PENCARIAN SOLUSI PADA PERMASALAHAN SISTEM

PERSAMAAN NONLINIER MENGGUNAKAN METODE

BAT ALGORITHM

SKRIPSI

TEDY NOVIAN

108094000042

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

2015 M/1436 H

iii

PERNYATAAN

DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR-

BENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN

SEBAGAI SKRIPSI ATAU KARYA ILMIAH PADA PERGURUAN TINGGI

ATAU LEMBAGA MANAPUN.

Jakarta, 06 Juli 2015

Tedy Novian

108094000042

iv

PERSEMBAHAN

Alhamdulillahirobbil’alamin, segala puji bagi Allah, Tuhan Semesta Alam.

Skripsi ini saya persembahkan untuk Papa Mamaku tercinta, Adik-adikKu

dan Istri serta AnakKu, dan seluru Keluarga besarku, dan juga Keluarga

besar Prodi Matematika, serta semua pihak yang terlibat di dalamnya.

Semoga selalu diridhoi Allah SWT, selalu dalam lindungan-Nya, serta

selalu dibukakan pintu rahmat, kasih sayang, dan hidayah-Nya

Amin

MOTTO

“Menuntut Ilmu Adalah Takwa, Menyampaikan Ilmu Adalah

Ibadah, Mengulang Ilmu Adalah Zikir dan Mencari Ilmu Adalah

Jihad” (Al-Ghazali)

”Janganlah kemiskinanmu menyebabkan Kekufuran dan

janganlah kekayaanmu membuahkan Kesombongan”

v

ABSTRAK

Tedy Novian, Pencarian Solusi Pada Permasalahan Sistem Persamaan Nonlinier

Menggunakan Bat Algorithm. Di bawah bimbingan Irma Fauziah, M.Sc dan

Muhaza Liebenlito, M.Si.

Persamaan nonlinier ataupun sistem persamaan nonlinier dapat diselesaikan

secara analitik dan numerik. Namun pada perkembangannya ada persamaan

nonlinier ataupun sistem persamaan nonlinier tertentu, yang sulit diselesaikan

dengan penghitungan analitik, sehingga penghitungan numerik dapat menjadi

solusi. Salah satu solusi numerik untuk persamaan nonlinier ataupun sistem

persamaan nonlinier adalah metode Steepest Descent yang juga termasuk ke

dalam metode optimisasi klasik. Metode Steepest Descent merupakan metode

untuk mencari akar persamaan, hal ini dikarenakan optimisasi ekivalen dengan

mencari akar pada turunan pertama suatu fungsi [2]. Jadi metode Steepest Descent

merupakan prosedur paling mendasar untuk meminimasikan suatu fungsi yang

mempunyai turunan. Namun metode ini memiliki kekurangan, yaitu tidak bisa

menyelesaikan permasalahan optimisasi apabila fungsi tersebut tidak memiliki

turunan. Oleh karena itu, dibutuhkan sebuah metode yang mampu mengatasi

permasalahan tersebut.

Untuk mengatasi permasalahan tersebut para peneliti menemukan algoritma

optimisasi yang terinspirasi dari alam, yaitu Bat Algorithm (BA). Bat Algorithm

merupakan teknik optimisasi yang terinspirasi oleh kemampuan ekolokasi

kelelawar, yang dapat membuat kelelawar dapat mengetahui keadaan sekitar

dalam keadaan gelap tanpa cahaya sedikitpun.

Jenis penelitian ini merupakan penelitian kepustakaan atau penelitian literatur

yang bertujuan untuk mengumpulkan data dan informasi terkait persamaan

nonlinier dan sistem persamaan nonlinier, metode optimasi Bat Algorithm, serta

dilengkapi simulasi numerik terhadap beberapa contoh penggunaaan metode ini

pada beberapa contoh kasus yang diberikan dengan bantuan software.

Beberapa contoh kasus sistem persamaan nonlinier telah diselesaikan dengan

menggunakan metode optimisasi Bat Algorithm. Hasil penelitian menunjukkan

bahwa metode optimisasi Bat Algorithm selalu konvergen terhadap sembarang

nilai. Namun, merode Steepest Descent lebih baik dibandingkan metode Bat

Algorithm, akan tetapi hasil yang didapat baik akar-akar persamaan ataupun nilai

fungsinya dari kedua metode tidak signifikan.

Kata kunci: Sistem Persamaan Nonlinier, Optimisasi, Bat Algorithm, Steepest

Descent, Metaheuristik Algorithm.

vi

ABSTRACT

Tedy Novian, Search for Solutions On Nonlinear Equations System Problems

Using Bat Algorithm. Under guidance Irma Fauziah, M.Sc dan Muhaza

Liebenlito, M.Si.

Nonlinear equations or systems of nonlinear equations can be solved

analytically and numerically. But in its development there is a system of nonlinear

equations or certain nonlinear equations, which is difficult to be solved by

analytical calculation, so the numerical calculation may be the solution. One of

the numerical solution for nonlinear equations or systems of nonlinear equations

is Steepest Descent method that also belong to the classical optimization methods.

Steepest Descent method is a method to find the root of the equation, this is

because optimization is equivalent to searching for the roots of the first derivative

of a function [2]. So Steepest Descent method is the most basic procedure for

meminimasikan a function that has a derivative. But this method has its

drawbacks, ie can not solve optimization problems if the function has no

derivative. Therefore, we need a method that is able to overcome these problems.

To overcome these problems, the researchers found that optimization

algorithms inspired by nature, the Bat Algorithm (BA). Bat Algorithm is an

optimization technique inspired by bat echolocation ability, which can make a bat

can determine the circumstances around in the dark with no light at all.

This research is research literature or literature study that aims to collect data

and information related to nonlinear equations and systems of nonlinear

equations, optimization methods Bat Algorithm, and equipped with numerical

simulations on some examples of the use of this method in some case examples

are given with the help of software.

Some examples of cases of systems of nonlinear equations has been solved

using optimization methods Bat Algorithm. The results showed that the Bat

Algorithm optimization method always converges to any value. However, Merode

Steepest Descent better than Bat Algorithm methods, but the results are both roots

of the equation or the value of the function of these two methods are not

significant.

Keywords: Nonlinear Equations Systems, Optimization, Bat Algorithm, Steepest

Descent, Metaheuristic Algorithm.

vii

KATA PENGANTAR

بسم اهلل اار حمن اار حيم

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Alhamdulillah, Segala puji bagi Allah, Tuhan Semesta Alam, yang senantiasa

melimpahkan rahmat dan nikmat-Nya kepada kita semua, tak terkecuali pada penulis,

hingga penulis dapat menyelesaikan skripsi “Pencarian Solusi Pada Permasalahan

Sistem Persamaan Nonlinier Menggunakan Metode Bat Algorithm”. Shalawat

serta salam senantiasa tercurah kepada Nabi Muhammad SAW, manusia luar biasa

karena kecerdasannya, kemuliaan akhlaqnya, keluhuran budi pekertinya, dan sunnah-

sunnah Rasulullah yang tetap subur.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapat dorongan, semangat,

dan bimbingan serta kritikan dan sara dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada

kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Kedua orang tuaku (Margono dan Anna Noviana), adik-adikku (Jauhari Ian

Novian, Ajeng Permata Fajrina, dan Marwah Noer Fitriana), dan istri (Aprilia

Rahmawati) serta anakku (Malika Destian Arrahma) tercinta, beserta seluruh

keluarga besar penulis yang selalu memberikan kasih sayang dan selalu

mendoakan penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini,

2. Dr. Agus Salim, M.Si, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas

Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta,

viii

3. Ibu Dr. Nina Fitriyati, M.Kom, selaku Ketua Program Studi Matematika Fakultas

Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta,

4. Ibu Irma Fauziah, M.Sc, selaku Pembimbing I dan Pak Muhaza Liebenlito, M.Si,

selaku Pembimbing II. Mohon maaf atas semua kesalahan penulis selama ini,

serta terima kasih banyak atas waktu dan kesabarannya dalam membimbing

penulis dalam menyelesaikan penelitian ini,

5. Ibu Yanne Irene, M.Si, selaku Penguji I dan Pak Mahmudi, M.Si, selaku Penguji

II. Terima kasih atas segala masukan dalam penulisan ini.

6. Seluruh dosen dan karyawan Program Studi Matematika, yang telah mengajarkan

banyak hal yang sangat bermanfaat bagi penulis.

7. Sahabat-sahabat terbaikku selama mengenyam pendidikan di UIN Jakarta

khususnya Math’08, Putra, Deny, Munir, Rosyid, Ucok Lah, Azmi, Rizha, Nizar,

Sopyan, Derry, Ridho, alm.Mukhlis, Ustad Luqman, dll,

8. Teman-teman Himatika UIN Jakarta.

9. Teman-teman Kosan Antalaklai (Mas Kiki dan Mbak Desi, Ka Ucal, bos Rengki,

Furqon, Kochar, Dolay, Ega, Angga, Mukmin, Cahyadi, Hanip, Mali, Yopy,

Azom, Zul, Onay, Awan) Bu Kosan Antalaklai, serta semua pihak yang telah

membantu penulis.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kelemahan dan kekurangan yang

terdapat pada skripsi ini. Atas dasar itulah penulis memohon maaf yang sebesar-

ix

besarnya kepada semua pihak jika terdapat kesalahan yang kurang berkenan. Namun,

saran dan kritik selalu penulis harapkan demi perbaikan pada penelitian selanjutnya.

Akhir kata, harapan yang besar bahwa skripsi ini dapat bemanfaat dan

memberikan kontribusi yang berarti, baik bagi penulis khususnya dan bagi pembaca

umumnya.

Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Jakarta, 6 Juli 2015

Penulis

x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i

PENGESAHAN UJIAN ................................................................................... ii

PERNYATAAN ................................................................................................ iii

PERSEMBAHAN DAN MOTTO ................................................................... iv

ABSTRAK ........................................................................................................ v

ABSTRACT ...................................................................................................... vi

KATA PENGANTAR ...................................................................................... vii

DAFTAR ISI ..................................................................................................... x

DAFTAR TABEL ............................................................................................ xii

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ xiii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang .............................................................................. 1

1.2 Rumusan Masalah ......................................................................... 3

1.3 Batasan Masalah ........................................................................... 3

1.4 Tujuan Penelitian .......................................................................... 3

1.5 Manfaat Penelitian ........................................................................ 4

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Optimisasi ..................................................................................... 5

2.2 Sistem Persamaan Nonlinier ......................................................... 8

2.3 Metode Steepest Descent .............................................................. 9

2.3.1 Fungsi Gradien ..................................................................... 10

xi

BAB III METODE PENELITIAN

3.1 Studi Literatur ................................................................................ 14

3.2 Perilaku Kelelawar ........................................................................ 14

3.3 Ekolokasi Kelelawar ...................................................................... 15

3.4 Karakteristik Bat Algorithm .......................................................... 17

3.5 Gerakan Kelelawar Virtual ............................................................ 19

3.6 Kenyaringan Dan Gelombang Suara Kelelawar ............................ 20

3.7 Benchmark Functions .................................................................... 21

BAB IV PEMBAHASAN

4.1 Sistem Persamaan Nonlinier ......................................................... 24

4.2 Contoh Kasus 1 ............................................................................. 25

4.3 Contoh Kasus 2 ............................................................................. 26

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan ................................................................................... 28

5.2 Saran ............................................................................................. 28

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 30

LAMPIRAN ....................................................................................................... 32

xii

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Perbandingan Hasil Uji dan Nilai Eksak Fungsi Rosenbrock’s ......... 21

Tabel 3.2 Perbandingan Hasil Uji dan Nilai Eksak Fungsi Price 1.................... 22

Tabel 4.1 Nilai Akar-akar Persamaan Yang Dihasilkan Oleh Bat Algorithm

Pada Contoh Kasus 1 ....................................................................... 32

Tabel 4.2 Nilai Akar-akar Persamaan Yang Dihasilkan Oleh Bat Algorithm

Pada Contoh Kasus 2 ........................................................................ 27

xiii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Arah Steepest Descent ................................................................. 12

Gambar 3.1 Flowchart Bat Algorithm ............................................................. 18

Gambar 4.1 Plot Sistem Persamaan Nonlinier 4.3 ........................................... 25

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pada dasarnya setiap permasalahan optimisasi dapat dinyatakan dalam bentuk

persamaan. Namun dalam perkembangannya, tidak semua persamaan dapat

diselesaikan dengan mudah. Persamaan mempunyai bentuk sederhana mungkin dapat

diselesaikan secara analitik, sedangkan permasalahan yang muncul dalam dunia nyata

seringkali nonlinier dengan proses yang relatif lebih rumit, dan akibatnya

penyelesaian secara analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak dapat

diterapkan lagi, maka solusinya masih dapat dicari dengan metode numerik. Metode

numerik adalah metode yang digunakan untuk memformulasikan persoalan

matematik sehinggga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan biasa (tambah,

kurang, kali dan bagi) [1].

Salah satu solusi numerik untuk sistem persamaan nonlinier adalah metode

Steepest Descent yang juga termasuk ke dalam metode optimisasi klasik. Metode

Steepest Descent merupakan metode untuk mencari akar persamaan, hal ini

dikarenakan optimisasi ekivalen dengan mencari akar pada turunan pertama suatu

fungsi [2]. Jadi metode Steepest Descent merupakan prosedur paling mendasar untuk

meminimasikan suatu fungsi yang mempunyai turunan. Namun metode ini memiliki

kekurangan, yaitu tidak bisa menyelesaikan permasalahan optimisasi apabila fungsi

2

tersebut tidak memiliki turunan. Oleh karena itu, dibutuhkan sebuah metode yang

mampu mengatasi permasalahan tersebut.

Dari permasalah optimisasi diatas para peneliti menemukan algoritma optimisasi

yang terinspirasi dari alam, hal ini didasarkan pada kecerdasan berkelompok makhluk

hidup. Misalnya algoritma genetika terinspirasi oleh karakteristik evolusi Darwin,

atau particle swarm optimisation (PSO) didasarkan pada perilaku sekelompok burung

dan ikan [2]. Dan ada algoritma yang di inspirasi dari cara kerja ekolokasi kelelawar

yaitu Bat Algorithm (BA) atau Algoritma Kelelawar [3]. Kemampuan ekolokasi

kelelawar sangat menarik, membuat kelelawar seperti dapat menemukan mangsanya

dan dapat membedakan berbagai jenis serangga ataupun rintangan keadaan gelap

tanpa cahaya sedikitpun.

Bat Algorithm merupakan teknik optimisasi yang didasarkan dari populasi yang

terinspirasi oleh kemampuan ekolokasi kelelawar. Pada awalnya Xin-She Yang

dalam “ A New Metaheuristic Bat-Inspired Algorithm “ menemukan Bat Algorithm

yang terinspirasi oleh kemampuan ekolokasi kelelawar untuk diaplikasikan pada

permasalahan optimisasi. Tujuan tulisan ini adalah untuk mengaplikasikan Bat

Algorithm untuk mencari solusi persamaan nonlinier, dengan judul “ Pencarian

Solusi Pada Permasalahan Sistem Persamaan Nonlinier Menggunakan Metode Bat

Algorithm ”.

3

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah dikemukakan, rumusan masalah dalam

penulisan ini antara lain:

a. Bagaimana hasil uji Benchmark terhadap Bat Algorithm ?

b. Bagaimana aplikasi dari Bat Algorithm pada sistem persamaan nonlinier?

c. Bagaimana nilai akar-akar (solusi) dari sistem persamaan nonlinier

menggunakan Bat Algorithm ?

1.3 Batasan Masalah

Pembatasan masalah pada penulisan ini adalah penulis membahas perilaku

kelelawar berdasarkan kemampuan ekolokasi dan perilaku terkait.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah :

1. Dapat mengetahui hasil uji fungsi Benchmark terhadap Bat Algorithm.

2. Dapat mengaplikasikan Bat Algorithm pada sistem persamaan nonlinier.

3. Dapat menemukan nilai akar-akar dari persamaan nonlinier dengan mengunakan

Bat Algorithm.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini diantaranya adalah

4

1. Dapat mengetahui kelayakan Bat Algoritma dalam mencari solusi sistem

persamaan nonlinier.

2. Dapat mengetahui nilai akar-akar persamaan yang dihasilkan oleh Bat Algorithm

dan membandingkannya dengan nilai solusi numeriknya.

5

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Optimisasi

Permasalahan optimisasi dapat dinyatakan sebagai permasalahan optimisasi

nonlinier dengan kendala, didefinisikan sebagai :

memaksimalkan / meminimalkan.

( ) ( )

Dengan syarat :

( ) ( )

( ) (2.1)

di mana ( ), ( ) dan adalah fungsi skalar dari vektor kolom . Oleh karena

itu komponen dari ( ) disebut variabel desain atau lebih sering

disebut variabel keputusan, dan variabel tersebut bisa kontinu atau diskrit ataupun

keduanya. Vektor sering disebut vektor keputusan yang bervariasi dalam dimensi

pada ruang . Fungsi ( ) disebut fungsi objektif atau fungsi yang akan

dimaksimum atau diminimumkan. Selain itu, ada ( ) yang merupakan kendala

dalam bentuk sejumlah M persamaan, dan ( ) merupakan kendala yang ditulis

dalam sejumlah N pertidaksamaan. sehingga total terdapat sejumlah M + N kendala.

Masalah optimisasi yang dirumuskan di sini adalah permasalan nonlinier dengan

kendala.

6

Ruang yang direntang oleh variabel keputusan disebut ruang pencarian ,

sedangkan ruang yang dibentuk oleh nilai-nilai fungsi objektif disebut ruang solusi.

Perasalahan optimisasi pada dasarnya memetakan domain atau ruang variabel

keputusan ke ruang solusi (atau sumbu real pada umumnya).

Fungsi objektif ( ) dapat berupa linier atau nonlinier. Jika kendala dan

semua linier, maka disebut permasalahan linier dengan kendala. Selanjutnya, ,

dan fungsi objektif ( ) adalah semua linier, maka disebut permasalahan

pemrograman linier. Jika fungsi objektifnya berupa fungsi kuadrat dengan kendala

linier, maka disebut pemrograman kuadratik. Jika semua nilai-nilai variabel

keputusan berupa bilangan bulat, maka jenis pemrograman linier ini disebut integer

programming atau integer linier programming.

Pemrograman linier sangat penting dalam aplikasinya dan telah dipelajari dengan

baik, namun masih belum ada metode umum untuk menyelesaikan pemrograman

nonlinier secara umumnya, meskipun beberapa kemajuan penting telah tercapai

dalam beberapa dekade terakhir. Perlu diingat bahwa kata pemprograman disini

berarti perencanaan, itu tidak ada hubungannya dengan pemrograman pada komputer.

Di sisi lain, jika tidak ada kendala yang dinyatakan sehingga dapat mengambil

nilai dalam sumbu real (atau bilangan bulat), permasalahan optimisasi disebut sebagai

masalah optimisasi tanpa kendala [4].

7

Optimisasi yang paling sederhana tanpa kendala mungkin adalah pencarian dari

nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi. Sebagai contoh, menemukan

maksimum dari fungsi satu variabel ( ) :

( )

adalah merupakan permasalahan dibatasi sederhana. Sementara masalah berikut ini

adalah fungsi dua variabel :

( )

( )

Dengan syarat

Contoh 2.1 :

Mencari minimum dari fungsi objektif ( ) , dengan kondisi stasioner

( ) , maka didapat

( )

( )

Diberikan , maka didapat

( )

atau . Dengan turunan kedua

( ) ( )

Jika dimasukan dengan nilai-nilai diatas, pada , maka

( ) ( ) ( ( ) ( ) )

dan pada , maka

( ) ( ) ( ( ) ( ) )

8

karena ( ) , maka nilai maksimum dari , pada .

Dan ( ) , maka nilai minimum pada saat .

2.2 Sistem Persamaan Nonlinier

Pencarian solusi pada persamaan non linier adalah penentuan akar-akar dari

persamaan nonlinier, dimana akar sebuah persamaan ( ) adalah nilai-nilai

yang menyebabkan ( ) sama dengan nol. Dan akar persamaan ( ) adalah titik

potong antara kurva ( ) dan sumbu X [5].

Persamaan nonlinier yang melibatkan funsi transenden, diantaranya sinus,

cosinus, eksponensial, dan logaritma. Selain itu, persamaan nonlinier juga melibatkan

fungsi non transenden, yaitu persamaan polinomial. Bentuk umum persamaan

polinomial satu variabel dapat didefinisikan sebagai :

Contoh 2.2

Persamaan polinomial :

a. Dengan satu variabel, , ,

b. Dengan dua variabel, dan , .

Sistem persamaan nonlinier adalah kumpulan dari beberapa persamaan nonlinier

yang dicari penyelesaiannya. Dan pencarian solusi sistem persamaan nonlinier

diaplikasikan dalam mencari titik potong antara dua kurva, misalnya kurva parabola

( ) dam kurva elips ( ). Sehingga diperoleh

9

solusi (-0.2, 1) dan (1.9, 0.3) yang memenuhi 2 kurva tersebut [6]. Bentuk umum

sistem persamaan nonlinier dapat didefinisikan sebagai :

( )

[ ( ) ( )

( )]

(2.2)

dimana setiap fungsi dapat memetakan vektor ( ) dari ruang

dimensional ke . Salah satu metode untuk mencari solusi pada sistem persamaan

nonlinier adalah menggunakan metode Steepest Descent.

2.3 Metode Steepest Descent

Metode steepest descent adalah metode untuk menentukan minimum lokal untuk

fungsi multivariabel dari bentuk . Metode optimisasi ini cukup bisa

diandalkan, selain untuk mengatasi permasalahan sistem persamaan nonlinier.

Hubungan antara mencari solusi optimasi minimum dan solusi sistem persamaan

nonlinier adalah disebakan oleh kenyataan bahwa suatu sistem yang didefinisikan

sebagai

( )

( )

( )

(2.3)

memiliki solusi pada ( ) , yaitu ketika fungsi didefinisikan sebagai

10

( ) ∑[ ( )]

( )

dengan nilai minimum 0 [7].

Metode Steepest Descent untuk mencari nilai minimum untuk fungsi dapat

digambarkan secara intuitif sebagai berikut :

1. Mengevaluasi pada perkiraan awal ( ) ( ( )

( )

( )

)

.

2. Menentukan arah dari ( ) yang menghasilkan penurunan pada nilai .

3. Bergerak ke arah yang tepat dan didapat nilai baru ( ).

4. Ulangi langkah 1 sampai 3 dengan ( ) diganti oleh ( ).

2.3.1 Fungsi Gradien

Fungsi dengan variabel tunggal yang terdiferensiasi dapat memiliki nilai minimum

relatif hanya bila turunannya adalah nol. Dalam mengembangkan hasil ini untuk

fungsi multivariabel, kita perlu definisi berikut :

Untuk , gradien dari pada ( ) dinotasikan ( ) dan

didefinisikan sebagai

( ) (

( )

( )

( ))

( )

Gradien untuk fungsi multivariabel dapat disamakan dengan turunan dari fungsi

variabel tunggal dalam arti bahwa fungsi multivariabel terdiferensiasi dapat memiliki

minimum relatif di x hanya ketika gradien di x adalah vektor nol. Gradien memiliki

11

sifat penting lain yang terhubung dengan minimalisasi fungsi multivariabel. Misalkan

v = ( ) adalah vektor satuan dalam dapat didefinisikan sebagai

‖ ‖ ∑

Turunan berarah dari di ke arah mengukur perubahan nilai fungsi relatif

terhadap perubahan variabel dalam arah . Hal ini didefinisikan sebagai

( )

[ ( ) ] ( )

Ketika terdiferensialkan, arah yang menghasilkan nilai maksimum untuk arah

turunan terjadi ketika dipilih untuk menjadi sejajar dengan ( ) , asalkan

( ) . Akibatnya, arah penurunan terbesar nilai pada adalah arah yang

diberikan oleh ( ). Gambar 2.2 adalah ilustrasi ketika adalah fungsi dari dua

variabel.

12

Gambar 2.1 Arah Steepest Descent

Tujuannya adalah untuk mengurangi ( ) untuk nilai minimal nol, sehingga

pilihan yang tepat untuk ( ) adalah untuk menjauh dari ( ) ke arah yang

memberikan penurunan terbesar dalam nilai ( ) . Oleh karena itu, didefinisikan

sebagai

( ) ( ) ( ) untuk konstanta

Masalahnya sekarang adalah mengurangi untuk memilih nilai yang sesuai dari

sehingga ( ( )) akan secara signifikan kurang dari ( ( )).

Dalam menentukan pilihan yang tepat untuk nilai , kita mempertimbangkan

fungsi satu variabel

( ) ( ( ) ( ( )))

Nilai yang meminimalkan adalah nilai yang diperlukan untuk persamaan diatas.

Menemukan nilai minimal untuk secara langsung akan memerlukan

pembedaan dan kemudian memecahkan masalah pencarian akar untuk menentukan

titik-titik kritis . Prosedur ini umumnya terlalu rumit. Sehingga kami memilih tiga

nomor dengan harapan, dekat dengan nilai minimum ( ) yang

terjadi. Kami kemudian membangun kuadrat polinomial ( ) yang dapat

menginterpolasi pada dan .

13

Kami mendefinisikan ̂ pada [ ] sehingga ( ̂) adalah minimum di [ ]

dan menggunakan ( ̂) untuk memperkirakan nilai minimum ( ) . Kemudian ̂

digunakan untuk menentukan iterasi baru untuk mendekati nilai minimal :

( ) ( ) ̂ ( ( ))

Karena ( ( )) ada untuk meminimalkan perhitungan pertama kita memilih .

Berikutnya ditemukan dengan ( ) ( ). (Karena tidak meminimumkan

, maka memang ada.) Akhirnya, yang dipilih sebagai .

14

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

Secara umum metodologi penelitian yang akan dilakukan adalah studi literatur

dengan mempelajari buku dan artikel terkait dan kemudian melakukan simulasi

menggunakan software Matlab. Sebelum melakukan simulasi akan dibahas mengenai

perilaku kelelawar dan karakteristik dari kemampuan ekolokasi kelelawar, yang

menjadi inspirasi dari Bat Algorithm.

3.1 Studi Literatur

Tahap pertama yang dilakukan penulis adalah mempelajari teori dasar seperti :

persamaan nonlinier, sistem persamaan nonlinier, solusi numerik untuk sistem

persamaan nonlinier menggunakan metode steepest descent untuk mencari akar pada

turunan pertama suatu fungsi. Setelah memahami teori dasar, penulis akan mengkaji

lebih dalam tentang Bat Algorithm untuk mencari solusi sistem persamaan nonlinier.

Artikel utama yang dikaji adalah artikel Xin-She Yang [3] dan artikel Muhaza

Liebenlito [10].

3.2 Perilaku Kelelawar

Kelelawar merupakan hewan yang menarik, karena kelelawar merupakan satu-

satunya mamalia yang memiliki sayap, serta memiliki kemampuan canggih yang

disebut ekolokasi. Diperkirakan ada sekitar 996 spesies berbeda, yang mencangkup

15

hingga 20% dari semua spesies mamalia [8]. Ukuran mereka berkisar dari kelelawar

kecil dengan berat sekitar 1,5 gr sampai 2 gr, sedangkan kelelawar besar dengan lebar

sayap 2 m dan berat 1 kg. Kelelawar kecil biasanya memiliki panjang lengan antara

2,2 cm sampai 11 cm. Kebanyakan kelelawar menggunakan ekolokasi pada tingkat

tertentu, diantara semua spesies kelelawar, kelelawar kecil merupakan yang paling

sering menggunakan ekolokasi ekstensif sementara kelelawar besar tidak. Manfaat

ekolokasi pada kelelawar antara lain berguna untuk mendeteksi mangsa, menghindari

rintangan, dan menemukan celah- celah dalam keadaan gelap tanpa cahaya

sedikitpun. Prinsip kerja ekolokasi kelelawar adalah dengan memancarkan frekuensi

suara yang sangat keras dan mendengarkan gema yang memantul kembali dari objek

disekitarnya. Frekuensi yang dipancarkan bisa bervariasi dalam sifat dan dapat

dikorelasikan dengan strategi berburu mereka, tergantung pada spesies kelelawar

tersebut. Kebanyakan kelelawar menggunakan gelombang pendek dan menggunakan

frekuensi konstan untuk sinyal ekolokasi.

3.3 Ekolokasi Kelelawar

Meskipun setiap frekuensi suara yang dipancarkan oleh kelelawar hanya

berlangsung sangat singkat yaitu sekitar seperseribu detik, namun ia memiliki

frekuensi konstan diantara 25 kHz sampai 150 kHz. Kisaran frekuensi untuk sebagian

besar spesies kelelawar biasanya memang berada diantara 25 kHz dan 100 kHz, akan

tetapi beberapa spesies kelelawar dapat memancarkan frekuensi yang lebih tinggi

hingga mencapai 150 kHz. Setiap suara yang dipancarkan oleh kelelawar hanya

16

berlangsung antara 5 sampai 20 ms, dan kelelawar kecil dapat memancarkan sekitar

10 sampai 20 gelombang suara tersebut setiap detiknya. Namun ketika berburu

tingkat gelombang suara yang dipancarkan dapat melesat hingga sekitar 200

gelombang suara per detik ketika mereka terbang di dekat mangsanya. Gelombang

suara tersebut menyiratkan kemampuan fantastis kekuatan pemprosesan sinyal

kelelawar. Bahkan, studi menunjukkan waktu integrasi telinga kelelawar biasanya

sekitar 300 hingga 400 mikro detik.

Sebagai kecepatan suara di udara biasanya , panjang gelombang

dari gelombang suara ultrasonik dengan frekuensi konstan didefinisikan sebagai :

dengan kisaran antara 2mm sampai 14mm, dan untuk rentang frekuensi antara 25

kHz sampai 150 kHz.

Memang beberapa kelelawar memiliki penglihatan yang baik, dan sebagian besar

kelelawar juga memiliki indra penciuman yang sangat sensitif. Pada kenyataannya,

mereka akan menggunakan semua indra sebagai kombinasi untuk memaksimalkan

deteksi efisien navigasi mangsa dan lebih tenang. Namun, di sini kita hanya tertarik

pada ekolokasi dan perilaku yang terkait. Dari perilaku ekolokasi kelelawar dapat

dirumuskan sehingga dapat dikaitkan dengan fungsi tujuan yang akan dioptimalkan,

dan ini memungkinkan untuk merumuskan algoritma optimasi.

17

3.4 Karakteristik Bat Algorithm

Bat Algorithm adalah algoritma optimasi berdasarkan dari perilaku ekolokasi

kelelawar. Dari beberapa karakteristik ekolokasi kelelawar, dapat dikembangkan

menjadi algoritma kelelawar. Untuk menyederhanakan perilaku dari kelelawar ,maka

aturan dari perilaku kelelawar dapat diasumsikan sebagai berikut [3]:

1. Semua kelelawar menggunakan ekolokasi untuk merasakan jarak, dan mereka

juga mengetahui perbedaan antara makanan / mangsa dan keadaan sekitar.

2. Kelelawar terbang secara acak dengan kecepatan dan pada posisi dengan

frekuensi tetap, panjang gelombang dan kenyaringan untuk mencari

mangsa. Mereka secara otomatis dapat menyesuaikan panjang gelombang (atau

frekuensi) suara yang mereka pancarkan dan menyesuaikan tingkat emisi pulse

, tergantung pada jarak target mereka.

3. Meskipun kenyaringan dapat bervariasi dalam berbagai hal, kita asumsikan

bahwa kenyaringan bervariasi dari besar (positif) ke nilai konstan minimum

.

Selain asumsi sederhana diatas, dapat juga digunakan penyesuaian untuk lebih

kesederhanaannya. Secara umum frekuensi berada dalam range , dan

panjang gelombang menyesuaikan dalam range . Misalnya frekuensi

berada pada kisaran [20kHz, 500kHz], maka panjang gelombangnya antara 0.7 mm

sampai 17 mm.

18

Berdasarkan aturan dari perilaku kelelawar diatas, langkah-langkah dasar dari

Bat Algorithm dapat dilihat pada gambar 3.1 .

Gambar 3.1 Flowchart Bat Algorithm

dan ( ) f(

Selesai

Inisialisasi populasi , &

Definiskan pulse frekuensi ( pada ), max iterasi

max iterasi

Membangkitkan solusi baru

Pilih sebagai solusi terbaik dan Membangkitkan solusi di sekitar

Pilih sebagai solusi baru

Menemukan solusi terbaik

Mulai

Fungsi

19

3.5 Gerakan Kelelawar Virtual

Dalam simulasi Bat Algorithm ini digunakan kelelawar virtual. Serta harus

menentukan aturan bagaimana posisi dan kecepatan dalam ruang pencarian

dimensi . Solusi baru adalah posisi kelelawar ke pada iterasi ke dan kecepatan

kecepatan kelelawar ke pada iterasi ke , dapat didefinisikan sebagai berikut :

(3.2)

(3.3)

(3.4)

dimana β [0, 1] adalah vektor acak yang diambil dari distribusi uniform. Berikut

adalah solusi terbaik global yang didapat setelah membandingkan semua solusi di

antara semua kelelawar . Dalam pelaksanaannya, kami menggunakan dan

. Pada awalnya, setiap kelelawar disebar secara acak dengan frekuensi

yang diambil dari distribusi uniform [ , ].

Pada bagian pencarian lokal, setelah solusi yang dipilih dengan cara

membandingkan di antara solusi terbaik pada saat , maka solusi baru untuk setiap

kelelawar yang dihasilkan secara local menggunakan random walk, didefinisikan

sebagai

(3.5)

dimana [-1, 1] adalah bilangan random, sedangkan adalah kenyaringan

rata-rata dari semua kelelawar pada waktu . Jadi update dari kecepatan dan posisi

20

kelelawar dipengaruhi oleh kenyaringan dan gelonbang suara pada setiap

iterasinya

.

3.6 Kenyaringan Dan Gelombang Suara Kelelawar

Pada prosesnya kenyaringan dan tingkat gelombang suara harus diperbarui

sesuai dengan iterasinya. Kenyaringan suara kelelawar biasanya akan berkurang

setelah kelelawar telah menemukan mangsanya, sedangkan tingkat gelombang suara

meningkat, kenyaringan dapat dipilih sebagai setiap nilai kenyamanan. Misalnya

menggunakan dan . Untuk mempermudah juga bisa

menggunakan dan , dengan asumsi bahwa berarti

kelelawar baru saja menemukan mangsa dan untuk sementara berhenti memancarkan

suara. Maka dapat didefinisikan sebagai

(3.6)

dimana dan adalah konstanta. Untuk setiap dan , maka dapat

didefinisikan

(3.7)

Dalam kasus kesederhanaan, kita dapat menggunakan , dan kami

menggunakan dalam simulasi. Pilihan parameter memerlukan beberapa

percobaan. Awalnya, setiap kelelawar harus memiliki nilai yang berbeda dari

kenyaringan dan tingkat gelombang suara, dan ini dapat dicapai dengan melakukan

pengacakan. Misalnya, kenyaringan awal biasanya bisa [1, 2], sedangkan tingkat

21

gelombang suara awal dapat nol, atau nilai

jika menggunakan

persamaan (3.6). Tingkat kenyaringan dan tingkat gelombang suara mereka akan

diperbarui hanya jika solusi baru ditingkatkan, yang berarti bahwa kelelawar ini

bergerak menuju solusi optimal.

3.7 Benchmark Functions

Berdasarkan flowchart Bat Algorithm dapat diaplikasikan kedalam bahasa

pemprograman. Ada beberapa fungsi test standar untuk memvalidasi suatu algoritma

yang disebut dengan Benchmark Functions, diantaranya fungsi Rosenbrocks dan

fungsi Price 1 [9]. Untuk mempermudah, penerapkan fungsi test Rosenbrocks dan

Price 1 menggunakan software Matlab.

Tabel 3.1 Perbandingan Hasil Uji dan Nilai Eksak Fungsi Rosenbrock’s

Hasil Uji Test Nilai eksak

1 1

1 1

2.9672E-10 0

Tabel 3.1 merupakan hasil simulasi perhitungan algoritma bat, dengan fungsi Rosenbrock

pada Matlab.

∑

22

Menggunkan parameter loudness dan pulse , dengan domain

dan frekuensi untuk setiap . Fungsi Rosenbrock diatas menggunakan

200 bat virual ( ) dan perulangan sebanyak 1000 kali. Dari 200 virtual bat yang

bergerak secara random dengan batasan yang telah ditentukan, dapat dilihat bahwa virtual bat

tersebut bertemu pada titik optimum global (nilai best ) = (1,1) dan mendapatkan hasil

pada d=2.

function z=Fun(u)

% Rosenbrock function with fmin=0 at (1,1,...,1)

d=length(u);

sum=0;

for j=1:(d-1);

new=(100*(((u(j+1))-(u(j))^2)^2))+(((u(j))-1)^2);

sum=sum+new;

end

z=sum;

Tabel 3.2 Perbandingan Hasil Uji dan Nilai Eksak Fungsi Price 1

Hasil Uji Test Nilai eksak

5 atau -5 5 atau -5

5 atau -5 5 atau -5

1.1943E-11 0

Tabel 3.2 merupakan hasil simulasi perhitungan algoritma bat, dengan fungsi Price 1 pada

Matlab.

23

| | | | (3.9)

Menggunkan parameter loudness dan pulse , dengan domain

dan frekuensi untuk setiap . Fungsi Price 1 diatas menggunakan 200

bat virual ( ) dan perulangan sebanyak 1000 kali, untuk d=2. Dari banyaknya

virtual bat yang bergerak secara random dengan batasan yang telah ditentukan, dapat dilihat

bahwa virtual bat tersebut bertemu pada titik optimum global (nilai best ) = (5,-5), (-5,5) dan

dan yang mendekati 0.

function z=Fun(xx)

% Price 1 function with fmin=0 at x*={-5.-5},{-5.5},{5.-5},{5.5}

x1=xx(1);

x2=xx(2);

sum=((abs(xx(1)))-5)^2+((abs(xx(2)))-5)^2;

z=sum;

Dengan demikian berdasarkan hasil test fungsi Rosenbrocks dan Price 1, terlihat

bahwa nilai eksak memiliki nilai yang hampir sama dengan hasil uji coba dengan Bat

Algorithm. Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa Bat Algorithm memiliki kinerja

yang baik dan dapat digunakan dalam mencari solusi optimal.

24

BAB IV

APLIKASI BAT ALGORITHM PADA SISTEM PERSAMAAN NONLINIER

Pada bab ini akan dibahas mengenai penerapan Bat Algorithm yang

dimodifikasikan dengan metode Steepest Descent untuk menyelesaikan contoh kasus

sistem persamaan nonlinier. Langkah awal adalah merubah sistem persamaan

nonlinier menjadi permasalahan optimisasi.

4.1 Sistem Persamaan Nonlinier

Sistem persamaan nonlinier dapat didefinisikan sebagai :

( )

[ ( ) ( )

( )]

(4.1)

dimana setiap fungsi dapat memetakan vektor ( ) dari ruang

dimensional ke . Permasalahan mencari akar-akar dari suatu sistem persamaan

nonlinier dapat diubah ke dalam permasalahan optimasi. Agar dapat menggunakan

metode optimasi, persamaan (4.1) dapat diubah menjadi fungsi kuadratik dan untuk

menyelesaikan sistem persamaan nonlinier sama dengan meminimalkan fungsi. Maka

dapat didefinisikan sebagai :

( ) ∑( ( ))

( ) [ ) ( )

25

Untuk menyelesaikan persamaan diatas (4.2) digunakan Bat Algorithm (BA)

dengan parameter : , , dan .

4.2 Contoh Kasus 1

Misal sistem persamaan nonlinier :

( ) [

] ( )

dengan dan . Dari sistem persamaan (4.3) akan dicari solusi

dari sistem persamaan tersebut yaitu titik potong antara kedua kurva yang dihasilkan.

Hasil plot dari persamaan (4.3) dapat dilihat pada gambar 4.1. Berdasarkan gambar

tersebut terlihat bahwa terdapat 4 titik perpotongan yang merupakan nilai akar-akar

persamaan (4.3). Untuk mencari nilai akar-akar dari kasus ini menggunakan (4.2).

Gambar 4.1 Plot Sistem Persamaan Nonlinier 4.3.

26

Nilai akar-akar yang dihasilakan oleh Bat Algorithm dengan melakukan 30 kali

percobaan pada metode (4.2) dapat dilihat pada tabel 4.1. Dengan demikian nilai

akar-akar persamaan (4.3) adalah {(0.517638, 1.931852), (1.931852, 0.517638), (-

0.517638, -1.931852), (-1.931852, -0.517638)}.

4.3 Contoh Kasus 2

Diberikan sistem persamaan nonlinier :

( ) [

( )

( )

] (4.4)

dengan . Dari sistem persamaan (4.4) akan dicari solusi dari

sistem persamaan tersebut yaitu titik potong antara ketiga kurva yang dihasilkan.

Pada persamaan (4.4) terdapat 1 titik perpotongan yang merupakan nilai akar-

akarnya. Untuk mencari akar-akar tersebut menggunakan persamaan (4.2) dilakukan

iterasi sebanyak 1000. Nilai akar-akar yang dihasilkan oleh Bat Algorithm dengan

melakukan 10 kali percobaan dapat dilihat pada tabel 4.2.

27

Tabel 4.2 Nilai akar-akar persamaan yang dihasilkan oleh BA pada contoh kasus 2.

Percobaan t

F(x1, x2, x3)

1 0.4981 -0.1996 -0.5288 2.7921E-09

2 0.4981 -0.1996 -0.5288 1.8373E-07

3 0.4981 -0.1996 -0.5288 8.1285E-08

4 0.4981 -0.1996 -0.5288 1.0846E-07

5 0.5001 0 -0.5236 3.0502E-07

6 0.5002 0 -0.5236 3.6432E-07

7 0.4983 -0.1996 -0.5288 1.4155E-07

8 0.4982 -0.1996 -0.5288 7.3036E-08

9 0.4983 -0.1996 -0.5288 1.9187E-07

10 0.5001 0 -0.5236 1.518E-08

Berdasarkan nilai akar-akar persamaan pada tabel 4.2 yang dihasilkan oleh Bat

Algorithm akan dibandingkan dengan solusi numerik yang dihasilakan oleh metode

steepest descent. Dimana solusi numerik untuk persamaan (4.4) adalah (0.5 , 0 , -

0,5235988) [7], dengan ( ) . Sedangkan solusi yang

dihasilkan oleh Bat Algorithm adalah (0.4981, -0.1996, -0.5288) dengan

( ) . Dari hasil tersebut menunjukan bahwa kedua solusi

sama-sama mendekati nol (0) dengan eror sangat kecil dan Bat Algorithm lebih baik

karena menghasilkan error yang lebih kecil.

28

BAB V

KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan

Kesimpulan yang dapat diambil berdasarkan bab sebelumnya adalah sebagai

berikut :

1. Dari hasil uji funsi Rosenbrock dan fungsi Price 1 dapat disimpulkan bahwa

Bat Algoritma dapat digunakan dalam mencari solusi optimum.

2. Metode pencarian solusi sistem persamaan nonlinier dapat menggunakan

metode Bat Algorithm.

3. Pada contoh kasus 1, nilai akar-akar yang dihasilkan oleh Bat Agorithm

dengan melakukan 30 kali percobaan adalah {(0.517638, 1.931852),

(1.931852, 0.517638), (-0.517638, -1.931852), (-1.931852, -0.517638)}.

4. Pada contoh kasus 2, nilai akar-akar yang dihasilkan oleh Bat Algorithm

adalah ( , , ) = (0.4981 , -0.1996 , -0.5288)

5.2 Saran

Dalam penelitian ini, peneliti hanya melakukan analisis penentuan solusi

untuk mendapatkan akar-akar dari persamaan nonlinier dengan metode Bat

Algorithm. Oleh sebab itu, penulis mempunyai saran untuk peneliti lain yang juga

tertarik dengan materi ini:

29

1. Pada penelitian selanjutnya, dapat mengaplikasikan metode Bat Algorithm dalam

masalah sehari-hari seperti pencarian jalur terpendek, dan lain-lain.

2. Penelitian ini dapat dilanjutkan kembali untuk mencari solusi dari akar-akar

persamaan nonlinier dengan variabel yang lebih bnayak.

30

DAFTAR PUSTAKA

[1] Munir, Rinaldi. 2008, Metode Numerik, Bandung: Informatika.

[2] Yang, Xin – She. 2010, Engineering Optimization An Introduction with

Metaheuristic Applications, United Kingdom: University of Cambridge.

[3] Yang, Xin – She. 2010, A New Metaheuristic Bat Inspired Algorithm, University

of Cambridge : Department of Engineering.

[4] Yang, Xin – She. 2008, Introduction to Mathematical Optimization, United

Kingdom: University of Cambridge.

[5] Soelaiman, Rully. and Chasiani, Nur. Penerapan Optimasi Chaos dan Metode

BFGS (Broyden, Fletcher, Goldfarb, and Shanno) Pada Penyelesaian

Permasalahan Sistem Persamaan Nonlinier, Surabaya : Institut Teknologi

Sepuluh November, Fakultas Teknologi Informasi.

[6] Marta Devi, Faradila. 2011, Penyelesaian Sistem Persamaan Nonlinier Dengan

Metode Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield, Jakarta: Universitas Islam Negeri.

[7] Burden, Richard L. Faires, J Douglas. 2010, Numerical Analysis, Ninth Edition, .

[8] Altringhan, J. D. 1996, Bats : Biology and Behavior, Oxford University Press.

[9] Jamil, Momin. Yang, Xin – She. 2013, A Literature Survey of Benchmark

Functions For Global Optimization Problem, Sweden : Blekinge Institute of

Technology SE-37179, Karlskrona.

31

[10] Liebenlito, Muhaza. 2014, Pencarian Akar-akar Sistem Persamaan Nonlinier

Dengan Firefly Algorithm, Jakarta :

32

Lampiran

Tabel 4.1 Nilai akar-akar persamaan yang dihasilkan oleh BA pada contoh kasus 1.

Percobaan x y F(x,y)

1 0,517638 1,931852 1,9037E-10

2 -1,931852 -0,517638 1,0681E-10

3 -0,517638 -1,931852 2,6354E-10

4 -0,517638 -1,931852 6,1013E-10

5 -1,931852 -0,517638 5,8368E-11

6 1,931852 0,517638 4,6018E-06

7 1,931852 0,517638 2,9347E-10

8 1,931852 0,517638 2,8414E-10

9 0,517638 1,931852 2,3093E-11

10 0,517638 1,931852 2,9303E-11

11 0,517638 1,931852 2,4338E-10

12 -1,931852 -0,517638 2,2361E-11

13 -1,931852 -0,517638 1,4437E-10

14 0,517638 1,931852 1,5504E-10

15 -1,931852 -0,517638 2,2794E-11

16 0,517638 1,931852 3,6941E-10

17 0,517638 1,931852 1,8827E-10

18 0,517638 1,931852 2,1418E-10

19 -1,931852 -0,517638 1,9838E-11

20 1,931852 0,517638 2,8969E-10

21 -1,931852 -0,517638 6,7118E-11

22 -0,517638 -1,931852 5,8826E-11

23 0,517638 1,931852 1,3939E-10

24 -0,517638 -1,931852 2,6172E-10

25 1,931852 0,517638 1,2647E-10

26 -0,517638 -1,931852 2,2305E-10

27 -1,931852 -0,517638 5,1517E-10

28 -1,931852 -0,517638 4,605E-11

29 -1,931852 -0,517638 6,1025E-11

30 0,517638 1,931852 4,7372E-11

33

Kode Komputasi Software Matlab 2010 untuk Bat Algorithm.

% Main programs starts here function [best,fmin,N_iter]=bat_algorithm(para)

% Default parameters if nargin<1, para=[80 1000 0.5 0.5]; end n=para(1); % Population size, typically 10 to 40 N_gen=para(2); % Number of generations A=para(3); % Loudness (constant or decreasing) r=para(4); % Pulse rate (constant or decreasing) % This frequency range determines the scalings % You should change these values if necessary Qmin=0; % Frequency minimum Qmax=100; % Frequency maximum % Iteration parameters N_iter=0; % Total number of function evaluations % Dimension of the search variables d=3; % Number of dimensions % Lower limit/bounds/ a vector Lb=-1*ones(1,d); % Upper limit/bounds/ a vector Ub=1*ones(1,d); % Initializing arrays Q=zeros(n,1); % Frequency v=zeros(n,d); % Velocities % Initialize the population/solutions for i=1:n, Sol(i,:)=Lb+(Ub-Lb).*rand(1,d); Fitness(i)=Fun(Sol(i,:)); end % Find the initial best solution [fmin,I]=min(Fitness); best=Sol(I,:);

% Start the iterations -- Bat Algorithm (essential part) % for t=1:N_gen, %while fmin <= 0, % Loop over all bats/solutions for i=1:n, Q(i)=Qmin+(Qmin-Qmax)*rand; v(i,:)=v(i,:)+(Sol(i,:)-best)*Q(i); S(i,:)=Sol(i,:)+v(i,:); % Apply simple bounds/limits Sol(i,:)=simplebounds(Sol(i,:),Lb,Ub); % Pulse rate if rand>r % The factor 0.001 limits the step sizes of random walks S(i,:)=best+0.001*randn(1,d); end

% Evaluate new solutions Fnew=Fun(S(i,:)); % Update if the solution improves, or not too loud if (Fnew<=Fitness(i)) & (rand<A) , Sol(i,:)=S(i,:); Fitness(i)=Fnew; end

34

% Update the current best solution if Fnew<=fmin, best=S(i,:); fmin=Fnew; end end A=A*0.9; r=r*(1-exp(-0.9*t)); N_iter=N_iter+n; end % Output/display % disp(['Number of evaluations: ',num2str(N_iter)]); disp(['Best =',num2str(best),' fmin=',num2str(fmin)]);

% Application of simple limits/bounds function s=simplebounds(s,Lb,Ub) % Apply the lower bound vector ns_tmp=s; I=ns_tmp<Lb; ns_tmp(I)=Lb(I);

% Apply the upper bound vector J=ns_tmp>Ub; ns_tmp(J)=Ub(J); % Update this new move s=ns_tmp;