melting transition
DESCRIPTION
moleculer dynamic_tugasTRANSCRIPT
9.2 The Melting Transition
Pada dasarnya telah disebutkan bahwa pencairan adalah fase transisi urutan
pertama, jadi diharap untuk menemukan perubahan mendadak dalam sistem ketika ada
pencairan. Akan sedikit lebih sulit daripada yang mungkin kita duga dan akan memaksa
kita untuk berpikir hati-hati tentang apa yang dimaksud dengan istilah cair dan padat.
Dalam sub bab ini kita membahas tentang melting transition, dimana metode yang akan
digunakan sama dengan sub bab sebelumnya yang membahas tentang tehnik dinamika
molekuler yang di terapkan dalam investigasi pencairan gas.
Melting merupakan phenomena intraksi antara partikel yang memainkan peran
penting. fase yang terlibat dalam melting; fase cair dan padat, yang merupakan hasil
langsung dari interaksi partikel tersebut. Maka, dalam rangka memberikan gambaran
kuantitatif tentang melting, dan metode yang tepat perlu digunakan untuk interaksi antara
partikel dengan cara yang realistis itu sangat penting. Maka dinamika molekul adalah
pilihan ideal. Sebelum membahas lebih jauh tentang dinamika molekul, terlebih dahulu
perlu didefenisikan pengertian dari sistem dan lingkungan karena dinamika molekul
pada dasarnya adalah mengamati perilaku molekul-molekul yang saling berinteraksi satu
sama lain dan juga interaksi dalam suatu sistem terhadap lingkungannya. Sistem adalah
suatu keadaan yang menjadi pusat perhatian atau apa yang diamati, sedangkan
Lingkungan adalah segala sesuatu yang berada di luar sistem yang dapat mempengaruhi
keadaan sistem secara langsung. Pemisah antara sistem dan lingkungan disebut batas
yang secara teoritis tidak memiliki massa maupun volume yang signifikan. Apabila
antara sistem dan lingkungan memungkinkan terjadinya pertukaran materi dan energi,
maka sistem tersebut merupakan sistem terbuka. Jika hanya terbatas pada pertukaran
energi sedangkan materi tidak dapat menembus batas maka sistem tersebut merupakan
sistem tertutup. Sedangkan jika pertukaran materi maupun energi tidak mungkin terjadi,
maka sistem tersebut merupakan system terisolasi.
Dalam sistem terdapat ensemble yang merupakan kumpulan dari keadaan sistem
yang memiliki keadaan makroskopis sama tetapi memiliki keadaan mikroskopis berbeda.
Beberapa contoh ensemble yang sering digunakan dalam dinamika molekul adalah
ensemble mikroknonikal, ensemble kanonikal, ensemble isobarik-isotermal. Namun pada
simulasi dinamika molekul ini hanya dibatasi pada ensemble mikrokanonikal yaitu
ensemble yang memiliki karakteristik jumlah molekul N dan volume V yang tidak
berubah serta energi total yang tetap pula. Ensemble ini merupakan sistem terisolasi
sehingga tidak ada interaksi antara system dan lingkungan, dengan demikian energi tidak
dapat keluar dan memasuki sistem dan energi totalnya akan tetap konstan.
Dinamika molekul merupakan suatu pembahasan mengenai pergerakan molekul
molekul yang saling berinteraksi. Sedangkan Simulasi Dinamika Molekul (Molecular
Dynamics Simulation) merupakan suatu teknik simulasi yang memungkinkan kita untuk
melihat pergerakan molekul dalam suatu material dengan cara menghitung gerakan tiap
atom satu persatu. Materi pada skala makroskopis terdiri dari molekul-molekul yang
jumlahnya sangat banyak. Namun dikarenakan adanya keterbatasan komputasi, maka
simulasi dinamika molekul ini hanya dapat melakukan perhitungan untuk jumlah ratusan
ataupun ribuan molekul saja walaupun pada dasarnya jika dilibatkan molekul dengan
jumlah lebih banyak maka akan semakin realistik hasil yang diperoleh. Hal ini dapat
dilakukan dengan menggunakan fungsi batas dari gaya potensial masing-masing molekul
yang terlibat sehingga hanya dengan menggunakan sampel ratusan molekul saja kita
sudah dapat melihat bagaimana dunia atomic berinteraksi. Keunggulan lain dari simulasi
dinamika molekul ini adalah sifatnya yang deterministik, artinya jika keadaan suatu
materi pada waktu tertentu telah diketahui maka keadaan materi tersebut pada waktu
berbeda dapat ditentukan dengan tepat. Hal yang paling penting dalam melakukan
simulasi dinamika molekul ini adalah melakukan pemodelan sistem, yang terdiri dari
model interaksi antar molekul dan model interaksi antar molekul dengan lingkungannya.
Pemodelan sistem ini akan menentukan kebenaran simulasi dari segi fisis. Di bawah ini
merupakan gambar pemodelan 100 partikel dalam kotak 30x30x30, dimana dapat kita
jumlah partikel N, dan terjadi intraksi antar partikel yang akan menyebabkan terjadinya
energy potensial dan energy kinetic. Dan tentunya akan model interaksi antar molekul
yang diperlukan adalah hukum gaya antar molekul, yang ekivalen dengan fungsi energi
potensial antar molekul.
Gambar 2.1. 100 partikel dalam kotak 30x30x30
Untuk memahami bagaimana distribusi kecepatan dalam suatu wadah pengamatan
kotak kubus, dapat diandaikan saja apabila kotak pengamatannya diam, distribusi
kecepatan itu akan simetris di sekitar kecepatan nol (jumlah molekul yang bergerak ke
kanan akan sama banyaknya dengan jumlah molekul yang bergerak ke kiri), dan kita juga
memperkirakan bahwa distribusinya akan sedemikian rupa sehingga peluang untuk
menemukan sebuah molekul dengan kecepatan besar adalah sangat kecil sekali. Hal ini
disebabkan molekul-molekul dalam materi dapat memiliki kecepatan yang berbeda-beda
sehingga terbentuk suatu distribusi kecepatan. Secara statistik dapat diperoleh bahwa
molekul-molekul akan paling banyak berada paa suatu kecepatan tertentu, dan akan
semakin berkurang jumlah molekulnya dengan semakin jauh kecepatan nya dari suatu
kecepatan tersebut. Salah satu penyebabnya adalah karena molekul-molekul dalam materi
akan saling bertabrakan dan berinteraksi. Interaksi ini menyebabkan adanya pemerataan
energy kinetic, karena molekul yang bergerak lebih cepat memberikan tambahan
momentum pada molekul yang bergerak lebih lambat dan sebaliknya. Distribusi
kecepatan yang terjadi berbentuk distribusi normal, dan dinamakan disribusi Maxwell-
Boltzman
Pemilihan model interaksi antar molekul sangat menentukan kebenaran simulasi
dari sudut pandang fisika. Karena berada dalam skala atomik, interaksi secara prinsip
harus diturunkan secara kuantum, di mana berlaku prinsip ketidakpastian Heisenberg.
Salah satu model energi potensial antara dua molekul yang dikembangkan adalah
Potensial Lennard-Jones. Model ini dianggap paling sederhana, namun memiliki
ketelitian yang baik untuk simulasi. Seperti yang sudah dijelaskan di sub bab sebelum
tentang Potensial Lennard-Jones.
Dalam pembahasan tentang melting transition, dalam proses perubahan transisi
dari bentuk padat ke cair, hal ini akan dipengaruhi oleh temperature. Dan untuk
perubahan atau transisi pada bentuk cair tentukan seberapa kecepatan perubahan bentuk
tersebut dalam hal ini dipengaruhi waktu. Pada gambar dibawah ini dapat kita lihat model
partikel dalam kotak 4x4. Pada gambar (a) terdapat 16 partikel, dengan keadaan diam
dengan time step antara t = 0-0,1, pada gambar (b) partikel mulai bergerak dengan t= 0.2-
4, dalam hal ini menunjukan crystalline solid. Pada gambar (c) terbentuk triangular
sebagai akibat terjadi intraksi antar partikel dalam yang cukup lama, sehingga akan
terdapat energy untuk intraksi ini, maka disini digunakan Potensial Lennard-Jones.
Gambar 2.2 Sistem dengan 16 partikel dalam kotak 4x4
Dari pemaparan model diatas dapat kita lihat adanya hubungan temperature dan
time step dalam proses melting. Metoda dinamika molekul dengan ensemble
mikrokanonikal tidak selalu adalah cara terbaik untuk mendapatkan rata-rata statistik
tertentu. Eksperimen laboratorium lebih sering dilakukan pada temperatur konstan
(ensemble kanonikal T,V,N) daripada energi konstan (ensemble kanonikal E,V,N),
karena temperatur lebih mudah dikendalikan pada skala makroskopis. Ensemble
b ca
kanonikal adalah ensemble dengan keadaan makroskopis suhu yang tetap. Selain itu
jumlah molekul N dan volume tidak berubah, maka dinamakan ensemble (T, V, N).
Dalam laboratorium, temperatur sistem lebih mudah dikendalikan daripada energi total
sistem, maka eksperimen sering dilakukan pada temperatur konstan. Ensemble kanonikal
mendekati keadaan eksperimen.
Untuk menentukan hubungan antara temperatur dan time step dalam simulasi
dinamika molekuler, molekul - molekul berdasarkan tetangga terdekatnya. Dimana
molekul dengan tetangga terdekat berinteraksi dengan molekul tetangga terdekatnya.
Energi potensial tiap molekul digunakan untuk menentukan energy kinetik tiap molekul
dengan menggunakan persamaan energi total. Nilai energi kinetic tiap molekul digunakan
untuk menentukan kecepatan tiap molekul. Posisi baru molekul diperoleh dengan
menggunakan algoritma Verlet. Algoritma Verlet sering digunakan karena algoritmanya
yang sederhana namun memiliki ketelitian yang baik. Caranya adalah dengan
menggunakan ekspansi Taylor untuk t +∆t dan t - ∆t sebagai berikut :
2.4
2.1
2.3
2.2
Maka diperoleh posisi molekul pada t+dt dengan truncation error berorde (∆t)4.
Sedangkan kecepatan pada t diperoleh;
Kelemahan dari algoritma Verlet adalah penanganan kecepatan yang kurang
praktis, karena harus memprediksi posisi berikut sebelum dapat menghitung kecepatan
sesaat. Selain itu, posisi sama sekali tidak ditentukan olehkecepatan pada saat t, maka
algoritma ini tidak mudah mempergunakan velocity scaling untuk simulasi pada T
konstan. Seperti yang dapat dilihat dari hasil simulasi dibawah ini. Dapat kita lihat pada
figure 1 merupakan hubungan antara posisi dan waktu dan figure 2 hubungan antara total
energy dan waktu.
Gambar 2.3 simulasi algoritma verlet dengan matlab
2.5
2.6
clear all; close all; % Set configuration parameters mass = 1; % Particle mass dt = 0.0001; % Integration time dt2 = dt*dt; % Integration time, squared dwPar = 1; % A parameter to scale the double well potential % Set simulation parameters nSteps = 100000; % Total simulation time (in integration steps) sampleFreq = 1; % Sampling frequency sampleCounter = 1; % Sampling counter % Set trajectories to follow particle's position and velocity xTraj = zeros(1,nSteps/sampleFreq); vTraj = zeros(1,nSteps/sampleFreq); % Set initial conditions x = 0; % Initial position oldX = -0.001; % Position in previous time step % =================== % Molecular Dynamics % =================== for step = 1:nSteps % Tmp will hold x(t) tmp = x; % Calculate the new x positon by integrating the equations of motion % x(t+dt) = 2*x(t) - x(t-dt) + dt^2*(f(t)/m) + O(dt^4) x = 2.0*x - oldX + Force(x,dwPar)*dt2/mass; % oldX now holds x(t), and x holds x(t+dt) oldX = tmp; % Integrate the velocity as well. % O(dt) accurate. See Verlet integration on wikipedia % v(t+dt) = (x(t+dt) - x(t))/ dt + O(dt) v = (x - oldX)/dt; % Sample if mod(step,sampleFreq) == 0 xTraj(sampleCounter) = x; vTraj(sampleCounter) = v; sampleCounter = sampleCounter + 1; end end
% =================== % Simulation results
% =================== % Plot the particle's position trajectory figure(1) plot(xTraj); xlabel('time') ylabel('Position') % Plot the sum of kinteic and potential energy - to check for conservation figure(2) potEnergy = uEnergy(xTraj,dwPar); kinEnergy = 0.5*mass*(vTraj.^2); plot(potEnergy + kinEnergy); xlabel('time') ylabel('Total Energy')
Energi total suatu sistem tersusun dari energi potensial sistem dan energy kinetik
sistem. Energi potensial adalah jumlah dari semua energi potensial molekul-molekul
dalam sistem. Untuk sistem terisolasi di mana tidak ada energi yang menembus batas,
sistem bersifat konservatif atau energi sistem konstan. Konservasi energi ini adalah salah
satu cara untuk memperiksa kebenaran simulasi ensemble mikrokanonikal. Menurut
termodinamika statistik, temperatur tidak lain adalah suatu skala dari energi kinetik
molekul-molekul penyusunnya.
Pada gambar 2.4 dibawah dapat kita lihat total energy yang terdiri dari energy
potensial dan energy kinetic dan temperature simulasi pada keadaan yang di tunjukan
pada gambar 2.2 dimana tidak didapatkan energy atau sumber dari luar. Kita bisa lihat
energy relative konstan, dengan fluktuasi yang sekitar 2 persen untuk numerical errornya
berhubungan atau berasosiasi dengan metode verlet. Error bisa diperkecil dengan
memperkecil time step nya, tapi membutuhkan waktu yang cukup untuk komputassinya.
Time step yang digunakan adalah sesuai dengan kebutuhan yang diperlukan dalam
perhitungan penelitian untuk mendapatkan variasi energy sampai 1 %. Pada gambar 2.4
menunjukan variasi dari temparture, perthitungan temperature kita menggunakan
persamaan thermal hal ini sangat pentig untuk membuktikan hubungannya dengan system
klasik. Maka ketika adanya iterasi antara partikel yang kuat maka persaman akan
digunakan dalam hal ini. Yang dimana fluktuasinya terhadap energynya akan kecil. Pada
gambar gambar juga ditunjukan garis solid dimana kita mempunyai temperature dengan
interval delta t = 1, dengan fluktuasi bisa dikurangi.
Gambar 2.4 Hubungan antara energy total dan temperature
Fitur Kunci hasil dari melting transition adalah resolusi simulasi yang secara tiba-
tiba. Dimana tidak ada peringatan atau fluktuasi ditingkatkan untuk menunjukkan transisi
yang sudah dekat. Ini sesuai dengan klaim yang sudah kita buat sebelumnya bahwa
melting transition itu merupakan urutan pertama dari proses transisi tersebut. Sementara
hal ini telah diakui menjadi analisis yang sangat kasar dari melting, dari hasil yang telah
lakukan menunjukkan bahwa perilaku partkel berubah secara dramatis karena suhu
meningkat.