pengantar - purwanto.1accesshost.compurwanto.1accesshost.com/diktatssp.pdf · prasyarat...

Pengantar

1. Target: mahasiswa undergraduate menjelang tingkat akhir atau mahasiswa graduate tanpalatar belakang fisika zat padat.

2. Penjelasan Mata kuliah: tujuan perkuliahan ini adalah untuk memberikan pendahuluanfisika zat padat. Perkuliahan ini dibuat untuk memberi konsep dasar sekaligus tinjauanmenyeluruh mengenai fisika zat padat.

3. Prasyarat perkuliahan: mekanika kuantum dasar.

4. Buku teks: Introduction to solid state physics, Charles Kittel, John Willey & Sons, Inc.

5. Pengajar: Agus Purwanto Ph.D,purwanto [email protected],http://purwanto.freeservers.com

6. Grading: PR 30 %, UTS 30 %, UAS 40 %

i

ii

Tabel 0.1: Silabus Pendahuluan Fisika Zat Padat (diluar ekskursi dan ujian)Minggu Topik Subtopik

1 Struktur Kristal2 Difraksi3 Ikatan dalam kristal4 Dinamika kristal vibrasi kisi5 sifat termal6 Elektron dalam zat padatmodel elektron bebas7 pengaruh potensial periodik8 struktur pita dan permukaan Fermi9 hantaran listrik pada logam10 Kristal semikonduktor elektron dan lubang11 sifat transport12 Magnetisme diamagnetisme13 paramagnetisme14 feromagnetisme15 antiferomagnetisme

Agus Purwanto, Ph. D ii January 17, 2006

Daftar Isi

1 Struktur Kristal 11.1 Susunan Atom Periodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1

1.1.1 Vektor Translasi Kisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Basis dan Struktur Kristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21.1.3 Sel Kisi Primitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Operasi Simetri Titik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 31.2.1 Koordinat Hexagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Jenis Dasar Kisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81.3.1 Jenis Kisi 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Jenis Kisi 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Sistem Kristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.1 Triklinik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.2 Monoklinik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.3 Ortorombik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Latihan 1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.4 Tetragonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.5 Kubus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.6 Trigonal dan Heksagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151.4.7 Kesimpulan Mengenai Sistem Kristal . . . . . . . . . . . . . . .. . . 17

1.5 CenteringKisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.1 Pemusatan Badan /Body Centering(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.2 Pemusatan Muka /Face Centering(F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.3 Pemusatan Satu-Muka (One-face centering / base centering). . . . . . 201.5.4 Pemusatan Dua-Muka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.5 Pemusatan Khusus R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6 14 Kisi Bravais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6.1 Triklinik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6.2 Monoklinik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6.3 Ortorombik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6.4 Tetragonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6.5 Kubus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

iii

DAFTAR ISI iv

1.6.6 Hexagonal, Trigonal (dan Rombohedral) . . . . . . . . . . . .. . . . 231.7 Sel Primitif dari 14 Kisi Bravais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 261.8 Sel Satuan Wigner-Seitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 281.9 Sistem Indeks untuk Bidang Kristal . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 281.10 Sifat berkaitan dengan bilangan rational . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 28

1.10.1 Arah Kristalografi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.10.2 Bidang Kristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.11 Struktur Kristal Sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 311.11.1 Struktur Sodium Chloride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 321.11.2 Struktur Hexagonal Close-packed (hcp) . . . . . . . . . . .. . . . . . 321.11.3 Struktur Intan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.11.4 Struktur kubus zinc sulfide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 33

2 Pendahuluan 352.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.1 Sinar-X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.2 Neutron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Hamburan oleh Pusat Penghambur Tunggal . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 362.3 Difraksi dari Bahan Kristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 372.4 Sel Satuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5 Fungsi Periodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392.6 Hubungan antara konstanta kisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 402.7 Kristal Tunggal vs. Polikristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 442.8 Struktur Magnet Sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 442.9 Konvolusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.9.1 Konvolusi yang melibatkan Fungsi Delta . . . . . . . . . . . .. . . . 46

Agus Purwanto, Ph. D iv January 17, 2006

Bab 1

Struktur Kristal

Fisika zat padat banyak berkenaan dengan kristal dan elektron dalam kristal. Pemahaman men-genai fisika zat padat dimulai pada awal abad ke 20 setelah penemuan difraksi sinar-X olehkristal dan sederet publikasi mengenai perhitungan sederhana dan prediksi yang sukses menge-nai sifat kristal.

Jika kristal ditumbuhkan dalam lingkungan yang konstan, blok yang identik akan berkem-bang secara teratur. Masing-masing blok tersebut merupakan atom atau sekelompok atom yangtersusun secara periodik dalam 3 dimensi. Hal ini sesuai dengan penemuan pada abad ke 18mengenai bilangan indeks berupa bilangan bulat berkenaan dengan arah bidang kristal seba-gaimana akan dibahas pada bab ini.

Penemuan tersebut membuktikan bahwa kristal terdiri dari atom-atom yang tersusun secaraperiodik. Model atom periodik tersebut memungkinkan fisikawan berpikir lebih jauh menge-nai sifat bahan kristal. Studi diperluas hingga mencakup bahan amorf (=nonkristalin=glass).Bidang yang lebih luas adalah fisika zat mampat dimana bahan cair juga dipelajari.

1.1 Susunan Atom Periodik

Suatu kristal yang idela tersusun dari satuan struktur yangidentik yang berulang tak-hingga.Pada kristal sederhana, satuan struktural tersebut berupaatom tunggal, seperti pada tembaga,perak, emas, besi, alumunium dan logam alkali. Pada kristaltidak sederhana, satuan strukturaltersebut dapat terdiri dari banyak atom atau molekul.

Struktur kristal dapa digambarkan melalui kisi dengan atomatau kelompok atom beradapada titik kisi tertentu. Kelompok atom tersebut di sebut sebagai basis, jika berulang dalamruang membentuk struktur kristal.

1

1.1. SUSUNAN ATOM PERIODIK 2

1.1.1 Vektor Translasi Kisi

Kisi didefinisikkan sebagai 3 vektor translasi dasara1, a2 dana3 sedemikian sehingga susunanatom terlihat sama dalam segala hal ketika dilihat dari titik r ataupun dari titik

r′ = r + u1a1 + u2a2 + u3a3, (1.1)

denganu1, u2, u3 berupa bilangan bulat. Sekumpulan titikr′ sesuai dengan Pers. (1.1) mendefin-isikan kisi.

Kisi adalah susunan kelompok atom yang tersusun secara periodik dalam ruang. Kisi meru-pakan abstraksi matematis; struktur kristal tersusun ketika basis atom secara identik terletakpada titik kisi. Hubungan logisnya adalah:

kisi + basis= struktur kristal. (1.2)

Kisi dan vektor translasia1, a2, a3 dikatakan primitif jika susunan atom yang memenuhiPers. (1.1) menghasilkan volume yang terkecil. Kita biasa menggunakan vektor translasi prim-itif untuk mendefinisikan sumbu kristal. Namun demikian, sumbu kristal nonprimitif terkadangdigunakan untuk memudahkan hubungan simetri kristal. Sumbu kristala1, a2, a3 membentukparallelepiped. Jika titik kisi hanya terletak di sudutparallelepiped, maka ia disebut sebagaiparallelepipedprimitif.

Operasi translasi kisi didefinisikan sebagai pergeseran melalui vektor translasi:

T = u1a1 + u2a2 + u3a3. (1.3)

Dua titik kisi terhubung melalui vektor sesuai Pers. (1.3).Untuk menggambarkan struktur kristal, terdapat beberapa pertanyaan penting untuk di-

jawab: Apa kisinya ? Bagaimana pemilihan sumbu kristala1, a2, a3 yang kita pilih ? Apabasisnya ?

Lebih dari satu kisi selalu dimungkinkan untuk struktur tertentu, dan lebih dari satu setsumbu dapat digunakan untuk kisi tertentu. Basis ditentukan setelah pilihan-pilihan tersebutdiambil. Semua (termasuk pola difraksi) konsisten asalkanPers. (1.3) dipenuhi.

Operasi simetri pada kristal membawa kristal tersebut ke dirinya sendiri. Hal ini mencakuppula operasi translasi kisi. Terdapat pula operasi rotasi dan refleksi, yang disebut sebagai operasititik. Lebih lanjut, operasi simetri translasi dapat dikombinasikan dengan simetri titik. Bukuteks kristalografi banyak membahas hal tersebut.

1.1.2 Basis dan Struktur Kristal

Suatu basis atom terikat pada setiap titik kisi, dimana setiap basis adalah identik dalam kompo-sisi, susunan dan arah.

Jumlah atom dalam basis bisa saja satu, atau lebih dari satu.Posisi atom ke-j (di dalambasis) relatif terhadap titik kisinya adalah

rj = xja1 + yja2 + zja3. (1.4)

Kita selalu dapat memilih pusat koordinat sebagai titik kisi sehingga0 ≤ xj , yj, zj ≤ 1.

Agus Purwanto, Ph. D 2 January 17, 2006

1.2. OPERASI SIMETRI TITIK 3

1.1.3 Sel Kisi Primitif

Parallelepipedyang didefinisikan dengan sumbu primitifa1, a2, a3 disebut sebagai sel primitif.Sebuah sel primitif adalah sel terkecil yang berulang secara periodik dalam 3 dimensi.

Terdapat banyak cara untuk memilih sumbu primitif yang mendefinisikan sel primitif untuksetiap kisi. Banyak atom dalam seuatu sel primitif atau basis primitif selalu sama untuk setiapstruktur kristal.

Sel primitif selalu mengandung 1 titik kisi. Jika sel primitif adalahparallelepipeddengantitik kisi di setiap ujungnya (ada 8 ujung), maka jumlah total titik kisi dari sel tersebut adalah8 × 1

8= 1.

Volume dari parallelepiped dengan sumbua1, a2, a3 adalah

Vc = |a1 • a2 × a3|, (1.5)

yang diperoleh dengan analisis vektor dasar. Basis berkenaan dengan sel primitif disebut seba-gai basis primitif. Tidak ada basis yang mengandung atom kurang dari atom yang berada dalambasis primitif.

1.2 Operasi Simetri Titik

Operasi simetri titik adalah operasi simetri terhadap suatu titik dalam ruang yang tidak bergerakselama operasi. Contohnya adalah rotasi dan cermin. Simetri translasi tidak termasuk disinikarena translasi menyebabkan semua titik berpindah tempat.

Kita juga ingin menyatakan simetri secara matematis. Kita ambil vektora, b danc yangdiukur dari titik pusat yang sama, sedemikian sehinggaa danb tidak collinear sedangkanctidak coplanar dengan bidang-ab. Catatan, ketiga vektor tersebut berfungsi sebagai sumbuacuan dan tidak harus saling tegak-lurus. Beberapa contoh hasil operasi simetri ditinjau darioperasi aktif dimana objek aktif (bergerak) dan operasi pasif dimana objek pasif (tidak bergerak)dapat dilihat pada Gambar 1.1. Ada dua cara untuk menyatakanefek dari operasi simetri:

1. operator aktif dimana operasi simetri memindahkan objek (vektor posisi) sedangkansumbu acuannya tetap ditempatnya (lihat Gambar 1.1).

2. operator pasifdimana sumbu acuannya berpindah sedangkan objeknya tetap di tempat(lihat Gambar 1.1).

Identitas

Simetri terpenting adalah simetri yang dimiliki oleh semuabenda: operasinya adalah operasitidak melakukan apapun. Simetri operasi ini dilambangkan dengan 1 untuk notasi internasionaldan E untuk notasi Schoenflies. Pernyataan matriksnya merupakan matriks satu atau matriksidentitas.



��

��

��

��

Rotasi

lipat-2

AKTIF

HASIL OPERASI SIMETRI

PASIF

a

b

b

b

a

lipat-4

Rotasi

a

b

a

a

b

a

b

Refleksi

a

b

a

bInversi

’

’

Gambar 1.1: Contoh operasi simetri ditinjau dari operasi aktif dimana objek bergerak dan op-erasi pasif dimana objek tidak bergerak. Lingkaran dengan garis terputus menunjukkan posisibenda sebelum operasi aktif dilakukan.



Rotasi

Operasi simetri rotasi sebesar2π/α denganα disebut sebagai order-rotasi diberi simbolα(Calpha)dalam notasi internasional(Schoenflies) [3]. Rotasi ini sering disebut sebagai rotasi murni atauproper.1 Pada tulisan ini hanyaα = 1, 2, 3, 4, 6 yang akan dibahas. Menyatakan arah darisumbu putar cukup diperlukan, karena rotasi dilakukan terhadap sumbu rotasi dengan arah ter-tentu. Karena sumbu rotasi merupakan garis dengan arah tertentu, kita dapat menyatakannyaterhadap sumbua, b danc dengan vektor

S = ua + vb + wc (1.6)

dimana panjang vektorS diatur agaru, v danw merupakan bilangan bulat. Konvensi kristalo-grafi untuk menunjukkan arah adalah[uvw]. Operasi rotasi dinyatakan sebagaiα[uvw] dalamnotasi internasional atau Cα[uvw].

Salah satu cara untuk menyatakan operasi simetri adalah dengan gambar [3, 1, 2]. Lingkarandigunakan untuk mewakili atom atau kumpulan atom. Tanda+(−) digunakan untuk meny-atakan bahwa objek nya berada di atas(bawah) bidang halaman.

Inversi

Operasi inversi sering pula disebut sebagai operasi inversi melalui suatu titik (lihat Gambar 1.2).Operasi ini lebih sulit dibandingkan dengan operasi rotasikarena sistem koordinatnya berubahdari sistem tangan kanan ke tangan kiri atau sebaliknya. Operasi ini megakibatkan titik dengankoordinat(x, y, z) dalam ruang menjadi titik dengan koordinat(−x,−y,−z). Sebagai catatan,dalam kristalografi, tanda minus biasa diletakkan di atas sehingga koordinat tersebut adalah(x, y, z). Secara matematis, operasi inversi tersebut dapat ditulissebagai:

{1(i)(x, y, z) = (x, y, z)} (1.7)

Jika lingkaran digunakan untuk menggambarkan operasi simetri, perubahanchirality atau”tangan” secara konvensi ditunjukkan dengan koma yang digambarkan dalam lingkaran terse-but. Tangan kanan dikatakan berhubungan secaraenantiomorphdengan tangan kiri dan operasiinversi dikatakan sebagai operasienantiomorphous. Akan kita lihat nanti bahwa bayangan cer-min mempunyai sifat yang sama dengan sifat di atas sehingga sering dikatakan bahwa dua objekyang berhubungan secara enantiomorph merupakan bayangan cermin satu dengan lainnya. Da-pat pula dikatakan bahwa yang satu adalah sistem tangan kanan sedangkan yang lainnya adalahsistem dengan tangan kiri. Tidak mungkin kedua sistem tersebut dihubungkan dengan simetrirotasi biasa. Sebagai catatan: jika kedua objek mempunyai sistem tangan yang sama, kedu-anya dikatakan saling kongruen. Tambahan, objek yang mempunyai simetri inversi di tengah(center) dikatakan bahwa objek itucentrosymmetric.

1rotasi improper adalah rotasi yang diikuti dengan inversi atau refleksi.



+

+

+-

+

++ +

+

+ ++

+

(i)

(ii) (iii)

(a) Rotasi (i) 2, (ii) 3, (iii) 6

,+

-(b) Inversi1.

,+ +

parallel tegak luruspandangan

+- ,

(c) Refleksi m=2.

+

+

-,,-

(d) Rotasi-inversi4

Gambar 1.2: Operasi simetri titik.



Pantulan terhadap bidang

Operasi ini sering pula disebut sebagai operasi pantulan cermin (lihat Gambar 1.2) dan dilam-bangkan dengan m dalam notasi Internasional danσ dalam notasi Schoenflies. Bidang pantuldisebut sebagai bidang cermin. Misalkan suatu titik dengankoordinat(x, y, z) dipantulkan ter-hadap bidang cermin pada bidangx − z, operasi tersebut dapat ditulis sebagai

{m[010]}(x, y, z) = (x, y, z) (1.8)

Sebagai catatan, untuk menyatakan arah dari bidang cermin,digunakan simbol[uvw] yangmemberikan arah dari suatu garis yang tegak lurus pada bidang cermin.

Rotasi-inversi (rotasi improper)

Operasi simetri ini merupakan operasi paduan, yaitu operasi yang merupakan perkalian daridua operasi lainnya (lihat Gambar 1.2). Sistem Internasional [3] dengan sistem Schoenflies [5]menggunakan pendekatan yang berbeda. Dalam SI digunakan rotasi-inversi sedangkan dalamsistem Schoenflies digunakan rotasi-refleksi. Keduanya merupakan rotasi improper.

1.2.1 Koordinat Hexagonal

x

B

(x,y,z) A’

B’(x-y,x,z)

simetri 6

simetri 1

A’’

(-y,x-y,z)

simetri 3x-y

A’’’(-x,-y,z)

simetri 63

(y-x,-x,z)

(y,y-x,z)

2simetri 3

5simetri 6

A’’’’’

A’’’’

A

-x

x-y

-y

b

a

Gambar 1.3: Posisi ekuivalen dalam sistem heksagonal.


1.3. JENIS DASAR KISI 8

Gambar 1.3 menunjukkan efek operasi6m untuk m = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sistem koordinatdikaitkan dengan sumbu-sumbu hexagonal. Gambar tersebut menunjukkan koordinat dari titik-titik yang dihasilkan dan bagaimana mereka diperoleh relatif terhadap sumbu hexagonal,a danb yang membentuk sudut1200 satu dengan lainnya. Dengan menggunakan gambar di atas, kitadapat pula melihat hubungan antara3m dengan6m. Jika kita mengoperasikan simetri 6 padatitik B di (x, y, z), kita akan mendapatkan titik B′ di (x − y, x, z) yang diperoleh dari:

{6}(x, y, z) =

1 −1 01 0 00 0 1

xyz

(1.9)

1.3 Jenis Dasar Kisi

Kisi kristal dapat di petakan ke dirinya sendiri dengan translasi kisiT dan berbagai operasisimetri lain. Operasi simetri lain tersebut antara lain adalah operasi simetri rotasi (lihat Gam-bar 1.2) dengan sumbu melalui titik kisi. Besar sumbu rotasiadalah2π, 2π/2, 2π/3, 2π/4, 2π/6radian dan kelipatan bilangan bulatnya. Rotasi dengan besar sudut tersebut di atas, masing-masing di sebut sebagai rotasi lipat satu, dua, tiga, empat dan enam dan biasanya diberi simbol1, 2, 3, 4, dan 6. Simetri rotasi lipat 5 tidak berlaku dalam kristalografi karena tidak semuabagian dalam ruang 3-D dapat ditutup oleh segi-lima (lihat Gambar 1.4).

Grup titik kisi adalah sekumpulan operasi simetri yang biladiaplikasikan pada titik kisi akanmemetakan kisi tersebut pada dirinya. Rotasi yang mungkin telah dibahas di atas. Dalam gruptersebut bisa terdapat simetri cerminm. Operasi simetri inversi terdiri dari operasi simetri rotasilipat 2 diikuti dengan operasi simetri refleksi terhadap bidang yang tegak lurus sumbu rotasi;efeknya adalah menggantir dengan−r.

1.3.1 Jenis Kisi 2-D

Jumlah kisi yang mungkin adalah tak terbatas untuk 2 dimensikarena tidak ada batasan alamiahdari panjang vektor translasi kisi atau sudut di antaranya.Namun kisi khusus berjenisobliqueinvariant dalam rotasi2π/3, 2π/4 atau2π/6 atau dalam refleksi cermin. Kita harus memberikondisi batas padaa1 dana2, jika kita ingin membangun kisi yang invariant dalam satu ataulebih operasi ini. Ada 4 jenis batasan yang berbeda dan masing-masingnya menghasilkan jeniskisi khusus. Jadi secara keseluruhan terdapat 5 jenis kisi yang berbeda dalam 2-D: kisiobliquedan 4 kisi khusus. Jenis kisi yang berbeda sering disebut sebagai kisi Bravais; kita katakanterdapat 5 kisi Bravais ataunetdalam 2-D.

1.3.2 Jenis Kisi 3-D

Grup simetri titik dalam 3-D membutuhkan 14 jenis kisi yang berbeda seperti tertera padaTabel 1.1. Penjelasan mengenai timbulnya 14 jenis kisi tersebut dapat dilihat pada subbab 1.6


1.4. SISTEM KRISTAL 9

yang diawali dengan pembahasan pada subbab 1.4.

Tabel 1.1: 14 jenis kisi dalam 3 dimensiSistem jumlah kisi batasan dalam sel konvensionalTriklinik 1 a1 6= a2 6= a3

α 6= β 6= γMonoklinik 2(P,C) a1 6= a2 6= a3

α = γ = 900 6= βOrtorombik 4(P,I,F,C) a1 6= a2 6= a3

α = β = γ = 900

Tetragonal 2(P,I) a1 = a2 6= a3

α = β = γ = 900

Kubus 3(P,I,F) a1 = a2 = a3

α = β = γ = 900

Trigonal 1 a1 = a2 = a3

α = β = γ < 1200 6= 900

Hexagonal 1 a1 = a2 6= a3

α = β = 900; γ = 1200

1.4 Sistem Kristal

Sebelum menurunkan sistem kristal, perlu dipilih konvensi. Kita gunakan sistem koordinat tan-gan kanan dengan sumbu sel satuana, b, danc dengan sudutα, β danγ. Perhatikan pemilihansudutnya. Abjad untuk sudut dapat dianggap bersesuaian dengan abjad untuk sumbu dan kom-binasi abjad antara sumbu dengan sudut adalah saling melengkapi. Misalnya, sudut diantarasumbua denganb adalahγ.

Kita akan memulai penurunan sistem kristal dari operasi simetri terendah pada suatu selsatuan, dengan perkecualian sumbu putar tingkat-3 dan tingkat-6 menuju ke simetri tertinggi.Kita lakukan perkecualian tersebut karena komplikasinya,sehingga pembahasan untuk itu di-tunda. Tujuh sistem kristal muncul karena aplikasi rotasi proper dan improper pada sumbu selsatuan atau vektor translasi dari kisi. Kita akan membahasnya secara matematis sederhana yangmelibatkan matriks.

Pertimbangkan operasi simetriR diaplikasikan pada vektor posisi umumr. Vektor posisi iniadalah vektor dari titik pusat dari suatu sel satuan. Titik pusat tersebut dipilih berimpit dengantitik kisi untuk mempermudah pembahasan. Vektor posisi tersebut dapat dinyatakan sebagaikomponen sepanjang sumbua, b danc. Komponen-komponen tersebut biasa dinyatakan se-bagai pecahan dari panjang sumbu sel satuan. Ini berarti bahwa titik dalam sel satuan dengankoordinat(x, y, z) terletak dengan jarakxa, yb, zc, dari titik pusat sel satuan. Koordinat pec-ahan tersebut dinamakan sebagai parameter posisi atom karena kita menggunakannya sebagai



A B

C DO

Gambar 1.4:∠ AOC=∠ COD= ∠ BOD = 1080. Sisanya dari 3600, yaitu3600 − 1080 × 3 =360, adalah∠ AOB.

posisi atom dalam suatu struktur kristal. Vektor posisir yang menghubungkan titik pusat ketitik (x, y, z) dapat ditulis sebagai:

r = xa + yb + zc (1.10)

Sesudah mengoperasikan simetriR, titik baru pada(x′, y′, z′) diperoleh :

x′

y′

z′

=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

xyz

(1.11)

Koordinatnya merupakan pecahan karena titik kisi berada pada sel satuan. Titik baru tersebutadalah

r′ = Rr = x′a + y′b + z′c; (1.12)

Karena kita mengambilR sebagai operasi simetri ketika membandingkan vektor komponensepanjang sumbu sebelum dan sesudah operasi tersebut, kitamemperoleh hubungan antarasumbu-sumbu sel satuan. Kita akan melihat bahwa operasi simetri pada kisi menimbulkanbatasan-batasan tertentu pada geometri sel satuan yang merupakan hubungan antara panjangsumbu dengan sudut antar sumbu. Operasi rotasi pada sistem kristal adalah rotasi proper danimpropern dengann = 1, 2, 3, 4, 6. Nilai n lain tidak dapat menutupi ruang dengan baik. Se-cara khusus untuk simetri rotasi lipat-5, keterbatasan geometri segi-lima untuk menutupi ruangdiperlihatkan pada Gambar 1.4.

1.4.1 Triklinik

Kasus ini sangat trivial sehingga simetri yang ada hanyalah1 atau1. Dengan menggunakanyang pertama, kita dapat menulis:

r′ = {1}r =

1 0 00 1 00 0 1

r = x′ a + y′ b + z′ c (1.13)

dimanax′=1x+0y+0zy′=0x+1y+0zz′=0x+0y+1z

(1.14)



atau:r′ = xa + yb + zc (1.15)

Dalam kasus mudah ini, koordinat tidak berubah.Dengan cara yang sama, kita dapat mengoperasikan1, sehingga:

r′ = {1}r = −xa − yb− zc (1.16)

Dalam kasus ini, semua tanda dibalik. Sebagai catatan, untuk kedua kasus di atas, koordinatx, y danz tetap terikat dengan sumbua, b danc. Hal ini berarti tidak ada ketergantungan antarsumbu sehingga tidak ada batasan dalam geometri sel satuan.Oleh karenanya operasi simetri 1dan1 mendefinisikan sebuah sel satuan yang disebut triklinik dengan

a 6= b 6= c α 6= β 6= γ (1.17)

Berikut ini adalah catatan penting. Tanda6= berarti bahwa simetri tidak membutuhkan hargayang sama. Dalam eksperimen mungkin diperoleh bahwa sel satuan mempunyai sumbu-sumbuyang sama panjang dalam ketepatan eksperimental. Hal ini tidak berarti bahwa kristal terse-but mempunyai simetri tinggi. Dalam banyak kasus, simetri sebenarnya hanya jelas terlihatjika simetri dari susunan atomnya dalam sel satuan atau sifat fisis tertentu dipertimbangkan.Misalnya geometri sel satuan dari PbZrO3, kristal tampak seperti tetragonal. Namun, susunanatim menunjukkan simetri yang jauh dari tetragonal. Terkadang, perubahan temperatur memu-ngkinkan sel satuan terdistorsi sehingga simetri sebenarnya lebih jelas. Ingat bahwa simetrimemberi keterbatasan pada sumbu dan sudutnya, dan bukan sebaliknya.

1.4.2 Monoklinik

Dalam sistem kristal ini elemen simetri penting adalah rotasi tingkat-2 dan/atau cermin m. Mis-alkan sumbu rotasi dipilih sejajar dengan sumbu-c. Ini disebutfirst settingdan merupakan kon-vensi yang biasa digunakan oleh saintis zat padat.2 Sekarang kita perhatikan, keterbatasan yangmuncul akibat operasi rotasi tersebut. Jelas bahwa utuk mendapatkana menjadi−a karena ro-tasi, sumbu-a harus tegak lurus terhadap sumbu rotasi. Hal yang sama berlaku untuk sumbub,sehinggab harus tegak lurus terhadap sumbuc namun tidak ada keterbasan terhadap sumbu-a.Operasi rotasinya secara matematis dapat ditulis sebagai:

r′ = {2[001]} r = −xa − yb + zc (1.18)

dan efek operasi m (dengan m tegak lurusc) adalah

r′ = {m[001]} r = xa + yb− zc (1.19)

2Umumnya kristalografer menggunakansecond settingdimana sumbu dipilih sejajar denganb.



Perbedaan tanda dalam Pers. 1.18 antara komponen sepanjangsumbuc disatu pihak dan kom-ponen pada araha danb dilain pihak menunjukkan hubungan tegak lurus sebagaimanadi-tunjukkan dengan perkalian skalar dari komponen-komponentersebut sebelum dan sesudahtransformasi. Sebelum transformasi, untuk sumbua danc kita mempunyai:

xa • zc (1.20)

Sesudah transformasi:x′a • z′c = −xa • zc (1.21)

dimana ruas kanan diperoleh dengan menggunakan Pers. 1.18 yang menunjukkanx′ = −x danz′ = z.

Pers. (1.20) dan (1.21) adalah invariant (bentuknya sama) karena kristalnya tidak berubahsehingga:

x z |a| |c| cos β = −x z |a| |c| cos β (1.22)

sehinggacos β = − cos β (1.23)

atauβ = 900 (1.24)

β = 900 berartia tegak lurus terhadapc. Dengan cara yang sama, ditemukanb tegak lurusterhadapc (α = 900). Untuka danb:

x′ y′ |a| |b| cos γ = −x y |a| |b| cos γ (1.25)

yang jika Pers (1.18) digunakan, tidak ada kesimpulan yang dapat ditarik. Oleh karenanyaγ tidak punya keterbatasan. Kenyataan bahwa kita tidak harussaling menukar besaran sumbuberarti bahwa tidak ada keterbatasan pada panjangnya. Olehkarenanya, untukfirst settingdalamsistem monoklinik:

a 6= b 6= c α = β = 900 γ 6= 900 (1.26)

Sebagai catatan, biasanya dipilihγ > 900. Penggunaan Pers. (1.19) akan menghasilkan kesim-pulan yang sama.

Untuksecond settingdimana sumbu rotasi sejajar dengan sumbu-b atau bidang cermin tegaklurus dengan sumbu-b, diperoleh:

a 6= b 6= c α = γ = 900 β 6= 900 (1.27)

Setting ini biasa digunakan kristalografer dan dipilih sebagai gambaran monoklinik yang palingsering digunakan.



1.4.3 Ortorombik

Dalam sistem ini, kita tinjau efek simetri 2 atau2 (analog dengan bidang cermin). Misalkanterdapat sumbu putar lipat 2 sepanjang sumbua (atau[100]) dan sumbub (atau[010]). Maka:

{2[100]}r = xa − yb− zc (1.28)

dan{2[010]}r = −xa + yb− zc (1.29)

Dengan mengalikan kedua persamaan di atas, diperoleh:

{2[100]}{2[010]}r = −xa − yb + zc (1.30)

yang tidak lain merupakan rotasi lipat-2 dengan sumbu sejajar terhadap sumbu-c (atau[001]).Hal ini berarti bila kita mempunyai dua sumbu putar lipat-2,kita otomatis mempunyai yangketiga. Lebih dari itu, pertukaran tanda menunjukkan hubungan tegak lurus. Persamaan (1.28)menunjukkan bahwaa tegak lurus terhadapb danc. Persamaan (1.29) menunjukkan bahwab

tegak lurus terhadapa danc. Hal ini adalah analog dengan pembahasan pada monoklinik. Olehkarenanya, ketiga sumbu yang dihasilkan adalah saling tegak lurus. Karena koordinat tidaksaling bertukar, maka tidak ada pembatasan dalam hal panjang sumbu. Kesimpulannya adalahsumbu lipat-2 menghasilkan sistem kristal yang disebut ortorombik dengan

a 6= b 6= c α = β = γ = 900 (1.31)

LAT IHAN 1.1

Lakukan hal di atas dengan bidang cermin.

1.4.4 Tetragonal

Dalam kasus ini, kita tinjau pembatasan yang timbul akibat operasi rotasi lipat-4 atau4. Denganpenalaran yang sama dengan sistem monoklinik, didapat bahwa jika dipilih sumbu rotasi sejajardengan sumbu-c (pilihan konvensional),a danb harus tegak lurus terhadapc. Operasi lipat-4juga berarti bahwa (+a) pindah ke (+b), (+b) pindah ke (-a), (-a) pindah ke (-b), (-b) pindahke (+a). Secara matematis, hal ini dapat ditulis sebagai:

r′ = {4[001]} r = −ya + xb + zc (1.32)

Demikian pula:r′ = {43[001]} r = ya− xb + zc (1.33)

Sekali lagi, tanda yang berlawanan menunjukkan bahawa, b danc adalah saling tegak lurus.Perhatikan bahwa sekarang ada saling pertukaran antarax dany yang berarti bahwaa danb



harus mempunyai panjang yang sama. Oleh karenanya, simetri4 atau4 menghasilkan sistemkristal baru yang disebut tetragonal dengan

a = b 6= c α = β = γ = 900 (1.34)

Tentu sajac bisa lebih besar atau kecil daripadaa = b.

1.4.5 Kubus

Sistem ini merupakan sistem dengan simetri tertinggi. Kitaharus berhati-hati dalam mendefin-isikan sistem ini. Simetri merupakan hal penting untuk mendefinisikan sistem kristal. Simetrimenentukan pemilihan sumbu dan tidak sebaliknya. Apakah elemen simetri terpenting dalamsistem kubus ? Mungkin mengherankan, namun simetri tersebut bukanlah sumbu lipat-4 yangsaling tegak lurus. Simetri terpenting tersebut adalah empat sumbu lipat-3 yang berhubungandengan diagonal badan,< 111 >, dari sel satuan kubus.3 Dalam bab berikutnya akan dibahasbahwa kubus mungkin saja tidak mempunyai sumbu lipat-4 dalam simetrinya. Dapat dibuktikandengan teori grup atau trigonometri bola, bahwa jika kristal mengandung lebih dari satu sumbulipat-3, maka kristal tersebut harus mengandung keempat sumbu lipat-3 sekaligus, dengan sal-ing membentuk sudut109028′.

Sekarang kita akan membuktikan bahwa empat sumbu lipat-3 akan menghasilkan sel satuankubus. Rotasi lipat-3 sejajar dengan[111] dioperasikan pada vektorr menghasilkan:

{3[111]} r = za + xb + yc (1.35)

dan{32[111]} r = ya + zb + xc (1.36)

Karena komponen telah saling bertukar secara bebas, merekaharuslah sama panjang.Rotasi lipat-3 sejajar dengan[111], menghasilkan:

{3[111]} r = ya− zb − xc (1.37)

dan{32[111]} r = −za + xb − yc (1.38)

Sebagai tambahan dari sama panjangnya sumbu-sumbu, kita melihat bahwa tandanya berper-mutasi yang menandakan bahwa semua sumbunya saling tegak lurus. Maka pilihan kita dariempat sumbu lipat-3 memberikan sistem kristal baru yang dinamakan sistem kristal kubus den-gan

a = b = c α = β = γ = 900 (1.39)

3kurung angular melambangkan kumpulan arah dengan simetri yang ekuivalen. Dalam hal ini,< 111 > berartikumpulan[111], [111], [111], [111], [111], [111], [111], dan[111].



1.4.6 Trigonal dan Heksagonal

Kita telah sengaja menunda pembahasan mengenai sistem ini karena keduanya mengandungpermasalahan khusus yang membuatnya berbeda degnan sistemkristal lain. Berbagai hal yangmembingungkan muncul dalam literatur; diharapkan pembahasan berikut akan membantu mem-perjelas permasalahan.

Kita mulai dengan sistem heksagonal. Sistem kristal ini dapat didefinisikan dengan simetri6 atau6. Perhatikan bahwa kita menemukan kesulitan yang konseptual karena6 adalah ekuiv-alen dengan rotasi improper lipat-3 dari tipe Schoenflies S5

3, atau proper rotasi lipat-3 denganrefleksi tegak lurus (3/m dalam notasi Internasional). Ini cukup membingungkan karena hek-sagonal dapat dijelaskan dengan sumbu lipat-6 dan lipat-3.Untuk heksagonal, sumbu-a denganb membentuk sudut1200. Operasi simetri 6 menghasilkan:

r′ = {6[001]} r =

1 −1 01 0 00 0 1

r = x′a + y′b + z′c (1.40)

dimana:x′ = 1x − 1y + 0zy′ = 1x + 0y + 0zz′ = 0x + 0y + 1z

(1.41)

sehingga:{6[001]} r = x(a + b) − ya + zc (1.42)

Dengan cara yang sama diperoleh:

r′′ = {62[001]} r = xb + y(−a) − b + zc (1.43)

dan seterusnya.

a

−a−b −a

b

a+b

−b

Gambar 1.5: Sumbu-sumbu dalam sistem heksagonal.

Adanya saling tukar koordinatx dany, relatif terhadap sumbua danb, menunjukkan bahwaa danb harus mempunyai panjang yang sama. Lebih lanjut, akan diperlihatkan bahwa per-samaan ini konsisten dengan sumbua danb membentuk sudut1200. Perkalian skalar dari



komponen sepanjang sumbua danb sebelum transformasi dapat dihubungkan dengan perkaliansesudah transformasi. Untuk{6[001]}r:

xa • yb = x(a + b) • (−ya) (1.44)

Maka:x y |a| |b| cos γ = x y [−|a| |b| cos γ − |a|2] (1.45)

dan karena|a| = |b|, hal tersebut menghasilkan:

cos γ = −1/2 (1.46)

Maka sumbu-a danb saling membentuk sudut1200. Dengan cara yang sama, kita dapat mem-buktikan bahwac adalah tegak lurus terhadapa danb. Kesimpulannya adalah bahwa simetrilipat-6 menghasilkan:

a = b 6= c α = β = 900 γ = 1200 (1.47)

Perlu dicatat bahwa selain sumbu-a danb, terdapat arah lain,−a − b yang ekuivalen dalambesaran dan1200 daria danb. Kita dapat memilihnya sebagai sebuah sumbu, sehingga terda-pat empat sumbu yang mungkin dalam sistem ini. Keempat sumbutersebut biasa digunakandalam analisa morfologi kristal. Namun demikian kita hanyaakan menggunakan notasi dengan3 sumbu. Catatan lain adalah ada buku yang menggambarkan bahwa sel satuan kisi heksag-onal adalah prisma heksagonal. Ini adalah salah. Sel satuanprimitif heksagonal berbentukparallelepiped.

Kita mendefinisikan sistem kristal trigonal sebagai ditentukan oleh operasi simetri tunggal3 atau3. Catat lagi kesulitan konseptual dengan simetri3. Kini, beberapa penulis memper-lakukan sistem trigonal sebagai kasus khusus dari sistem heksagonal karena keduanya mem-punyai hubungan yang sama antara sumbu-sumbu sel satuannya.

Permasalahannya adalah sebagai berikut: terdapat dua carauntuk mendefinisikan sistemkristal. Yang pertama adalah menggunakan simetri dari kristal (sebagaimana kita gunakan)dan yang kedua adalah dengan menggunakan simetri dari kisi.Dalam kasus terakhir ini, kitamempunyai kisi heksagonal (diberi lambang P), dengan simetri lipat-6 sehingga muncul sis-tem kristal heksagonal. Sistem lain dalam skema ini adalah sistem kristal rombohedral (diberilambang R) dimana terdapat simetri lipat-3 tanpa simetri lipat-6. Pemilihan sumbu koordinat-nya dapat dilihat pada Gambar 1.6. Dalam pendekatan ini, tidak ada sistem trigonal, walaupunjumlah total sistem kristal tetap tujuh. Walaupun ada keuntungan dengan menggunakan sistemini, kita akan menggunakan sistem Tabel Internasional dimana kita mempunyai sistem heksag-onal dan trigonal yang terpisah, dengan sistem rombohedralsebagai kasus khusus dari sistemtrigonal.

Sekarang kita akan membahas kasus khusus tersebut dengan menjelaskan sel satuan rom-bohedral. Kondisi sumbu dan sudut adalah

a = b = c α = β = γ (1.48)



b

a

B

DE

F

G

A

C

E

D

C

B

G

F

A

c b

a

(a)

(b)

(c)

Gambar 1.6: Sumbu-sumbu dalam sistem rombohedral

dimana simetri 3 atau3 membuat sudut yang sama antaraa, b danc.Untuk menurunkan sistem kristal rombohedral, kita mulai dengan kisi heksagonal lalu melakukan

centerdengan menambahkan atom pada posisi(2/3, 1/3, 1/3) dan(1/3, 2/3, 2/3). Titik-titiktersebut ditambahkan sehingga total hasil kumpulan titik (titik kisi heksagonal original plus titikbaru tersebut) mempunyai simetri trigonal dan tidak lagi mempunyai simetri heksagonal.

Centeringdalam sistem kristal akan dibahas secara lengkap dalam subbab 1.5 (dimulai padahalaman 19), sehingga kita akan membahas detailnya nanti. Namun demikian, perlu dicatatbahwa sel satuan rombohedral adalah primitif dan konsistendengan sistem kristal trigonal na-mun tidak dengan sistem kristal heksagonal karena rombohedral tidak mempunyai simetri 6atau6.

1.4.7 Kesimpulan Mengenai Sistem Kristal

Panjang sumbu dan sudut antar sumbu untuk tujuh sistem kristal ditentukan oleh kondisi simetri.Hasilnya dilampirkan berikut ini. Daripada menggunakan tanda 6= seperti sebelumnya, lebihbaik menekankan hanya parameter yang mempunyai keterbatasan saja.

Dalam subbab 1.5 (dimulai pada halaman 19) dan 1.6 (dimulai pada halaman 21) akanditunjukkan bahwa hanya ada 14 kisi yang berbeda untuk memenuhi seluruh ruang. Kisi inidisebut sebagai 14 kisi ruang atau lebih sering disebut sebagai 14 kisi Bravais [1, 2].

Sebagaimana dibahas pada subbab 1.4 (dimulai pada halaman 9), terdapat 7 sistem kristal.Mungkin terpikirkan bahwa dengan mengkombinasikan 7 sistem kristal dengan ide kisi primitifdiperoleh total 7 kisi bravais yang berbeda (satu untuk setiap sistem kristal). Namun demikian,kisi trigonal dan heksagonal adalah ekuivalen, sehingga hanya terdapat 6 kisi bravais yangdibentuk dengan cara demikian. Kisi-kisi tersebut merupakan sel satuan primitif dan diberilabel P.



Tabel 1.2: Tujuh Sistem Kristal

Simetri Penentu Sistem Kristal Kondisi

1 atau1 Triklinik tidak ada

2 atau2 Monoklinik α = β = 900

(1stsetting)α = γ = 900

(2ndsetting)

tiga sumbu lipat-2 atau2 Ortorombik α = β = γ

4 atau4 Tetragonal a = bα = β = γ = 900

empat sumbu lipat-3 atau3 Kubus a = b = cα = β = γ = 900

6 atau6 Heksagonal a = bα = β = 900; γ = 1200

3 atau3 Trigonal sama seperti heksagonal(a = b = c; α = β = γ)


1.5. CENTERINGKISI 19

Delapan kisi Bravais lainnya diperoleh dengan mengambil 6 kisi-P dan mempertimbangkanapa yang terjadi jika titik kisi lainnya ditambahkan pada tempat-tempat tertentu4. Pertanyaanpertama yang muncul adalah, sesudahcentering, apakah susunan yang baru masih merupakankisi ? Pertanyaan kedua adalah apakah ia akan membentuk kisibaru ? Hal ini menghasilkan8 kisi centereddimana 7 dengan nama yang diberikan (body-centered, face-centereddanone-face-centered) dan sebuah simbol baru (I, F, dan A, B, atau C). Kisi baru kedelapan adalah kisiheksagonalcenteredyang dapat dianggap sebagai kisi rombohedral primitif sesudah meredefin-isi sumbu acuan.

Akan ditunjukkan bahwa satu sistem kristal dapat mempunyaisemua kisi ruang (P, I, F,dan C) sementara beberapa sistem kristal hanya dapat mempunyai kisi-P. Untuk setiap sistemkristal, jelas bahwa kisi I, F, atau C mempunyai sel satuan yang mengandung lebih dari satu titikkisi karena berbagai titik kisicentering. Sebagaimana dibahas pada bab terdahulu, sel satuandengan lebih dari satu titik kisi merupakan sel satuanmultiply-primitive.

1.5 Centering Kisi

Sebagaimana dikemukakan terdahulu, pemberian sumbu acuandihubungkan dengan simetri ro-tasi dari sistem kristal akan memberikan kisi-P atau primitif. Untuk kisi-kisi tersebut, kita inginmenambahkan titik lain sedemikian sehingga kondisi kisinya masih dipertahankan. Pada saatyang sama, penambahan tersebut jangan sampai merubah sistem kristal. Ini adalah dua kon-disi yang penting jika kita ingin membentuk kisi Bravais baru. Sebagai contoh, jika kita mulaidengan kisi primitif kubus dan menambahkan titik kisi lain sedemikian sehingga kita masihmempunyai kisi, kita juga harus memastikan bahwa kisi baru ini masih mempunyai simetrikubus.

Kita membahas penambahan titik kisi secara umum pada bagianini dan hasil khusus untukmasing-masing sistem kristal pada bagian lain. Karena kondisi kisi harus dipertahankan jikatitik baru ini ditambahkan, titik harus ditambahkan pada posisi dengan simetri tinggi dari kisi-P.Jenis posisi ini adalah: titik tunggal pada pusat badan darisetiap sel satuan; sebuah titik padapusat dari permukaan dari sel satuan; sebuah titik pada pusat dari satu muka dari sel satuan; dancenteringkhusu pada sistem trigonal yang memberi sistem rombohedral. Kita akan membahasmasing-masingcenteringsecara terpisah.

1.5.1 Pemusatan Badan /Body Centering (I)

Untuk jenis pemusatan ini, titik tambahan harus ditempatkan pada akhir dari vektor(a/2 +b/2 + c/2). Hasil kisinya diberi simbol I (berasal dari bahasa JermanInnenzentrierung). Per-hatikan bahwa sel satuan ini mengandung dua titik kisi, satupada titik pusat (0,0,0) dan satupada pusat badan (1/2,1/2,1/2). Titik kisi lain adalah milik dari sel satuan sebelahnya. Alternat-

4Proses penambahan tersebut dinamakancentering.


1.5. CENTERINGKISI 20

ifnya, kita dapat mengatakan 1/8 dari titik kisi pada setiap8 sudut dari sel satuan dan satu titikkisi berada pada posisi pusat badan.

1.5.2 Pemusatan Muka /Face Centering (F)

Untuk jenis pemusatan ini, tiga titik baru ditambahkan padasel satuan primitif. Mereka dile-takkan pada pusat dari setiap muka pada setial sel satuan arau pada posisi di titik akhir darivektor(a/2 + b/2), (a/2 + c/2), dan(b/2 + c/2). Kisi yang diperoleh diberi lambang F. Selsatuan konvensionalnya mengandung 4 titik kisi pada (0,0,0), (1/2, 1/2, 0), (1/2, 0, 1/2), dan(0, 1/2, 1/2). Alternatifnya, kita dapat mengatakan bahwa sel satuan ini mengandung 1/8 atompada setiap titik kisi di setiap 8 sudut dan 1/2 dari titik kisi pada setiap 6 muka.

1.5.3 Pemusatan Satu-Muka (One-face centering / base centering).

Dalam pemusatan ini, hanya satu muka yang dipusatkan. Jika pemusatan dilakukan padabidang-ab (padaa/2+b/2), kisi yang dihasilkan diberi lambang C. Demikian pula, kisi diberilambang A jika pemusatana dilakukan pada bidang-bc. Dalam setiap kasus, terdapat dua titikkisi per sel satuan. Ringkasnya:untuk pemusatan A: (0,0,0) dan (0,1/2,1/2)untuk pemusatan B: (0,0,0) dan (1/2,0,1/2)untuk pemusatan C: (0,0,0) dan (1/2,1/2,0)

1.5.4 Pemusatan Dua-Muka

Pemusatan dengan dua-muka yang independen tidak akan pernah membentuk kisi, karena lingkun-gan untuk semua titik tidak sama.

1.5.5 Pemusatan Khusus R

Kita telah membahas pada bab sebelumnya bahwa sel satuan trigonal dapat dipusatkan sedemikiansehingga membentuk sel rombohedral. Ada dua posisi pemusatan rombohedral, pada±(2/3, 1/3, 1/3)dan±(1/3, 2/3, 1/3). Kisi yang dihasilkan diberi simbol R. Kisi rombohedral cukup membin-gungkan. Bagian dari kebingungan tersebut muncul dari kisirombohedral yang dapat diacusebagai sumbu rombohedral sehingga menghasilkan sel satuan rombohedral dengan satu titikkisi, atausebagai sumbu heksagonal dengan sel satuan yang mirip heksagonal dan mempunyaitiga titik kisi per sel.

Pada kisi rombohedral pemusatan badan atau muka dapat dilakukan. Namun demikian, kisiyang dihasilkan tidak merupakan kisi yang baru karena kisi-R masih dapat dibentuk, dengansudut yang berbeda untuk sumbu-sumbunya dan dengan hanya satu titik kisi per sel.


1.6. 14 KISI BRAVAIS 21

1.6 14 Kisi Bravais

Untuk membahas 14 kisi Bravais, kita akan mempertimbangkan7 sistem kristal dan melihatkisi ruang yang unik yang dapat dibentuk untuk setiap kasus.Sebagaimana pada bab terdahulu,kita akan memulai dengan simetri terendah, triklinik dan secara bertahap menuju ke simetritertinggi. Seperti sebelumnya, kita akan menunda pembahasan mengenai sistem trigonal danheksagonal.

1.6.1 Triklinik

Dalam sistem ini, tidak terdapat pembatasan pada panjang atau arah dari sumbu sel satuan.Oleh karenanya kita selalu dapat melakukan pemusatan dan kisi yang dihasilkannya akan selaluunik. Namun demikian, tidak ada yang baru dari kisi baru tersebut. Sel primitif yang lebih kecildapat ditentukan dengan panjang dan arah sumbu yang sembarang. Oleh karenanya, untuksistem kristal triklinik, hanya terdapat satu kisi Bravais, yaitu primitif atau kisi-P.

1.6.2 Monoklinik

Pada paragraf ini kita menggunakan1st settingyang mengambil sumbu lipat-2 unik sebagaisumbu-c. Jika kita melakukan C-centering(bidang-ab), tidak ada kisi baru yang terbentuk(lihat Gambar 1.7). Kisi yang terbentuk masih dapat digambarkan sebagai kisi-P dengan nilaia

��

��

��

��

��

��

��

��

��

0

a

b

Gambar 1.7: Kisi monoklinikC-Centereddiproyeksikan pada bidanga−b dengan atom-atomberada pada posisi (0, 0, 0) dan (1/2, 1/2, 0), dan kisinya digambarkan dengan garis terputus. Selsatuan dengan garis tidak-putus dan diarsir menunjukkan monoklinik kisi-P dengan parameterkisi yang berbeda dengan parameter kisi-C.

danγ yang berbeda namun masih merupakan monoklinik dimanac tegak lurus terhadapa danb denganγ dan semua panjang sumbunya tidak saling berhubungan. Maka untuk sistem kristalmonoklinik, P≡ C.

Namun demikian, kisi baru didapatkan untuk pusat muka B. Halini adalah kaerna tidakmungkin mempertahankan kondisi dasar monoklinik dan tetapmenggambarkannya sebagaikisi-P. Kita tahu bahwa kisi masih mempunyai simetri lipat-2. Kisi dengan pusat muka B dise-but sebagai kisi-B. Dengan cara yang analog, bidangbc dapat dipusatkan sehingga memperoleh



kisi-A. Dapat dibuktikan bahwa dengan pemilihan sumbu-a danb, monoklinik kisi-F dan I da-pat digambarkan sebagai kisi-B (B≡ F ≡ I ≡ A). Oleh karena itu, dalam monoklinik1stsetting, hanya terdapat dua kisi Bravais, P dan B.

2ndsetting, yang lebih disukai oleh kristalografer, menggunakan sumbu lipat-2 unik seba-gai sumbu-b. Dalam kasus ini, pembahasan di atas masih berlaku namun dengan peruabahansumbu. Oleh karenanya, untuksettingini, dua kisi Bravais-nya adalah kisi-P dan C denganC ≡ F ≡ I ≡ A.

1.6.3 Ortorombik

Kita dapat menganggap bahwa kisi ortorombik primitif muncul dari kisi monoklinik primitifdengan menambahakn batasan bahwa sudut ketiga harus900. Maka semua vektor translasi selsatuan adalah900 satu dengan lainnya namun dengan panjang yang saling tidak berhubungan.Dalam sel ortorombik, setiap muka dapat dipusatkan, namun jika kita mencoba untuk membuatsel satuan primitif darinya, dengan cara yang sama seperti sel monoklinik C-centered, kita akanmendapatkan sumbu yang tidak ortogonal. Karenanya, kita dapat memperoleh kisi C-centeredyang dapat digambarkan sebagai kisi-A atau B dengan mengubah sumbu. Dalam sistem kristalini, kisi-F dan I berbeda dari kisi-P atau C. Oleh karenanya,untuk sistem kristal ortorombik,terdapat 4 kisi Bravais unik, P, I, F dan C. Sekalilagi, pusatmuka-C, A dan B adalah identiknamun dengan mempertukarkan sumbu.

1.6.4 Tetragonal

Kita telah mengetahui bahwa secara umum kisi tidak akan diperoleh jika dua muka, muka-Adan B dipusatkan (centered). Lebih lanjut, kondisi tetragonal dengan simetri lipat-4tidak akanterpenuhi jika satu dari dua muka dipusatkan. Jadi, untuk pusat muka tunggal, hanya pusatmuka-C saja yang harus dipertimbangkan. Pemusatan ini memang menghasilkan kisi namunmasih saja sama dengan kisi-P yang diputar450 dengan sumbu-c. Oleh karenanya, dalam sistemtetragonal, P≡ C. Karena sel primitif merupakan sel yang lebih kecil, sel-Pbiasa dipilih.

Bagaimana dengan pusat badan ? Sebagaimana pada kisi ortorombik, pusat badan darikisi tetragonal masih memberi kisi. Lingkungan dari setiaptitik masih identik, dengan setiaptitik mempunyai 8 tetangga terdekat dengan jarak dan arah yang sama. Simetri lipat-4 masihterpenuhi. Oleh karenanya, kisi-I merupakan kisi baru dalam sistem kristal tetragonal.

Pemusatan muka (Face-centering) juga memberikan kisi dalam sistem kristal tetragonal.Namun, seperti kisi-P yang dapat diperoleh dari kisi-C dengan memutar sumbu tetragonal450,kisi I dapat diperoleh dari kisi-F. Oleh karenanya F≡ I dalam sistem kristal tetragonal dankarena sel I kecil dibandingkan dengan F, sel-I lebih seringdigunakan.

Kesimpulan dalam sistem tetragonal adalah bahwa hanya terdapat dua kisi Bravais yangberbeda, yaitu kisi-P dan kisi-I. Sebagai catatan, C≡ P dan F≡ I.



1.6.5 Kubus

Untuk pusat badan, setiap titik dikelilingi oleh 8 tetanggaterdekat, semuanya dengan posisirelatif yang sama, dan empat sumbu lipat-3. Maka kristal kubus dapat membentuk kisi-I yangsering disebut sebagai kisibcc (body-centered cubic).

Untuk pusat muka, setiap titik kisi dikelilingi oleh 12 tetangga terdekat. Lebih lanjut, 4sumbu lipat-3 masih dimiliki. Kisi-F ini sering dilambangkan sebagai kisifcc (face-centeredcubic).

Kubus tidak dapat memiliki kisi pusat dasar karena pemusatan hanya satu muka akan merusakempat sumbu lipat-3. Kesimpulannya adalah bahwa untuk sistem kristal kubus, kisi Bravaisnyaadalah kisi P, I dan F.

1.6.6 Hexagonal, Trigonal (dan Rombohedral)

a

bγ

(a) (b) (c)

Gambar 1.8: Berbagai aspek heksagonal dan trigonal.

Dalam Gambar 1.8, kita gambar 4 sel satuan primitif. Kita lakukancenteringseperti padasistem kristal lain. Pertama, kita pertimbangkan titik pada pusat badan untuk semua sel primitiftersebut [pada posisi(a/2 + b/2)]. Kisi hexagonal tidak terbentuk karena simetri 6 atau6tidak berlaku. Bahkan sistem kristal adalah ortorombik. Kisi hexagonal juga tidak terbentukjika dilakukancenteringpada(a/2 + b/2) + c/2). Pusat muka juga tidak membentuk kisihexagonal. Kisi hexagonal akan tetap terpenuhi jika dilakukancenteringpada posisi (1/3, 2/3,0) dan (2/3, 1/3, 0). Namun demikian, kisi tersebut masih primitif dengan panjang dan arahyang berbeda dengan sel awal.

Dilain pihak, dengan melakukancenteringpada posisi (1/3, 2/3, 2/3) dan (2/3, 1/3, 1/3)yang keduanya dapat ditulis±(1/3, 2/3, 2/3) kita memperoleh kisi baru. Kisi tersebut mem-punyai simetri3 dan tidak lagi mempunyai simetri 6 atau6. Sebagaimana dibahas sebelumnya,sekarang kita dapat mendefinisikan sel baru dengan bentuk rombohedral dan kisi primitif yangterbentuk disebut sebagai kisi rombohedral. Dilain pihak kita masih dapat menganggapnya se-bagai hexagonal dengan 3 titik kisi per sel satuan. Oleh karenanya kita dapat mengambil selsatuan primitif yang mempunyaia = b = c danα = β = γ dengan sumbu lipat-3 yangmembentuk sudut yang sama terhadap ketiga sumbu, atau kita dapat mengambil sumbu lipat-3 sebagai sumbu utamac. Yang disebut terakhir adalah sel satuan rombohedral dengan sumbuhexagonal dengana = b, α = β = 900, γ = 1200. Simbol R digunakan untuk kisi rombohedral,tidak tergantung sumbu acuan heksagonal atau rombohedral.



Perlu dicatat hal lain yang juga menimbulkan kebingungan: kita melakukancenteringdarikisi heksagonal untuk menghasilkan kisi baru dengan simetri lipat-3. Kisi demikian dapat dise-but sebagai trigonal. Kisi rombohedral yang terbentuk dapat dianggap sebagai sistem trigonal.Namun demikian, jika didefinisikan dengan sel satuan awal, kita masih mengatakannya seba-gai sumbu acuan heksagonal dan bukan trigonal. Alasannya adalah untuk kisi primitif, tidakada perbedaan antara heksagonal dan trigonal; perbedaan muncul jika centeringdilakukan.Walaupun sel satuan rombohedral mempunyai keuntungan karena hanya mengandung satu titikkisi, lebih mudah mempertimbangkan sel satuan hexagonal karena koordinat heksagonal lebihmudah divisualisasi.

Sumbu rombohedral dapat diarahkan relatif terhadap sumbu heksagonal dengan 2 cara.Daripada melakukancenteringpada±(2/3, 1/3, 1/3), kita dapat mengambil±(1/3, 2/3, 1/3).Rombohedron yang terbentuk adalah terputar1800 terhadap yang pertama. Setting yang per-tama disebutobversesedangkan yang kedua disebutreverse. Setting pertama sering digunakan,dan pembahasan berikut menggunakan yang pertama.

Ada gunanya menulis hubungan antara sistem koordinat rombohedral dengan heksagonal.Subscript r menunjukkan rombohedral sedangkan h untuk heksagonal. Untuk mengubah darisumbu heksagonal ke rombohedral:

ar

br

cr

=

2/3 1/3 1/3

−2/3 1/3 1/3−1/3 −2/3 1/3

ah

bh

ch

(1.49)

Sehingga:ar = (2/3)ah + (1/3)bh + (1/3)ch (1.50)

Dengan mengambil perkalian skalar dengan dirinya sendiri,kita menemukan:

ar • ar = a2r = (4/9)a2

h + (1/9)b2h + (1/9)c2

h + (4/9) ah bh cos 1200 (1.51)

yang dapat disederhanakan menjadi:

ar = (1/3)(3a2h + c2

h)1/2 = (ah/3)(3 + c2

h/a2h)

1/2 (1.52)

Sudut rombohedral dapat diperoleh dengan cara yang sama. Dengan mengambil perkalianskalar antaraar danbr, kita memperoleh:

ar • br = [(2/3)ah + (1/3)bh + (1/3ch)] • [−(1/3)ah + (1/3)bh + (1/3ch)] (1.53)

= −(2/9)a2h + (1/9)b2

h + (1/9)c2h + (1/9)ah bh cos 1200

Akan tetapi:ar • br = a2

r cos γr (1.54)

Sehingga:

cos αr = cos βr = cos γr (1.55)

=(1/3)(ch/ah)

2 − (1/2)

(1/3)(ch/ah)2 + 1



Untuk konversi dari sumbu rombohedral ke heksagonal, kita mempunyai:

ah

bh

ch

=

1 −1 00 1 −11 1 1

ar

br

cr

(1.56)

Transformasi ini merupakan inverse dari matriks terdahulu, dan menghasilkan:

ch

ah

=3[1 − (4/3) sin2(αr/2)]

2 sin(αr/2)(1.57)

ah = 2 ar sin(αr/2) (1.58)

Sebagai catatan, jika kita ingin mentransfer koordinat dari satu orientasi kelainnya, matrikstransformasinya merupakan inverse transpose dari matriksawalnya. Hal ini berarti jika ma-triks A mengkonversi sumbu sel satuan dari orientasi 1 ke orientasi2, sedangkan matriksBmengkonversi koordinat dari orientasi 1 ke orientasi 2, maka B = (A−1)T. dimana superskripT menunjukkan transpose. Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut. MatriksB mengkonversikoordinat(x0, y0, z0) ke (xn, yn, zn):

xn

yn

zn

= B

x0

y0

z0

(1.59)

dan matriksA mengkonversi sumbu sel satuana0,b0, c0 menjadian,bn, cn

an

bn

cn

= A

a0

b0

c0

(1.60)

Vektorx0 a0 + y0 b0 + z0 c0 harus invariant dalam transformasi (operasi pasif) dari sumbu selsatuan,

xn an + yn bn + zn cn = x0 a0 + y0 b0 + z0 c0 (1.61)

atau[

an bn cn

]

xn

yn

zn

=[

a0 b0 c0

]

a0

b0

c0

=[

a0 b0 c0

]B−1

xn

yn

zn

(1.62)

sehingga: [an bn cn

]= (B−1)T [

a0 b0 c0

](1.63)

Dengan membandingkan bentuk Pers. (1.63) dengan Pers. (1.60) diperoleh:(B−1

)T(1.64)


1.7. SEL PRIMITIF DARI 14 KISI BRAVAIS 26

Berdasarkan pembahasan di atas, untuk mentransformasi koordinat heksagonal menjadi ko-ordinat rombohedral, kita gunakan :

xryrzr

=

1 0 1

−1 1 10 −1 1

xhyhzh

(1.65)

dan konversi dengan arah sebaliknya:

xhyhzh

=

2/3 −1/3 −1/31/3 1/3 −2/31/3 1/3 1/3

xryrzr

(1.66)

1.7 Sel Primitif dari 14 Kisi Bravais

Untuk kisi Bravais I, F, atau C terdapat masing-masing titikkisi 2, 4 dan 2. Untuk setiap kisidi atas, sel primitif yang mengandung satu titik kisi dapat dibentuk. Secara umum, setiap selsatuan dengan pemusatan (centering) selalu dapat dibentuk sel satuan primitifnya. Akan kitalihat bahwa sel primitif itu sendiri (jika terisolasi dari kisinya) tidak menunjukkan simetri penuhdari sistem tertentu. Namun demikian, ia tetap merupakan sel satuan, karena translasi paralelterhadap kisi primitif sebesar vektor translasinya akan memenuhi ruang dan menghasilkan kisioriginal. Contoh-contoh akan memperjelas hal tersebut.

Gambar 1.9 menunjukkan sel primitif yang dibentuk dari suatu (a) kisi-F, (b) kisi-I dan(c) kisi-C yang masing-masing mengandung hanya satu titik kisi. Untuk Gambar 1.9(a), vektortranslasi dasar dari sel primitif dinyatakan dalam vektor translasi dari kisi Bravais F konvesional:

a1 = (a + c)/2a2 = (a + b)/2a3 = (b + c)/2

(1.67)

Hal yang sama dilakukan untuk kisi-I pada Gambar 1.9 sehingga diperoleh hubungan:

a1 = (a + b− c)/2a2 = (−a + b + c)/2a3 = (a − b + c)/2

(1.68)

sedangkan untuk kisi-C pada Gambar 1.9(c):

a1 = (a − b)/2a2 = (a + b)/2a3 = c

(1.69)

Sel primitif pada Gambar 1.9(a) (dari kisi konvensional kubus) terlihat berbentuk rombo-hedral. Hal ini berarti bahwa pada sel tersebut terdapat satu sumbu rotasi lipat-3 dan tidak


1.7. SEL PRIMITIF DARI 14 KISI BRAVAIS 27

a

b

c

a2

1aa3

(a) Kisi-F

a

b

c

a

a

a

1

2

3

(b) Kisi-I

a

a

a

a

21

3

b

(c) Kisi-C

c

Gambar 1.9: Sel primitif konvensional kisi-F, I dan C.

memperlihatkan simetri penuh seperti yang diharapkan darikisi-F kubus. Dengan kalimat yanglebih sederhana, kisi primitif tidak memiliki simetri penuh seperti sel konvensionalnya. Yangpenting bagi kisi primitif adalah kisi tersebut dapat menutupi ruang 3-D (tanpa tumpang tindih)dengan translasi yang berulang. Namun dari segi visual, lebih mudah untuk mempertimbangkanstruktur kristal yang memiliki simetri penuh sehingga sel satuan konvensional dari kisi Bravaislebih sering digunakan. Sebagai catatan, sel primitif untuk kisi-F dan kisi-I adalah rombohedraldengan sudut rombohedral masing-masingα = 600 dan109028′.

Penting untuk dicatat bahwa fisikawan zat padat dan kimiawansering lebih menyukai bek-erja dalam sel satuan primitif, walaupun hal ini berarti bekerja dalam sel dengan simetri yanglebih rendah. Hal ini adalah karena sel primitif mengandungsatu titik kisi per sel-satuan yangmerupakan sel terkecil yang mempunyai invarian translasi penuh dari Hamiltonian. Untuk prob-lem perhitungan seperti evaluasi mode normal dari vibrasi atau keadaan elektronik dalam teoripita (band theory), bekerja dalam sel primitif akan memberikan hasil jumlah keadaan (num-ber of states) dengan proses yang lebih sederhana. Jika sel konvensionaldigunakan untukpermasalah tersebut, prosescenteringharus diperhatikan dan hasil jumlah mode atau keadaanharus dibagi dengan jumlah titik kisi dalam sel. Catatan tambahan, pemilihan sel primitif tidak-lah unik. Namun sel primitif seperti ditunjukkan pada Gambar 1.9 cukup sering digunakan olehkebanyakan ilmuwan.


1.8. SEL SATUAN WIGNER-SEITZ 28

1.8 Sel Satuan Wigner-Seitz

Terkadang, sel satuan tertentu dipilih untuk menggambarkan aspek tertentu dari struktur kristal.Misalnya, kemungkinan terdapat perubahan struktur pada temperatur tertentu (transisi fasa) daristruktur sederhana pada temperatur tinggi ke struktur yanglebih rumit pada temperatur rendah.Sel satuan yang dipilih pada struktur sederhana bisa relatif rumit (mengandung banyak titikkisi di centeringpada berbagai posisi) yang sengaja dipilih untuk menggambarkan hubungandengan strukturnya pada temperatur rendah.

Disamping pilihan sel satuan di atas, masih ada sel satuan primitif lain yang sering digu-nakan untuk teori pita electronik. Sel tersebut dikenal sebagai sel Wigner-Seitz (sering puladisebut sebagai selproximity, domain Dirichlet atau sel Voronoi). Sel ini diperoleh dengancara:

1. tentukan titik pusat dengan memilih titik kisi sembarang,

2. buat vektor ke semua titik kisi tetangga,

3. susun bidang yang tegak lurus terhadap garis vektor tersebut dan berada ditengah-tengahvektor tersebut,

4. sel Wigner-Seitz adalah sel dengan volume terkecil disekitar titik pusat yang dibatasi olehbidang-bidang tersebut.

Untuk setiap kisi Bravais, paling tidak terdapat satu sel Wigner-Seitz [4].

1.9 Sistem Indeks untuk Bidang Kristal

Arah kristal ditentukan dengan 3 titik tak kolinear pada bidang. Jika masing-masing titik ter-letak pada sumbu kristal yang berbeda, bidang dapat dinyatakan dengan koordinat titik-titiktersebut dalam konstata kisia1, a2, a3. Namun akan lebih berguna untuk analisis struktur untukmenyatakan arah sebuah bidang dengan indeks yang ditentukan berdasarkan aturan berikut:

1.10 Sifat berkaitan dengan bilangan rational

Karena titik kisi dapat selalu ditentukan oleh bilangan rational, sifat kisi berhubungan dengan-nya dikatakan rational. Arah dan bidang yang memenuhi hal tersebut adalah arah dan bidangkristalografi.

1.10.1 Arah Kristalografi

Karena kristal adalah anisotropik, diperlukan cara sederhana untuk menyatakan arah dan bidangkristalografi yang pada akhirnya akan berguna untuk membahas sifat kristal tersebut.


1.10. SIFAT BERKAITAN DENGAN BILANGAN RATIONAL 29

x

y

z

1

2

3

Dua titik kisi mendefinisikan arah kristalografi. Misalkan kita telah memilih suatu sel satuanprimitif. Dua vektorQu,v,w danQnu,nv,nw denganu, v, w bilangan bulat merupakan dua vektoryang berbeda, namun berarah sama. Arah tersebut dinyatakansebagai[u v w].

Jika sel bukan merupakan sel yang primitif,u, v, w dan n merupakan bilangan rational.Oleh karenanyaQ1/2,3/2,−1/3 danQ5/2,15/2,−5/3 mendefinisikan arah yang sama. Indeks dariQ1/2,3/2,−1/3 dapat difaktorkan untuk memperoleh penyebut yang sama sehingga:Q1/2,3/2,−1/3 =Q3/6,9/6,−2/6 → [3 9 − 2] = [3 9 2] yang dibaca sebagai ”tiga sembilan minus dua”.

1.10.2 Bidang Kristal

Teorema Geometri Bidang

Berikut ini adalah dua teorema mengenai geometri bidang yang relevan dengan bidang dalamkristal

1. Teorema:Jika P0(x0, y0, z0) adalah suatu titik pada bidang danN〈a, b, c〉 adalah vektor normalterhadap bidang tersebut, maka persamaan bidangnya adalah:

a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0 (1.70)

Bukti:MisalkanP (x, y, x) merupakan sembarang titik pada suatu bidang danV(P0 P ) adalahvektor:

V(P0 P ) = 〈x − x0, y − y0, z − z0〉 (1.71)

Sesuai dengan definisi ortogonalitas antara dua vektor, maka:

V(P0 P ) • N = 0 (1.72)


1.10. SIFAT BERKAITAN DENGAN BILANGAN RATIONAL 30

SubstitusiN = 〈a, b, c〉 dan Pers. (1.71) pada Pers. (1.72) menghasilkan Pers. (1.70),yaitu:

a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0 (1.73)

2. Teorema:Jikaa, b danc tidak satupun berharga nol, maka grafik persamaan:

ax + by + cz + d = 0 (1.74)

adalah berbentuk bidang dan〈a, b, c〉 adalah vektor normal terhadap bidang tersebut.

Bukti:Misalkanb 6= 0, maka titik(0,−d/b, 0) terletak pada bidang dengan Pers. (1.74) karenaPers. (1.70) menghasilkan

a(x − 0) + b(y +d

b) + c(z − 0) = 0 (1.75)

sehingga Pers. 1.74 terpenuhi. Prosedur serupa berlaku jikaa 6= 0 atauc 6= 0.

Pers. (1.70) dan Pers. (1.74) disebut sebagai persamaan Catersian untuk bidang. Pers. (1.70)analog dengan bentuk persamaan garis 2-D. Pers. (1.74) adalah persamaan tingkat satu umumuntuk tiga variabel dan juga disebut sebagai persamaan garis (namun untuk 3-D).

Suatu bidang dapat dibentuk dari :

1. tiga titik non-kolinear

2. sebuah garis dan sebuah titik yang tidak terletak pada garis tersebut

3. dua garis yang saling bersinggungan

4. dua garis paralel

Untuk menggambar bidang dari persamaannya, proses biasa dimulai dari penentuan titik-titikyang memotong masing-masing sumbu. Setelah itu, ketiga titik tersebut dihubungkan sehinggamembentuk bagian dari bidang yang dimaksud.

Misalkan kita hendak men-sketsa bidang dengan persamaan:

2x + 4y + 3z = 8 (1.76)

Dengan mensubstitusi nol untuky dan z, diperolehx = 4. Dengan cara serupa, diperolehperpotongan terhadap sumbuy danz, masing-masingy = 2 danz = 8

3. Setelah ketiga titik

tersebut diplot dalam sistem koordinat, ketiganya dihubungkan dengan garis sehingga bagiandari bidang yang dimaksud dapat di sketsa.


1.11. STRUKTUR KRISTAL SEDERHANA 31

Kaitan Indeks Miller dengan Bidang Kristal

Proses difraksi yang digunakan dalam kristalografi sangat tergantung pada bidang kristal yangmemenuhi hukum Bragg. Dalam kristalografi, indeks Millerh, k, l sering digunakan untukmengindeks bidang. Dalam sel satuan kristal, persamaan untuk itu dapat ditulis sebagai:

hx + ky + lz = 1 (1.77)

Sketsa bidang tersebut dapat dimulai dengan menentukan titik perpotongan bidang tersebutdengan ketiga sumbu Cartesian. Perpotongan di sumbux, y danz masing-masing adalahx =1h, y = 1

kdanz = 1

l.

Bidang Sekeluarga

Bidang dengan keluarga yang sama akan mempunyai arah normal(tegak lurus) yang sama.Misalkan terdapat bidang dengan persamaan:

x

9+

y

6+

z

15= 1 (1.78)

Persamaan tersebut dapat pula ditulis sebagai

10x + 15y + 6z = 90 (1.79)

Bidang yang sama dapat pula diperoleh jika ruas kanan dari Pers. (1.79) diganti menjadi faktorkelipatan terkecil dari 10, 15 dan 6, yaitu 30:

10x + 15y + 6z = 30 (1.80)

Pers. (1.80) dapat pula ditulis sebagai

x

3+

y

2+

z

5= 1 (1.81)

Oleh karenanya, dapat disimpulkan bahwa bidang kristal yang sekeluarga dapat ditentukanmelalui persamaan bidang. Dalam hal ini, bidang(9 6, 15) sekeluarga dengan bidang(3 2 5)dan( 1

10115

16).

1.11 Struktur Kristal Sederhana

Kita bahas struktur kristal sederhana untuk tujuan umum: struktur sodium chloride, cesiumchloride, hexagonal close-packed, intan dan zinc sulfide kubus.



1.11.1 Struktur Sodium Chloride

Sodium chloride, NaCl, mempunyai kisi FCC. Basisnya terdiri dari 1 atom Na dan 1 atom Clyang terpisah dengan jarak1

2diagonal ruang sel kubus. Terdapat 4 satuan NaCl pada masing-

masing sel dengan atom Cl pada posisi(0, 0, 0); (12, 1

2, 0); (1

2, 0, 1

2); (0, 1

2, 1

2); dan atom Na pada

posisi(12, 1

2, 1

2); (0, 0, 1

2); (0, 1

2, 0); (1

2, 0, 0). Masing-masing atom mempunyai 6 atom terdekat

dengan jenis yang berlawanan. Kristal yang tergolong mempunyai struktur serupa dengan NaCladalah:Kristal a(A) Kristal a(A)LiH 4,08 AgBr 5,77MgO 4,20 PbS 5,92MnO 4,43 KCl 6,29NaCl 5,63 KBr 6,59

1.11.2 Struktur Hexagonal Close-packed (hcp)

0

a

b

Gambar 1.10: Lapisan bola yang tersusun secara close-packed. Lapisan pertama dan keduamasing-masing ditandai dengan lingkaran hitam kecil dan∇ hitam. Lapisan ketiga dapat berupalapisan serupa dengan lapisan pertama (hexagonal close-packed) atau lapisan yang ditandai den-gan tanda△ hitam (face-centered cubic). Sel satuan (primitif) hexagonal ditunjukkan dengan|a| = |b|. Dalam sel satuan hexagonal close-packed, atomnya berada pada (0,0,0) dan(2

3, 1

3, 1

2).

Terdapat banyak cara untuk mengatur bola identik dalam susunan teratur yang memaksi-malkan banyak atom (lihat Gambar 1.10). Contohnya adalah FCC dan HCP. Fraksi volumetotal yang diisi bola atom adalah 0,74 untuk keduanya.

Bola disusun sebagai lapisanclosest-packedtunggalA dengan menemoatkan masing-masingbola saling bersentuhan dengan 6 bola lainnya. Lapisan ini bisa merupakan bidang dasar struk-tur HCP atau bidang(1 1 1) struktur FCC. Lapisan kedua, yaitu lapisanB, diperoleh den-gan menempatkan bola pada lapisanB bersinggungan dengan 3 bola dilapisanA (lihat Gam-bar 1.10). Lapisan ketiga, yaitu lapisanC, dapat ditambahkan dengan 2 cara. Kita perolehstruktur FCC jika bola pada lapisanC ditumpukkan di atas lubang lapisanA yang tidak diisi



oleh bola di lapisanB. Kita peroleh struktur HCP jika lapisanC sama dengan lapisanA, artinyabola pada lapisan ketiga diletakkan di atas bola di lapisan pertama.

Struktur HCP mempunyai sel primitif dalam kisi heksagonal dengan 2 atom sebagai basis-nya. Sel primitif FCC mempunyai basis satu atom (lihat Gambar 1.9).

Perbandinganc/a untuk HCP adalah(8/3)1/2 = 1, 633. Biasanya kristal dianggap HCP jikaperbandinganc/a sedikit berbeda dengan nilai teoritis ini. Jumlah atom terdekat untuk struktur

Tabel 1.3: Perbandinganc/a untuk beberapa kristal dalam struktur HCPKristal c/a Kristal c/a Kristal c/aHe 1,633 Zn 1,861 Zr 1,594Be 1,581 Cd 1,886 Gd 1,592Mg 1,623 Co 1,622 Lu 1,586Ti 1,586 Y 1,570

HCP dan FCC adalah 12. Jika energi ikat (atau energi bebas) tergantung hanya pada ikatantetangga terdekat peratom, maka energi struktur FCC dan HCPadalah sama.

1.11.3 Struktur Intan

Kisi intan adalah FCC. Basis primitifnya adalah 2 atom identik di (0, 0, 0) dan(14, 1

4, 1

4). Kare-

nanya sel konvensional kubusnya mengandung 8 atom. Tidak ada sel primitif intan yang hanyamengandung 1 atom.

Masing-masing atom mengandung 4 tetangga terdekat dan 12 tetangga berikutnya. Strukturintan relatif kosong: bola atom mengisi 0.34 bagian volume sel satuan, hanya merupakan 46% faktor isi dari FCC atau HCP. Struktur intan adalah contoh dari ikatan kovalen berarah yangditemukan pada kolom IV dalam tabel periodik.

Carbon, silikon, germanium dan tin dapat mengkristal pada struktur intan masing-masingdengan konstanta kisia = 3, 56; 5, 43; 5, 65; dan6, 46; dengana adalah sisi kubus konven-sional.

1.11.4 Struktur kubus zinc sulfide

Struktur intan dapat dilihat sebagai 2 struktur FCC yang saling tergeser seperempat diagonalruang. Struktur kubus zinc sulfide (zinc blende) diperoleh dengan menempatkan atom Zn padasatu FCC dan S pada FCC lainnya. Sel konvensionalnya adalah kubus. Koordinat atom Znadalah(0, 0, 0), (0, 1

2, 1

2), (1

2, 0, 1

2) dan (1

2, 1

2, 0); koordinat atom S adalah(1

4, 1

4, 1

4), (1

4, 3

4, 3

4),

(34, 1

4, 3

4) dan(3

4, 3

4, 1

4). Kisinya adalah FCC. Ada 4 molekul ZnS per sel konvensional.Di sekitar

setiap atom terdapat 4 atom berlawanan berjarak sama terletak di ujung tetrahedron reguler.Struktur intan memungkinkan operasi inversi di tengah garis yang menghubungkan atom

terdekat. Kubus ZnS tidak mempunyai simetri inversi. Contoh struktur kubus ZnS dapat dilihatpada Table 1.4



Tabel 1.4: Contoh struktur kubus ZnSKristal a(A) Kristal a(A)CuF 4,26 ZnSe 5,65SiC 4,35 GaAs 5,65CuCl 5,41 AlAs 5,66ZnS 5,41 CdS 5,82AlP 5,45 InSb 6,46GaP 5,45 AgI 6,47


Bab 2

Pendahuluan

2.1 Latar Belakang

Bagaimana kita dapat menentukan posisi relatif dari atom dalam cuplikan padat atau cair ?Dengan cara tertentu, kita perlu melihat ke dalam bahan dengan kaca pembesar yang sesuai.Namun melihat dengan cahaya tampak tidak akan cukup. Pertama, kita hanya dapat melihatbenda yang transparan, dan kedua, tidak ada mikroskop yang memungkinkan kita melihat atomsecara individual. Pengamatan dengan cahaya tampak terbatas pada orde mikrometer (10−6 m),yang sama dengan 1000 kali lebih panjang dibandingkan dengan jarak antar atom (sekitar10−10

m).

2.1.1 Sinar-X

Sinar-X mempunyai panjang gelombang lebih pendek dibandingkan dengan panjang gelom-bang dari cahaya tampak, sehingga kita dapat menggunakannya untuk mengamati posisi atom.Untuk kebanyakan bahan kristal, teknik ini cukup berguna. Sinar-X didifraksikan oleh bahandan posisi atom relatif dapat ditentukan dari pola difraksi. Namun demikian, tidak semua atomdapat dengan mudah terlihat oleh sinar-X: atom-atom ringanpada kulit manusia tidak meng-hamburkan sinar-X dan demikian pula amalgam penambal gigi.Meskipun hal ini merupakanhal yang biasa bagi dokter gigi, hal ini cukup memalukan bagiilmuwan.

Sinar-X dihamburkan oleh elektron disekitar inti atom. Akibatnya, atom berat denganbanyak elektron (seperti merkuri) menghamburkan sinar-X lebih efisien dibandingkan denganatom ringan (seperti oksigen atau hidrogen). Oleh karenanya sinar-X menembus langsung den-gan atenuasi yang sangat kecil.

2.1.2 Neutron

Bagaimana dengan neutron ? Neutron tidak bermuatan dan momen dipol listriknya dapat di-abaikan karena kecilnya. Karenanya, neutron dapat menembus bahan jauh lebih baik diband-

35

2.2. HAMBURAN OLEH PUSAT PENGHAMBUR TUNGGAL 36

ingkan dengan partikel bermuatan. Lebih dari itu, neutron berinteraksi dengan atom melaluiinti sehingga tidak melalui gaya listrik dan gaya nuklir berjarak sangat pendek dengan ordobeberapa fermi (1 fermi =10−15 m). Oleh karenanya, dari sudut pandang neutron, bahan tidakterlalu rapat karena ukuran pusat penghambur 100.000 kali lebih kecil dibandingkan jarak antarpusat penghambur tersebut. Maka neutron dapat berjalan dengan jaraka yang jauh tanpa ter-hambur atau terserap. Penguatan atau pengurangan intensitas berkas neutron berenergi rendaholeh alumunium, sebagai contoh, adalah sekitar 1 % per-mm dibandingkan dengan 99% ataulebih per-mm untuk sinar-X.

2.2 Hamburan oleh Pusat Penghambur Tunggal

Proses hamburan pada dasarnya adalah proses mekanika kuantum. Secara formal, proses terse-but harus diterangkan sebagai fungsi gelombang dari berkasdan penghambur. Fungsi gelom-bang penghambur, sesuai dengan namanya, berbentuk gelombang, yaitu suatu fungsi yangberosilasi secara sinusoidal dalam ruang dan waktu. Kuadrat absolut dari amplitude dari gelom-bang tersebut pada posisi tertentu memberikan kemungkinanbahwa partikel akan ditemukanpada posisi tersebut. Tidak terdapat perbedaan fisis jika kita membicarakan gelombang yangmewakili partikel atau probabilitas bahwa partikel beradapada lokasi tertentu. Kedua gam-baran tersebut akan memberikan matematika yang equivalen.Dalam kasus tertentu, gambaranyang satu lebih mudah dipahami dibandingkan dengan gambaran yang lain.

Hamburan partikel oleh pusat penghambur dapat diterangkandalamcross sectionσ, diukurdalam barn (1 barn =10−28 m2), yang equivalen dengan luasan efektif yang diwakili oleh peng-hambur yang dilalui oleh partikel. Untuk partikel neutron,ia akan terhambur secara isotropikdimana probabilitas partikel terhambur adalah sama kesegala arah. Hamburan tersebut isotropikkarena potensial inti penghambur, yang dalam hal ini adalahnukleus, berjarak sangat pendeksehingga nukleus dapat dianggap sebagai titik penghambur.Dilain pihak, sinar-X tidak terham-bur secara isotropik karena awan elektron sekitar atom yangmenghamburkan sinar-X berukuransebanding dengan panjang gelombang dari sinar-X.

Misalkan pada saat tertentu, partikel datang dengan fungsigelombangeik•r pada inti peng-hambur. Fungsi gelombang tersebut merupakan gelombang bidang dengan amplitude satu dandinyatakan sebagai fungsi dari vektor posisir. Sebagai catatan, modulus kuadrat dari fungsigelombang tersebut adalah satu yang berarti mempunyai probabilitas yang sama untuk dite-mukan dimanapun dalam ruang namun mempunyai momentum tertentu yaitumv = hk/2π.Simpul gelombang (yaitu titik dimana fasak • r adalah sama dengannπ, dimanan adalah bi-langan bulat) merupakan gelombang bidang. Sesuai dengan pembahasan terdahulu, kita harusmemilih amplitude gelombang neutron sedemiian sehingga kuadrat amplitude memberikanprobabilitas untuk menemukan partikel pada posisir sehingga konsisten dengan jumlah partikeldalam berkas yang digunakan. Namun demikian karena kita hanya tertarik pada perbandinganantara amplitude dari berkas datang dan terhambur, kita dapat memilih amplitude dari berkasdatang menjadi satu untuk sementara.


2.3. DIFRAKSI DARI BAHAN KRISTAL 37

Berapakah amplitude dari gelombang neutron yang dihamburkan oleh nukleus ? Hal itu ter-gantung dari kekuatan interaksi antara neutron dengan nukleus. Karena gelombang neutron ter-hambur secara isotropik, fungsi gelombangnya dapat ditulis sebagai(−b/r)eikr jika inti peng-hambur berada pada pusat sistem koordinat. Muka gelombangnya berbentuk bola. Faktor(1/r)dalam fungsi gelombang terhambur tersebut memberikan hukum kuadrat terbalik yaitu intensi-tas berkas terhambur sebanding denganr−2 denganr menyatakan jarak dari sumber hamburan.Konstantab merupakan panjang hamburan dari nukleus yang menyatakan kekuatan interaksiantara neutron dengan nukleus penghambur.

Bagaimana hubngan antara panjang hamburanb dengan tampang lintangσ yang keduanyamerupakan ukuran kekuatan dari interaksi hamburan ? Tampang lintangσ merupakan luasanyang berkaitan dengan panjangb melalui hubungan sederhanaσ = 4πb2 - sebagaimana panjanghamburan seperti setengah dari jari-jari nukleus yang terlihat oleh neutron.

2.3 Difraksi dari Bahan Kristal

2θ

kf

ki

Q=τ

Ewald Sphere

Gambar 2.1: Bola Ewald 2-D (garis terputus). Titik-titik merupakan titik kisi balik. Arah vek-tor gelombang datangki menunjukkan arah berkas sinar datang pada cuplikan. Pusat lingkarandipilih sehingga vektorki berakhir pada suatu titik kisi balik. Radius bola Ewaldki = 2π/λ.Berkas difraksi terbentuk bila bola ini menyinggung titik lain dengan vektor gelombang terham-burkf dankf = ki. Vektor hamburanQ = ki − kf dengan besarnyaQ = 4π

λsin θ, sedangkan

2θ adalah sudut hamburan. Vektor hamburanQ tidak selalu sama denganτ = ha∗ + kb + lc(notasi zat padat), namun dalam pembahasan ditekankanQ = τ .

Kita dapat mempelajari struktur kristal melalui difraksi dari foton, neutron dan elektron.Difraksi tergantung pada struktur kristal dan panjang gelombang. Pada panjang gelombangoptis seperti 5000A, superposisi dari gelombang yang terhambur secara elastik oleh masing-masing atom dalam kristal menghasilkan refraksi optik biasa. Jika panjang gelombang dari


2.4. SEL SATUAN 38

radiasi adalah sebanding dengan atau lebih kecil dari konstanta kisi, kita akan menemukan arahberkas terdifraksi yang berbeda dibandingkan dengan arah berkas datang.

W. L. Bragg memberikan penjelasan sederhana mengenai berkas terdifraksi dari kristal.Penurunan Bragg sederhana namun meyakinkan karena hasilnya sesuai dengan pengamatan.Misalkan berkas datang dipantulkan secara spekular (seperti pantulan pada cermin) dari bidangparalel yang terdiri dari atom dalam kristal. Sudut berkas datang sama dengan sudut berkasterpantul. Berkas difraksi muncul ketika pantulan dari bidang paralel dari kumpulan atom dalamkristal berinterferensi secara konstruktif. Kita membahas hamburan elastik (=difraksi) dimanaenergi dari berkas tidak berubah setelah dipantulkan.

Misalkan bidang kisi paralel terpisah dengan jarakd. Radiasi datang pada bidang kertas.Perbedaan lintasan dari berkas terpantul dari bidang yang saling berdekatan adalah2d sin θdimanaθ diukur dari bidang. Interferensi konstruktif muncul jika perbedaan lintasan adalahkelipatan bilangan bulatn untuk panjang gelombangλ tertentu, sehingga:

2 d sin θ = nλ (2.1)

Pers. 2.1 adalah hukum Bragg. Pantulan Bragg dapat terjadi hanya pada panjang gelombangλ ≤ 2d. Itulah sebabnya mengapa kita tidak dapat menggunakan cahaya tampak untuk menga-mati jarak antar bidang yang berskalaA.

Hukum Bragg merupakan konsekuensi dari periodisitas pada kisi. Perhatikan bahwa hukumini tidak menjelaskan komposisi atom yang berkaitan dengantitik kisi. Komposisi tersebut di-tentukan oleh intensitas relatif untuk berbagai order difraksi (dinyatakan dengann) dari bidangparalel tertentu.

Selain dengan hukum Bragg, difraksi dapat pula dijelaskan dengan bola Ewald seperti ditun-jukkan pada Gb. 2.1. Gambar tersebut membantu kita memahamikondisi yang harus dipenuhiagar terjadi difraksi dalam 3-D.

2.4 Sel Satuan

Keteraturan dalam zat padat sering dihubungkan dengan periodisitas sehingga sifat bahan da-pat ditinjau secara mikroskopik berdasarkan unit terkecilyang berulang secara periodik. Unitterkecil ini disebut sebagai sel satuan yang penentuannya dapat dilakukan dengan dua cara yaitudengan:

1. parallelepiped terkecil yang didefinisikan dengan vektor satuana, b dan c dalam kisilangsung ataua∗, b∗ danc∗ dalam ruang kisi balik. Besaran vektor satuan disebut se-bagai konstanta kisi (parameter kisi) dan konstanta kisi balik, masing-masing untuk kisilangsung dan balik.

2. Cara kedua adalah dengan menarik bidang secara tegak lurus yang membagi garis melaluipusat ke titik di ruang kisi langsung/balik sehingga garis tersebut menjadi dua bagianyang sama besar. Volume terkecil yang dibatasi dengan bidang tersebut disebut dengansel Wigner Seitz (untuk kisi langsung) dan sel Brillouin pertama (untuk kisi balik).


2.5. FUNGSI PERIODIK 39

2.5 Fungsi Periodik

Untuk mempermudah pembahasan, tinjau 1-D. Prasyarat periodisitas adalah:

φ(x + a) = φ(x) (2.2)

dimanax adalah vektor (1-D) dalam ruang kisi langsung dana adalah konstanta kisi 1-D. Vektorx dapat dinyatakan sebagai besaran tanpa satuan yang kelipatan dari konstanta kisi:

x = x a (2.3)

Persamaan 2.2 dapat didetailkan:

φ(x + a) = exp(igx) exp(iga) = φ(x) exp(2πih) = φ(x) (2.4)

Persamaan 2.4 menunjukkan bahwa:

1. Fungsi periodiknya adalah:φ(x) = exp(igx) (2.5)

2. munculnya hubunganexp(iga) = exp(2πih) (2.6)

yang menyatakan bahwag = 2πh/a (2.7)

denganh merupakan bilangan bulat.

Dalam 3-D, kita dapat menggunakan hubungan orthonormalitas (orthogonal dan normalitas)yang secara berturut-turut adalah:

a • b∗ = b • c∗ = c • a∗ = a∗ • b = b∗ • c = c∗ • a = 0 (2.8)

dana • a∗ = b • b∗ = c • c∗ = 1 (2.9)

untuk menyederhanakan perhitungan. Oleh karenanya, pers.2.3, 2.7 dan 2.5 masing-masingdapat ditulis sebagai

r = xa + yb + zc (2.10)

τ = 2π(

ha

i∗ + kbj∗ + l

ck∗

)

= 2π (h a∗ + k b∗ + l c∗)(2.11)

φ(r) = exp(iτ • r) (2.12)

Perhatikan bahwa besaran parameter kisi dimunculkan dalampers. (2.10) dan (2.11) karenavektorr danτ mempunyai dimensi yang dalam hal ini masing-masing adalah dimensi panjangdan panjang−1.


2.6. HUBUNGAN ANTARA KONSTANTA KISI 40

Latihan 1 Penggunaan sifat orthonormal berdasarkan pers. (2.8) dan (2.9) memungkinkan penulisanτ•r = 2π(hx + ky + lz) denganx, y danz merupakan besaran tanpa satuan. Buktikanpers. (2.10), (2.11) dan (2.12).

Hal di atas cukup langsung, namun demikian kita akan memakainotasi fisika zat padat yangsedikit berbeda dengan notasi kristalografi.

PERHAT IANUntuk pindah dari notasi kristalografi ke notasi teori zat padat kita harus memindahkan2π dari pers. (2.11) ke pers. (2.9) sehingga pers. (2.11) dan pers. (2.9) masing-masingmenjadi:

τ = ha

i∗ + kbj∗ + l

ck∗

= h a∗ + k b∗ + l c∗(2.13)

dana • a∗ = b • b∗ = c • c∗ = 2π (2.14)

Notasi ini akan digunakan pada seluruh pembahasan dalam diktat ini.

2.6 Hubungan antara konstanta kisi

Sesuai dengan namanya, pers. (2.8) menunjukkan sifat ortogonalitas, misalnyaa∗ adalah ortog-onal (tegak lurus) terhadapb danc. Hubungan ini dapat diperjelas dengan menuliskan:

a∗ = λb× c (2.15)

dimanaλ adalah suatu konstanta yang akan dicari harganya. Untuk itu, kita substitusikanpers. (2.15) ke pers. (2.9) sehingga:

a • a∗ = λa • b× c = 2π ⇒ λ = 2π(a • b× c)−1 =2π

V(2.16)

sehingga diperoleh:

a∗ =2π

V(b× c) (2.17)

atau dalam besaran saja:

a∗ =2π

Vb c sin α (2.18)

dimanaα adalah sudut yang dibentuk oleh vektorb danc. Persamaan lainnya diperoleh denganmelakukan permutasi daria ⇒ b ⇒ c dan untuk sudutnyaα ⇒ β ⇒ γ. Lihat gambar 2.2sebagai contoh untuk kasus sistem kristal hexagonal.



0

a

b

a*b*

Gambar 2.2: Proyeksi sel satuan pada bidang(a,b) dari kisi langsung dan kisi baliknya. Keduakisi tersebut digambarkan secara berimpit untuk menunjukkan bahwaa ⊥ b∗ dana∗ ⊥ b. Perludicatat bahwa kisi langsung berdimensi panjang sedangkan kisi balik berdimensi panjang−1

sehingga kisi balik mengecil jika kisi langsung membesar.

Latihan 2 Buktikan bahwa kisi balik dari triklinik dan monoklinik adalah triklinik dan monok-linik juga, namun kisi balik dari kisi F adalah kisi I dan sebaliknya.

Secara detail:

1. Dalam kisi monoklinik,b∗‖b sedangkana∗ danc∗ berada pada bidang(a, c), sehingga:

a∗ = 2π/(a sin β) b = 2π/b c∗ = 2π/(c sinβ) (2.19)

α∗ = γ∗ = π/2 β∗ = π − β (2.20)

2. Dalam kisi rhombic, tetragonal dan kubusa∗‖a, b∗‖b, c∗‖c dan

a∗ = 2π/a, b∗ = 2π/b, c∗ = 2π/c, α∗ = β∗ = γ∗ = π/2 (2.21)

3. Dalam kisi trigonal dan heksagonalc∗‖c sedangkana∗ danb∗ berada pada bidang(a,b):

a∗ = b∗ = 2/(a√

3), c∗ = 1/c, α∗ = β∗ = π/2, γ∗ = π/3. (2.22)

Untuk basis rhombohedral :

a∗ = b∗ = c∗ =sin α

a(1 − 3 cos2 α + 2 cos3 α)1/2(2.23)

α∗ = β∗ = γ∗, cos α∗ = − cos α

1 + cos α(2.24)

Beberapa sifat penting dari kisi balik adalah:

1. Perkalian skalar antara vektor pada kisi langungr dan vektor pada kisi balikτ adalah:

r • τ = (xa + yb + zc) • (ha∗ + kb∗ + lc∗) (2.25)

= 2π(x h + y k + z l)



A B

C0 x

y

a

b

Gambar 2.3: Proyeksi pada bidangx − y menggambarkan bidang difraksi sebagai garis AC.Jarak AC ke pusat koordinat merupakan jarak ke bidang berikutnya sehingga sering disebutsebagai jarak antar bidang (dhkl). Untuk kasus ini, bidang AC memotong sumbu-x, y danzmasing masing pada3

4, 1

2dan∞. Kebalikan dari angka perpotongan tersebut masing-masing

adalah43, 2 dan 0 sehingga Pers. (2.30) menghasilkan jarak antar bidangd =

(42

(3a)2+ 22

b2

)−1/2

.

Dapat dibuktikan bahwa jarak ini adalah sama dengan jarak dari titik pusat koordinat ke titik Bdengan catatan bahwa OB⊥ AC.

2. Vektor Q = τ = ha∗ + kb∗ + lc∗ adalah tegak lurus pada kelompok bidang(hkl).Hal ini dapat dibuktikan dengan melihat Gambar 2.3, yaitu akan dibuktikan bahwa garisOB= |Q| = τ adalah tegak lurus terhadap garis AC dalam 2-D:

OB • AC = τ • (a/h − b/k)= (ha∗ + kb∗ + lc∗) • (a/h − b/k)= a • a∗ − b • b∗

= 2π − 2π= 0

(2.26)

Perluasan pembuktian untuk bidang difraksi 3-D tidak sulit1.

3. Jikad adalah jarak bidang(hkl) dalam kisi langsung, maka besaran vektor hamburanadalah:

Q = 1/d (2.27)

Persamaan ini dapat dibuktikan dengan

Q =4π

λsin θ (2.28)

yang tertera pada penjelasan Gb. 2.1 dan persamaan Bragg, yaitu Pers. (2.1).

4. Hubunganτ dengand dapat dicari dengan menggunakan gambar 2.3. Prosesnya adalahdengan memproyeksikanOC ke vektor satuan dengan arah sejajar denganOB dimana

1Fundamentals of Crystallography, C. Giacovazzo, ed., Oxford Univ. Press (1992), hlm. 65.



OB merupakan jarak antar bidang untuk(hkl) yang bersangkutan. Persamaannya adalah:

dhkl = OC • τ

τ

=3a

4τ•

(4

3a∗ + 2b∗

)

=2π

τ(2.29)

5. Jarak antar bidang untuk simetri umum dapat ditulis:

dhkl = (h2a∗2 + k2b∗2 + l2c∗2 + 2hka∗b∗ cos γ∗ + 2hla∗c∗ cos β∗ + 2klb∗c∗ cos α∗)−1/2

(2.30)dimanaa∗, b∗ danc∗ dapat diperoleh berdasarkan Pers. (2.17) berikut permutasi siklik-nya dan sudut2

α∗ = arc cos

(b∗ • c∗

b∗ c∗

)(2.31)

berikut permutasi sikliknya

Pers. (2.30) dapat dibuktikan dimulai dengan mengambil 2 vektor yang berbeda dalamruang kisi balik3. Vektor tersebut adalah:

τ1 = h1a∗ + k1b

∗ + l1c∗ (2.32)

danτ2 = h2a

∗ + k2b∗ + l2c

∗ (2.33)

Perkalian skalar antara kedua vektor tersebut menghasilkan:

τ1•τ2 = h1 h2 a∗2+k1 k2 b∗2+l1 l2 c∗2+(h1 k2+h2 k1) a∗ b∗+(h1 l2+h2 l1) a∗ c∗+(k1 l2+k2 l1) b∗ c∗

(2.34)Lalu, ambilτ1 = τ2 = τ , sehingga:

τ =√

|τ • τ | = (h2a∗2+k2b∗2+l2c∗2+2hka∗b∗ cos γ∗+2hla∗c∗ cos β∗+2klb∗c∗ cos α∗)1/2

(2.35)Maka didapatkan Pers. (2.30).

Latihan 3 Buktikan bahwa item 2 dan 3 tersebut benar.2gunakan perkalian skalar antara dua vektor untuk mencari sudut antara kedua vektor tersebut.3Perhatikan bahwa besaranτ secara umum tidak dapat diambil langsung dari Pers. (2.13).


2.7. KRISTAL TUNGGAL VS. POLIKRISTAL 44

2.7 Kristal Tunggal vs. Polikristal

Sesuai dengan namanya, kristal tunggal mempunyai orientasi bidang yang tunggal. Pada arahtertentu pada bahan, misalkan arah membujur, indeks Miller(hkl) yang muncul pada poladifraksi adalah tunggal. Untuk melihat indeks Miller lain,kita harus memutar cuplikan dan jugasudut hamburan2θ dengan besar dan arah yang sesuai. Kombinasi sudut yang dibutuhkan bisamerupakan kombinasi dari empat sudut yang tersedia pada peralatan Four Circle Diffractometer(FCD) baik dengan sumber neutron maupun sinar-X. Peralatanneutron FCD tersedia di PPSM,BATAN, Serpong.

1 0 0 kubussel satuan: 5.640 5.640 5.640 90.000 90.000 90.000

1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0

1 1 -1 1 1 -1

1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 -1 1 0 -1

1 -1 1 1 -1 1 1 -1 0 1 -1 0

1 -1 -1 1 -1 -1

0 1 1 0 1 1

0 1 0 0 1 0

0 1 -1 0 1 -1

0 0 1 0 0 1 0 0 -1 0 0 -1

0 -1 1 0 -1 1

0 -1 0 0 -1 0

0 -1 -1 0 -1 -1

Gambar 2.4: Proyeksi stereografik untuk kubus dilihat dari bidang (100).

Polikristal mempunyai orientasi bidang yang acak sehinggabesarnya kemungkinan muncul-nya bidang yang ada adalah sama pada arah kristal tertentu (misalkan pada arah membujur).Orientasi yang acak ini menimbulkan sudut lain kecuali sudut hamburan menjadi tidak relevanuntuk ditentukan. Proses pengukuran menjadi lebih sederhana dibandingkan dengan penguku-ran untuk kristal tunggal karena hanya sudut hamburan2θ yang perlu diatur. Namun demikian,proses analisa lebih rumit karena timbulnya multiplisitas(kelipatan) karena beberapa bidang(hkl) bisa muncul secara berimpit pada pola difraksi.

Diatas dikatakan bahwa orientasi bidang pada polikristal adalah acak. Namun demikiantidak tertutup kemungkinan adanya bidang tertentu yang lebih disukai (preferred orientation).Pengukuran distribusi prefered orientation dapat diukur dan hasilnya sering disebut textur daribahan.

2.8 Struktur Magnet Sederhana

Tipe struktur magnet paling sederhana adalah tipe komensurat dimana perbandingan antara selsatuan magnetik dengan sel satuan kristal dapat dinyatakandengan perbandingan antara 2 bilan-


2.8. STRUKTUR MAGNET SEDERHANA 45

gan bulat. Untuk memudahkan visualisasi, kita ambil struktur dalam 1-D seperti diperlihatkanpada Gb. 2.5 yang menunjukkan struktur (a) feromagnet kolinear, (b) antiferomagnet kolineardan (c) feromagnet nonkolinear dalam kisi langsung dan balik. Periodisitas magnetik feromag-net kolinear seperti ditunjukkan pada Gb. 2.5(a.i) adalah sama dengan periodisitas kristal. Olehkarenanya, kontribusi magnetik muncul berimpit dengan kontribusi kristalografi pada ruang kisibalik. Dalam kasus antiferomagnet kolinear seperti ditunjukkan pada Gb. 2.5(b) periodisitasmagnetik dengan kristal adalah berbeda dalam kisi langsungdan balik. Dalam kisi langsung,sel satuan magnetik berukuran dua kali ukuran sel satuan kristal sehingga sering disebut se-bagaicell doubling. Oleh karenanya, kontribusi magnetik muncul diantara kontribusi kristal:kontribusi magnetik berindeks refleksi tengahan (half-integer-indexed). Perhatikan bahwa kon-tribusi magnetik tersebut tidak muncul berimpit dengan kontribusi kristal dalam pola difraksitersebut.

Commensurate Order

(i) Direct lattice (ii) Reciprocal lattice

a

(a) Ferromagneta*= 2 /aπ

am

an

(b) Antiferromagnetan*

am*

am

an

(c) Noncollinear-Ferromagnet an*

am*

Gambar 2.5: Beberapa jenis struktur magnet sederhana yang menunjukkan susunan (a) kolin-ear feromagnet, (b) kolinear antiferomagnet dan (c) nonkolinear feromagnet dalam ruang kisi (i)langsung dan (ii) balik. Dalam kisi langsung, lingkaran danpanah masing-masing menunjukkanatom dan momen magnet. Dalam kisi balik, titik dan silang masing-masing menunjukkan inten-sitas pengamatan (puncak Bragg) dari struktur kristal dan magnet.an danam masing-masingmenunjukkan parameter kisia kristal dan magnet.

Kombinasi dari kedua kasus di atas, yaitu munculnya kontribusi magnetik tengahan sekali-


2.9. KONVOLUSI 46

gus kontribusi magnetik berimpit dengan kontribusi kristal dalam pola difraksi, dapat digam-barkan dalam kasus feromagnet nonkolinear (Gb. 2.5(c)). Dalam ruang kisi langsung, periodis-itas magnetik adalah dua kali periodisitas kristal, sehingga muncul kontribusi magnetik di an-tara kontribusi kristal dalam pola difraksi. Namun demikian, kontribusi magnetik juga munculberimpit dengan kontribusi kristal sebagai indikasi bahwaterdapat momen magnetik net yangtidak nol pada bidang yang sesuai dengan refleksi kristal.

2.9 Konvolusi

Suatu persamaan matematis, terutama dalam hal difraksi, dapat diselesaikan secara kualitatifdan relatif mudah. Hal ini terutama dapat membantu pemahaman mengenai teori difraksi namuntidak digunakan untuk mendapatkan hasil secara kuantitatif sehingga layak publikasi. Teknikkonvolusi merupakan teknik matematis yang dapat diterapkan baik secara kuantitatif maupunkualitatif. Operasi konvolusi muncul dalam banyak area sains dan sangat terkait dengan in-terpretasi dari banyak pengukuran eksperimental. Hal ini muncul misalnya jika intensitas darigaris spektrum diukur denganscanningdengan detektor yang mempunyai bukaan input yangterbatas. Pembahasan disini dimulai secara matematis, namun akan diperlihatkan berguna untukditerapkan secara kualitatif.

Konvolusi (convolutionataufolding) dari dua fungsiρ(r) dang(r) dapat ditulis sebagai:

C(u) = ρ(r) ∗ g(r) =

∫

S

ρ(r) g(u− r) dr (2.36)

dimanaS adalah ruangr. Perhatikan bahwa integran dalam pers. (2.36) merupakan fungsi dariu danr sedangkan hasil integral hanya merupakan fungsi dariu saja. Hubungan antaraρ(r)dang(r) adalah simetrik sehingga dapat ditulis:

ρ(r) ∗ g(r) = (r) ∗ ρ(r) (2.37)

Meng-konvolusi dua fungsi sangat sering berefek melebarkan fungsi yang satu karena fungsilainnya. Sebagai contoh, konvolusi dari dua fungsi Gaussian N(σ1, a1) danN(σ2, a2) adalahfungsi GaussianN((σ2

1 + σ22)

1/2, a1 + a2).

2.9.1 Konvolusi yang melibatkan Fungsi Delta

Dengan menggunakan identitas :∫

S

f(r) δ(r− r0) dr = f(r0) (2.38)

dan pers. (2.36), maka konvolusi dari suatu fungsi delta adalah:

δ(r − r0) ∗ ρ(r) = ρ(u − r0) (2.39)


2.9. KONVOLUSI 47

Jikar danu dianggap berasal dari ruang yang sama, kita dapat memilih koordinat yang samauntuk keduanya, sehingga pers. (2.39) menjadi:

δ(r− r0) ∗ ρ(r) = ρ(r − r0) (2.40)

Terlihat pada pers. (2.40) bahwa konvolusi antaraρ(r) denganδ(r−r0) adalah equivalen denganmenggeser pusat koordinat sebesarr0.

Sekarang, misalnyaf(x) adalah fungsi yang didefinisikan diantara 0 dana. Karena untukkristal berlaku:

L(x) =

+∞∑

n=−∞

δ(x − xn) (2.41)

dimanaxn = na dann adalah bilangan bulat maka:

L(x) ∗ f(x) =+∞∑

n=−∞

δ(x − xn) ∗ f(x) =+∞∑

n=−∞

f(x − na) = ρ(x) (2.42)

dimanaρ(x) adalah fungsi periodik dari−∞ ke +∞, yang sama denganf(x) untuk 0 ≤x ≤ a dengan periodea. Masing-masing suku dalam penjumlahan adalahf(x) yang bergesersebesarna. Dapat disimpulkan bahwa setiap fungsif(x) yang periodik dengan periodea adalahequivalen dengan konvolusi dari fungsif(x) = ρ(x) yang didefinisikan diantara 0 dana, denganderet fungsi delta pada posisi titik kisi4.

4lihat gambarnya pada halaman 183 dari buku Fundamentals of Crystallography yang diedit oleh C. Giacovazzo


Daftar Acuan

[1] BURNS, G., AND GLAZER, A. M. Space groups for solid state scientists. Academic Press,Inc., 1990.

[2] GIACOVAZZO , C. Fundamentals of crystallography. Oxford Univ. Press., 1992.

[3] HAHN , T., Ed. International tables for crystallography. International Union of Crystallog-raphy, 1987.

[4] K ITTEL , C. Introduction to solid state physics. John Wiley & Sons, Inc., 1986.

[5] KOVALEV, O. V. InRepresentations of the crystallographic space groups, H. T. Stokes andD. M. Hatch, Eds. Gordon and Breach Science Publishers, 1993.

48

pengantar - purwanto.1accesshost.compurwanto.1accesshost.com/diktatssp.pdf · prasyarat...

Documents