Ch 9.1: The Phase Plane: Linear Systems

• Beberapa persamaan diferensial tidak dapat diselesaikan dengan menganalisis metode. Sehingga penting untuk mempertimbangkan informasi yang dapat diperoleh tanpa benar benar menyelesaikan persamaan diferensial tersebut . Metode yang di gunakan adalah geometri dasar

Dalam menganalisis , kita harus mempertimbangkan beberapa kemungkinan yang akan terjadi yang bergantung pada eigenvalue dari A

A merupakan matriks2X2 dan x adalah vektor 2x1

• Solusi x dimana Ax = 0 sesuai dengan equilibrium solutions, disebut titik kritis.

• A sumsikan A taksingular, atau A 0, dan karenanya x = 0 adalah satu-satunya titik kritis untuk sistem x '= Ax.

• Sebuah solusi dari x '= Ax adalah fungsi vektor x = (t) yang memenuhi persamaan diferensial, dan dapat dilihat sebagai representasi parametrik untuk kurva pada bidang x1-x2.

• Kurva ini dapat dianggap sebagai lintasan yang dilalui oleh partikel yang bergerak dengan kecepatan dx / dt ditentukan oleh persamaan diferensial.

• Dalam menganalisis sistem x '= Ax, kita harus mempertimbangkan beberapa kasus, tergantung pada sifat dari nilai eigen dari A.

• tujuan utama kami adalah untuk mengkarakterisasi persamaan diferensial sesuai dengan pola geometris yang dibentuk oleh lintasan tersebut.

• Dalam setiap kasus kita membahas perilaku lintasan pada umumnya yang digambarkan dengan sebuah contoh.

• Hal ini penting bahwa lintasan dimiliki untuk setiap kasus, karena mereka adalah bahan dasar dari teori kualitatif persamaan diferensial.

Case 1: Real Unequal Eigenvaluesof the Same Sign

Ketika eigen r1 dan r2 keduanya positif atau keduanya negatif, solusi umum untuk x '= Ax adalah:

Misalkan r1 <r2 <0, dan vektor eigen u(1) dan u(2)Sehingga x 0 dan t untuk semua solusi x, terlepas dari nilai c1 and c2.

• Jika solusi dimulai pada titik awal pada baris melalui u(1), lalu c2= 0 dan solusi tetap pada baris untuk semua t.

• Solusinya dapat ditulis kembali sebagai

• Jadi semua solusi yang bersinggungan dengan u (2) di titik kritis x = 0 kecuali untuk solusi yang melalui u (1). Disebut titik kritis disebut node atau nodal sink.

)2(2)1(

1)2(

2)1(

121221 uceuceeuceuc trrtrtrtr x

• Jika 0 <r2 <r1, maka lintasan akan memiliki pola yang sama seperti pada gambar (a) di bawah ini, tapi arah akan berada jauh dari titik kritis pada titik asal. Dalam hal ini titik kritis disebut node atau node source.

Case 2: Real Eigenvaluesof Opposite Sign

• Misalkan bahwa r1 > 0 dan r2 < 0, dengan solusi umum

dengan eigenvektor u(1) and u(2) seperti dibawah ini. • Jika solusi dimulai pada titik awal pada baris melalui u(1),

then c2 = 0 dan solusi tetap pada baris untuk semua t. Dan r1 > 0 sehingga||x|| dan t .

• Demikian pula jika titik awal pada garis melalui u(2), maka||x|| 0 dan t saat r2 < 0.

• Misalkan sekarang bahwa r1> 0 dan r2 <0, ditunjukan bahwa

,21 )2(2

)1(1

trtr ecec ξξx

• Untuk Solusi Umum

Satu-satunya solusi yang mendekati titik kritis pada titik asal adalah mereka yang mulai pada baris ditentukan oleh u (2). Jenis titik kritis tersebut disebut sadle point.

,0,0, 21)2(

2)1(

121 rrecec trtr ξξx

r1 = r2 = r. Anggap bahwa r negatif. Jika r positif, maka lintasan sama tetapi arah gerakan dibalik.

• dua vektor eigen yang bebas linear • Satu vektor eigen yang bebas linear

Dua vektor eigen yang bebas linear• solusi umum• Rasio x2 / x1 independen dari t, tetapi

tergantung pada komponen u(1) dan u (2) dan c1 dan c2

• Maka setiap lintasan terletak pada garis yang melewati titik asal. Titik kritis pada titik asal tsb disebut proper node, atau star point. .

rtrt ecec )2(2

)1(1 ξξx

Satu vektor eigen yang bebas linear• Solusi umum

• Untuk t yang besar, lintasan akan berjalan dari titik asal ke garis singgung melalui vektor eigen u.

• Demikian pula, untuk t besar bernilai negatif setiap lintasan adalah asimtotik untuk garis yang sejajar dengan vektor eigen u.

• Orientasi lintasan tergantung pada posisi yang relatif terhadapa u dan v. Dan akan terlihat

Satu vektor eigen yang bebas linear• Kita bisa menulis ulang solusi umum

• Perhatikan bahwa y menentukan arah x. Untuk nilai tetap dari c1 dan c2, ekspresi untuk y adalah persamaan vektor dari garis melalui titik c1u + c2 v dan sejajar dengan u.

• Ketika eigen ganda hanya memiliki salah satu nilai eigen yang bebas linear, titik kritis disebut improper or degenerate node.

tccceetccc rtrt uvuyyuvux 221221 ,