PENGERTIAN DAN PROSEDUR TWO PHASE SAMPLING/

DOUBLE SAMPLING

Definisi:

Two Phase Sampling/Double Sampling adalah suatu metode penarikan contoh dengan mengambil sampel pendahuluan yang besar untuk menduga atau distribusi x sebagai variabel pem-bantu (informasi) dan selanjutnya hanya sampel yang kecil (kadang-kadang suatu sub-sampel) untuk mengukur variabel y, yaitu karakter yang ingin diestimasi.

X

“……………An important application of multi phase sampling is the use of information abtained at the first phase as supplementary information to provide more accurate estimates (by the method of regression or ratio), of the mean, totals, etc., of variates obtained only in the second phase” [UN, 1950]

Perbedaan antara Multi Phase Sampling dan Multi Stage Sampling adalah dalam Multi Phase Sampling perlu memiliki frame unit-unit pengam-bilan sampel yang lengkap, sedang dalam Multi Stage Sampling, frame pengambilan sampel unit-unit tahap berikutnya hanya perlu untuk unit-unit sampel yang terpilih pada tahap tersebut.

Rancangan ini menguntungkan jika peningkatan presisi adalah hal utama bila dibandingkan terhadap peningkatan biaya karena pengumpulan informasi variabel pembantu untuk sampel besar.

Perbedaan dengan Multi Stage Sampling

Perbedaan dengan Multi Stage Sampling (lanjutan)

Multi Phase Sampling Multi Stage Sampling

Primary Sampling Unit (psu)

‘y’ Variable

Second s tag e

Firs t st ag e

Some element of selected sample (ssu)from Primary Sampling

Unit (psu)

Unit sampel

Collecting data on some suitable auxiliary variable

Arrangement and stratification

Sub sample

‘y’ Variable

Completeframe

Fir

st p

hase

Sec

ond

phas

e

N

Ilustrasi:

Survei tentang pengeluaran konsumsi rumah tangga di suatu kota. Ketika tersedia hanya daftar seluruh rumah tangga tanpa keterangan lain.

Prosedur satu adalah memilih sampel rumah tangga dan kemudian mengumpulkan data mengenai pengeluaran konsumsi, tetapi prosedur demikian mungkin membutuhkan lebih banyak sampel dan sebab itu biaya menjadi pertimbangan jika ada variasi diantara rumah tangga.

Alternatif prosedur kasus demikian yang mana mungkin lebih ekonomis, yaitu dengan mengumpulkan data mengenai karakteristik sederhana yang berhubungan dengan pengeluaran konsumsi seperti jumlah anggota rumah tangga, rata-rata mata pencaharian, dsb. pada rumah tangga sampel terpilih di fase perrtama dan menggunakan informasi ini untuk pengaturan, stratifikasi dan pemilihan dari rumah tangga sampel fase kedua untuk pengumpulan data pengeluran konsumsi.

1. Mendapatkan stratifikasi disain sampling;2. Mendapatkan frame sesuai unit sampling;3. Biaya untuk penarikan sub-sampel lebih kecil;4. Bisa digunakan untuk integrated survey dengan tujuan

efisiensi biaya dan disain;5. Dapat digunakan bila informasi mengenai variabel pembantu

kurang;6. Dapat digunakan bila penimbang (Wh=Nh/N) dari stratifikasi

tidak diketahui (diestimasi dengan wh=nh’/n’).

Keuntungan:

Kelemahan:1. Biaya untuk penarikan sampel awal besar;2. Beban petugas lapangan tidak sama, karena tidak semua

wilayah survei mengandung informasi yang diperlukan;3. Waktu lebih lama karena harus menunggu semua listing

selesai, baru dapat dilakukan penarikan sampel.

Double Sampling untuk StratifikasiPenimbang strata digunakan untuk memperkirakan mean

atau total dari karakter yang diteliti secara unbiased. Jika penimbang-penimbang ini tidak diketahui, maka kita memilih sebuah sampel awal sebanyak n’ dengan SRS-WOR, untuk memperkirakan penimbang-penimbang strata dan kemudian memilih lebih lanjut sebuah sub-sampel sebanyak n unit dengan ni unit dari strata ke-i untuk mengumpulkan informasi pada karakter yang diteliti, sehingga:

k

ii nn

Jika Wi (=Ni/N) adalah proporsi unit-unit yang berada dalam strata ke-i dan wi (=ni’/n’) adalah proporsi unit-unit sampel pertama yang berada dalam strata ke-i, maka sebuah penduga untuk mean populasi adalah:Y

k

iiistd ywy

Double Sampling untuk Stratifikasi (lanjutan)

Varians sampling dari penduga mean populasi adalah:

k

iii

i

ii

ii

i

iiistd YYW

nN

nN

n

Sf

n

WW

N

nN

n

SWfyV

2

'

'2

'

'2

11

1

11

Sehingga penduga unbiased mean sampel-nya adalah:

k

i

stdii

i

iiistd n

yywg

n

s

n

wgw

n

nyv

'

22

'2

'

'

1

dimana:

i

ii N

nf

1

'

N

nNg

Optimal Allocation

Fungsi biaya dari double sampling adalah:

1'1

'0 nCCnCC

Biasanya, yang menjadi masalah adalah untuk mendapatkan nilai n’ dan ni (dan n akhir) sehingga meminimalkan varians penduga dengan biaya tetap. Neyman menyarankan dengan mengalokasikan ni proporsional terhadap WiSi, sehingga:

2

k

iiin SWV

atestudy varidan auxiliary dariunit per biaya dan cost overhead

:Dimana

1'1

0

CCC

,

'

n

V

n

VyV nn

stdopt

k

iiin

YYWV2

'

dimana:

Optimal Allocation (lanjutan)

Nilai optimum dari n dan n’ adalah:

'

'11

'11

'10

nn

n

VCVCCC

CVCCn

'

'

'11

'11

10'

nn

n

VCVCCC

CVCCn

Sehingga varians minimumnya adalah:

0

2'11

min

'

CC

VCVCyV nn

std

Optimal Allocation (lanjutan)

Fungsi biaya dari double sampling untuk unequal stratified adalah:

k

iiCnCnCC 1

'1

'0

Karena varians dan fungsi biaya melibatkan parameter populasi yang tidak diketahui, maka mendapatkan nilai n’ dan ni (dan n akhir) sehingga meminimalkan varians penduga dengan biaya tetap berdasarkan sampel adalah:

k

i i

iik

istdiistd n

swyyw

nyv

222

,

1

Optimal Allocation (lanjutan)

Nilai optimum dari n dan n’ adalah:

k

iii

k

istdii

k

istdii

swCyywCC

yywCC

n'1

21

'1

20

'

k

iii

k

istdii

iii

swCyywCC

swCCn

'1

211

0

0

2

'1

21

min CC

swCyywC

yv

k

iii

k

istdii

std

Double Sampling untuk Penduga BedaPenduga beda untuk memperkirakan mean populasi jika

informasi x tidak tersedia sebelumnya dan mempertimbangkan untuk menggunakan variabel pembantu untuk menurunkan perkiraan-perkiraan yang lebih tepat dibicarakan disini. Sebuah sampel acak wor dengan ukuran n’ diambil dan informasi tentang x dikumpulkan. Sebuah sub-sampel berukuran x ditarik, wor, dari sampel awal tersebut dan informasi tentang y diukur. Penduga beda bisa didefinisikan dengan:

Y

Y

xxyydd 'dimana diambil jika diketahui dalam populasi; dan masing- masing adalah mean-mean sub-sampel untuk y dan x; dan adalah mean sampel awal dari x. Dan penduga tidak bias dari varians samplingnya adalah:

y x'x

1

11

1

112

'

2

'

n

xxyy

nnn

yy

Nnyv

n

iii

n

ii

dd

Double Sampling untuk Penduga Beda (lanjutan)

Jika sebuah sampel acak langsung diambil tanpa menggunkan prosedur double sampling, ukuran sampel untuk biaya yang sama C = C0 + nC1 + n’C1

’ akan diperoleh dengan:

1

'1

'0

10 C

CnCn

C

Cn

dengan varians sampling dari mean sampel akan menjadi:

1

112

0

n

yy

NnyV

n

ii

d

dengan mengambil = k Sy/Sx, kondisi bahwa double sampling adalah lebih tepat dari pada suatu pengambilan sampel acak secara langsung akan diperoleh dengan:

1

'1

'1

'112

Cn

nC

n

nk

Double Sampling untuk Penduga Rasio

Prosedur pengambilan sampel mirip dengan yang diberikan pada penduga beda double sampling, sehingga penduga yang paling sederhana untuk adalah penduga bias:Y

'' ˆxRxx

yyRd

dan relatif biasnya adalah:

xyxyyRd sRsRsnn

sNn

yv ˆ2ˆ1111 222'

2'

dengan penduga tidak bias dari varians samplingnya adalah:

yxx CCCnn

2

'

11 Bias Rel

Penduga adalah lebih efisien dari penduga SRS jika tidak ada variabel pembantu digunakan, jika:

Rdy

y

x

C

C

2

Double Sampling untuk Penduga Rasio (lanjutan)

Dengan mengasumsikan N besar, maka untuk biaya tetap dengan varians minimum dapat ditulis dengan:

VSnn

VSRSRS

nnn

SyV yxyxy

yRd

2

'222

''

21ˆ2ˆ11

dimana:

1

2

N

RxyV

N

iii

Untuk memperoleh nilai optimum n dan n’ terhadap fungsi biaya yang dapat meminimumkan , kita bisa menulis:

RdyV

cost fixed; 00 CCCyV Rd

Dengan menurunkan n dan n’ dan menyamakan nol, kita memiliki:

VSCVC

CC

VS

Cn

V

Cn

yy

2'11

0

2

'1

'1

Double Sampling untuk Penduga Rasio (lanjutan)

Dengan menggantikan nilai n dan n’ ke dalam fungsi , maka varian minimum adalah:

0

22'

11

min CC

VSCVCyV

y

Rd

Juga varians minimum jika SRS tanpa menggunakan variabel pembantu adalah:

Oleh karena itu, ketepatan relatif penduga double sampling jika dibandingkan dengan penduga adalah:

Rdy RdyV

0

21

min CC

SCyV y

Rdy y

2

2

22'

11

21 1

u

VSCVC

SCRP

y

y

dimana:2y1

'1

S

Vdan

C

Cu

Double Sampling untuk Penduga Regresi

Prosedur pengambilan sampel mirip dengan yang diberikan pada penduga beda/rasio double sampling, sehingga penduga yang paling sederhana untuk adalah penduga bias:Y

xxbyyld '

dan biasnya adalah:

22'

22 111

11yyld sr

Nnsr

Nnyv

dengan penduga dari varians samplingnya adalah:

2

'2'2''

'ld

covcovcovcov11 yB

x

xx

xy

xyxy

S

xSxS

S

xSxS

nn

Double Sampling untuk Penduga Regresi (lanjutan)

Nilai optimum dari n dan n’ yang berhubungan dengan fungsi biaya adalah:

1. Biaya tetap dengan varians minimum

22'1

221

0''

1

22

1

11 yyyy SCSC

CC

S

nC

S

nC

0

2'1

21

2

min

1

CC

CCSyV y

ld

2. Varians tetap dengan biaya minimum

'1

21

2'

12

'1

2

0

22' 1

dan 1

1C

Cnn

C

C

V

Sn y

0

22'

12

12

0

1

V

CCSCC y

Double Sampling untuk Penduga Regresi (lanjutan)

Kondisi dimana metode double sampling lebih tepat dari pada SRS untuk biaya yang tetap, diperoleh jika:

2'11

'112 4

CC

CC

Double Sampling untuk Penduga PPS

Sebuah sampel awal berukuran n’ dipilih secara SRS- WOR dari populasi N unit dan variabel pembantu diukur pada n’ unit ini. Dari sampel ini, sebuah sub-sampel berukuran n unit dipilih secara PPS-WR dan variabel y diukur, maka penduga mean populasi -nya adalah:Y

n

i

idpps nn

zy

'

dimana:

'

''

dan ; ;n

ii

ii

i

ii xx

x

xp

p

yz

dengan penduga tidak bias dari varians samplingnya adalah:

2

2'

2''

2

22' 1

1

1

111

1

1 n

ii

n

ii

n

iii

n

i

n

iiidpps zz

nnzp

nnNnzz

nnyv

Double Sampling untuk Penduga PPS (lanjutan)

Jika n’ besar, (n’-1)/n’ bisa diambil untuk diperkirakan sama dengan 1 dan oleh karena itu varians populasi bisa ditulis sebagai:

n

A

n

AAyV dpps

1'

'1

0

Nilai optimum dari n dan n’ yang berhubungan dengan fungsi biaya adalah:

1. Biaya tetap dengan varians minimum

'

'

''11

0'

1

1

''11

0'

1

1

1111

dan C

A

CACA

CCn

C

A

CACA

CCn

2. Varians tetap dengan biaya minimum

1

1

00

''11'

'

'

00

''11' 11

1

111 dan C

A

AV

CACAn

C

A

AV

CACAn

Double Sampling untuk Penduga PPS (lanjutan)

Kondisi dimana metode double sampling lebih tepat dari pada SRS untuk biaya yang tetap, diperoleh jika:

0

'

20

'2

1 nn

nSnnS y

z

Dimana n0 adalah ukuran sampel untuk satu sampel