh, ada sebuah pemungutan suara dalam suatu organisasi. Kandidat yang bisa

dipilih ada lima orang. Yang mendapat suara terbanyak akan diangkat menjadi ketua organisasi

tersebut. Yang mendapat suara kedua terbanyak akan diangkat menjadi wakil ketua. Dan yang

mendapat suara ketiga terbanyak akan menjadi sekretaris. Ada berapa banyak hasil

pemungutan suara yang mungkin terjadi? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-

3)! = 60 permutasi.

Umpamakan jika n = r (yang menandakan bahwa jumlah objek yang bisa dipilih sama dengan

jumlah yang harus dipilih) maka rumusnya menjadi:

 karena 0! = 1! = 1

Sebagai contoh, ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi

(tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka

1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong? Dengan menggunakan

rumus n! maka ada 5! = 120 permutasi.

[sunting]Kombinasi tanpa pengulangan

Ketika urutan tidak diperhatikan akan tetapi setiap objek yang ada hanya bisa dipilih sekali

maka jumlah kombinasi yang ada adalah:

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.

Sebagai contoh, kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna yang berbeda yaitu;

merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu

hanya boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak cara untuk

mengkombinasikan pensil warna yang ada? Dengan menggunakan rumus di atas maka

ada 5!/(5-2)!(2)! = 10 kombinasi.

[sunting]Kombinasi pengulangan

Jika urutan tidak diperhatikan dan objek bisa dipilih lebih dari sekali, maka jumlah

kombinasi yang ada adalah:

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus

dipilih. Sebagai contoh jika kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donut itu

menyediakan 10 jenis donat berbeda. Kamu ingin membeli tiga donat. Maka

kombinasi yang dihasilkan adalah (10+3-1)!/3!(10-1)! = 220 kombinasi.

[sunting]Lihat pula

Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan

yang semula. Sebagai contoh, kata-kata dalam kalimat sebelumnya dapat disusun kembali sebagai

"adalah Permutasi suatu urutan yang berbeda urutan yang kumpulan semula objek penyusunan kembali

dalam dari." Proses mengembalikan objek-objek tersebut pada urutan yang baku (sesuai ketentuan)

disebut sorting.

Daftar isi

  [sembunyikan] 

1 Pengertian

o 1.1 Menghitung Banyaknya Permutasi yang Mungkin

2 Bilangan Inversi

o 2.1 Faktoradik

3 Membangkitkan Permutasi

4 Jenis-jenis Permutasi Lainnya

o 4.1 Permutasi-k dari n benda

o 4.2 Permutasi dengan elemen yang identik

o 4.3 Permutasi siklis

5 Lihat pula

6 Pranala luar

[sunting]Pengertian

Jika terdapat suatu untai abjad abcd, maka untai itu dapat dituliskan kembali dengan urutan yang

berbeda: acbd, dacb, dan seterusnya. Selengkapnya ada 24 cara menuliskan keempat huruf tersebut

dalam urutan yang berbeda satu sama lain.

abcd abdc acbd acdb adbc adcb

bacd badc bcad bcda bdac bdca

cabd cadb cbad cbda cdab cdba

dabc dacb dbac dbca dcab dcba

Setiap untai baru yang tertulis mengandung unsur-unsur yang sama dengan untai semula abcd, hanya

saja ditulis dengan urutan yang berbeda. Maka setiap untai baru yang memiliki urutan berbeda dari untai

semula ini disebut dengan permutasi dari abcd.

[sunting]Menghitung Banyaknya Permutasi yang Mungkin

Untuk membuat permutasi dari abcd, dapat diandaikan bahwa terdapat empat kartu bertuliskan masing-

masing huruf, yang hendak kita susun kembali. Juga terdapat 4 kotak kosong yang hendak kita isi

dengan masing-masing kartu:

Kartu Kotak kosong

----------- ---------------

a b c d [ ] [ ] [ ] [ ]

Maka kita dapat mengisi setiap kotak dengan kartu. Tentunya setiap kartu yang telah dipakai tidak dapat

dipakai di dua tempat sekaligus. Prosesnya digambarkan sebagai berikut:

Di kotak pertama, kita memiliki 4 pilihan kartu untuk dimasukkan.

Kartu Kotak

----------- ---------------

a b c d [ ] [ ] [ ] [ ]

^ 4 pilihan: a, b, c, d

Sekarang, kondisi kartunya tinggal 3, maka kita tinggal memiliki 3 pilihan kartu untuk dimasukkan di

kotak kedua.

Kartu Kotak

----------- ---------------

a * c d [b] [ ] [ ] [ ]

^ 3 pilihan: a, c, d

Karena dua kartu telah dipakai, maka untuk kotak ketiga, kita tinggal memiliki dua pilihan.

Kartu Kotak

----------- ---------------

a * c * [b] [d] [ ] [ ]

^ 2 pilihan: a, c

Kotak terakhir, kita hanya memiliki sebuah pilihan.

Kartu Kotak

----------- ---------------

a * * * [b] [d] [c] [ ]

^ 1 pilihan: a

Kondisi terakhir semua kotak sudah terisi.

Kartu Kotak

----------- ---------------

* * * * [b] [d] [c] [a]

Di setiap langkah, kita memiliki sejumlah pilihan yang semakin berkurang. Maka banyaknya semua

kemungkinan permutasi adalah 4×3×2×1 = 24 buah. Jika banyaknya kartu 5, dengan cara yang sama

dapat diperoleh ada 5×4×3×2×1 = 120 kemungkinan. Maka jika digeneralisasikan, banyaknya permutasi

dari n unsur adalah sebanyak  .

[sunting]Bilangan Inversi

Setiap permutasi dapat kita kaitkan dengan barisan bilangan yang disebut sebagai barisan bilangan

inversi. Setiap unsur dalam permutasi dikaitkan dengan sebuah bilangan yang menunjukkan banyaknya

unsur setelah unsur tersebut, yang posisinya salah. Sebagai contoh, salah satu permutasi dari

untai abcdefg adalah dacfgeb. Maka untuk setiap unsurdacfgeb dapat dibuat bilangan inversinya:

Posisi

Unsur Bilangan

0 d 3Ada 3 huruf setelah posisi 0, yang seharusnya berada sebelum d, yaitu a, b, dan c.

1 a 0 Tidak ada huruf setelah posisi 1, yang seharusnya berada sebelum a.

2 c 1 Ada 1 huruf setelah posisi 2, yang seharusnya berada sebelum c, yaitu b.

3 f 2 Ada 2 huruf setelah posisi 3, yang seharusnya berada sebelum f, yaitu e, dan d.

4 g 2 Ada 2 huruf setelah posisi 4, yang seharusnya berada sebelum g, yaitu e, dan b.

5 e 1 Ada 1 huruf setelah posisi 5, yang seharusnya berada sebelum g, yaitu b.

6 b 0 Tidak ada huruf setelah b.

Maka barisan bilangan inversi dari dacfgeb adalah 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0.

[sunting]Faktoradik

Barisan bilangan inversi dapat dimengerti sebagai sebuah sistem bilangan, yang setiap digitnya

memiliki sifat:

dan

Sistem bilangan ini disebut sebagai faktoradik. Masing-masing faktoradik dapat diubah

maupun dibentuk dari bilangan desimal. Ini berguna untuk dapat menghasilkan permutasi

ke-k dari sebuah untai.

[sunting]Membangkitkan Permutasi

Permasalahan umum yang terdapat seputar membangkitkan permutasi adalah:

Diberikan sebuah untai S, tentukan:

Semua permutasi dari S

Semua permutasi n-elemen dari S

Permutasi berikutnya setelah S

Permutasi ke-k dari s sesuai urutan leksikografik (atau aturan lainnya)

[sunting]Jenis-jenis Permutasi Lainnya

[sunting]Permutasi-k dari n benda

Terkadang kita hanya ingin menyusun ulang sejumlah elemen saja, tidak semuanya.

Permutasi ini disebut permutasi-k dari n benda. Pada contoh untai abcd, maka permutasi-2

dari abcd (yang semuanya ada 4 unsur) adalah sebanyak 12:

ab ac ad

ba bc bd

ca cb cd

da db dc

Sedangkan permutasi-3 dari untai yang sama adalah sebanyak 24:

abc abd acb acd adb adc

bac bca bad bda bcd bdc

cab cba cad cda cbd cdb

dab dba dac dca dbc dcb

Banyaknya kemungkinan permutasi seperti ini adalah

[sunting]Permutasi dengan elemen yang identik

Terkadang tidak semua unsur dalam permutasi dapat dibedakan. Unsur-unsur ini

adalah unsur-unsur yang identik atau sama secara kualitas. Suatu untai aabc terdiri dari

4 macam unsur, yaitu a, b, dan c tetapi unsur a muncul sebanyak dua kali.

Kedua a tersebut identik. Permutasi dari aabc adalah berjumlah 12:

aabc aacb abac abca

acab acba baac baca

bcaa caab caba cbaa

Ini bisa dimengerti sebagai permutasi biasa dengan kedua unsur a dibedakan, yaitu

a0 dan a1:

a0a1bc a1a0bc = aabc

a0a1cb a1a0cb = aacb

a0ba1c a1ba0c = abac

a0bca1 a1bca0 = abca

a0ca1b a1ca0b = acab

a0cba1 a1cba0 = acba

ba0a1c ba1a0c = baac

ba0ca1 ba1ca0 = baca

bca0a1 bca1a0 = bcaa

ca0a1b ca1a0b = caab

ca0ba1 ca1ba0 = caba

cba0a1 cba1a0 = cbaa

Total permutasi dari untai aabc adalah sebanyak 4! = 24. Tetapi total permutasi ini juga

mencakup posisi a0 dan a1 yang bertukar-tukar, yang jumlahnya adalah 2!

(karena a terdiri dari 2 unsur: a0 dan a1). Dengan demikian jika dianggap a0 = a1 maka

banyak permutasinya menjadi 4! dibagi dengan 2!. Cara menghitung ini dapat

digeneralisasikan:

Untuk untai S sepanjang n yang mengandung satu macam unsur identik sebanyak k:

Lebih umum lagi, jika panjang untai adalah n, mengandung m macam unsur yang

masing-masing adalah sebanyak k1, k2, ..., km, maka:

atau

Sebagai contoh, untai aaaaabbcccdddddd terdiri dari 5 a, 2 b, 3 c, dan 6 d,

maka banyaknya permutasi yang dapat dibentuk:

Dalam permutasi biasa, misalnya abcd, setiap unsur hanya muncul

satu kali, sehingga

Unsur yang identik tersebut tidak perlu benar-benar identik, tetapi

bisa merupakan unsur yang berbeda, tetapi ada kualitas tertentu

yang kita anggap sama dari kedua unsur tersebut. Sebagai

contoh, huruf A dan huruf a bisa dianggap identik untuk keperluan

tertentu.

[sunting]Permutasi siklis

Permutasi siklis menganggap elemen disusun secara melingkar.

h a

g b

f c

e d

Pada susunan di atas, kita dapat membaca untai tersebut sebagai

salah satu dari untai-untai berikut:

abcdefgh

bcdefgha

cdefghab

defghabc

efghabcd

fghabcde

ghabcdef

habcdefg

Cara membaca untai abcdefgh dalam susunan melingkar tersebut

bermacam-macam, maka setiap macam cara kita anggap identik

satu sama lain. Permutasi siklis dapat dihitung dengan

menganggap bahwa satu elemen harus ditulis sebagai awal untai.

a bcdefgh

--------

^ bagian yang dipermutasikan

Dengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen)

adalah n, dan karena elemen awal tidak boleh diubah-ubah

posisinya, maka banyaknya elemen yang dapat berubah-ubah

posisinya adalah n-1. Dengan demikian kita cukup

mempermutasikan elemen yang dapat berubah-ubah posisi saja,

yaitu sebanyak  .

stilah kombinasi dalam matematika kombinatorik berarti himpunan objek yang tidak mementingkan

urutan. Kombinasi berbeda dengan permutasi yang mementingkan urutan objek.

Daftar isi

  [sembunyikan] 

1 Definisi

2 Sifat rekursif dari Kombinasi

3 Hubungan dengan Permutasi

o 3.1 Hubungan dengan Permutasi Berunsur Identik

4 Koefisien Binomial

5 Segitiga Pascal

6 Membangkitkan Kombinasi

7 Lihat pula

[sunting]Definisi

Kombinasi C dari sebuah himpunan S adalah himpunan bagian dari S.

Sebagai contoh, misalkan terdapat suatu kumpulan buah: apel, jeruk, mangga, pisang. Maka {apel,

jeruk} dan {jeruk, mangga, pisang} adalah merupakan kombinasi dari kumpulan tersebut. Seluruh

himpunan bagian yang mungkin dibentuk dari kumpulan buah tersebut adalah:

tidak ada buah apa pun

satu buah:

apel

jeruk

mangga

pisang

dua buah:

apel, jeruk

apel, mangga

apel, pisang

jeruk, mangga

jeruk, pisang

mangga, pisang

tiga buah:

apel, jeruk, mangga

apel, jeruk, pisang

apel, mangga, pisang

jeruk, mangga, pisang

empat buah:

apel, jeruk, mangga, pisang

Kombinasi r dari sebuah himpunan S, berarti dari himpunan S diambil elemen sebanyak r untuk

dijadikan sebuah himpunan baru. Dalam hal kumpulan buah di atas, himpunan {apel, jeruk, pisang}

adalah sebuah kombinasi 3 dari S, sedangkan {jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 2 dari S.

Banyaknya kombinasi r dari sebuah himpunan berisi n elemen dapat dihitung tanpa harus

memperhatikan isi dari himpunan tersebut. Besarnya dinyatakan dengan fungsi:

Fungsi   dalam banyak literatur dinyatakan juga dengan notasi  .

Sebagai contoh, tanpa harus mengetahui elemen himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang},

banyaknya kombinasi 3 dari himpunan tersebut dapat dihitung:

[sunting]Sifat rekursif dari Kombinasi

Kombinasi dapat dibentuk dari dua kombinasi sebelumnya. Ini mengakibatkan banyaknya

kombinasi juga bersifat rekursif:

[sunting]Hubungan dengan Permutasi

Dari himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} dapat diambil permutasi 3 unsur, yang

dapat didaftar sebagai berikut:

apel jeruk

mangga

apel mangga

jeruk

jeruk apel

mangga

jeruk mangga

apel

mangga apel

jeruk

mangga jeruk

apel

apel jeruk

pisang

apel pisang

jeruk

jeruk apel

pisang

jeruk pisang

apel

pisang apel

jeruk

pisang jeruk

apel

apel mangga

pisang

apel pisang

mangga

mangga apel

pisang

mangga

pisang apel

pisang apel

mangga

pisang

mangga apel

jeruk mangga

pisang

jeruk pisang

mangga

mangga jeruk

pisang

mangga

pisang jeruk

pisang jeruk

mangga

pisang

mangga jeruk

Perhatikan bahwa dalam susunan ini setiap kolom merupakan permutasi dari kolom

pertama. Karena dalam kombinasi urutan tidak dipentingkan, maka cukup salah satu

kolom saja yang diambil. Jika kita mengambil kolom pertama saja, maka kita

mendapatkan kombinasi 3 dari keempat buah tersebut adalah:

apel, jeruk, mangga

apel, jeruk, pisang

apel, mangga, pisang

jeruk, mangga, pisang

Penyusunan tabel seperti di atas akan menghasilkan   atau 24 permutasi, dengan   

kolom, karena untuk setiap baris terdapat   permutasi dari kolom pertama. Dengan

demikian, jumlah baris dari tabel akan sebesar:

Aturan seperti ini dapat digeneralisasikan sehingga untuk setiap n unsur yang

dikombinasikan r unsur, berlaku:

Yang dapat dengan mudah dibuktikan:

[sunting]Hubungan dengan Permutasi Berunsur Identik

Kombinasi juga berhubungan dengan permutasi dengan unsur identik.

Kombinasi dari sebuah himpunan S dapat dimengerti sebagai pemilihan

unsur-unsur himpunan S. Unsur yang terpilih kita tandai dengan 1, dan

yang tidak terpilih kita tandai dengan 0. Dengan demikian dari himpunan

{apel, jeruk, mangga, pisang} tersebut, kita dapat mendaftarkan kombinasi-

3 nya seperti ini:

Kombinasi apel jeruk mangga pisang

apel, jeruk, mangga 1 1 1 0

apel, jeruk, pisang 1 1 0 1

apel, mangga, pisang 1 0 1 1

jeruk, mangga, pisang

0 1 1 1

Dengan demikian, banyaknya kombinasi 3 unsur dari

himpunan S yang berisi 4 benda setara dengan banyaknya permutasi

terhadap untai 1110, yaitu:

Karena untai 1110 memiliki 4 unsur, tetapi ada 3 unsur identik,

yaitu 1. Maka total permutasinya adalah 4! dibagi dengan 3!.

Kombinasi r dari n unsur, sesuai dengan pengertian itu, selalu

setara dengan permutasi yang terdiri dari r angka 1 dan n -

r angka 0. Maka permutasinya menjadi:

Yang sesuai dengan rumus kita di awal, untuk

menghitung  .

[sunting]Koefisien Binomial

Suatu binomial   yang dijabarkan dalam bentuk

jumlahan, akan membangkitkan koefisien-koefisien yang

merupakan bilangan kombinasi.

Dengan penjabaran seperti di atas, maka banyaknya

kombinasi r dari n unsur bisa didapat dari setiap suku:

Daftar berikut menunjukkan beberapa penjabaran

binomial:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

[sunting]Segitiga Pascal

Dengan menuliskan hanya koefisiennya saja, dari

penjabaran binomial dapat kita peroleh:

1.

2.

3.

4.

Jika diteruskan, daftar koefisien ini akan membentuk

susunan yang disebut sebagai Segitiga Pascal.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1