penyelesaian sistem persamaan nonlinier dengan …

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER

DENGAN METODE JARINGAN SYARAF TIRUAN

HOPFIELD

Faradila Martha Devi

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

2011 M/1432 H

ii

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER

DENGAN METODE JARINGAN SYARAF TIRUAN

HOPFIELD

SKRIPSI

Diajukan Kepada

Universitas Islam Negeri (UIN) Syarif Hidayatullah Jakarta

Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan Dalam

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Fakultas Sains dan Teknologi

Oleh:


107094003053

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

2011 M / 1432 H

iii

PENGESAHAN UJIAN

Skripsi berjudul “Penyelesaian Sistem Persamaan Nonlinier Dengan

Metode Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield” yang ditulis oleh Faradila Martha

Devi, NIM 107094003053 telah diuji dan dinyatakan lulus dalam sidang

Munaqosah Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif

Hidayatullah Jakarta pada hari Jumat, 25 November 2011. Skripsi ini telah

diterima untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam memperoleh gelar sarjana

strata satu (S1) Program Matematika.

Menyetujui :

Penguji 1,

Dr. Agus Salim, M.Si.

NIP. 19720816 199903 1 003

Pembimbing 1,

Taufik Edy Sutanto, M.Sc.Tech

NIP. 19790530 200604 1 002

Penguji 2,

Yanne Irene, M.Si.

NIP 19741231 200501 2 018

Pembimbing 2,

Drs. Slamet Aji Pamungkas, M.Eng

NIP. 680 003 081

Mengetahui,

Dekan Fakultas Sains dan Teknologi,

Dr. Syopiansyah Jaya Putra, M.Sis

NIP. 19680117 200112 1 001

Ketua Program Studi Matematika,

Yanne Irene, M.Si.

NIP 19741231 200501 2 018

iv

PERNYATAAN

DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR-

BENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN

SEBAGAI SKRIPSI ATAU KARYA ILMIAH PADA PERGURUAN TINGGI

ATAU LEMBAGA MANAPUN.

Jakarta, 25 November 2011


107094003053

v

PERSEMBAHAN

Alhamdulillahirobbil’alamin, segala puji bagi Allah, Tuhan Semesta Alam

Skripsi ini saya persembahkan untuk Bapakku Achmad Saleh dan Ibuku

Khumayah, Kakak dan Adikku, keluarga besarku, dan Keluarga besar Prodi

Matematika, serta semua pihat yang terlibat di dalamnya.

Semoga selalu diridhoi Allah SWT, selalu dalam lindungan-Nya, serta selalu

dibukakan pintu rahmat, kasih sayang, dan hidayah-Nya

Amin

MOTTO

”Karena sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan,

dan Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan” (Q.S.

Al-Insyiroh : 5-6)

Give the best to the world and the best will come to you

Berpikirlah, maka kamu ada

vi

ABSTRAK

FARADILA MARTHA DEVI, Penyelesaian Sistem Persamaan Nonlinier

Dengan Metode Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield. Di bawah bimbingan

Taufik Edy Sutanto, M.Sc.Tech dan Drs. Slamet Aji Pamungkas, M.Eng.

Ada 2 cara menyelesaikan persamaaan nonlinier maupun sistem persamaan

nonlinier, yaitu secara analitik dan numerik. Namun, ada persamaan ataupun

sistem persamaan nonlinier tertentu, yang sulit diseleskan dengan penghitungan

analitik, sehingga penghitungan numerik dapat menjadi solusi. Penghitungan

numerik merupakan teknik untuk menyelesaikan permasalahan yang

diformulasikan secara matematis dengan operasi hitungan, karena merupakan

pendekatan terhadap nilai eksak maka diupayakan kesalahannya sekecil mungkin.

Allah berfirman “Sesungguhnya Allah telah menentukan jumlah mereka dan

menghitung mereka dengan hitungan yang teliti” (Q.S. Maryam/18: 94), dan

penghitungan numerik merupakan penghitungan yang memerlukan ketelitian

untuk menghidari kesalahan yang besar.

Salah satu kajian dalam metode numerik adalah menyelesaikan persamaan

maupun sistem persamaan nonlinier menggunakan metode Jaringan Syaraf Tiruan

Hopfield Modifikasi, dengan prinsip Reccurent Network. Berdasarkan latar

belakang di atas, skripsi ini menjelaskan tentang langkah-langkah penyelesaian

persamaan nonlinier dan sistem persamaan nonlinier menggunakan metode

Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield yang dimodifikasi.

Jenis penelitian ini merupakan penelitian kepustakaan atau penelitian

literatur yang bertujuan untuk mengumpulkan data dan informasi terkait

persamaan nonlinier dan sistem persamaan nonlinier, jaringan syaraf tiruan

Hopfield, serta dilengkapi simulasi numerik terhadap beberapa contoh

penggunaaan metode ini pada beberapa kasus yang diberikan dengan bantuan

software.

Beberapa contoh persamaan dan sistem persamaan nonlinier telah

diselesaikan dengan menggunakan metode Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield

modifikasi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa metode Hopfield modifikasi

akan selalu konvergen terhadap sembarang nilai awal, dan berbeda dengan metode

Newton-Raphson atau Secant yang harus memenuhi syarat “dekat” dengan solusi.

Namun, performa Newton-Raphson lebih baik dibandingkan Hopfield modifikasi,

akan tetapi, waktu yang dibutuhkan kedua metode tidak siginifikan. Kelebihan

lain dari Hopfield modifikasi adalah kemampuannya untuk menyelesaikan sistem

persamaan nonlinier satu variabel, yang dalam hal ini metode dasar, Newton-

Raphson, Secant, Bisection tidak dapat digunakan.

Kata Kunci: Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield, Reccurent, Persamaan

Nonlinier, Sistem Persamaan Nonlinier

vii

ABSTRACT

There are two methods to solve nonlinear equation or system of nonlinear

equations, which is analytic and numeric method. However, there are equation or

system of certain nonlinear equations, which are difficult to solve with analytic, so

that numerical calculations can be a solution. Calculation of numerical techniques

to solve the problem is formulated mathematically, as an approximation the exact

value, then pursued its mistake as small as possible. Allah says “Verily, Allah has

determined the number of them and count them with a careful count” (Q.S

Maryam/18: 94), and numerical calculation is a calculation that requires precision

to avoid large errors.

One study of numerical methods is to solve nonlinear equation or system of

nonlinear equations using the method of modified Hopfield neural network, with

the principle Recurrent Network. Based on the background, this paper describes

the steps solving nonlinear equation or system of nonlinear equations using the

Hopfield Neural Network methods are modified.

This type of research is a research library or research literature that aims to

collect data and information related to nonlinear equation or system of nonlinear

equations, Hopfield neural network, and equipped with numerical simulation of

several examples of the use of this method in some cases provided with the help

of software.

Some examples of nonlinear equation or system of nonlinear equations has

been solved by using modified Hopfield neural network. The results showed that

the modified Hopfield will always converge to arbitrary initial values, and

different from the Newton-Raphson or Secant, which should qualify “close” to the

solution. However, the performance of Newton-Raphson better than Hopfield

modification, however the time needed both methods is not significant. Another

advantage of the Hopfield modification is its ability to solve systems of nonlinear

equations one variable, which in this case the basic method, Newton-Raphson,

Secant, Bisection can not be used.

Key words: Hopfield Neural Network, Recurrent, Nonlinear Equation and

System of Nonlinear Equations

.

viii

KATA PENGANTAR

بسم الله اار حمن اار حيم

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Alhamdulillah, Segala puji bagi Allah, Tuhan Semesta Alam, yang

senantiasa melimpahkan rahmat dan nikmat-Nya kepada kita semua, tak

terkecuali pada penulis, hingga penulis dapat menyelesaikan skripsi

“Penyelesaian Sistem Persamaan Nonlinier Dengan Metode Jaringan Syaraf

Tiruan Hopfield”. Shalawat serta salam senantiasa tercurah kepada Nabi

Muhammad SAW, manusia biasa yang menjadi luar biasa karena kecerdasannya,

kemuliaan akhlaqnya, keluhuran budi pekertinya, dan insya Allah hingga di akhir

hidup nanti, sunnah-sunnah Rasulullah tetap subur.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapat dorongan,

semangat, dan bimbingan serta kritikan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada

kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Ayahanda dan Ibunda serta kakak dan adik yang selalu memberikan do’a,

kasih sayang, dukungan dan semangat yang tiada henti-hentinya,

2. Bapak Dr. Syopiansyah Jaya Putra, M.Sis, Dekan Fakultas Sains dan

Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta,

3. Ibu Yanne Irene, M.Si. Ketua Program Studi Matematika Fakultas Sains dan

Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta, sekaligus sebagai penguji II,

ix

4. Bapak Taufik Edy Sutanto, M.Sc.Tech., pembimbing I dan Bapak Drs. Slamet

Aji Pamungkas, M.Eng. selaku pembimbing II, yang bersedia dengan senang

hati membimbing serta mengarahkan penulis,

5. Bapak Dr. Agus Salim, M.Si, sebagai penguji I,

6. seluruh dosen dan karyawan Proram Studi Matematika, yang telah

memberikan pengajaran dan ilmunya yang bermanfaat bagi penulis

7. sahabat-sahabat terbaikku selama mengenyam pendidikan di UIN Jakarta,

serta teman-teman se-angkatan dan seperjuangan serta semua pihak yang telah

membantu penulis.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kelemahan dan kekurangan yang

terdapat pada skripsi ini. Atas dasar itulah penulis memohon maaf yang sebesar-

besarnya kepada semua pihak jika terdapat kesalahan yang kurang berkenan.

Namun, saran dan kritik selalu penulis harapkan demi perbaikan pada penelitian

selanjutnya.

Akhir kata, harapan yang besar bahwa skripsi ini dapat bemanfaat dan

memberikan kontribusi yang berarti, baik bagi penulis khususnya dan bagi

pembaca umumnya.

Wassalamu’alaikum Warhmatullahi Wabaraktuh

Jakarta, 25 November 2011

Penulis

x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ......................................................................................... ii

PENGESAHAN UJIAN .................................................................................... iii

PERNYATAAN ................................................................................................. iv

PERSEMBAHAN DAN MOTTO .................................................................... v

ABSTRAK ......................................................................................................... vi

ABSTRACT ....................................................................................................... vii

KATA PENGANTAR ....................................................................................... viii

DAFTAR ISI ...................................................................................................... x

DAFTAR TABEL ............................................................................................. xiii

DAFTAR GAMBAR ......................................................................................... xiv

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................... 1

1.1 Latar Belakang ............................................................................ 1

1.2 Rumusan Masalah ....................................................................... 4

1.3 Batasan Masalah.......................................................................... 4

1.4 Tujuan Penulisan ......................................................................... 4

1.5 Metode Penelitian........................................................................ 5

1.6 Sistematika Penulisan ................................................................. 6

BAB II LANDASAN TEORI .......................................................................... 7

2.1 Persamaan Linier ......................................................................... 7

2.2 Persamaan Nonlinier ................................................................... 9

2.3 Solusi Persamaan Nonlinier ........................................................ 10

2.3.1 Metode Bagi Dua (Bisection Method)................................ 11

xi

2.3.2 Metode Newton-Raphson ................................................... 12

2.3.3 Metode Secant .................................................................... 13

2.4 Jaringan Syaraf Tiruan ................................................................ 14

2.4.1 Jaringan Syaraf Tiruan ....................................................... 14

2.4.2 Arsitektur Jaringan ............................................................. 16

2.4.3 Metode Pembelajaran ......................................................... 20

2.4.4 Fungsi Aktivasi .................................................................. 21

BAB III JARINGAN HOPFIELD UNTUK PENYELESAIAN SISTEM

PERSAMAAN NONLINIER ............................................................ 25

3.1 Jaringan Hopfield ....................................................................... 25

3.1.1 Jaringan Hopfield Diskrit ................................................... 25

3.1.2 Jaringan Hopfield Kontinu ................................................. 31

3.2 Jaringan Hopfield Modifikasi ..................................................... 32

3.3 Algoritma Hopfield untuk Penyelesaian Persamaan dan Sistem

Persamaan Nonlinier ................................................................... 36

BAB IV APLIKASI JARINGAN HOPFIELD MODIFIKASI PADA

PERSAMAAN DAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER ........ 38

4.1 Persamaan Polinomial ................................................................. 38

4.1.1 Contoh Persamaan Polinomial Sederhana ......................... 38

4.1.2 Contoh Persamaan Polinomial Berderajat Tinggi .............. 41

4.2 Sistem Persamaan Polinomial ..................................................... 47

4.2.1 Contoh Sistem Persamaan Polinomial ............................... 47

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .......................................................... 51

xii

5.1 Kesimpulan ................................................................................. 51

5.2 Saran ............................................................................................ 52

REFERENSI ..................................................................................................... 53

LAMPIRAN ..................................................................................................... 56

xiii

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 Penyelesaian persamaan x – 0.6 = 0 dengan dan yang berbeda ..... 41

Tabel 4.2 Penyelesaian persamaan polinomial –

dengan

dan yang berbeda ........................................................................... 46

Tabel 4.3 Penyelesaian sistem persamaan polinomial dengan dan yang berbeda

.......................................................................................................... 50

xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Proses pembagian selang [a,b] dengan metode bagi dua ................. 11

Gambar 2.2 Tafsiran geometri metode Newton-Raphson .................................... 12

Gambar 2.3 Metode Secant .................................................................................. 14

Gambar 2.4 Komponen-komponen neuron .......................................................... 15

Gambar 2.5 Jaringan lapisan tunggal ................................................................... 16

Gambar 2.6 Jaringan lapisan jamak ..................................................................... 18

Gambar 2.7 Jaringan recurrent ............................................................................ 19

Gambar 2.8 Fungsi aktivasi identitas (linier) ....................................................... 21

Gambar 2.9 Fungsi aktivasi saturating linier ....................................................... 22

Gambar 2.10 Fungsi aktivasi symmetric saturating linier ..................................... 22

Gambar 2.11 Fungsi aktivasi undak biner (hard limit) .......................................... 22

Gambar 2.12 Fungsi aktivasi bipolar (symmetric hard limit) ................................ 23

Gambar 2.13 Fungsi aktivasi sigmoid biner .......................................................... 23

Gambar 2.14 Fungsi aktivasi sigmoid bipolar ....................................................... 24

Gambar 3.1 Contoh jaringan Hopfield ................................................................. 26

Gambar 3.2 Arsitektur jaringan Hopfield diskrit ................................................. 28

Gambar 3.3 Arsitektur Hopfield untuk menyelesaikan persamaan nonlinier ...... 32

Gambar 3.4 Flowchart algoritma Hopfield untuk penyelesaian persamaan

nonlinier dan sistem persamaan nonlinier ........................................ 37

Gambar 4.1 Arsitektur jaringan untuk penyelesaian persamaan nonlinier,

Ax+B=0 ............................................................................................ 39

Gambar 4.2 Grafik Persamaan – dengan dan ......... 40

xv


.................................................. 43

Gambar 4.4 Grafik Persamaan –

dengan dan

........................................................................................ 45

Gambar 4.5 Arsitektur jaringan untuk penyelesaian sistem persamaan nonlinier

dengan pangkat tertinggi dua ........................................................... 48

Gambar 4.6 Grafik eror sistem persamaan dengan dan ... 50

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

“Dan seandainya pohon-pohon di bumi menjadi pena dan lautan (menjadi

tinta), ditambahkan kepadanya tujuh lautan (lagi) setelah (kering)nya, niscaya

tidak akan habis-habisnya (dituliskan) kalimat-kalimat Allah” (Q.S Lukman: 27).

Menurut [1], kalimat-kalimat Allah yang terdapat pada penggalan ayat di atas

bermakna kekuasaan Allah hakikat segala sesuatu, ketentuan dan perkataan Allah,

dan juga termasuk di dalamnya ilmu serta segala macam ciptaan Allah. Allah

SWT menciptakan langit dan bumi dengan segala macam yang ada di dalamnya,

dari yang besar hingga yang kecil, tumbuh-tumbuhan yang beraneka ragam,

bintang-bintang yang ada di cakrawala dengan segala aturan, binatang yang paling

besar hingga ribuan bakteri yang paling halus, serta banyak lagi yang lain,

semuanya termasuk dalam kalimat Allah. Hal itu terbukti bahwa setiap harinya

bahkan hingga dalam hitungan detik, di seluruh belahan dunia science baik

teknologi, ilmu sosial, ataupun ilmu di bidang lainnya mengalami perkembangan.

Pada ayat yang lain, Allah menjelaskan bahwa semua diciptakan-Nya

dengan ukuran-ukuran tertentu, “karena sesungguhnya Allah telah menentukan

jumlah mereka dan menghitung mereka dengan hitungan yang teliti” (Q.S

Maryam: 94). Karena itulah matematika hadir sebagai cabang ilmu yang

merepresentasikan kejadian pada dunia nyata ke dalam bentuk persamaan

matematis, untuk selanjutnya agar dapat diselesaikan secara matematis, dan

2

digunakan untuk mendukung cabang ilmu lainnya. Namun, dalam

perkembangannya, tidak semua persamaan dapat dipecahkan dengan mudah,

secara analitik. Pada umumnya, persamaan yang mempunyai bentuk sederhana

dapat diselesaikan secara analitik, sedangkan persoalan yang muncul dalam dunia

nyata seringkali nonlinier serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit,

akibatnya penyelesaian secara analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak

dapat diterapkan lagi, maka solusi persoalan sebenarnya masih dapat dicari

dengan metode numerik. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk

memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan

operasi perhitungan/aritmetika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi) [2].

Di bangku perkuliahan, telah diajarkan beberapa metode numerik untuk

mencari solusi persamaan nonlinier diantaranya metode bagi dua (Bisection),

Newton-Raphson, Secant. Namun, metode tersebut masih memiliki kelemahan,

seperti metode bagi dua (Bisection) yang tidak dapat digunakan untuk persamaan

dengan akar ganda, metode Newton-Raphson dan Secant yang tidak selalu

konvergen, jika mengambil nilai awal yang salah. Sekalipun telah dilakukan

beberapa perbaikan pada metode-metode tersebut, para peneliti masih melakukan

penelitian guna mencari metode yang paling efektif dalam penyelesaian

persamaan nonlinier.

Saat ini, cabang ilmu kecerdasan buatan (Artificial Intelligence) juga

sedang mengalami perkembangan yang cukup signifikan. Termasuk di dalamnya

Logika Fuzzy (Fuzzy Logic), Sistem Pakar (Expert System), Algoritma Genetika,

Jaringan Syaraf Tiruan (Neural Network). Para ahli mencoba menggantikan

3

sistem otak manusia ke dalam sistem komputer. Dengan cara ini diharapkan pada

suatu saat nanti akan dapat tercipta suatu komputer yang dapat menimbang dan

mengambil keputusannya sendiri sebagaimana layaknya manusia. Sebuah jaringan

saraf tiruan adalah sebuah prosesor yang terdistribusi paralel dan mempuyai

kecenderungan untuk menyimpan pengetahuan yang didapatkannya dari

pengalaman dan membuatnya tetap tersedia untuk digunakan [3].

Jaringan Syaraf Tiruan mengalami perkembangan sejak 1940-an: para

ilmuan, menemukan bahwa psikologi otak sama dengan mode pemrosesan yang

dilakukan oleh peralatan komputer, 1960: Widrow dan Hoff [4] menemukan

Adaline, model yang dapat beradaptasi dan beroperasi secara linier, 1974: Werbos

[5] memperkenalkan algoritma backpropagation untuk melatih perceptron dengan

banyak lapisan, hingga 1982: Hopfield [6] memperkenalkan recurrent network,

kemampuan untuk mengingat/menghubungkan suatu objek dengan objek yang

pernah diingat/dikenal sebelumnya, dan salah satu aplikasinya Travelling

Salesman Problem (TSP) [7], untuk masalah optimasi. Karena prinsip recurrent

network, pada penelitian ini, penulis menggunakan metode Hopfiled, dengan judul

“Penyelesaian Sistem Persamaan Nonlinier Dengan Metode Jaringan Syaraf

Tiruan Hopfield”, yang diangkat dari [8], Jurnal Engineering dengan judul

“Modified Hopfield Neural Network Approach for Solving Nonlinear

Algebraic Equations”, ditulis oleh Deepak Mishra dan Prem K. Kalra, pada

tahun 2007. Adapun penelitian sebelumnya yang juga menggabungkan antara

Kecerdasan Buatan dengan pencarian solusi persamaan nonlinier, diantaranya

Kajian Algoritma Genetika pada Persamaan Nonlinier oleh Mutaqin, namun

http://id.wikipedia.org/wiki/Prosesor

4

metode Algoritma Genetika tersebut belum bisa menyelesaiakan untuk kasus

sistem.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah dikemukakan, rumusan masalah

dalam penulisan ini antara lain:

a. bagaimana solusi persamaan serta sistem persamaan nonlinier dengan metode

Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield Modifikasi?

b. bagaimana analisa konvergensi dan akurasi Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield

Modifikasi dalam menyelesaikan persamaan dan sistem persamaan nonlinier?

1.3 Batasan Masalah

Ruang lingkup pembahasan dalam skripsi ini adalah persamaan nonlinier

polinomial serta sistem persamaan nonlinier polinomial satu variabel non

transenden, dengan batasan interval domain dari solusinya adalah antara 0 sampai

1.

1.4 Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan ini adalah untuk mengetahui solusi persamaan dan

sistem persamaan nonlinier dengan metode Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield,

Modifikasi serta mengetahui konvergensi dan akurasi Jaringan Syaraf Tiruan

Hopfield Modifikasi dalam menyelesaikan persamaan dan sistem persamaan

nonlinier.

5

1.5 Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur dan simulasi

numerik. Studi literatur adalah melakukan penelusuran dengan penelaahan

terhadap beberapa literatur yang mempunyai relevansi dengan topik pembahasan

[9]. Simulasi numerik adalah simulasi penggunaan metode Jaringan Syaraf

Hopfield modifikasi dalam menyelesaikan persamaan serta sistem persamaan

nonlinier dengan software. Langkah umum dalam penulisan ini adalah:

a. merumuskan masalah,

b. mengumpulkan bahan atau sumber dan informasi dengan cara membaca dan

memahami literatur yang berkaitan dengan Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield,

dan penyelesaian persamaan nonlinier yang telah dipelajari,

c. melakukan pembahasan dengan menguraikan langkah-langkah penyelesaian

persamaan nonlinier serta sistem persamaan nonlinier menggunakan metode

Jaringan Syaraf Hopfield Modifikasi,

d. memberikan contoh dan penyelesaiannya dari persamaan nonlinier serta

sistem persamaan nonlinier menggunakan metode Jaringan Syaraf Hopfield

Modifikasi menggunakan Matlab 7.1, dan

e. membuat kesimpulan dari hasil penyelesaian.

6

1.6 Sistematika Penulisan

Skripsi ini menggunakan sistematika penulisan sebagai berikut:

BAB I, berisi tentang pendahuluan yang terdiri dari latar belakang

masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, metode penelitian,

dan sistematika penulisan,

BAB II, berisi tentang kajian teori yang terdiri dari Persamaan Linier dan

Nonlinier serta sistem Persamaan, Solusi Persamaan Nonlinier, Jaringan Syaraf

Tiruan secara umum,

BAB III, berisi tentang pembahasan Jaringan Syaraf Hopfield Biasa dan

Jaringan Syaraf Hopfield yang telah dimodifikasi, serta langkah-langkah

penerapannya dalam menyelesaikan persamaan nonlinier dan sistem persamaan

nonlinier,

BAB IV, berisi contoh penerapan Jaringan Syaraf Hopfield yang telah

dimodifikasi dalam menyelesaikan persamaan nonlinier dan sistem persamaan

nonlinier serta analisis penyelesaiannya,

BAB V, berisi penutup yang terdiri dari kesimpulan penerapan Jaringan

Syaraf Hopfield yang telah dimodifikasi dalam menyelesaikan persamaan

nonlinier dan sistem persamaan nonlinier serta saran untuk penelitian selanjutnya.

7

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Persamaan Linier

Sebuah garis dalam dimensi dua dapat disajikan dalam bentuk aljabar

dengan sebuah persamaan berbentuk

. (2.1)

Persamaan ini disebut persamaan linier dalam peubah dan [10]. Secara lebih

umum, persamaan linier didefinisikan dalam peubah sebagai suatu

persamaan yang dapat disajikan dalam bentuk

. (2.2)

dengan koefisien, dan konstanta, .

Contoh persamaan linier:

a. ,

b. .

Penyelesaian dari persamaan (2.2) adalah barisan bilangan

sedemikian sehingga persamaan tersebut terpenuhi, jika disubstitusikan nilai

.

Sebuah sistem dari buah persamaan-persamaan linier disebut sistem

persamaan linier. Sistem persamaan linier dengan peubah

dinyatakan sebagai:

8

(2.3)

dengan koefisien, , dan konstanta, . Dalam

notasi matriks, persamaan (2.3) ditulis sebagai persamaan matriks

(2.4)

dengan

= matriks berukuran n x n,

= matriks berukuran n x 1, dan

= matriks berukuran n x 1

yaitu

.

=

.

Solusi (2.3) adalah himpunan nilai yang memenuhi n buah

persamaan [2]. Contoh sistem persamaan linier:

,

,

dalam bentuk matriks, sistem persamaan linier tersebut menjadi

.

=

9

dengan penyelesaian , karena nilai-nilai ini memenuhi

kedua persamaan di atas.

2.2 Persamaan Nonlinier

Persoalan mencari solusi persamaan nonlinier dapat dirumuskan sebagai

berikut: adalah himpunan solusi dari

(2.5)

jika untuk setiap sedemikian sehingga sama dengan nol.

Persamaan nonlinier yang melibatkan fungsi transenden, diantaranya

sinus, cosinus, eksponensial, logaritma, misalnya:

a.

b. dalam bidang fisika, kecepatan ke atas sebuah roket dapat dihitung dengan

persamaan:

dengan kecepatan ke atas, kecepatan saat bahan bakar dikeluarkan,

massa awal roket, laju pemakaian bahan bakar, percepatan gravitasi,

waktu,

c. suatu arus osilasi dalam rangkaian listrik

dengan waktu, dan arus.

Selain itu, persamaan nonlinier juga melibatkan fungsi non transenden, yaitu

persamaan polinomial. Bentuk umum persamaan polinomial satu variabel

. (2.6)

10

Contoh persamaan polinomial:

a. satu variabel, , ,

b. dua variabel, dan , .

Sistem dengan n buah persamaan nonlinier, yang harus diselesaikan secara

simultan dalam suatu sistem disebut sitem persamaan nonlinier. Dalam

matematika, salah satu masalah penyelesaian sistem persamaan nonlinier

diaplikasikan dalam mencari titik potong antara 2 kurva, misalnya kurva parabola

( ) dan elips ( ). Hingga diperoleh solusi

(-0.2, 1) dan (1.9, 0.3), yang memenuhi 2 kurva tersebut. Bentuk umum sistem

persamaan nonlinier dapat ditulis sebagai berikut:

. (2.7)

Pada persamaan (2.7), (.) adalah fungsi dari variabel-variabel

dan adalah bilangan real konstan. Penyelesaian

sistem persamaan (2.7) adalah himpunan dimana dan memenuhi

, untuk setiap .

2.3 Solusi Persamaan Nonlinier

Prinsip fundamental dalam ilmu komputer (computer science) adalah

iterasi. Iterasi adalah proses yang berulang hingga jawaban ditemukan. Teknik

iterasi biasa digunakan untuk mencari akar-akar persamaan, solusi sistem

persamaan linier dan nonlinier, dan solusi persamaan differensial. Berikut ini

beberapa metode penyelesaian persamaan nonlinier dengan teknik iterasi.

11

2.3.1 Metode Bagi Dua (Bisection Method)

Metode bagi dua memerlukan selang , sehingga . Pada

setiap kali iterasi selang dibagi 2, dengan rumus

dengan (2.8)

Gambar 2.1 Proses pembagian selang [a,b] dengan metode bagi dua

Setelah didapatkan nilai , akan dilakukan 3 pemeriksaan kondisi, apakah:

a. , maka c adalah akar persamaan, atau

b. , maka akan terbentuk selang baru , atau

c. , maka akan terbentuk selang baru .

Jika selang baru yang terbentuk, prosedur iterasi akan dilanjutkan untuk mencari

nilai yang baru. Namun, metode ini memiliki 2 kelemahan.

a. Jumlah akar lebih dari satu

Bila dalam selang terdapat lebih dari satu akar (banyaknya akar

ganjil), hanya satu buah akar yang akan ditemukan

b. Akar ganda

Metode ini tidak berhasil menemukan akar ganda. Hal ini disebabkan

karena tidak terdapat perbedaan tanda di ujung-ujung selang baru.

12

2.3.2 Metode Newton-Raphson

Ada dua pendekatan dalam menurunkan rumus metode Newton-Raphson.

a. Penurunan rumus secara geometri

Gambar 2.2 Tafsiran geometri metode Newton-Raphson

Gambar 2.2, menunjukkan gradien garis singgung di adalah

(2.9)

atau

dengan (2.10)

sehingga prosedur iterasi metode Newton-Raphson adalah

dengan (2.11)

b. Penurunan rumus dengan bantuan deret Taylor

Deret Taylor:

(2.12)

yang bila dipotong sampai suku orde-2 saja menjadi

(2.13)

dan karena persoalan mencari akar, maka , sehingga

13

atau

dengan (2.14)

yang merupakan rumus metode Newton-Raphson.

Kondisi berhenti iterasi Newton-Raphson adalah bila

(2.15)

atau bila menggunakan galat relatif hampiran

(2.16)

dengan dan telah ditetapkan sebelumnya. Terdapat beberapa catatan terkait

metode ini, antara lain:

a. jika terjadi , perhitungan iterasi diulang kembali dengan nilai awal,

yang lain,

b. jika persamaan memiliki lebih dari satu akar, pemilihan yang

berbeda-beda dapat menemukan akar yang lain,

c. dapat memungkinkan terjadi iterasi konvergen ke akar yang berbeda dari yang

diharapkan.

2.3.3 Metode Secant

Prosedur iterasi metode Newton-Raphson memerlukan perhitungan

turunan fungsi, . Akan tetapi, tidak semua fungsi mudah dicari turunannya,

terutama fungsi yang bentuknya rumit. Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan

cara menggantinya dengan bentuk lain yang ekivalen. Modifikasi metode Newton-

Raphson ini dinamakan metode Secant.

14

Gambar 2.3 Metode Secant

Berdasarkan gambar 2.3, gradien dapat dihitung

(2.17)

Substitusi persamaan (2.17) ke dalam rumus Newton-Raphson, persamaan (2.14)

sehingga diperoleh

(2.18)

yang merupakan prosedur iterasi metode secant. Dalam hal ini, diperlukan dua

buah tebakan awal akar, yaitu dan . Kondisi berhenti iterasi sama dengan

metode Newton-Raphson, menggunakan persamaan (2.15) atau (2.16).

2.4 Jaringan Syaraf Tiruan

2.4.1 Jaringan Syaraf Tiruan

Otak manusia memiliki struktur yang sangat kompleks dan memiliki

kemampuan luar biasa. Otak terdiri dari jaringan-jaringan syaraf (neuron) dan

penghubung yang disebut sinapsis. Neuron bekerja berdasarkan impuls/sinyal

listrik yang diberikan pada neuron dan melanjutkannya pada neuron lain.

Diperkirakan manusia memiliki neuron dan sinapsis [11]. Sehingga

otak dapat mengenali pola, melakukan perhitungan, dan mengontrol organ-organ

15

tubuh dengan kecepatan yang lebih tinggi dibandingkan komputer. Sebagai

perbandingan, pengenalan wajah seseorang yang sedikit berubah (misalnya

memakai topi) akan lebih cepat dilakukan manusia dibandingkan komputer. Kerja

otak yang luar biasa merupakan salah satu mahakarya dari Sang Pencipta, yang

sesuai dengan penggalan ayat “sungguh, Kami telah menciptakan manusia dalam

bentuk sebaik-baiknya” (Q.S At-Tin: 4).

Neuron memiliki 3 komponen penting yaitu dendrit, soma dan axon.

Dendrit menerima sinyal dari neuron lain. Berikutnya, soma menjumlahkan semua

sinyal-sinyal yang masuk. Kalau penjumlahan tersebut cukup kuat dan melebihi

batas ambang (threshold), maka sinyal tersebut akan diteruskan ke sel lain melalui

axon. Gambar 2.4 menunjukkan komponen-komponen neuron.

Gambar 2.4 Komponen-komponen neuron, gambar di atas dari [11].

Jaringan syaraf tiruan merupakan salah satu representasi buatan dari otak

manusia yang selalu mencoba untuk mensimulasikan proses pembelajaran

terhadap pengetahuan/pengalaman pada otak manusia. Hal ini menyerupai kerja

otak dalam dua hal yaitu: neuron memperoleh pengetahuan melalui suatu proses

belajar dan kekuatan hubungan antar neuron yang dikenal dengan bobot sinapsis

digunakan untuk menyimpan pengetahuan [3]. Oleh karena itu, komponen-

komponen pada jaringan syaraf, antara lain:

a. jaringan terdiri dari beberapa neuron, sebagai tempat pemrosesan informasi,

16

b. adanya hubungan antara neuron-neuron tersebut, yang berfungsi mentransfer

sinyal informasi,

c. penghubung antar neuron memiliki bobot yang akan memperkuat/

memperlemah sinyal, dan

d. untuk menentukan output, setiap neuron menggunakan fungsi aktivasi.

Dengan demikian, jaringan syaraf tiruan ditentukan oleh 3 hal:

a. arsitektur jaringan, yaitu pola hubungan antar neuron,

b. metode training/learning/algoritma, yaitu metode untuk menentukan bobot

penghubung, dan

c. fungsi aktivasi

2.4.2 Arsitektur Jaringan

Arsitektur jaringan yang sering dipakai dalam jaringan syaraf tiruan terdiri

dari 3 macam.

a. Jaringan Lapisan Tunggal (Single Layer Network)

Dalam jaringan ini, sekumpulan input neuron dihubungkan langsung

dengan sekumpulan outputnya.

Gambar 2.5 Jaringan Lapisan Tunggal

Gambar 2.5 menunjukkan arsitektur jaringan dengan neuron input

, buah neuron output dan

17

menyatakan bobot hubungan antara neuron input ke-i dengan neuron output ke-j.

Semua neuron input dihubungkan dengan semua neuron output, meskipun dengan

bobot yang berbeda-beda. Tidak ada neuron input yang dihubungkan dengan

neuron input lainnya. Demikian pula dengan neuron output. Contoh perhitungan

jaringan syaraf tiruan lapisan tunggal: diberikan jaringan dengan satu input dan

satu output

output yang diinginkan = 1, konstanta belajar , dengan fungsi aktivasi

undak biner (hardlimit)

langkah 1: menghitung penjumlahan bobot

,

langkah 2: hitung fungsi aktivasi

karena u = -7 < 0, maka f(u) = 0,

langkah 3: perubahan bobot

langkah 4: ulang kembali langkah ke-1 sampai ke-3, hingga output yang

dihasilkan sama dengan target, dengan menggunakan bobot yang telah

diperbaharui.

2

-1

input output

bias

18

b. Jaringan Lapisan Jamak (Multi Layer Network)

Dalam jaringan ini, selain neuron input dan output, ada neuron lain yang

sering disebut lapisan tersembunyi (hidden layer).

Gambar 2.6 Jaringan Lapisan Jamak

Gambar 2.6 menunjukkan jaringan dengan buah neuron input ,

buah neuron tersembunyi dan buah neuron output

.

c. Jaringan Recurrent

Jaringan recurrent adalah jaringan yang mengakomodasi output jaringan

untuk menjadi input pada jaringan yang sama dalam rangka menghasilkan output

jaringan berikutnya, sehingga akan menjadikan jaringan rileks dalam keadaan

stabil karena tidak adanya masukan dari luar [12]. Jaringan recurrent mempunyai

buah neuron input, buah neuron tersembunyi dan buah neuron output,

seperti pada jaringan feedforward, yang membedakan adalah jaringan recurrent

setidaknya memiliki satu loop umpan balik, yaitu ketika output neuron kembali ke

jaringan sebagai input.

19

Gambar 2.7 Jaringan Recurrent

Pada gambar 2.7, terlihat adanya lapisan konteks (context layer), yang terdiri dari

beberapa node. Lapisan inilah yang menerima output dari lapisan tersembunyi,

dan mengembalikannya kembali ke lapisan tersebut sebagai input. Lapisan

konteks diperlukan ketika belajar pola-pola dari waktu ke waktu, yaitu ketika nilai

sebelumnya berpengaruh untuk nilai selanjutnya. Karena itulah, jaringan

recurrent dapat dilihat sebagai upaya menggabungkan antara waktu dan memori

pada jaringan syaraf tiruan. Ada 2 jaringan yang menggunakan prinsip jaringan

Recurrent, yaitu jaringan Hopfield [13] dan jaringan Elman [14]. Contoh

perhitungan jaringan recurrent

2

-1

input output

bias

recurrent

20

dengan satu input dan satu output, serta fungsi aktivasi undak biner (hardlimit).

Langkah 1: menghitung penjumlahan bobot

,

langkah 2: hitung fungsi aktivasi; karena u = -7 < 0, maka f(u) = 0, yang akan

menjadi input kembali,

langkah 3: ulang kembali langkah ke-1 dan ke-2; menghitung penjumlahan bobot,

dengan kondisi yang baru

,

hitung fungsi aktivasi; karena , maka , dan proses

iterasi berhenti karena .

2.4.3 Metode Pembelajaran

Berdasarkan cara memodifikasi bobotnya, ada 2 macam metode

pembelajaran:

a. dengan pelatihan (supervised)

Terdapat sejumlah pasangan data (masukan-target keluaran) yang dipakai

untuk melatih jaringan hingga diperoleh bobot yang diinginkan. Pada setiap kali

pelatihan, suatu input diberikan ke jaringan. Jaringan akan memproses dan

mengeluarkan output. Selisih antara output dengan target (output yang diinginkan)

merupakan kesalahan yang terjadi. Jaringan akan memodifikasi bobot sesuai

kesalahan tersebut.

21

b. tanpa pelatihan (unsupervised)

Pada pembelajaran tanpa pelatihan ini, tidak ada pasangan data (masukan-

target keluaran) yang diberikan ke jaringan. Perubahan bobot jaringan dilakukan

berdasarkan parameter tertentu dan jaringan dimodifikasi menurut ukuran

parameter tersebut.

2.4.4 Fungsi Aktivasi

Dalam jaringan syaraf tiruan, fungsi aktivasi digunakan untuk menentukan

output suatu neuron. Fungsi aktivasi dibagi menjadi 3 kategori.

a. Fungsi identitas (linear)

Fungsi identitas memiliki nilai output yang sama dengan nilai inputnya,

yang ditunjukkan Gambar 2.8. Fungsi identitas dirumuskan sebagai:

. (2.20)

Matlab mengenal fungsi aktivasi identitas sebagai purelin.

Gambar 2.8 Fungsi aktivasi identitas (linear)

Fungsi identitas dibagi menjadi dua, yaitu:

1. fungsi saturating linear

Fungsi Saturating Linear dirumuskan sebagai:

(2.21)

22

Gambar 2.9 Fungsi aktivasi saturating linier

Matlab mengenal fungsi aktivasi ini sebagai satlin.

2. fungsi symetric saturating linear

Fungsi Symmetric Saturating Linear dirumuskan sebagai:

(2.22)

Gambar 2.10 Fungsi aktivasi symmetric saturating linier

Matlab mengenal fungsi aktivasi ini sebagai satlins.

b. Fungsi threshold

Fungsi threshold dibagi menjadi dua, yaitu:

1. fungsi undak biner (hard limit)

Gambar 2.11 Fungsi aktivasi undak biner (hard limit)

23

Fungsi Undak Biner (hard limit) dirumuskan sebagai:

(2.23)

Matlab mengenal fungsi aktivasi ini sebagai hardlim.

2. fungsi bipolar (symmetric hard limit)

Fungsi Bipolar (symmetric hard limit) dirumuskan sebagai:

(2.24)

Gambar 2.12 Fungsi aktivasi bipolar (symmetric hard limit)

Matlab mengenal fungsi aktivasi ini sebagai hardlims.

c. Fungsi sigmoid

Fungsi sigmoid dibagi menjadi dua, yaitu:

1. fungsi sigmoid biner

Gambar 2.13 Fungsi aktivasi sigmoid biner

Fungsi Sigmoid Biner dirumuskan sebagai:

24

(2.25)

dengan: . Fungsi ini sering digunakan untuk jaringan

syaraf yang membutuhkan nilai output pada interval 0 sampai 1. Namun, fungsi

ini bisa juga digunakan oleh jaringan syaraf yang nilai outputnya 0 atau 1. Matlab

mengenal fungsi aktivasi ini sebagai logsig.

2. fungsi sigmoid bipolar

Fungsi sigmoid bipolar hampir sama dengan fungsi sigmoid biner, hanya saja

outputnya memiliki range antara 1 sampai -1.

Gambar 2.14 Fungsi aktivasi sigmoid bipolar

Fungsi Sigmoid Bipolar dirumuskan sebagai:

(2.26)

dengan:

. Matlab mengenal fungsi aktivasi

sigmoid bipolar sebagai tansig.

25

BAB III

JARINGAN HOPFIELD UNTUK PENYELESAIAN SISTEM

PERSAMAAN NONLINIER

3.1 Jaringan Hopfield

Hopfield pertama kali diperkenalkan oleh John Hopfield pada tahun 1982

[6]. Hopfield merupakan jaringan syaraf dengan pelatihan tak terbimbing

(unsupervised learning).

3.1.1 Jaringan Hopfield Diskrit

Pada [6], John Hopfield memperkenalkan arsitektur jaringan yang

kemudian dikenal sebagai jaringan Hopfield. John Hopfield menjabarkan

bagaimana kemampuan komputasi dapat dibangun dari jaringan yang terdiri dari

komponen-komponen yang menyerupai neuron, atau dengan kata lain John

Hofield mengadaptasi aspek neurobiologi ke dalam bentuk rangkaian listrik.

Unit pengolah (processing device) pada jaringan Hopfield disebut neuron.

Setiap neuron mempunyai sebuah nilai aktifitas atau keadaan (kondisi) bersifat

biner, yaitu dan [15]. Ketika neuron i mempunyai hubungan ke

neuron j, maka kekuatan hubungan tersebut didefinisikan sebagai . Jika neuron

tidak memiliki hubungan, Kondisi jaringan dapat berubah setiap waktu

sesuai dengan perubahan kondisi pada tiap neuron.

Jaringan Hopfield merupakan jaringan syaraf tiruan yang terhubung penuh

(fully connected), yaitu bahwa setiap neuron terhubung dengan neuron lainnya

[16]. Hubungan-hubungan tersebut adalah hubungan langsung dan setiap pasang

26

neuron mempunyai hubungan dalam dua arah. Topologi hubungan ini mempunyai

jaringan yang bersifat recursive karena keluaran dari tiap neuron memberikan

masukan ke neuron yang lain pada lapisan yang sama.

Gambar 3.1 Contoh Jaringan Hopfield

Gambar 3.1 menunjukkan sebuah jaringan Hopfield dengan neuron yang

terhubung satu sama lain. Berikut bobot-bobot tersebut digambarkan sebagai

vektor W:

.

Bobot-bobot yang terletak pada diagonal utamanya adalah nol, yang menunjukkan

bahwa neuron-neuron pada jaringan Hopfield tidak memiliki hubungan dengan

dirinya sendiri, ; , dan bobot-bobot simetris, di mana

, sehingga [6].

27

Interpretasi biologi dari model

Informasi biologi dikirim ke neuron lain rata-rata membutuhkan waktu

yang cepat. Lintasan paralel yang membawa informasi yang sama akan

meningkatkan kemampuan sistem untuk mengekstraksi ke waktu yang lebih cepat

dari rata-rata.

Keterlambatan pada transmisi sinaptik dan pada transmisi impuls

sepanjang akson dan dendrit menghasilkan suatu keterlambatan diantara input dan

output suatu neuron. Input pada setiap neuron berasal dari arus yang keluar dari

sinapsis ke neuron, yang mempengaruhi suatu sel, dinamakan potensial soma, .

Sinapsis diaktifkan oleh potensial atau tegangan yang masuk. Input sel ke-i

didefinisikan

(3.1)

dengan representasi kekuatan hubungan sinapsis dari neuron i ke neuron j.

Input setiap neuron ke-i, berasal dari dua sumber, arus dari luar (external current)

dan input dari neuron lain didefinisikan

(3.2)

Jaringan Hopfield diberikan satu atau lebih vektor input sebagai kondisi

awal jaringan, kemudian jaringan akan merespon untuk menghasilkan suatu

output. Pada dasarnya, algoritma Hopfield akan mencoba untuk menstabilkan

output jaringan, atau dengan kata lain sampai tidak terjadi lagi perubahan.

28

Gambar 3.2 Arsitektur Jaringan Hopfield Diskrit

Gambar 3.2 menunjukkan pengolahan dasar yang dilakukan oleh neuron

jaringan Hopfield biner selama prosedur pembaharuan. Setiap neuron mengambil

penjumlahan bobot dari input-inputnya, sesuai persamaan berikut:

(3.3)

dengan

= proses

= neuron

= bobot neuron ke ,

= neuron input ke ,

= neuron output ke ,

= nilai bias jaringan ke ,

= hasil proses dari neuron input.

Kemudian diproses oleh fungsi transfer, sehingga menghasilkan , ,

yang akan kembali menjadi input jaringan dan dikalikan dengan . Jaringan

Hopfield diskrit menggunakan fungsi aktivasi monoton naik, yaitu satlins

+

+

29

(symmetric saturated linear transfer function) [12], yang ditunjukkan pada

persamaan (2.22), namun ada juga yang menggunakan fungsi transfer hardlim

[17], yang ditunjukkan pada persamaan (2.23). Contoh perhitungan jaringan

Hopfield

dengan dua input dan satu output, serta fungsi aktivasi undak biner (hardlimit).

Langkah 1: menghitung penjumlahan bobot

,

langkah 2: hitung fungsi aktivasi; karena u = -4 < 0, maka f(u) = 0, yang akan

masuk ke neuron input ke-1,


dengan kondisi yang baru neuron input ke-1

,

hitung fungsi aktivasi; karena , maka ,


dengan kondisi neuron input ke-2, yang setelah penjumlahan bobot, menghasilkan

nilai yang sama

,

dan proses iterasi berhenti karena .

2

-1

input output

bias

recurrent

1

30

Tiap kondisi dari jaringan Hopfield mempunyai fungsi energi yang

didefinisikan dengan:

. (3.4)

Fungsi energi ini adalah fungsi objektif yang diminimalkan oleh jaringan.

Pembaharuan kondisi dari jaringan merupakan prosedur konvergen dimana energi

dari keseluruhan jaringan akan menjadi semakin kecil. Pada akhirnya jaringan

akan berada pada kondisi stabil, saat energi berada pada nilai minimum.

Berikut ini adalah uraian prosedur pembaharuan akan mengurangi energi

atau memmbuatnya bernilai tetap. Misalkan neuron j adalah neuron yang akan

diperbaharui, maka energi

. (3.5)

Ketika neuron j diperbaharui, jika tidak terdapat perubahan kondisi, maka energi

akan tetap sama. Jika terjadi perubahan kondisi maka perbedaan energi

adalah:

(3.6)

dengan

. Jika berubah menjadi lebih besar nilainya, maka

, dan setelah pembaharuan , maka . Jika berubah

menjadi lebih kecil nilainya, maka , dan setelah pembaharuan

, maka . Jadi, perubahan energi selalu negatif atau bernilai nol.

31

3.1.2 Jaringan Hopfield Kontinu

Pada tahun 1984, Hopfield mengembangkan rancangan jaringan biner

sehingga neuron-neuron dapat memperhitungkan nilai-nilai kontinu [18].

Pengembangan dari jaringan Hopfield ini adalah jaringan Hopfield kontinu. Kerja

jaringan Hopfield kontinu ini menyerupai kerja jaringan diskrit, tetapi jaringan ini

mempunyai kemampuan lebih karena tidak dibatasi pada nilai biner (0 dan 1) dan

arsitekturnya lebih kompleks. Perbedaannya fungsi aktivasi yang digunakan

adalah fungsi logsig (fungsi sigmoid), yang ditunjukkan pada persamaan (2.25).

Dalam jaringan Hopfield kontinu, arsitektur dari jaringan ditentukan

sehingga perubahan neuron-neuronnya setiap saat digambarkan secara kontinu.

Pada sistem biologi, kapasitansi C membran sel, transmembran hambatan R, dan

hambatan sinapsis antara neuron dan . Sehingga terdapat sebuah persamaan

hambatan-kapasitansi (RC) yang menentukan perubahan dari .

. (3.7)

merepresentasikan arus masuk listrik ke sel i karena potensial dari sel j.

Persamaan energinya adalah:

. (3.8)

Dalam penerapannya, dan dipilih yang sesuai.

32

3.2 Jaringan Hopfield Modifikasi

Jaringan Hopfield modifikasi untuk menyelesaikan persamaan nonlinier,

menggunakan prinsip jaringan Hopfield kontinu, karena nilai input dan output

yang diharapkan pada jaringan tidak hanya biner (0 atau 1), tetapi juga bilangan

riil (antara 0 sampai 1).

Jumlah neuron pada jaringan sama dengan jumlah variabel yang akan

dicari solusinya. Hubungan antar neuron pada jaringan Hopfield modifikasi untuk

menyelesaikan persamaan nonlinier bergantung pada hubungan antar variabel

persamaan dengan koefisien, yang diturunkan sebagai bobot pada jaringan.

Hubungan antar variabel pada persamaan nonlinier merupakan hubungan

nonlinier, karena itulah jaringan Hopfield harus dimodifikasi. Arsitektur jaringan

Hopfield modifikasi untuk menyelesaikan persamaan nonlinier ditunjukkan pada

gambar 3.3.

Gambar 3.3 Arsitektur Hopfield untuk menyelesaikan persamaan nonlinier

33

Gambar 3.3 menunjukkan sistem sebanyak neuron yang saling berhubungan

nonlinier. Unit-unit pengolah atau neuron dimodelkan sebagai amplifier dengan

hubungan input-output nonlinier, yang ditunjukkan pada gambar sebagai fungsi

aktivasi, Fungsi ini diasumsikan dapat diturunkan, dan monoton

naik. Fungsi aktivasi yang paling umum adalah fungsi sigmoid, yaitu:

(3.9)

dengan potensial atau tegangan masuk, tegangan keluar. Setiap amplifier

mempunyai sebuah hambatan R, dan sebuah kapasitor C, yang terhubung dengan

ke tanah. Pada rangkaian RC juga terdapat arus dari luar, dapat menjadi nilai bias,

yang secara efektif sebagai nilai masalah yang spesifik yang sesuai data pada

masalah.

Hubungan nonlinier pada neuron, yaitu menggabungkan perkalian dan

penjumlahan linier. Hal ini dilihat pada gambar, proses product (perkalian)

menghasilkan fungsi , dimana . Fungsi adalah

kombinasi dari peubah Output dari neuron perkalian secara

linier dikalikan dengan bobot , yang merupakan arus-arus masuk,

melalui resistor-resistor konduktansi , yang menghubungkan antara

neuron i dan neuron j, atau kekuatan sinapsis.

Berdasarkan Hukum Kirchoff I [19], jumlah arus listrik yang masuk ke

suatu titik simpul sama dengan jumlah arus listrik yang keluar dari titik simpul

tersebut. Hukum Kirchoff I secara matematis dapat dituliskan sebagai

. (3.10)

34

Arus listrik adalah gerakan atau aliran muatan listrik. Muatan listrik dalam

rangkaian, didefinisikan sebagai

, (3.11)

dengan muatan listrik, kapasitansi, dan tegangan listrik. Dalam suatu selang

waktu ( ), arus listrik yang mengalir

(3.12)

Karena pada rangkaian terdapat hambatan , maka berlaku Hukum Ohm [20]

atau

. (3.13)

Jadi, arus listrik total yang bergerak pada rangkaian RC tersebut adalah

, (3.14)

maka perubahan arus listrik I dalam setiap satuan waktu t

. (3.15)

Pada permasalahan ini, tegangan V adalah , yang merupakan input pada neuron-

j, dan berdasarkan persamaan (3.7), arus yang masuk ke amplifier, yang

merupakan input jaringan

. (3.16)

Output dari jaringan adalah . Fungsi aktivasi mempunyai invers

. Sehingga persamaan (3.16) dapat dituliskan kembali menjadi

(3.17)

Sama halnya dengan jaringan Hopfield biasa yang mempunyai fungsi

energi, dimana fungsi energi akan menjadi semakin kecil (

), seiring

35

pembaharuan kondisi pada jaringan. Oleh karena itu, dalam rangka memecahkan

masalah, yang berupa persamaan atau sistem persamaan nonlinier, dengan metode

Hopfield modifikasi, masalah harus diformulasikan ke fungsi energi. Fungsi

energi jaringan Hopfield pada masalah ini didefinisikan:

. (3.18)

Persamaan (3.18) dapat ditulis

, (3.19)

karena merupakan persamaan atau sistem

persamaan nonlinier, persamaan (2.7), , dan

, dengan , maka persamaan (3.19)

menjadi

(3.20)

dengan

,

yang merupakan fungsi energi, untuk memformulasikan persamaan atau sistem

persamaan nonlinier. Jika formulasi fungsi energi tepat, maka fungsi energi dapat

digunakan untuk mendapatkan nilai bobot dan bias dari jaringan, dengan cara

membandingkan persamaan (3.20) dengan persamaan (3.16).

Perubahan kondisi jaringan dalam rangka mencari solusi, sesuai perubahan

kondisi input ke neuron-j terhadap waktu, yang ditunjukkan oleh persamaan

diferensial berikut:

(3.21)

36

Simulasi numerik jaringan dengan bobot dan bias yang telah didapatkan, akan

menghasilkan solusi yang diinginkan hingga prosedur konvergen terpenuhi.

Secara numerik, simulasi jaringan menggunakan metode Euler:

(3.22)

3.3 Algoritma Hopfield untuk Penyelesaian Persamaan dan Sistem

Persamaan Nonlinier

Penyelesaian persamaan atau sistem persamaan nonlinier polinomial

terdiri dari beberapa tahapan:

a. formulasikan persamaan atau sistem persamaan nonlinier polinomial dalam

bentuk fungsi energi, sesuai dengan persamaan (3.20),

b. differensialkan persamaan fungsi energi yang didapatkan, sesuai dengan

persamaan (3.21), untuk mendapatkan persamaan Hopfield, sehingga dapat

ditentukan nilai bobot dan bias pada jaringan,

c. inisialisasi nilai-nilai awal pada , dan ,

d. lakukan simulasi dengan Metode Euler persamaan (3.22) untuk

memperbaharui ,

e. perbaharui nilai , dengan persamaan (3.9),

f. lakukan langkah d dan e hingga syarat terpenuhi.

Tahapan-tahapan ini dapat dilihat dalam bentuk flowchart pada gambar 3.4.

37

start

persamaan atau sistem

persamaan yang akan

dicari solusi

bentuk ke persamaan energi,

persamaan (3.18)

differensialkan fungsi energi,

sesuai persamaan (3.19)

didapatkan persamaan Hopfield

dengan W dan I

lakukan simulasi dengan Metode

Euler, persamaan (3.20), untuk

memperbaharui u(t)

berikan nilai awal

pada t = 1, x(1) dan

u(1)

perbaharui nilai x(t), dengan

persamaan (3.7)

akar = x

end

ya

tidak

x

Gambar 3.4 Flowchart Algoritma Hopfield untuk penyelesaian persamaan dan sistem

persamaan nonlinier

9

2

21

20

38

BAB IV

APLIKASI JARINGAN HOPFIELD MODIFIKASI PADA PERSAMAAN

DAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER

Pada bab ini akan dibahas mengenai penerapan jaringan Hopfield

modifikasi serta langkah-langkahnya dalam menyelesaikan contoh persamaan dan

sistem persamaaan nonlinier yang diberikan.

4.1 Persamaan Polinomial

4.1.1 Contoh Persamaan Polinomial Sederhana

Diberikan persamaan polinomial berderajat 1,

(4.1)

dengan , dan . Untuk persamaan di atas akan diselesaikan

dengan 6 langkah penerapan jaringan Hopfield modifikasi.

Langkah 1: Memformulasikan persamaan nonlinier polinomial (4.1) dalam

bentuk fungsi energi, sesuai dengan persamaan (3.20)

=

(4.2)

Langkah 2: Menurunkan persamaan fungsi energi (4.2), sesuai dengan

persamaan (3.21)

39

untuk mendapatkan nilai bobot dan bias pada jaringan, sehingga didapat bentuk :

(4.3)

Bandingkan persamaan (4.3) dengan persamaan Hopfield (3.16), untuk persamaan

berpangkat tertinggi 1

Jadi, didapat dan , yang akan digunakan

sebagai bobot dan nilai bias pada jaringan. Gambar 4.1 menunjukkan arsitektur

jaringan Hopfield untuk penyelesaian persamaan nonlinier kasus ini.

W1

x

x

I

R

C


Langkah 3: Inisialisasi nilai-nilai awal, dan

Langkah 4: Melakukan simulasi menggunakan Metode Euler, persamaan (3.22)

untuk memperbaharui nilai

Langkah 5: Memperbaharui nilai , dengan persamaan (3.9)

Langkah 6: Mengulang langkah 4 dan 5 hingga syarat terpenuhi

Iterasi ke-1

dan , = 1

40

Iterasi ke-2

256

hingga syarat dipenuhi (misalnya ), dan didapat nilai

pada iterasi ke-106. Hal ini terlihat pada gambar 4.2, iterasi yang

dilakukan memperkecil eror dan konvergen ke arah .

Gambar 4.2 Grafik eror persamaan – dengan dan

0 20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

ero

r

iterasi

41

Percobaan juga dilakukan dengan nilai dan yang berbeda, kemudian

dibandingkan dengan penyelesaian persamaan menggunakan metode Bisection,

yang dapat dilihat pada tabel 4.1.

Tabel 4.1 Penyelesaian persamaan – dengan dan yang berbeda

Nilai Persamaan (4.1) Banyak Iterasi Eror

0.3 0 0.6 106

-1.5 0.25 0.6 118

dengan metode Bisection


0.3 1 0.6 - 45

-1.5 2 0.6 - 47

Berdasarkan tabel 4.1, metode Hopfield modifikasi memberikan

yang sama dengan pencarian solusi menggunakan metode Bisection, yang

dilakukan dengan nilai awal, , yang berbeda, sekalipun terdapat perbedaan

yang cukup signifikan dari banyaknya iterasi yang dilakukan metode Hopfield

modifikasi. Dilihat dari nilai eror yang dihasilkan, metode Hopfield modifikasi,

menghasilkan nilai eror yang lebih besar dibandingkan dengan metode Bisection,

walaupun perbedaan tersebut tidak terlalu signifikan.

4.1.2 Contoh Persamaan Polinomial Berderajat Tinggi

Berdasarkan pembahasan pada bab 3, metode jaringan Hopfield modifikasi

untuk menyelesaikan persamaan, tidak hanya dapat digunakan pada persamaan

42

sederhana saja, namun juga dapat digunakan pada persamaan yang rumit.

Diberikan persamaan dengan pangkat tertinggi 4,

(4.4)

dengan

. Untuk persamaan di

atas akan diselesaikan dengan 6 langkah penerapan jaringan Hopfield modifikasi.

Langkah 1: Memformulasi persamaan nonlinier polinomial (4.4) dalam bentuk

fungsi energi, sesuai dengan persamaan (3.20)

=

(4.5)


persamaan (3.21)

untuk mendapatkan nilai bobot dan bias pada jaringan, sehingga didapat bentuk:

(4.6)

43

Bandingkan persamaan (4.6) dengan persamaan Hopfield (3.16), untuk persamaan

berpangkat tertinggi 4

Jadi, didapat

dan , yang akan digunakan sebagai bobot dan nilai

bias pada jaringan. Untuk persamaan yang diberikan, diperoleh

dan

. Gambar 4.3 menunjukkan arsitektur jaringan Hopfield untuk

penyelesaian persamaan nonlinier polinomial berderajat empat.

W4

W3

W2

W1

W5

W7

W6

x

2x

3x

4x

5x

6x

7x

xI

RC


Langkah 3: Inisialisasi nilai-nilai awal dan

Langkah 4: Melakukan simulasi dengan Metode Euler, yaitu persamaan (3.22)

44




Iterasi ke-1

dan , = 1

Iterasi ke-2


pada iterasi ke-114. Hal ini terlihat pada gambar 4.4, iterasi yang

dilakukan memperkecil eror dan konvergen ke arah .

45

Gambar 4.4 Grafik eror persamaan –

dengan

Percobaan dilakukan dengan memberikan kondisi awal ( dan ) yang berbeda,

kemudian dibandingkan dengan penyelesaiaan persamaan menggunakan metode

Newton-Raphson, yang dapat dilihat pada tabel 4.2.

0 20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

iterasi

ero

r

46

Tabel 4.2 Penyelesaian persamaan polinomial –

dengan dan

yang berbeda


0 0.0001 0.5 94

0.25 -0.5 0.5 114

0.4 0 0.5 97

0.52 1 0.5 107

dengan menggunakan metode Newton-Raphson

0 - Iterasi

divergen

- - -

0.25 - = 0 - -

0.4 - 0.5 - 5

0.52 - 0.5 - 4

Berdasarkan tabel 4.2, metode Hopfield modifikasi, dengan nilai awal, ,

yang berbeda juga memberikan yang sama dengan nilai sebenarnya. Di

sisi lain, metode Newton-Raphson, dari dua nilai awal, , yang diberikan tidak

mendapatkan hasil yang sama dengan nilai sebenarnya, yaitu ketika nilai awal,

, membuat iterasi divergen, dan ketika nilai awal, , menghasilkan

turunan pertama sama dengan nol, sehingga iterasi tidak dapat dilakukan.

Sedangkan, dua nilai awal lainnya menghasilkan yang sama dengan nilai

sebenarnya, dengan jumlah iterasi yang jauh lebih sedikit, dari iterasi dengan

metode Hopfield modifikasi, dan menghasilkan eror yang lebih kecil

dibandingkan metode Hopfield.

47

4.2 Sistem Persamaan Polinomial

Metode jaringan Hopfield modifikasi dengan 6 langkah dapat digunakan

juga untuk menyelesaikan sebuah sistem persamaan.

4.2.1 Contoh Sistem Persamaan Polinomial

Diberikan sistem persamaan dengan pangkat tertinggi 2,

,

dengan . Untuk sistem persamaan di

atas akan diselesaikan dengan 6 langkah penerapan jaringan Hopfield modifikasi,

yang sama dengan penerapan jaringan Hopfield modifikasi dalam menyelesaikan

persamaan nonlinier.

Langkah 1: Memformulasikan sistem persamaan nonlinier polinomial (4.7)

dalam bentuk fungsi energi, sesuai dengan persamaan (3.20)

(4.8)


persamaan (3.21)

(4.7)

48

untuk mendapatkan nilai bobot dan bias pada jaringan, sehingga didapat bentuk:

(4.9)

Bandingkan persamaan (4.9) dengan persamaan Hopfield (3.16), untuk sistem

persamaan berpangkat tertinggi 2

Jadi, didapat

dan , yang akan digunakan sebagai bobot dan

nilai bias pada jaringan. Untuk persamaan yang diberikan, diperoleh

dan . Gambar 4.5 menunjukkan arsitektur

jaringan Hopfield untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinier kasus ini.

W1

W3

W2

x

2x

3xR

xI

C

Gambar 4.5 Arsitektur jaringan untuk penyelesaian persamaan polinomial dengan

pangkat tertinggi 2

49

Langkah 3: Inisialisasi nilai-nilai awal dan

Langkah 4: Melakukan simulasi dengan Metode Euler, persamaan (3.22)




Iterasi ke-1

dan , time step ( ) = 1

Iterasi ke-2


pada iterasi ke-33. Gambar 4.6, menunjukkan iterasi membuat eror

konvergen ke arah .

50

Gambar 4.6 Grafik Eror Sistem Persamaan dengan dan

Percobaan untuk kasus sistem ini, juga dilakukan dengan nilai awal, dan ,

yang berbeda, yang dapat dilihat pada tabel 4.3.

Tabel 4.3 Penyelesaian Sistem Persamaan Polinomial dengan dan yang berbeda


1.8 0 0.5 30

-1.1 -2.5 0.5 33

Berdasarkan tabel 4.3, metode Hopfield modifikasi, dengan nilai awal, ,

yang berbeda juga memberikan yang sama dengan nilai sebenarnya, untuk

suatu sistem persamaan nonlinier.

0 5 10 15 20 25 30 350

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

iterasi

ero

r

51

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Konvergensi bergantung pada nilai awal yang diberikan untuk

menghasilkan suatu solusi. Metode Hopfield termodifikasi selalu konvergen untuk

sembarang nilai awal, yaitu x(t) dan u(t), hal ini berbeda dengan Newton-Raphson,

yang harus memenuhi syarat ”dekat” dengan solusi, agar iterasi konvergen. Hal

ini merupakan kelebihan metode Hopfield modifikasi dibandingkan Newton-

Raphson. Namun, menurut hasil penelitian yang dilakukan performa Newton-

Raphson lebih baik dibandingkan dengan Hopfield modifikasi. Akan tetapi, waktu

yang dibutuhkan untuk keduanya menghasilkan solusi dengan perangkat

komputer yang peneliti gunakan tidak signifikan.

Kelebihan lain dari metode Hopfield modifikasi adalah kemampuannya

untuk menyelesaikan permasalahan sistem persamaan nonlinier, yang dalam hal

ini metode dasar seperti Newton-Raphson, Secant, Bisection tidak dapat

digunakan. Hasil dari penelitian yang dilakukan terbukti metode Hopfield

modifikasi reliabel dalam menyelesaikan masalah sistem persamaan nonlinier

yang diujikan.

52

5.2 Saran

Tujuan pencarian metode penyelesaian persamaan nonlinier adalah metode

yang dapat digunakan secara efektif, membutuhkan iterasi yang sedikit, dan selalu

konvergen ke solusi. Oleh karena itu, berdasarkan kesimpulan sebelumnya bahwa

metode Hopfield modifikasi selalu konvergen namun relatif lebih lambat,

dibandingkan metode Newton-Raphson, akan tetapi Newton tidak selalu

konvergen, maka saran untuk penelitian selanjutnya adalah metode yang

menggabungkan kedua metode tersebut, yaitu langkah pertama menggunakan

metode Hopfield modifikasi, dan ketika solusi sudah mendekati solusi yang

sebenarnya, metode Newton-Raphson digunakan, serta modifikasi lainnya yang

dapat meningkatkan efektifitas maupun efisiensi dalam pencarian solusi

persamaan nonlinier maupun sistem persamaan nonlinier.

53

REFERENSI

[1] Departemen Agama Republik Indonesia & Yayasan Penyelenggara

Penterjemah Al-Qur’an (Pentj), Al-Qur’an dan Tafsirnya Jilid VII.

Jakarta: CV. Darma Pala, 1997.

[2] Munir, Rinaldi, Metode Numerik. Bandung: Informatika, 2008.

[3] Haykin, S, Neural Networks: A Comprehensive Foundation. New York:

Macmillan College Publishing Co., 1994.

[4] Widrow, B., and M.E. Hoff., “Adaptive switching circuits,” 1960 IRE

WESCON Convention Record, New York IRE, 1960, pp. 96–104.

[5] Werbos, Paul J., “Beyond Regression: New Tools for Prediction and

Analysis in the Behavioral Sciences,” PhD Thesis, Harvard University,

1974.

[6] Hopfield, J. J., “Neural Network and Physical Systems with Emergent

Collective Computational Abilities,” in Proceedings of the National

Academy of Sciences of the USA, vol. 79 no. 8, 1982, pp. 2554-2558.

[7] Wilson, G.V. and Pawley, G.S, “On the stability of the Travelling

Salesman Problem algorithm of Hopfield and Tank,” in Biological

Cybernetics (1988), Vol. 58, no.1, 1985, pp. 63-70.

[8] Mishra, Deepak and Kalra, Prem K, “Modified Hopfield Neural

Network Approach for Solving Nonlinear Algebraic Equations,”

Engineering Letters, 14:1, EL_14_1_23, 2007.

[9] Nazir, Mohammad, Metode Penelitian. Jakarta: Ghalia Indonesia, 2003.

54

[10] Anton, Howard, Dasar-dasar Aljabar Linier Jilid 1. Tangerang:

Binarupa Aksara, 2002.

[11] Siang, Jong Jek, Jaringan Saraf Tiruan & Pemprogramannya

Menggunakan Matlab. Yogyakarta: Andi, 2009.

[12] Beale, Mark Hudson, Hagan, M.T., and Demuth, Howard B, Neural

Netork Toolbox 7 User’s Guide. Online: MathWorks, 2010.

[13] Li, J., A.N. Michel, and W. Porod, “Analysis and synthesis of a class of

neural networks: linear systems operating on a closed hypercube,” IEEE

Transactions on Circuits and Systems, vol. 36, no. 11, pp. 1405–1422,

November 1989.

[14] Elman, J.L., “Finding structure in time,” in Cognitive Science, Vol. 14,

1990, pp. 179–211.

[15] McCulloch, W.S. and Pitts, W., Bull, Math Biophys. 5, 1943, pp. 115-133.

[16] Puspitaningrum, Diyah, Pengantar Jaringan Syaraf Tiruan.

Yogyakarta: Andi, 2006.

[17] Hermawan, Arief, Jaringan Saraf Tiruan Teori dan Aplikasi.

Yogyakarta: Andi, 2006.

[18] Hopfield, J. J., “Neurons with Graded Response have Collective

Computational Abilities,” in Proceedings of the National Academy of

Sciences of the USA, vol. 81, 1984, pp. 3088-3092.

[19] Oldham, Kalil T. Swain, “The doctrine of description: Gustav

Kirchoff, classical physics, and the purpose of all science,” in 19th

-

century. Germany: ProQuest, 2008.

55

[20] Ohm, Georg Simon, The Galvanic Circuit Investigated

Mathematically. New York: D. Van Nostrand, 1891.

56

Lampiran 1

Program Metode Hopfield Modifikasi untuk Menyelesaikan Persamaan dan

Sistem Persamaan Nonlinier

%nb utk persamaan pangkat yang lebih kecil dibuat maksimal

b = input('Masukkan banyaknya persamaan dalam sistem = ');

for j = 1:b

n = input('Masukkan pangkat tertinggi fungsi');

for i = 1:n+1

mat(j,i) = input('Masukkan input ke-i = ');

end

end

c = mat(1,:);

for l = 2:b

c = c - mat(l,:);

end

c

energi = zeros;

for k = 1:b

e(k,:) = conv(mat(k,:),mat(k,:));

energi = energi + e(k,:);

end

energi

weight = -0.5*(polyder(energi))

u(1) = input('Masukkan nilai u(1) = ');

x(1) = input('Masukkan nilai x(1) = ');

i = 1;

while (abs(polyval(c,x)) > 10e-15)

g(i) = polyval(weight,x(i));

u(i+1) = u(i) + g(i);

x(i+1) = logsig(u(i+1));

eror(i) = abs(0.6-x(i));

toc;

plot(eror)

table = [i u(i+1) x(i+1) eror(i)]

m = polyval(c,x);

i = i+1;

end

Output Program untuk polynomial berderajat 1, persamaan (4.1)

Masukkan banyaknya persamaan dalam sistem = 1

Masukkan pangkat tertinggi fungsi 1

Masukkan input ke-i = 1

Masukkan input ke-i = -0.6

57

c =

1.0000 -0.6000

energi =

1.0000 -1.2000 0.3600

weight =

-1.0000 0.6000

Masukkan nilai u(1) = 0

Masukkan nilai x(1) = 0.3

table =

1.0000 0.3000 0.5744 0.3000

2.0000 0.3256 0.5807 0.0256

3.0000 0.3449 0.5854 0.0193

4.0000 0.3595 0.5889 0.0146

5.0000 0.3706 0.5916 0.0111

6.0000 0.3790 0.5936 0.0084

7.0000 0.3854 0.5952 0.0064

8.0000 0.3902 0.5963 0.0048

9.0000 0.3939 0.5972 0.0037

10.0000 0.3967 0.5979 0.0028

11.0000 0.3988 0.5984 0.0021

12.0000 0.4004 0.5988 0.0016

13.0000 0.4016 0.5991 0.0012

14.0000 0.4025 0.5993 0.0009

15.0000 0.4032 0.5995 0.0007

16.0000 0.4038 0.5996 0.0005

17.0000 0.4042 0.5997 0.0004

18.0000 0.4045 0.5998 0.0003

19.0000 0.4047 0.5998 0.0002

20.0000 0.4049 0.5999 0.0002

21.0000 0.4050 0.5999 0.0001

22.0000 0.4051 0.5999 0.0001

23.0000 0.4052 0.5999 0.0001

24.0000 0.4053 0.6000 0.0001

25.0000 0.4053 0.6000 0.0000

26.0000 0.4054 0.6000 0.0000

27.0000 0.4054 0.6000 0.0000

28.0000 0.4054 0.6000 0.0000

29.0000 0.4054 0.6000 0.0000

30.0000 0.4054 0.6000 0.0000

31.0000 0.4054 0.6000 0.0000

32.0000 0.4054 0.6000 0.0000

33.0000 0.4054 0.6000 0.0000

58

34.0000 0.4055 0.6000 0.0000

35.0000 0.4055 0.6000 0.0000

36.0000 0.4055 0.6000 0.0000

37.0000 0.4055 0.6000 0.0000

38.0000 0.4055 0.6000 0.0000

39.0000 0.4055 0.6000 0.0000

40.0000 0.4055 0.6000 0.0000

41.0000 0.4055 0.6000 0.0000

42.0000 0.4055 0.6000 0.0000

43.0000 0.4055 0.6000 0.0000

44.0000 0.4055 0.6000 0.0000

45.0000 0.4055 0.6000 0.0000

46.0000 0.4055 0.6000 0.0000

47.0000 0.4055 0.6000 0.0000

48.0000 0.4055 0.6000 0.0000

49.0000 0.4055 0.6000 0.0000

50.0000 0.4055 0.6000 0.0000

51.0000 0.4055 0.6000 0.0000

52.0000 0.4055 0.6000 0.0000

53.0000 0.4055 0.6000 0.0000

54.0000 0.4055 0.6000 0.0000

55.0000 0.4055 0.6000 0.0000

56.0000 0.4055 0.6000 0.0000

57.0000 0.4055 0.6000 0.0000

58.0000 0.4055 0.6000 0.0000

59.0000 0.4055 0.6000 0.0000

60.0000 0.4055 0.6000 0.0000

61.0000 0.4055 0.6000 0.0000

62.0000 0.4055 0.6000 0.0000

63.0000 0.4055 0.6000 0.0000

64.0000 0.4055 0.6000 0.0000

65.0000 0.4055 0.6000 0.0000

66.0000 0.4055 0.6000 0.0000

67.0000 0.4055 0.6000 0.0000

68.0000 0.4055 0.6000 0.0000

69.0000 0.4055 0.6000 0.0000

70.0000 0.4055 0.6000 0.0000

71.0000 0.4055 0.6000 0.0000

72.0000 0.4055 0.6000 0.0000

73.0000 0.4055 0.6000 0.0000

74.0000 0.4055 0.6000 0.0000

75.0000 0.4055 0.6000 0.0000

76.0000 0.4055 0.6000 0.0000

77.0000 0.4055 0.6000 0.0000

78.0000 0.4055 0.6000 0.0000

79.0000 0.4055 0.6000 0.0000

59

80.0000 0.4055 0.6000 0.0000

81.0000 0.4055 0.6000 0.0000

82.0000 0.4055 0.6000 0.0000

83.0000 0.4055 0.6000 0.0000

84.0000 0.4055 0.6000 0.0000

85.0000 0.4055 0.6000 0.0000

86.0000 0.4055 0.6000 0.0000

87.0000 0.4055 0.6000 0.0000

88.0000 0.4055 0.6000 0.0000

89.0000 0.4055 0.6000 0.0000

90.0000 0.4055 0.6000 0.0000

91.0000 0.4055 0.6000 0.0000

92.0000 0.4055 0.6000 0.0000

93.0000 0.4055 0.6000 0.0000

94.0000 0.4055 0.6000 0.0000

95.0000 0.4055 0.6000 0.0000

96.0000 0.4055 0.6000 0.0000

97.0000 0.4055 0.6000 0.0000

98.0000 0.4055 0.6000 0.0000

99.0000 0.4055 0.6000 0.0000

100.0000 0.4055 0.6000 0.0000

101.0000 0.4055 0.6000 0.0000

102.0000 0.4055 0.6000 0.0000

103.0000 0.4055 0.6000 0.0000

104.0000 0.4055 0.6000 0.0000

105.0000 0.4055 0.6000 0.0000

106.0000 0.4055 0.6000 0.0000

penyelesaian sistem persamaan nonlinier dengan …

Documents