pemodelan smooth transition autoregressive · memperoleh gelar sarjana sains matematika ......

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

i

PEMODELAN SMOOTH TRANSITION AUTOREGRESSIVE

(STAR) PADA KURS THAI BATH TERHADAP RUPIAH

oleh

RAHMA NUR CAHYANI

M0105059

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA

2010


commit to user

ii

ABSTRAK Rahma Nur Cahyani, 2010. PEMODELAN SMOOTH TRANSITION AUTOREGRESSIVE (STAR) PADA KURS THAI BATH TERHADAP RUPIAH. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret

Runtun waktu finansial dan perekonomian suatu negara, termasuk kurs mempunyai kecenderungan nonlinier sehingga diperlukan suatu uji nonlinieritas. Jika asumsi nonlinier dipenuhi maka diperlukan model yang nonlinier untuk memodelkan runtun waktu tersebut. Runtun waktu nonlinier dapat dimodelkan menggunakan model Smooth Transition Autoregressive (STAR). Terdapat dua tipe model STAR, yaitu Logistic Smooth Transition Autoregressive (LSTAR) dan Exponential Smooth Transition Autoregressive (ESTAR).

Tujuan skripsi ini adalah menentukan model runtun waktu nonlinier yang sesuai untuk kurs thai bath terhadap rupiah kemudian menggunakan model tersebut untuk meramalkan kurs dolar thai bath terhadap rupiah pada satu periode ke depan. Metode yang digunakan dalam skripsi ini adalah studi kasus. Data yang digunakan adalah kurs thai bath terhadap rupiah periode 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010 sebagai in-sample dan periode 12 April 2010 sampai 9 Juli 2010 sebagai out-of sample.

Hasil pemodelan nonlinier yang diperoleh adalah model LSTAR (2,2). Berdasarkan nilai standar deviasi dan Akaike Info Criterion (AIC) pada pembentukan model data in-sample, model LSTAR (2,2) berhasil memodelkan kenonlinearan runtun waktu kurs thai bath terhadap rupiah dengan cukup baik. Akan tetapi berdasarkan mean squared error (MSE) dan mean percentage error (MAPE), evaluasi peramalan pada out-of sample menunjukkan bahwa hasil ramalan model LSTAR (2,2) kurang akurat.

Kata kunci : runtun waktu, nonlinearitas, STAR.


commit to user

iii

ABSTRACT

Rahma Nur Cahyani, 2010. SMOOTH TRANSITION AUTOREGRESSIVE (STAR) MODELLING IN THAI BATH EXCHANGE RATE OF THAILAND TO THE INDONESIAN RUPIAH. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret University

During the past years investigators have found evidence indicating that financial and economic time series, such as exchange rate may be nonlinear. In this final project it is assumed that the time series is nonlinear, then it can be adequately described by a Smooth Transition Autoregressive (STAR) model. The STAR-type nonlinearities are Logistic Smooth Transition Autoregressive (LSTAR) and Exponential Smooth Transition Autoregressive (ESTAR).

The purpose of this final project is to determine nonlinear time series model that appropriate for thai bath exchange rate of Thailand to the Indonesian rupiah and then use the model to forecast the thai bath exchange rate of Thailand to the Indonesian rupiah in one period to the future. The method applied in this final project is case study. Data applied for modelling this nonlinear time series is thai bath exchange rate of Thailand to the Indonesian rupiah between 1 Januari 2005 to 9 April 2010 periods as in-sample and 12 April 2010 to 9 July 2010 as out-of sample.

The result of modelling nonlinearity is LSTAR (2,2) model. Based on the value of standarized deviation and Akaike Info Criterion (AIC), the model described the nonlinearity of thai bath exchange rate of Thailand to the Indonesian rupiah succesfully. Nevertheless, forecast evaluation to the out-of sample showed less forecast accuracy.

Key words: time series, nonlinearity, STAR.


commit to user

iv

MOTO

“… dan tiada sehelai daun pun yang gugur melainkan Dia mengetahuinya (pula)....”

(Al-An’aam: 59)

”Aku sesuai dengan prasangka hambaKu kepadaKu, maka

Berprasangkalah ia kepadaKu sesukanya.”

(Hadist Qudsi)


commit to user

v

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk:

♥ Orang tuaku tercinta

Yang selalu melimpahkan kasih sayang, mendidik, mendoakan, dan

memberikan dukungan. Terima kasih untuk semuanya.

♥ Kakak dan adikku tersayang

Yang selalu memberikan kebahagiaan, keceriaan, dan semangat.

Kalian membuat hariku lebih berwarna.

♥ Sahabat-sahabatku

Untuk setiap waktu, semangat, dukungan, dan perhatian kalian.

Tetaplah menjadi sahabat-sahabat terbaikku.


commit to user

vi

KATA PENGANTAR

Bismillahirohmanirrohim. Alhamdulillahirobbil’alamin, puji syukur penulis

panjatkan kehadirat Allah SWT, atas rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa dalam menyelesaikan skripsi ini banyak pihak yang

telah membantu. Untuk itu, pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima

kasih kepada

1. Drs. Sugiyanto, M.Si., sebagai Pembimbing I yang telah dengan sabar dan

teliti memberikan bimbingan dalam penulisan skripsi ini.

2. Supriyadi Wibowo, M.Si., sebagai Pembimbing II yang telah dengan sabar

dan teliti memberikan bimbingan dalam penulisan skripsi ini.

3. Winita Sulandari, M.Si., selaku pembimbing akademik yang dengan sabar

membimbing dan memotivasi penulis.

4. Bapak dan ibu, atas doa, dukungan, kasih sayang, perhatian, dan pengorbanan

yang diberikan selama ini.

5. Kakak dan adikku, atas keceriaan yang diberikan, kalian membuat hariku

lebih berwarna.

6. Sahabat-sahabatku, untuk setiap waktu, semangat, dukungan, dan perhatian

kalian.

7. Semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini.

Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi seluruh

pembaca.

Surakarta, Juli 2010

Penulis


commit to user

vii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ……………………………………………………….... i

HALAMAN PENGESAHAN ……………………………………………….. ii

ABSTRAK…………………………………………………………………..... iii

ABSTRACT…………………………………………………………………... iv

MOTO………………………………………………………………………… v

PERSEMBAHAN……………………………………………………………. vi

KATA PENGANTAR ……………………………………………………...... vii

DAFTAR ISI …………………………………………………………………. viii

DAFTAR GAMBAR..……………………………………………………….. x

DAFTAR TABEL….…………………………………………………………. xi

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL…………………………………………... xii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang……………….…………………………….…………

1.2 Perumusan Masalah………………………………..………………....

1.3 Batasan Masalah……………………………………..……………….

1.4 Tujuan Penelitian…………………………………..…………………

1.5 Manfaat………………………………….………………..…………..

1

2

2

2

3

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Tinjauan Pustaka…………………………………………………….

2.1.1 Return………………...………………………………………..

2.1.2 Stasioneritas Proses Autoregresif Linear ………………………

2.1.3 Estimasi Parameter AR Linear…………………………………

2.1.4 Model Smooth Transition Autoregressive (STAR) …..……..…

2.1.5 Uji Nonlinearitas………………………………………………..

2.1.6 Pemilihan Variabel Transisi…………..………………………..

4

4

4

7

9

11

14


commit to user

viii

2.1.7 Pemilihan Fungsi Transisi……………………….……………..

2.1.8 Estimasi Parameter Model STAR………………………………

2.1.9 Pemeriksaan diagnostik………………………………...………

2.1.10 Kriteria Pemilihan Model………………………………………

2.1.11 Peramalan………………………………………………………

2.1.12 Evaluasi Hasil Peramalan………………………………………

2.2 Kerangka Pemikiran……….………………………………………...

BAB III METODE PENELITIAN……….……………………………………

14

14

17

19

19

20

21

22

BAB IV PEMBAHASAN

4.1 Deskripsi Data………………………………………………………

4.2 Stasioneritas Data…………….………………………………………

4.3 Identifikasi Model AR LInear………………..………………………

4.4 Estimasi dan Evaluasi Model AR Linear……..……………………...

4.5 Uji Nonlinearitas………………………...……………………………

4.6 Identifikasi Model STAR…………………………………………….

4.7 Estimasi dan Evaluasi Model LSTAR (2,1) …………………………

4.8 Estimasi dan Evaluasi Model LSTAR (2,2).…………………………

4.8.1 Uji Autokorelasi Residu…………………………………..…..

4.8.2 Uji Efek Heteroskedastisitas……...…………………………...

4.8.3 Distribusi Residu……………………………….……………..

4.9 Peramalan dan Evaluasi………………...…………………….………

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan…………………………………..………………….……

5.2 Saran……………………………………………………….…………

DAFTAR PUSTAKA……………………………………………..……………

LAMPIRAN……………………………………………………………………

23

24

24

25

27

27

29

31

32

33

34

35

38

38

39

40


commit to user

ix

DAFTAR GAMBAR

Gambar 4.1 Plot Kurs Thai Bath terhadap Rupiah Periode 1 Januari 2005 sampai

9 April 2010………………………………………………………..…

23

Gambar 4.2 Plot Log Return Kurs Thai Bath terhadap Rupiah Periode 1 Januari

2005 sampai 9 April 2010………………...……………….…………

24

Gambar 4.3 Plot ACF dan PACF Log Return Kurs Thai Bath terhadap Rupiah

Periode 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010…………….…...………

25

Gambar 4.4 Plot Log Return, Hasil Estimasi, dan Residu Model LSTAR (2,2) …. 32

Gambar 4.5 Histogram dan Ringkasan Statistik Residu Model LSTAR (2,2) …… 34

Halaman


commit to user

x

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 Ringkasan Statistik Data Kurs Thai Bath terhadap Rupiah Periode 1

Januari 2005 sampai 9 April 2010…………………………………..

23

Tabel 4.2 Hasil Estimasi Model AR(2) Tanpa Konstanta pada Data Log

Return…………………………………………….……….…………

26

Tabel 4.3 Hasil Uji Breusch-Godfrey sampai Lag-5 Residu Model AR(2)…… 26

Tabel 4.4 Uji Nonlinearitas pada Data Log Return ……………………...…… 27

Tabel 4.5 Model Regresi Bantu dengan Variabel Transisi 1−tX pada Uji

Nonlinearitas pada Data Log Return……………………….……….

28

Tabel 4.6 Hasil Estimasi Model LSTAR (2,1) ……………………….………. 29

Tabel 4.7 Hasil Uji Breusch-Godfrey sampai Lag-5 Residu LSTAR (2,1) …... 30


Nonlinearitas pada Data Log Return…………………………..……

31

Tabel 4.9 Hasil Estimasi Model LSTAR (2,2)……………………..…………. 31

Tabel 4.10 Hasil Uji Breusch-Godfrey sampai Lag-5 Residu LSTAR (2,2) …... 33

Tabel 4.11

Uji Lagrange Multiplier sampai lag-1 untuk Residu Model LSTAR

(2,2) …………………………………………………………………

34

Tabel 4.12 Evaluasi Peramalan Model LSTAR (2,2) dan AR (2)……………… 37

Halaman


commit to user

xi

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL

tX : log return pada waktu t

T : jumlah observasi

( )E : harga harapan

kγ : autokovariansi pada lag-k

kc : estimasi autokovariansi pada lag-k

kρ : autokorelasi pada lag-k

kr : estimasi autokorelasi pada lag-k

kkφ : autokorelasi parsial pada lag-k

kφ : estimator autokorelasi parsial pada lag-k

B : operator Backward Shift

φ : parameter autoregresif

θ : parameter STAR

φ : estimasi parameter autoregresif

θ : estimasi parameter STAR

p : order parameter autoregresif µ : rata-rata

2σ : variansi

*SSR : jumlah kuadrat residu 2R : koefisien determinasi

tε : residu model autoregresif pada waktu t

tε : deret white noise

tΩ : himpunan semua informasi tX pada saat sampai di waktu t

γ : parameter slope pada STAR


commit to user

xii

c : parameter lokasi pada STAR

dtX − : variable transisi pada STAR

d : delay

),,( etXcG −γ : fungsi transisi

),,( dtXcR −• γ : fungsi remainder

),,( dtXcT −• γ : pendekatan Taylor untuk fungsi transisi

X : estimasi log return

β : parameter regresi bantu

e : residu model regresi bantu

b : estimasi parameter regresi bantu

r : jumlah observasi out-of sample

( )thtXE Ω+ : harga harapan bersyarat dari htX + diberikan tΩ

( )D : turunan pertama

l : fungsi log likelihood 2χ : statistik uji Breusch-Godfrey

M : jumlah parameter

n : jumlah rasidu *ξ : statistik uji Lagrange Multiplier 2pχ : distribusi Chi-Squared dengan derajat bebas p


commit to user

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Globalisasi dalam bidang ekonomi menyebabkan berkembangnya sistem

perekonomian dan perdagangan ke arah yang lebih terbuka antar negara. Hal ini

membawa suatu dampak ekonomis terjadinya perdagangan internasional antar

negara-negara di dunia. Perbedaan mata uang yang digunakan oleh negara-negara

yang bersangkutan baik negara pengekspor maupun pengimpor menimbulkan

suatu perbedaan nilai tukar mata uang (kurs). Perubahan nilai tukar disebut

fluktuasi nilai tukar, dengan adanya perbedaan nilai tukar ini memberikan

kesempatan bagi pihak-pihak tertentu untuk mengambil keuntungan. Kurs juga

dapat dijadikan alat untuk mengukur kondisi perekonomian suatu negara.

Mata uang Thailand (thai bath) dianggap sebagai salah satu mata uang

regional yang mempengaruhi perekonomian Asia. Krisis ekonomi yang terjadi di

kawasan Asia, termasuk Indonesia pada tahun 1997 berawal dari devaluasi nilai

thai bath (www.wikipedia.com). Mengingat besarnya dampak dari fluktuasi kurs

terhadap perekonomian maka diperlukan suatu manajemen kurs yang baik.

Fluktuasi dapat diprediksi menggunakan analisis runtun waktu finansial karena

deretan observasi dari variabel random kurs thai bath terhadap rupiah dapat

dinyatakan sebagai data runtun waktu.

Dalam analisis runtun waktu, nilai masa kini dipengaruhi oleh nilai sejenis

di masa lalu. Jika hanya nilai data masa lalu yang berpengaruh maka proses yang

terjadi dinamakan proses autoregresif. Dengan metode Box-Jenkins dapat disusun

model autoregresif untuk proses tersebut. Model yang dihasilkan dalam metode

ini adalah model-model linear, sementara tidak semua runtun waktu finansial

adalah linear (Tsay, 2002). Menurut Derek (2007), kurs termasuk runtun waktu

finansial yang memiliki kecenderungan nonlinear. Jika uji nonlinearitas

menunjukkan bahwa asumsi nonlinearitas dipenuhi maka kurang sesuai jika

digunakan model linear konvensional seperti metode Box-Jenkins. Oleh karena

itu, diperlukan model baru yang nonlinear terhadap data tersebut. Model Smooth


commit to user

2

Transition Autoregressive (STAR) merupakan model nonlinear yang sesuai untuk

pemodelan kurs (Derek, 2007). Model STAR terbagi menjadi model Logistic

Smooth Transition Autoregressive (LSTAR) dan Exponential Smooth Transition

Autoregressive (ESTAR).

Sejak adanya artikel dari Terasvirta dan Anderson (1992) dan Terasvirta

(1994), model STAR telah menjadi pemodelan nonlinear yang populer dalam

terapan bidang ekonomi modern. Model STAR telah diterapkan dalam pemodelan

dinamik dari berbagai macam runtun waktu finansial dan ekonomi, seperti

produksi industri oleh Terasvirta dan Anderson (1992), suku bunga oleh Van Dijk

dan Franses (2000), nilai tukar mata uang oleh Taylor, Peel, dan Sarno (2001),

dan tingkat pengangguran oleh Skalin dan Terasvirta (2002). Oleh karena itu,

pada penelitian ini akan diterapkan pemodelan STAR pada kurs thai bath terhadap

rupiah.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang, masalah yang akan dibahas dalam penelitian

ini adalah

1. bagaimana model kurs thai bath terhadap rupiah menggunakan model STAR,

2. bagaimana ramalan kurs thai bath terhadap rupiah pada periode selanjutnya

menggunakan model STAR.

1.3 Batasan Masalah

Peramalan dalam penelitian ini dibatasi hanya pada ramalan untuk satu

periode selanjutnya.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan yang akan dicapai dalam penelitian ini adalah

1. menentukan model yang sesuai untuk kurs thai bath terhadap rupiah

menggunakan model STAR,

2. menentukan ramalan kurs thai bath terhadap rupiah pada periode selanjutnya

dengan menggunakan model STAR.


commit to user

3

1.5 Manfaat

Manfaat yang dapat diperoleh adalah

1. mengetahui lebih mendalam tentang penerapan model STAR sebagai salah

satu model alternatif nonlinear dalam runtun waktu finansial,

2. mendapatkan informasi tentang hasil ramalan kurs thai bath terhadap rupiah

pada satu periode selanjutnya.


commit to user

4

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Tinjauan Pustaka

Untuk mencapai tujuan penulisan skripsi, diperlukan beberapa pengertian

dan teori yang relevan dengan pembahasan yang akan dilakukan. Oleh karena itu

pada sub bab ini akan disajikan beberapa teori yang berhubungan dengan

pembahasan.

2.1.1 Return

Sebagian besar studi mengenai ekonomi dan finansial lebih

menitikberatkan pada return daripada nilai sebenarnya. Hal ini disebabkan karena

untuk data finansial, yang menjadi pusat perhatian adalah fluktuasi harga yang

terjadi. Pendekatan untuk fluktuasi harga adalah perubahan relatif atau return

yang sering didefinisikan sebagai log return. Menurut Tsay (2002), log return

dirumuskan sebagai

1

ln−

=t

tt P

PX ,

dengan tP adalah observasi pada waktu t.

2.1.2 Stasioneritas Proses Autoregresif (AR) Linear

Menurut Box dan Jenkins (1976), data runtun waktu adalah himpunan

observasi yang terurut terhadap dimensi waktu. Observasi pada waktu t dapat

dituliskan sebagai tP . Barisan T observasi runtun waktu dapat dinyatakan dengan

TPPPP ,...,,, 321 . Menurut Tsay (2002), apabila suatu log return diperlakukan

sebagai kumpulan dari variabel random terhadap waktu t , maka terdapat runtun

waktu tP .

Pola stasioner terjadi jika data berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata

konstan, data runtun waktu seperti ini adalah stasioner terhadap nilai rata-ratanya

(Makridakis dkk, 1995).


commit to user

5

Autocorrelation Function (ACF)

Kovariansi antara observasi pada saat t yaitu tX , dengan observasi pada

saat kt + yaitu ktX + , didefinisikan sebagai

( ) ( )( )[ ]µµγ −−== ++ kttkttk XXEXX ,cov ,

yang diestimasi oleh

( ) ( )( ) K, ..., , kXXTc k

t kttk ∑ = + =−−=1

,210 ,1 µµ

dengan k adalah nilai lag.

Autokorelasi antara tX dengan ktX + didefinisikan sebagai

( ) ( )ktt

kttk XX

XX

+

+=varvar

),cov(ρ .

Karena ( ) ( ),varvar ktt XX += maka

( )( )[ ]( ) 0var γ

γµµρ k

t

kttk X

XXE=

−−= + .

Autokorelasi antara tX dengan ktX + diestimasi oleh

( )( )( )∑

∑=

+= +

−

−−= T

t t

T

kt kttk

XX

XXXX

1

21ρ , Kk ,...,2,1,0= ,

dengan tX adalah observasi dari suatu runtun waktu pada waktu t dan X adalah

rata-rata dari deret runtun waktu. Himpunan dari kρ , ,...2,1; =kkρ untuk

berbagai lag k disebut Autocorrelation Function (ACF) (Wei, 1990).

Menurut Pankratz (1983), jika suatu runtun waktu dengan rata-rata

stasioner maka estimasi nilai dari ACF turun secara cepat mendekati nol dengan

semakin bertambahnya lag, tetapi jika rata-ratanya tidak stasioner maka estimasi

nilai dari ACF turun secara perlahan mendekati nol.

Partial Autocorrelation Function (PACF)

Autokorelasi parsial pada lag k dapat dipandang sebagai korelasi antara

observasi tX dan ktX + setelah menghilangkan hubungan dari 121 ,...,, −+++ kttt XXX

(Wei, 1990).


commit to user

6

Autokorelasi parsial dari tX pada lag k didefinisikan sebagai

1

11

11

1321

2311

1221

1321

2311

1221

ρρρρ

ρρρρρρρρρρρρρ

ρρρρρρρρ

φ

K

MM

K

K

K

MM

K

K

−−−

−−

−−

−−−

−

−

=

kkk

kk

kk

kkkk

k

k

kk.

Himpunan dari kkφ , ,...2,1; =kkkφ , disebut sebagai Partial Autocorrelation

Function (PACF). Fungsi kkφ menjadi notasi standar untuk autokorelasi parsial

antara observasi tX dan ktX + dalam analisis runtun waktu. Fungsi kkφ akan

bernilai nol untuk lag k > p. Sifat ini dapat digunakan untuk identifikasi model

AR, yakni pada model autoregresif berlaku ACF akan meluruh secara

eksponensial menuju nol sedangkan nilai PACF pkkk >= ,0φ (Wei, 1990).

Proses White Noise

Proses tε dikatakan White Noise dengan rata-rata nol dan variansi 2σ

dapat ditulis tε ~ ),0( 2σWN jika dan hanya jika mempunyai mean nol dan fungsi

autokovariansi

⎩⎨⎧

≠=

=,0 jika ,00 jika ,2

kk

kσ

γ

fungsi autokorelasi

⎩⎨⎧

≠=

=,0 jika ,0

0 jika ,1kk

kρ

dan fungsi autokorelasi parsial

⎩⎨⎧

≠=

=.0 jika ,0

0 jika ,1kk

kkφ

Menurut definisi di atas, suatu proses tε disebut White Noise jika proses

tersebut merupakan variabel random yang tidak berkorelasi dari suatu distribusi


commit to user

7

tertentu dengan mean konstan ( ) µε =tE biasanya diasumsikan nol, variansi 2σ ,

dan ( ) ( ) 0, == +kttCovk εεγ untuk setiap 0≠k (Wei, 1990).

Proses Autoregresif Orde p

Menurut Wei (1990), proses AR(p) dapat didefinisikan sebagai

tptpttt XXXX εφφφ ++++= −−− ...2211 ,

dengan AR(p) adalah proses autoregresif sampai lag ke-p dan tε adalah nilai

residu sampai waktu ke-t dari model AR(p), atau dapat ditulis dalam bentuk

( ) ttXB εφ = ,

di mana ( ) pp BBBB φφφφ −−−−= ...1 2

21 dan operator backward-shift (lag

operator) didefinisikan sebagai

( ) ,jttj XXB −= Ztj ∈, .

2.1.3 Estimasi Parameter AR Linear

Menurut Cryer (1983), estimasi dari parameter model dapat diperoleh

dengan menggunakan metode kuadrat terkecil (least square method), yaitu dengan

meminimumkan jumlah kuadrat residu (sum squared error) berikut

( )2

22211

2 ...∑∑=

−−− −−−−==T

tptptttt XXXXSSE φφφε .

Jumlah kuadrat residu pada persamaan (2.1) di atas akan minimum jika turunan

parsial pertama terhadap pφφφ ,...,, 21 sama dengan nol.

Misal dipunyai model AR(1) sebagai berikut

ttt XX εφ += −1 ,

dengan t=1, 2, ...,T dan tε ~ ),0( 2σWN . Nilai estimasi dari φ dapat diperoleh

dengan meminimumkan jumlah kuadrat residu berikut

( )2

21

2 ∑∑=

−−==T

tttt XXSSE φε .

Jumlah kuadrat residu pada persamaan (2.3) di atas akan minimum jika turunan

parsial terhadap φ sama dengan nol,

(2.3)

(2.2)

(2.1)


commit to user

8

( )

.

0

02

2

21

21

2

21

21

211

∑

∑

∑∑

∑

=−

=−

=−

=−

=−−

=⇔

=−⇔

=−−=∂∂

T

tt

T

ttt

T

tt

T

ttt

T

tttt

X

XX

XXX

XXXSSE

φ

φ

φφ

Estimasi dari φ dapat dinyatakan sebagai

∑

∑

=−

=−

= T

tt

T

ttt

X

XX

2

21

21

φ .

Untuk model AR(p)

tptpttt XXXX εφφφ ++++= −−− ...2211 ,

dengan t=1,...,T, Rp ∈φφφ ,...,, 21 , dan tε ~ ),0( 2σWN diperoleh sistem persamaan

linear dengan p parameter sebagai berikut

( ) 0...22

221111

=−−−−−=∂∂ ∑

=−−−−

T

tptptttt XXXXXSSE φφφ

φ

( )

( ) .0...2

0...2

22211

222112

2

=−−−−−=∂∂

=−−−−−=∂∂

∑

∑

=−−−−

=−−−−

T

tptptttpt

p

T

tptptttt

XXXXXSSE

XXXXXSSE

φφφφ

φφφφ

M

Dari persamaan (2.4) diperoleh

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

=−

=−

=−−−

=−

=−

=−−

=−−

=−

=−

=−−

=−−

=−

=+++

=+++

=+++

T

ttpt

T

tptp

T

ttptpt

T

tt

T

ttt

T

tpttp

T

ttt

T

tt

T

ttt

T

tpttp

T

ttt

T

tt

XXXXXXX

XXXXXXX

XXXXXXX

22

2

222

211

22

22

2

2222

211

21

21

2212

2

211

...

...

...

φφφ

φφφ

φφφ

M

(2.5)

(2.4)


commit to user

9

Jika direpresentasikan ke dalam bentuk matriks maka persamaan (2.5) dapat

disederhanakan menjadi

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑

∑

∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

=−

=−

=−

=−

=−−

=−−

=−−

=−

=−−

=−−

=−−

=−

T

ttpt

T

ttt

T

ttt

pT

tpt

T

ttpt

T

ttpt

T

tptt

T

tt

T

ttt

T

tptt

T

ttt

T

tt

XX

XX

XX

XXXXX

XXXXX

XXXXX

2

22

21

2

1

2

2

22

21

22

2

22

212

21

221

2

21

M

M

L

MOMM

L

L

φ

φφ

atau dapat dituliskan menjadi

=x'x x'Xφ ,

dengan

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1 2 1

2 2 2 3 2 1

1

t t t p

t t t p

n t p n t p n t n

X X X

X X X

X X X

− − −

− − − −

− − − −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

x

L

L

M M O M

L

,

1

2

t

t

nt

XX

X

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

XM

, dan

1

2

p

φφ

φ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Mφ .

Estimasi parameter dari φ dalam bentuk vektor menjadi sebagai berikut

( )-1= x'x x'X)φ .

2.1.4 Model Smooth Transition Autoregressive (STAR)

Model STAR merupakan pemodelan nonlinear perluasan dari model

autoregresif di mana dalam modelnya terdapat dua rezim dan nilai dari

parameternya dimuluskan dengan pemulusan transisi.

Menurut Terasvirta (1994), model STAR(p,d) untuk runtun waktu

univariat yang diobservasi pada saat t=1,…,T-1,T dimodelkan sebagai

( )( ) ( ) 1 2' 1 , , ' , ,t t t d t t d tX G c X G c Xγ γ ε− −= − + +X Xφ φ ,

dengan

STAR(p,d) : model STAR dengan orde p dan variabel transisi dtX − ,

( )''1,t t=X X% di mana ( )'

1 2,, ,...,t t t t pX X X− − −=X% : log return saat periode ke-t,

'

1 1,0 1,1 1,2 1,, , ,..., pφ φ φ φ⎡ ⎤= ⎣ ⎦φ : parameter pada rezim 1,

(2.6)


commit to user

10

'

2 2,0 2,1 2,2 2,, , ,..., pφ φ φ φ⎡ ⎤= ⎣ ⎦φ : parameter pada rezim 2,

dtX − : variabel transisi di mana pd ≤≤1 ,

( )dtXcG −,,γ : fungsi transisi bernilai [0,1],

c : parameter lokasi,

γ : slope, dan

tε : nilai residu sampai waktu ke-t dari model STAR (p,d).

Persamaan (2.6) di atas dapat dijabarkan sebagai

( ) ( )( ) ( )( ) ,,,

...,,1... ,211,20,2,111,10,1

tdt

ptptdtptptt

XcGXXXcGXXX

εγ

φφφγφφφ

+

++++−+++=

−

−−−−−

atau dapat dituliskan menjadi

( )( ) ( ) tdt

p

jjtjdt

p

jjtjt XcGXXcGXX εγφφγφφ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= −

=−−

=− ∑∑ ,,,,1

1,20,2

1,10,1 .

Fungsi transisi ( )dtXcG −,,γ bergantung pada nilai variabel transisi ( dtX − ),

slope (γ ), dan parameter lokasi (c). Besarnya parameter slope (γ ) menentukan

kemulusan antar rezim, sedangkan nilai dari parameter lokasi (c) mengindikasikan

lokasi transisi.

Menurut Terasvirta (1994), model STAR terbagi dalam dua tipe

berdasarkan fungsi transisinya, yaitu logistik dan eksponensial. Jika fungsi transisi

pada persamaan (2.6) berupa fungsi logistik

( ) ( )( ) 0 ,exp1

1,, >−−+

=−

− γγ

γcX

XcGdt

dt

maka disebut model Logistic Smooth Transition Autoregressive (LSTAR). Jika

fungsi transisi pada persamaan (2.6) berupa fungsi eksponensial

( ) ( )( ) 0 ,exp1,, 2 >−−−= −− γγγ cXXcG dtdt

maka disebut model Exponential Smooth Transition Autoregressive (ESTAR).

Sifat dari fungsi transisi logistik dan eksponensial yaitu pada saat parameter slope

0γ = , model LSTAR dan ESTAR akan menjadi model linear.


commit to user

11

2.1.5 Uji Nonlinearitas

Diketahui model STAR dari persamaan (2.6) sebagai berikut

( )( ) ( ) 1 2' 1 , , ' , ,t t t d t t d tX G c X G c Xγ γ ε− −= − + +X Xφ φ .

Hipotesis nol dari nonlinearitas dapat diekspresikan sebagai persamaan dari

parameter AR dalam dua rezim sebagai berikut

0 1 2:H =φ φ (model linear),

1 1, 2,: , i iH ≠φ φ pi ,...1,0satu minimaluntuk ∈ (model nonlinear).

Menurut Van Dijk (1999), pada masalah uji nonlinearitas untuk alternatif

dari tipe STAR dianjurkan sejumlah solusi untuk mengganti fungsi transisi

( )dtXcG −,,γ dengan pendekatan Taylor yang sesuai. Nonlinearitas dapat diuji

dengan statistik Lagrange Multiplier (LM), di mana statistik uji ini memiliki

distribusi asimtotis standar Chi-Squared ( )2χ di bawah 0H .

Uji terhadap LSTAR

Model STAR pada persamaan (2.6) dapat ditulis dalam bentuk

( ) ( )'' 1 2 1 , ,t t t t d tX G c Xγ ε−= + − +X Xφ φ φ .

Menurut Van Dijk (1999), fungsi transisi ( )dtXcG −,,γ diganti dengan

pendekatan Taylor orde tiga di sekitar 0=γ ,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ),,,481

41

21

,,,,61

,,21,,,0,,,

333

30

3

33

02

22

03

cXRcXcX

cXRcXG

cXGcXGcXGcXT

dtdtdt

dtdt

dtdtdtdt

γγγ

γγ

γγ

γγγ

γγγγ

γ

γγ

−−−

−

=

−

=

−

=

−−−

+−+−+=

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂+=

di mana ( )cXR dt ,,3 γ− merupakan fungsi remainder. Dengan mensubstitusikan

( )cXT dt ,,3 γ− dalam persamaan (2.8) pada ( )dtXcG −,,γ dalam persamaam (2.7)

didapatkan model bantuan, 2 3

0,0 0 1 2 3' ' ' '

t t t t d t t d t t d tX X X X eβ − − −= + + + + +β X β X β X β X% % % % ,

(2.7)

(2.9)

(2.8)


commit to user

12

di mana ( ) ( )' 2 1 3 , ,t t t t de R X cε γ−= + − Xφ φ , dan 0β , iβ di mana i=1,2,3

merupakan fungsi parameter dari 1 2, , γφ φ , dan c.

Uji hipotesisnya menunjukkan 0:'0 =γH berhubungan dengan

''0 1 2 3: 0H =β = β = β , yang dapat diuji menggunakan uji LM. Uji statistik tersebut

disebut sebagai 3LM , di bawah hipotesis nol linear dan memiliki distribusi

asimtotis Chi-Squared dengan derajat bebas 3p ( 23 pχ ) (Van Dijk, 1999).

Uji terhadap ESTAR

Menurut Van Dijk (1999), nonlinearitas dapat diuji melalui alternatif

ESTAR yang diberikan oleh persamaan (2.7) dengan mengganti fungsi transisi

eksponensial dengan pendekatan Taylor orde pertama di sekitar 0=γ ,

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( ),,,

,,0exp1

,,expexp1

,,,,

,0,,,

12

12

122

10

1

cXRcX

cXRcX

cXRcXcXcX

cXRcXG

cXGcXT

dtdt

dtdt

dtdtdtdt

dtdt

dtdt

γγ

γγ

γγγ

γγγ

γγγ

−−

−−

−−−−

−=

−−−

+−=

+−+−=

+−−−+−−−=

+∂

∂+=

di mana ( )cXR dt ,,1 γ− merupakan fungsi remainder. Dengan mensubstitusikan

( )1 , ,t dT X cγ− dalam persamaan (2.10) pada ( )dtXcG −,,γ dalam persamaan (2.7)

didapatkan model bantuan, 2

0,0 0 1 2' ' '

t t t t d t t d tX X X eβ − −= + + + +β X β X β X% % % ,

di mana ( ) ( )'2 1 1 , ,t t t t de R X cε γ−= + − Xφ φ , dan 0β , iβ di mana i=1,2,3

merupakan fungsi parameter dari 1 2, , γφ φ , dan c. Ekspresi dari 0,0β dan

, 1,2,3i i =β menunjukkan bahwa pembatasan 0=γ berhubungan dengan

1 2 0= =β β dalam persamaan (2.11). Uji statistik untuk hipotesis nol ini adalah

2LM dengan distribusi asimtotis 22 pχ .

Pada penentuan tipe fungsi transisi model STAR digunakan prosedur dari

Terasvirta yaitu melalui uji 3LM . Meskipun 3LM dikembangkan untuk uji

(2.11)

(2.10)


commit to user

13

alternatif LSTAR, namun uji ini memiliki kemampuan yang sama untuk alternatif

ESTAR. Cara intuitif untuk memahami hal ini adalah dengan membandingkan

persamaan (2.9) dan (2.11) yang digunakan untuk menghitung statistik statistik

2LM dan 3LM . Terlihat bahwa semua regreser bantuan dalam persamaan (2.11)

terkandung dalam persamaan (2.9). Oleh karena itu, statistik 3LM diduga

memiliki kemampuan yang sama baiknya terhadap ESTAR (Van Dijk, 1999).

Statistik 3LM berdasarkan persamaan (2.9) dapat diperoleh dengan cara

1. meregresikan tX terhadap tX~ , menghitung residual tε , dan jumlah kuadrat

residual

∑=

=T

itSSR

1

20 ε ,

2. menduga regresi bantuan (auxiliary regression) tε terhadap ( )1, tX% dan

, 1, 2,3it t dX i− =X% ,

2 30,0 0 1 2 3ˆ ' ' ' '

t t t t d t t d t t d tβ X X X eε − − −= + + + + +β X β X β X β X% % % % ,

kemudian menghitung jumlah residual kuadrat

∑=

=T

iteSSR

1

21 ˆ ,

3. dengan hipotesis

0.........: ,31,3,21,2,11,10 ====== pppH ββββββ (model linear),

noldengan sama tidak yang satu ada minimal :1 βH (model nonlinear),

statistik uji 3LM dapat dihitung berdasarkan

( )0

103 SSR

SSRSSRTLM

−= ,

di mana distribusinya mengikuti distribusi 23 pχ .

2.1.6 Pemilihan Variabel Transisi

Variabel transisi dapat ditentukan lebih dahulu tanpa menspesifikasikan

bentuk alternatif dari fungsi transisi. Dengan menghitung statistik uji 3LM untuk

beberapa kandidat dari variabel transisi, dipilih variabel transisi dengan p-value


commit to user

14

terkecil atau statistik uji 3LM terbesar. Dasar pemikiran di balik prosedur ini

adalah bahwa uji harus memiliki kekuatan maksimum dalam hal model alternatif

telah dispesifikasikan dengan benar.

2.1.7 Pemilihan Fungsi Transisi

Jika uji nonlinearitas ditolak, dan variabel transisi yang tepat telah dipilih

maka langkah selanjutnya adalah memilih bentuk dari fungsi transisi ( )dtXcG −,,γ

berdasarkan statistik uji 3LM (Van Dijk, 1999).

Berdasarkan model regresi bantuan pada persamaan (2.9) , 2 3

0,0 0 1 2 3' ' ' '

t t t t d t t d t t d tX X X X eβ − − −= + + + + +β X β X β X β X% % % % ,

uji hipotesisnya adalah

linear), (model 0.........: ,31,3,21,2,11,10 ====== pppH ββββββ

0dengan sama tidak yang satu ada minimal :1 βH (nonlinear).

Pemilihan fungsi transisi ( )dtXcG −,,γ dilakukan dengan menguji urutan hipotesis

nol berikut

( )( )( )

0,3 3

0,2 2 3

0,1 1 3 2

i : 0 ,

ii : 0 0,

iii : 0 0,

H

H

H

=

= =

= = =

β

β β

β β β

yaitu

(i) jika 3 0 ≠β maka model adalah LSTAR,

(ii) jika 3 0,=β tetapi 2 0 ≠β maka model adalah ESTAR,

(iii) jika 3 0=β dan 2 0,=β tetapi 1 0 ≠β maka model adalah LSTAR dan jika

1 0,=β maka model adalah ESTAR.

2.1.8 Estimasi Parameter Model STAR

Van Dijk (1999) menggunakan metode nonlinear least square (NLS)

untuk mengestimasi parameter dari model STAR(p,d). Estimasi parameter pada


commit to user

15

metode NLS ditentukan dengan memiminimumkan jumlah kuadrat residu yang

didefinisikan sebagai

( ) ( )( )2

1

ˆ arg min arg min ,T

T t tt

Q X F X=

= = −∑θ θ θ ,

dengan

( ) ( )( ) ( )1,0 1, 2,0 2,1 1

, 1 , , , , ,p p

t j t j t d j t j t dj j

F X X G c X X G c Xφ φ γ φ φ γ− − − −= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑θ

di mana

( ) ( )( ) 0 ,exp1

1,, >−−+

=−

− γγ

γcX

XcGdt

dt untuk model LSTAR, dan

( ) ( )( ) 0 ,exp1,, 2 >−−−= −− γγγ cXXcG dtdt untuk model ESTAR.

Proses pencarian nilai parameter pada metode NLS ini dilakukan dengan

menggunakan metode numerik untuk melakukan estimasi secara iterasi.

Metode Gauss-Newton

Metode Gauss-Newton merupakan suatu algoritma untuk meminimumkan

jumlah kuadrat residu. Konsep yang mendasari teknik tersebut adalah uraian deret

Taylor yang digunakan untuk menyatakan persamaan nonlinear semula dalam

suatu bentuk pendekatan yang linear. Dengan demikian, teori NLS dapat

digunakan untuk memperoleh estimator-estimator baru dari parameter yang

bergerak ke arah yang meminimumkan jumlah kuadrat residu tersebut.

Secara umum iterasi Gaus-Newton dinyatakan sebagai

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )1' '1 ,i i i i i

t tD D D X F X−

+ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦θ θ θ θ θ θ ,

dengan

( )( )( ) ( ) ( ) '

1 2( , ) ( , ) ( , ), , ,i i i

i TF X F X F XD⎡ ⎤∂ ∂ ∂

= ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

θ θ θθθ θ θ

L .

Misal dipunyai model STAR(p,d) sedemikian hingga

( )( ) ( ) tdt

p

jjtjdt

p

jjtjt XcGXXcGXX εγφφγφφ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= −

=−−

=− ∑∑ ,,,,1

1,20,2

1,10,1 ,


commit to user

16

dengan

( ) ( )( ) 0 ,exp1

1,, >−−+

=−

− γγ

γcX

XcGdt

dt untuk model LSTAR,

( ) ( )( ) 0 ,exp1,, 2 >−−−= −− γγγ cXXcG dtdt untuk model ESTAR, dan

tε adalah nilai residu dari model.

Oleh karena itu, dimiliki vektor parameter θ sebagai

( )'

1,0 1, 2,0 2,,..., , ,..., , ,p p cφ φ φ φ γ=θ .

Menurut Nainggolan (2010), langkah awal algoritma Gauss-Newton

adalah menentukan nilai awal dan kemudian didekati dengan ( )θ,tXF untuk T

pengamatan oleh bentuk linear menggunakan ekspansi deret Taylor di sekitar nilai

awal ( )0g , yaitu

( ) ( )( ) ( ) ( )( )0 0,

ˆ

,, t

t t

F XF X F X

⎡ ⎤∂≈ + ⎢ ⎥∂⎣ ⎦θ=g

θθ g θ - g

θ,

dengan

( ) ( ) ( ) ( ) '0 0 0 00 1 kg g g⎡ ⎤= ⎣ ⎦g K adalah vektor dari parameter nilai awal.

Dengan penyederhanaan notasi ( ) ( )( )0 0,t tF F X= g ,

( ) ( )0 0= −β θ g ,

( ) ( )( ) ( )0 0

0

ˆ

,tt

F XD

=

⎡ ⎤∂= ⎢ ⎥∂⎣ ⎦θ g

θθ

,

pendekatan pada persamaan (2.12) dapat ditulis menjadi

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0,t t tF X F D≈ +θ β .

Oleh karena itu, diperoleh pendekatan model nonlinear ( ),t t tX F X ε= +θ

sebagai ( ) ( ) ( )0 0 0

t t t tX F D ε≈ + +β .

(2.12)


commit to user

17

Karena ( ) ( )00

ttt FXX −≈ ,

maka diperoleh pendekatan model regresi linear ( ) ( ) ( )0 0 0t t tX D ε≈ +β ,

atau dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut ( ) ( ) ( )0 0 0≈ +X D β ε ,

dengan

( ) ( ) ( ) ( ) '0 0 0 01 1 2 2, , , T TX F X F X F⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦X K

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1

1,0 1, 2,0 2,

0 0 0 0 0 02 2 2 2 2 2

01,0 1, 2,0 2,

0 0 0 0 0 0

1,0 1, 2,0 2,

p p

p p

T T T T T T

p p

F F F F F Fc

F F F F F Fc

F F F F F Fc

φ φ φ φ γ

φ φ φ φ γ

φ φ φ φ γ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

D

L L

L L

M M M M M M

L L

( ) ( ) ( ) ( ) '0 0 0 00 1, , , kβ β β⎡ ⎤= ⎣ ⎦β K .

Parameter ( )0β dapat di taksir dari persamaan normal pada model regresi

linear sederhana dan diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 0 0 0 0' 'i −⎡ ⎤= − ⎣ ⎦b θ D D D X ,

di mana ( )0b adalah vektor dari koefisien regresi kuadrat terkecil yang ditaksir

dan dapat digunakan untuk memperoleh taksiran parameter regresi berikutnya

dengan koefisien regresi ( ) ( ) ( )1 0 0= +g g b .


commit to user

18

2.1.9 Pemeriksaan Diagnostik

Model yang diperoleh perlu diperiksa lebih lanjut untuk mengetahui ada

tidaknya autokorelasi di dalam residu yang dihasilkan, efek heteroskedastisitas,

dan distribusi residu (Terasvirta, 1994). Model stasioner yang baik akan

memenuhi asumsi bahwa tidak ada autokorelasi dan efek heteroskedastisitas di

dalam residu yang dihasilkan serta residu yang berdistribusi normal.

Bentuk Distribusi Residu

Bentuk distribusi residu dari model dapat dilihat melalui nilai kurtosis dan

skewness yang dimiliki. Pada distribusi normal, kurtosis bernilai 0 dan skewness

bernilai 3.

Uji Autokorelasi Residu

Salah satu uji yang dapat digunakan untuk menguji autokorelasi adalah uji

Breusch-Godfrey. Langkah-langkah uji Breusch-Godfrey adalah

1. meregresikan suatu model, sehingga diperoleh nilai residunya tε ,

2. meregresikan tε terhadap seluruh variabel independen dalam model, ditambah

dengan pttt −−− εεε ,,2,1 K , yaitu

qtqppptptt XX −++−− +++++= ελελλλε K111 ... ,

dengan p adalah orde model dan q adalah lag yang diinginkan, kemudian

dihitung koefisien nilai determinasi 2R nya.

3. menguji hipotesis

H0: tidak terdapat autokorelasi dalam residu model

H1: terdapat autokorelasi dalam residu model,

4. menghitung statistik uji Breusch-Godfrey. Statistik uji yang digunakan adalah

Chi-Squared dengan derajat bebas p yaitu 22 nR=χ ,

dengan n adalah banyaknya residu, dan 2R adalah koefisien determinasi,

5. H0 ditolak jika 22pnR χ> .


commit to user

19

Uji Efek Heteroskedastisitas

Pengujian efek heteroskedastisitas dilakukan menggunakan uji Lagrange

Multiplier dengan langkah-langkah sebagai berikut

1. menentukan persamaan yang paling sesuai untuk data runtun waktu, dari

persamaan tersebut diperoleh residu kuadrat ( 2tε ),

2. meregresikan 2tε pada konstanta dan q lag-nya sendiri,

2 2 20 1 1t t q t qε α α ε α ε− −= + + +K ,

kemudian dihitung koefisien nilai determinasi 2R nya,

3. menguji hipotesis dengan

H0 : 1 2 qα α α= = =K = 0 (tidak ada efek ARCH sampai lag m)

H1 : paling sedikit terdapat satu ,0≠kα 1, 2, ,k q= K ,

4. menggunakan asumsi normalitas, statistik uji yang digunakan adalah 2* nR=ξ ,

dengan n adalah banyaknya residu dan 2R adalah koefisien determinasi,

5. H0 ditolak jika * 2qξ χ> .

2.1.10 Kriteria Pemilihan Model

Model terbaik dapat dipilih berdasarkan nilai Akaike Info Criterion (AIC)

(Wei, 1990). AIC dirumuskan sebagai

AIC = Ml 22 +− ,

dengan l adalah fungsi log likelihood, dan M adalah jumlah parameter yang

diestimasi.

2.1.11 Peramalan

Misal thtX +ˆ merupakan peramalan dari htX + pada waktu t, dengan

prediksi residu sebagai berikut

hthttht XXe +++ −= ˆ .


commit to user

20

Peramalan thtX +ˆ meminimumkan prediksi residu kuadrat berikut

[ ] ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Ω−= +++ tththttht XXEeE

22 ˆ ,

di mana tΩ merupakan himpunan semua informasi dari waktu lampau sampai

waktu t. Peramalan yang meminimumkan persamaan (2.13) merupakan ekspektasi

bersyarat dari htX + pada waktu t,

[ ]thttht XEX Ω= ++ˆ .

Jika terdapat model AR(1) sebagai berikut

ttt XX εφ += −11 ,

maka peramalannya adalah

[ ] thtththttht XXEX 1111ˆˆ

−++−++ =Ω+= φεφ ,

dengan ttht XX =−+ 1ˆ , untuk h=1.

Model umum AR nonlinear untuk orde 1 adalah

( )1,t t tX F X ε−= +θ .

Jika terdapat model STAR (1,1) sedemikian hingga

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1,0 1,1 1 1 2,0 2,1 1 1, 1 , , , ,t t t t tF X X G c X X G c Xφ φ γ φ φ γ− − − − −= + − + +θ ,

dengan asumsi [ ] 01 =Ω+ ttE ε , maka peramalan satu langkah ke depan 1+tX dapat

diperoleh sebagai

( )11ˆ ;t t tt tX E X F X++ ⎡ ⎤= Ω =⎣ ⎦ θ .

Pada peramalan lebih dari satu periode ke depan (multi-step forecast)

berlaku

( ) ( ) ( )2 1 12 1ˆ ˆ ,t t t t t tt t t tX E X E F X F E X F X+ + ++ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= Ω = Ω ≠ Ω =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ θ

sehingga perhitungannya akan lebih rumit.

2.1.11 Evaluasi Hasil Peramalan

Evaluasi hasil peramalan bertujun untuk mengevaluasi kualitas dari hasil

peramalan model runtun waktu. Hasil peramalan relatif dapat juga digunakan

(2.13)


commit to user

21

sebagai kriteria pemilihan model, sebagai alternatif atau pelengkap perbandingan

dalam sampel (in-sampel) dari model yang berbeda (Van Dijk, 1999). Ukuran

yang digunakan untuk evaluasi hasil peramalan adalah

1. Mean Squared Error (MSE)

( )∑=

−=n

ttt PP

rMSE

1

2ˆ1

dengan

tP :data asli kurs thai bath terhadap rupiah periode ke-t,

tP : ramalan kurs thai bath terhadap rupiah periode ke-t,

r : jumlah ramalan.

2. Mean Absolute Percentage Error (MAPE)

∑=

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

n

t t

tt

PPP

rMAPE

1

100ˆ1 .

Model dengan MSE dan atau MAPE yang lebih kecil memiliki hasil peramalan

yang lebih baik (Van Dijk, 1999).

2.2 Kerangka Pemikiran

Banyak kasus runtun waktu seperti runtun waktu finansial dan

perekonomian suatu negara, termasuk kurs mempunyai kecenderungan nonlinear

sehingga diperlukan suatu uji nonlinearitas. Jika asumsi nonlinear dipenuhi maka

kurang sesuai jika digunakan model linear konvensional. Oleh karena itu,

diperlukan model baru yang nonlinear terhadap runtun waktu tersebut. Pada

penelitian ini, akan digunakan model STAR sebagai salah satu alternatif model

nonlinear untuk diterapkan pada runtun waktu kurs thai bath terhadap rupiah guna

mencari model dan ramalan yang paling tepat untuk satu periode selanjutnya.


commit to user

22

BAB III

METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi kasus. Data yang

digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder berupa data runtun waktu

kurs thai bath terhadap rupiah dalam frekuensi harian dari 1 Januari 2005 sampai

9 Juli 2010. Data periode 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010 sebanyak 1285

observasi sebagai in-sample dan data selanjutnya sebanyak 63 observasi sebagai

out-of-sample. Analisis data dilakukan dengan bantuan software Eviews.

Langkah-langkah yang ditempuh untuk mencapai tujuan penelitian ini

adalah

1. Memodelkan data dengan proses AR.

a. Membuat plot runtun waktu untuk data asli (menggunakan data in-sample)

untuk melihat pola data dan stasioneritasnya.

b. Data yang belum stasioner diubah ke dalam bentuk log-return untuk

menstasionerkan data terhadap rata-rata.

c. Menentukan model AR(p) yang sesuai berdasarkan plot ACF dan PACF.

d. Melakukan estimasi parameter AR(p).

e. Melakukan uji autokorelasi residu model AR yang diperoleh. Orde model

AR yang terbentuk akan digunakan dalam pengujian nonlinearitas pada

model STAR.

2. Memodelkan data dengan STAR.

a. Memeriksa kelinearan data.

b. Jika data terbukti nonlinear, maka dipilih variabel transisi dan bentuk

fungsi transisi yang tepat.

c. Melakukan estimasi parameter model STAR.

3. Melakukan pemeriksaan diagnostik tehadap model STAR yang terbentuk dan

evaluasi berdasarkan nilai AIC dan standar deviasinya.

4. Modifikasi model jika diperlukan.

5. Menentukan ramalan untuk satu periode berikutnya.

6. Evaluasi peramalan berdasarkan nilai MSE dan MAPE.


commit to user

23

BAB IV

PEMBAHASAN

4.1 Deskripsi Data

Dalam skripsi ini digunakan data runtun waktu finansial berupa nilai tukar

mata uang atau kurs yang bersumber dari data Bank Indonesia, yaitu kurs mata

uang Thailand (thai bath) terhadap rupiah pada periode 1 Januari 2005 sampai 9

Juli 2010. Data periode 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010 sebanyak 1285

observasi digunakan untuk spesifikasi model (in-sample) dan data selanjutnya

digunakan untuk evaluasi dalam peramalan (out-of-sample). Plot data dapat dilihat

pada Gambar 4.1 dan ringkasan statistiknya dapat dilihat pada Tabel 4.1.

200

220

240

260

280

300

320

340

250 500 750 1000 1250

DATA_ASLI

Gambar 4.1 Plot Kurs Thai Bath terhadap Rupiah Periode 1 Januari 2005 sampai

9 April 2010

Dari plot data terlihat bahwa kurs thai bath terhadap rupiah berfluktuasi dari

waktu ke waktu.

Tabel 4.1 Ringkasan Statistik Data Kurs Thai Bath terhadap Rupiah Periode

1 Januari 2005 sampai 9 April 2010

Estimasi Nilai

Rata-rata

Median

Maksimum

Minimum

Standar Deviasi

254,62

253,29

337,49

217,52

26,81733


commit to user

24

Dalam rentang waktu 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010, kurs terendah

berada di titik 217,52 yang merupakan data pada tanggal 12 Mei 2006, dan kurs

tertinggi berada di titik 337,49 yang merupakan data pada tanggal 25 November

2008. Rata-rata kurs thai bath terhadap rupiah dalam periode tersebut adalah

254,62 dengan median 253,29 dan standar deviasi 26,81733.

4.2 Stasioneritas Data

Pada penelitian ini data kurs thai bath terhadap rupiah diubah ke dalam

bentuk log return. Perubahan data ke dalam fungsi log return menyebabkan

jumlah observasi berubah menjadi T-1 = 1284 observasi. Perubahan data ke dalam

bentuk log return bertujuan untuk menjadikan data lebih stasioner dengan nilai

yang mendekati nol. Hal ini dapat dilihat pada plot log return yang tersaji pada

Gambar 4.2.

-.15

-.10

-.05

.00

.05

.10

.15

250 500 750 1000 1250

RETURN

Gambar 4.2 Plot Log Return Kurs Thai Bath terhadap Rupiah Periode 1 Januari

2005 sampai 9 April 2010

4.3 Identifikasi Model AR Linear

Spesifikasi model STAR diawali dengan identifikasi proses AR linear.

Identifikasi awal dalam mencari model AR yang sesuai untuk data log return yang

stasioner dapat dilihat dari nilai ACF dan PACF. Pada Gambar 4.3 tampak bahwa

nilai ACF meluruh menuju nol dan nilai PACF terpotong menuju nol setelah lag-2

sehingga dapat dikatakan terjadi proses AR(2) dalam data.


commit to user

25

Gambar 4.3 Plot ACF dan PACF Log Return Kurs Thai Bath terhadap Rupiah

Periode 1 Januari 2005 sampai 9 April 2010

4.4 Estimasi dan Evaluasi Model AR Linear

Hasil uji pada identifikasi model awal menghasilkan proses AR(2) tanpa

konstanta merupakan model yang paling tepat untuk menggambarkan log return.

Hasil estimasi model AR(2) dapat dilihat pada Tabel 4.2.

Hasil estimasi parameter memperlihatkan nilai 1φ dan 2φ signifikan tidak

sama dengan nol karena memiliki p-value kurang dari 0,05. Selain itu, estimasi

parameter φ telah memiliki kondisi stasioner karena nilai φ kurang dari satu.

Model AR(2) yang diperoleh adalah

tttt XXX ε+= −− 21 0,286011--0,495213 ,

dengan tX adalah data log return saat periode ke-t dan tε adalah residu yang

dihasilkan oleh model. Output model AR(2) selengkapnya dapat dilihat pada

Lampiran 3.

(4.1)


commit to user

26

Tabel 4.2 Hasil Estimasi Model AR(2) Tanpa Konstanta pada Data Log Return

Parameter Koefisien Standar deviasi t-Statistik Probabilitas

1φ -0,495213 0,026770 -18,49885 0,0000

2φ -0,286011 0,026745 -10,69392 0,0000

Standar Deviasi 0,013659

AIC -5,747221

Model AR(2) yang telah diperoleh akan diperiksa lebih lanjut. Model ini

diperiksa apakah terdapat autokorelasi di dalam residu yang dihasilkan. Uji

autokorelasi residu dilakukan dengan menggunakan uji statistik Breusch-Godfrey.

Uji ini menggunakan hipotesis nol yang menyatakan bahwa tidak terdapat

autokorelasi di dalam residu model AR(2). Statistik Breusch-Godfrey sampai lag-

5 menghasilkan p-value = 0,999001. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 4.3.

Tabel 4.3 Hasil Uji Breusch-Godfrey sampai Lag-5 Residu Model AR(2)

Koefisien Probabilitas

Uji Breusch-Godfrey 0,999001

AR(1) 0,264090 0,7225

AR(2) 0,063912 0,8347

Residu pada lag-1 -0,267255 0,7194

Residu pada lag-2 0,060191 0,9063

Residu pada lag-3 0,030402 0,8423

Residu pada lag-4 -0,047929 0,7029

Residu pada lag-5 0,005482 0,9460

Apabila diberikan tingkat signifikansi 05,0=α , maka hipotesis nol akan

ditolak jika p-value uji Breusch-Godfrey lebih kecil dari 05,0=α . Karena p-value

uji Breusch-Godfrey = 0,999001 lebih besar dari 05,0=α maka dapat

disimpulkan bahwa tidak terdapat autokorelasi di dalam residu model AR(2).

Berdasarkan Tabel 4.3 dapat dilihat bahwa residu model AR(2) tidak terdapat


commit to user

27

autokorelasi sampai lag ke-5 sekalipun. Output uji Breusch-Godfrey residu AR(2)

selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 5.

4.5 Uji Nonlinearitas

Orde model STAR diperoleh berdasarkan orde model AR linear.

Diperoleh orde AR linear p=2 sehingga kandidat variabel transisi dalam model

STAR adalah 1−tX dan 2−tX . Uji nonlinearitas dilakukan terhadap kedua kandidat

variabel transisi dengan menggunakan uji Lagrange Multiplier ( 3LM ). Apabila

diberikan hipotesis nol yang menyatakan bahwa parameter AR kedua rezim pada

model STAR adalah sama (model linear) dan diberikan tingkat signifikansi

05,0=α , maka hipotesis nol tersebut akan ditolak jika nilai statistik uji 3LM

lebih besar dari nilai 23 pχ pada tabel distribusi Chi-Squared, yaitu sebesar 12,59.

Tabel distribusi Chi-Squared dapat dilihat pada lampiran 6.

Tabel 4.4 Uji Nonlinearitas pada Data Log Return

Variabel

Transisi

( dtX − )

Jumlah Kuadrat

Residu AR(2)

( 0SSR )

Jumlah Kuadrat

Residu Regresi Bantu

( 1SSR )

Statistik

Uji

3LM

1−tX 0,238821

0,204966 182,0184

2−tX 0,225639 70,8719

Hasil uji nonlinearitas pada Tabel 4.4 menunjukkan bahwa kedua pilihan

variabel transisi memberikan model yang nonlinear karena nilai statistik uji 3LM

lebih besar dari 12,59. Variabel transisi terpilih yang akan digunakan dalam model

STAR adalah 1−tX karena memiliki nilai 3LM lebih besar. Output hasil uji

nonlinearitas selengkapnya dapat dilihat pada lampiran 7.

4.6 Identifikasi Model STAR


commit to user

28

Setelah terbukti nonlinear dan variabel transisi yang tepat telah dipilih maka

dilakukan pemilihan bentuk dari fungsi transisi ( )dtXcG −,,γ . Pemilihan fungsi

transisi ( )dtXcG −,,γ dilakukan dengan menguji urutan hipotesis nol berikut

( )( )( )

0,3 3

0,2 2 3

0,1 1 3 2

i : 0 ,

ii : 0 0,

iii : 0 0,

H

H

H

=

= =

= = =

β

β β

β β β

yaitu

(i) jika 3 0 ≠β maka model adalah LSTAR,

(ii) jika 3 0,=β tetapi 2 0 ≠β maka model adalah ESTAR,

(iii) jika 3 0=β dan 2 0,=β tetapi 1 0 ≠β maka model adalah LSTAR dan jika

1 0,=β maka model adalah ESTAR.

Berdasarkan Tabel 4.5, parameter 1,3β dan 2,3β signifikan tidak sama

dengan nol karena memiliki p-value kurang dari 0,05, artinya hipotesis nol

0,3 3 : 0 H =β dalam prosedur penentuan tipe fungsi transisi ditolak. Oleh karena

itu, model yang harus dipilih adalah model LSTAR(2,1).


Nonlinearitas pada Data Log Return

Parameter Koefisien Standar Deviasi t-Statistik Probabilitas

1,1β -7,712112 0,935572 -8,243204 0,0000

2,1β -3,231941 1,349183 -2,395480 0,0167

1,2β -58,46676 6,172829 -9,471632 0,0000

2,2β -56,22146 6,918879 -8,125805 0,0000

1,3β 689,3938 77,35728 8,911881 0,0000

2,3β 410,0942 117,6363 3,486120 0,0005


commit to user

29

4.7 Estimasi dan Evaluasi Model LSTAR(2,1)

Hasil estimasi model LSTAR(2,1) pada Tabel 4.6 memperlihatkan nilai

estimasi dari parameter 0,1φ , 1,1φ , 2,1φ , 0,2φ , dan 1,2φ signifikan tidak sama dengan

nol karena mimiliki p-value kurang dari 0,05.

Tabel 4.6 Hasil Estimasi Model LSTAR(2,1)


0,1φ -0,037859 0,010302 -3,674863 0,0002

1,1φ -1,032200 0,154190 -6,694360 0,0000

2,1φ -0,507625 0,063378 -8,009492 0,0000

0,2φ 0,020159 0,005236 3,849893 0,0001

1,2φ -0,985679 0,074961 -13,14924 0,0000

γ 82,86620 17,01573 4,869977 0,0000

c -0,008792 0,003171 -2,772503 0,0056


AIC -5,865251

Model LSTAR(2,1) yang diperoleh adalah

( ) ( )( )

( ) ( )( ) tt

t

tttt

XX

XXXX

ε+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

−=

−−

−−−

0,00879282,86620exp11 0,985679-0,020159

0,00879282,86620exp111 0.,07625-1,032200-0,037859-

11

121


dihasilkan oleh model. Output model LSTAR(2,1) selengkapnya dapat dilihat

pada Lampiran 8.

Model LSTAR(2,1) yang telah diperoleh ini akan diperiksa lebih lanjut.

Model ini diperiksa tingkat kesesuaiannya di dalam memodelkan data runtun

waktu log return kurs thai bath terhadap rupiah.

Uji autokorelasi residu dilakukan dengan menggunakan uji statistik

Breusch-Godfrey. Berdasarkan Tabel 4.7, p-value uji Breusch-Godfrey=0,000000

lebih kecil dari 05,0=α maka dapat disimpulkan bahwa masih terdapat


commit to user

30

autokorelasi di dalam residu model LSTAR(2,1). Hal ini menunjukkan bahwa

model LSTAR(2,1) belum sesuai digunakan untuk memodelkan data log return

kurs thai bath terhadap rupiah sehingga perlu dilakukan identifikasi kembali untuk

menentukan model STAR yang lebih tepat. Output uji Breusch-Godfrey residu

LSTAR(2,1) selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 10.

Tabel 4.7 Hasil Uji Breusch-Godfrey sampai Lag-5 Residu LSTAR (2,1)



0,1φ 0,005379 0,6017

1,1φ 0,550073 0,0015

2,1φ 0,208833 0,0127

0,2φ -0,004304 0,4267

1,2φ 0,576510 0,0000

γ 18.80214 0,2700

c 0,001056 0,7572

Residu pada lag-1 -0,566961 0,0000

Residu pada lag-2 0,130437 0,0151

Residu pada lag-3 0,108098 0,0019

Residu pada lag-4 -0,027394 0,3430

Residu pada lag-5 0,031646 0,2636

Identifikasi dilakukan kembali dengan mengganti pilihan variabel transisi

2−tX dan menentuan kembali tipe fungsi transisi yang tepat.

Pada Tabel 4.8, parameter 2,3β signifikan tidak sama dengan nol karena

memiliki p-value kurang dari 0,05, artinya hipotesis nol 0,3 3: 0 H =β dalam

prosedur penentuan tipe fungsi transisi ditolak. Oleh karena itu, model yang harus

dipilih adalah model LSTAR(2,2).


commit to user

31

Tabel 4.8 Model Regresi Bantu dengan Variabel Transisi 2−tX

pada Uji Nonlinearitas pada Data Log Return


1,1β 3,877463 1,492268 2,598369 0,0095

2,1β -2,336404 1,009192 -2,313123 0,0208

1,2β 19,79220 7,594445 2,606142 0,0093

2,2β -21,15918 6,105798 -3,465424 0,0005

1,3β -245,1739 135,9705 -1,803141 0,0716

2,3β 191,8080 87,51854 2,191627 0,0286

4.8 Estimasi dan Evaluasi Model LSTAR(2,2)

Berdasarkan hasil estimasi model LSTAR(2,2) pada Tabel 4.9, nilai

estimasi dari parameter 0,1φ , 1,1φ , 2,1φ , 0,2φ , 1,2φ , dan 2,2φ signifikan tidak sama

dengan nol karena mimiliki p-value kurang dari 0,05.

Tabel 4.9 Hasil Estimasi Model LSTAR(2,2)


0,1φ -0,048256 0,013860 -3,481720 0,0005

1,1φ -0,578928 0,090679 -6,384383 0,0000

2,1φ -0,860747 0,168046 -5,122095 0,0000

0,2φ 0,013315 0,005206 2,557731 0,0107

1,2φ -0,584055 0,036515 -15,99503 0,0000

2,2φ -0,673833 0,085245 -7,904642 0,0000

γ 80,09008 20,41493 3,923113 0,0001

c -0,017486 0,004514 -3,873322 0,0001


AIC -5,810466


commit to user

32

Model LSTAR(2,2) yang diperoleh adalah

( ) ( )( )

( ) ( )( ) tt

tt

tttt

XXX

XXXX

ε+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

−=

−−−

−−−

0,01748680,09008exp11 0,673833-0,584055-0,013315

0,01748680,09008exp111 0,860747-0,578928-0,048256-

221

221


dihasilkan oleh model. Output model LSTAR(2,2) selengkapnya dapat dilihat

pada Lampiran 8.

Plot data log return, hasil estimasi, dan residu model LSTAR(2,2) tersaji

pada Gambar 4.4.

Gambar 4.4 Plot Log Return, Hasil Estimasi, dan Residu Model LSTAR (2,2)

4.8.1 Uji Autokorelasi Residu

Statistik uji Breusch-Godfrey sampai lag-5 menghasilkan p-value =

0,982539. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 4.10. Output uji Breusch-Godfrey

residu LSTAR(2,2) selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 10.

Apabila diberikan tingkat signifikansi 05,0=α , maka hipotesis nol akan

ditolak jika p-value uji Breusch-Godfrey lebih kecil dari 05,0=α . Karena p-value

uji Breusch-Godfrey = 0,982539 lebih besar dari 05,0=α maka dapat

disimpulkan bahwa tidak terdapat autokorelasi di dalam residu model

LSTAR(2,2). Pada Tabel 4.10 dapat dilihat bahwa residu model LSTAR (2,2)

tidak terdapat autokorelasi sampai lag ke-5 sekalipun.


commit to user

33

Tabel 4.10 Hasil Uji Breusch-Godfrey sampai Lag-5 Residu LSTAR(2,2)



0,1φ -0,000341 0,9805

1,1φ 0,005541 0,9646

2,1φ 0,039056 0,8346

0,2φ -4,27E-05 0,9935

1,2φ 0,001404 0,9907

2,2φ 0,039383 0,7646

γ -0,091865 0,9965

c -0,000154 0,9730

Residu pada lag-1 -0,002210 0,9848

Residu pada lag-2 -0,041795 0,6579

Residu pada lag-3 0,028252 0,6209

Residu pada lag-4 0,010297 0,7479

Residu pada lag-5 0,009848 0,7558

4.8.2 Uji Efek Heteroskedastisitas

Efek heteroskedastisitas diuji menggunakan uji Lagrange Multiplier. Uji

ini dilakukan untuk melihat apakah masih terdapat efek heteroskedastisitas.

Apabila diberikan hipotesis nol yang menyatakan bahwa tidak terdapat efek

heteroskedastisitas (ARCH) dan diberikan tingkat signifikansi 05,0=α , maka

hipotesis nol tersebut akan ditolak jika nilai p-value < 05,0=α . Berdasarkan

Tabel 4.11 nilai p-value = 0,000001 maka hipotesis nol ditolak. Jadi masih

terdapat efek ARCH di dalam residu model LSTAR(2,2). Output uji Lagrange

Multiplier selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 10.


commit to user

34

Tabel 4.11 Uji Lagrange Multiplier sampai lag-1 untuk Residu Model

LSTAR(2,2)


Uji Lagrange Multiplier 0,000001

0α 0,000150 0,000000

1α 0,136220 0,000000

4.8.3 Distribusi Residu

Ringkasan statistik beserta histogram dari residu model LSTAR(2,2) dapat

dilihat pada Gambar 4.5.

0

100

200

300

400

500

600

700

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15

Series: ResidualsSample 3 1284Observations 1282

Mean 6.96E-11Median -0.000738Maximum 0.149477Minimum -0.103583Std. Dev. 0.013167Skewness 2.914779Kurtosis 35.14174

Gambar 4.5 Histogram dan Ringkasan Statistik Residu Model LSTAR(2,2)

Nilai kurtosis residu sebesar 35,14174 signifikan lebih besar dari 3 yang

berarti residu memiliki distribusi dengan ekor yang lebih pendek dari distribusi

normal yang menyebabkan distribusinya berbentuk leptokurtik. Nilai skewness

sebesar 2,914779 bernilai positif menunjukkan bahwa distribusinya memililki

ekor bagian kanan yang lebih panjang. Hal ini berarti bahwa residu model

LSTAR(2,2) tidak berdistribusi normal.

Menurut Wei (1990), asumsi dasar dalam runtun waktu adalah residu

merupakan white noise. Hal ini dapat dilihat dari signifikansi nilai autokorelasi

residu melalui uji autokorelasi residu. Berdasarkan uji autokorelasi residu pada

poin 4.12.1 di atas, diperoleh bahwa tidak terdapat autokorelasi pada residu model

LSTAR(2,2) sehingga dapat dikatakan bahwa residu adalah white noise. Oleh


commit to user

35

karena itu, dapat dikatakan bahwa model LSTAR(2,2) cukup layak dalam

memodelkan data log return kurs thai bath terhadap rupiah.

Jika dibandingkan dengan model linear AR(2), model LSTAR(2,2)

menghasilkan nilai standar deviasi, dan AIC yang lebih baik. Standar deviasi

residu model LSTAR(2,2) lebih kecil 3,38 % dibandingkan residu model AR(2).

Nilai AIC yang lebih kecil juga menunjukkan bahwa model LSTAR(2,2) berhasil

memodelkan kenonlinearan runtun waktu kurs thai bath terhadap rupiah meskipun

terjadi penambahan jumlah parameter yang diestimasi. Oleh karena itu, secara

umum dapat dikatakan bahwa model nonlinear LSTAR(2,2) berhasil memodelkan

data kurs thai bath terhadap rupiah .

4.9 Peramalan dan Evaluasi

Ramalan log return dari waktu t menggunakan model LSTAR(2,2)

dihitung berdasarkan persamaan

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) .0,01748680,09008exp1

1 0,673833-0,584055-0,013315

0,01748680,09008exp111 0,860747-0,578928-0,048256-;,

21

211

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

−=

−−

−−−

ttt

ttttt

XXX

XXXXXF θ

Ramalan nilai log return untuk satu periode ke depan adalah

[ ] ( )θ;,ˆ111 −++ =Ω= tttttt XXFXEX

sehingga nilai ramalan log return untuk satu periode ke depan periode 1285,

berdasarkan data log return sebanyak t = 1284 adalah

( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) .0,01748680,09008exp1

1 0,673833-0,584055-0,013315

0,01748680,09008exp111 0,860747-0,578928-0,048256-

;,ˆ

21

21

11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

−=

=

−−

−−

−+

ttt

ttt

tttt

XXX

XXX

XXFX θ

(4.1)


commit to user

36

( ) ( )( )

( ) ( )( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

−=

0,01748680,09008exp11 0,673833-0,584055-0,013315

0,01748680,09008exp111 0,860747-0,578928-0,048256-ˆ

128312831284

12831283128412841285

XXX

XXXX

( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( )

( )( )0,000798.

0,0174860,00223480,09008exp11

0,0022340,673833-0,0007180,584055-0,013315

0,0174860,00223480,09008exp111

0,0022340,860747-0,0007180,578928-0,048256-ˆ12841285

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

−

=X

Log return dirumuskan sebagai

1lnln −−= ttt PPX ,

dengan tP adalah data kurs pada periode t dan 1−tP data kurs pada periode t -1.

Log return bukan merupakan data yang sebenarnya sehingga harus dikembalikan

ke dalam bentuk semula yaitu data kurs pada periode t ( tP ). Berdasarkan

persamaan (4.2) akan diperoleh persamaan untuk data kurs pada periode t ( tP )

sebagai tX

tt ePP 1−= .

Nilai ramalan kurs dapat dicari menggunakan persamaan (4.3). Hasil

ramalan kurs thai bath terhadap rupiah untuk satu periode ke depan, yaitu tanggal

12 April 2010 adalah

( )264,80.264,59 0.000798

1

==

= −

e

ePP tXtt

Hasil ramalan kurs thai bath terhadap rupiah untuk periode 12 April 2010

memberikan informasi bahwa kurs akan mengalami perubahan yang tidak cukup

besar, jika dibandingkan dengan data kurs thai bath asli sebesar 263,41

menghasilkan peramalan yang hampir mirip. Nilai ramalan satu periode ke depan

untuk out-of-sample selengkapnya, yaitu periode 12 April 2010 sampai 9 Juli

2010 dapat dilihat pada lampiran 12.

(4.2)

(4.3)


commit to user

37

Untuk mengevaluasi kualitas dari hasil peramalan model runtun waktu

yang diperoleh dilakukan evaluasi peramalan menggunakan MSE dan MAPE.

Berdasarkan Tabel 4.12, nilai MAPE hasil ramalan model LSTAR(2,2)

menunjukkan angka yang cukup kecil yaitu 0,41664 %. Akan tetapi, nilai MAPE

menunjukkan angka yang cukup besar yaitu 2,88875. Nilai MSE dan MAPE hasil

ramalan model LSTAR(2,2) ini pun tidak lebih kecil jika dibandingkan dengan

model AR(2). Ketidaksesuaian ini dimungkinkan karena efek heteroskedastisitas

yang masih terdapat dalam model.

Tabel 4.12 Evaluasi Peramalan Model LSTAR (2,2) dan AR (2)

Ukuran LSTAR (2,2) AR (2)

MSE 2,88875 2,44115

MAPE 0,41664 % 0,35971 %


commit to user

38

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai berikut

1. Model STAR yang paling sesuai untuk memodelkan data kurs thai bath

terhadap rupiah yang terlebih dahulu diubah ke bentuk log return adalah

model LSTAR (2,2) yaitu

( ) ( )( )

( ) ( )( ) tt

tt

tttt

XXX

XXXX

ε+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

−=

−−−

−−−

0,01748680,09008exp11 0,673833-0,584055-0,013315

0,01748680,09008exp111 0,860747-0,578928-0,048256-

221

221

dengan tX adalah log return pada periode ke-t dan tε adalah residu yang

dihasilkan oleh model.

2. Evaluasi peramalan model LSTAR(2,2) berdasarkan mean percentage error

(MAPE) menunjukkan nilai yang cukup kecil yaitu 0,41664 %, akan tetapi

mean squared error (MSE) menunjukkan nilai yang cukup besar yaitu

2,88875. Hal ini mungkin disebabkan karena efek heteroskedastisitas yang

masih terdapat dalam residu model LSTAR (2,2).

5.2 Saran

Dari hasil penelitian yang dilakukan, masih terdapat efek heteroskedastis

pada residu model yang dihasilkan. Kajian lebih lanjut dapat dikembangkan untuk

pemodelan heteroskedastis model runtun waktu nonlinear yaitu model Smooth

Transition Autoregressive Conditional Heteroscedastic (STARCH). Selain itu,

ramalan dalam skripsi ini dibatasi hanya untuk satu periode ke depan. Oleh karena

itu bagi para pembaca dapat melanjutkan untuk ramalan lebih dari satu periode ke

depan (multi-step forecast) menggunakan metode Monte Carlo atau Bootstrap.

pemodelan smooth transition autoregressive · memperoleh gelar sarjana sains matematika ......

Documents