PEMBUKTIAN TEOREMA PYTHAGORAS DARI EUCLID

Pandang segitiga siku-siku ABC, dengan C sudut siku-siku. Tarik garis dari titik C sejajar AP atau BQ sehingga memotong AB di D dan PQ di E, maka jika BC = a dan AC = b dapat ditunjukkan bahwa:Luas BDEQ = a2 dan Luas ADEP = b2ABCDEQPTUMNLSKR

Apa yang menarik dari pembuktian Pyhagoras di atas? Ternyata kita dapat menentukan dua partisi persegi berbentuk persegipanjang pada hipotenusa, yang masing-masing luasnya sama dengan luas persegi pada sisi-sisi penyiku dari segitiga siku-siku yang diberikan.Jika kita dapat membuktikan bahwa luas BDEQ = a2 dan luas ADEP = b2 maka diperoleh :a2 + b2 = luas BDEQ + luas ADEP

= luas ABQP

= c2Sekarang, bagaimana membuktikan bahwa luas BDEQ = dan luas ADEP = ? Ada banyak cara untuk membuktikannya, beberapa di antaranya diberikan di bawah ini(1) Bukti IPerhatikan gambar di bawah ini.

ACB(i)(ii)xabc

Berdasarkan kesebangunan segitiga maka diperoleh : Sehingga diperoleh : Dengan demikian luas (i) = Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan luas (ii) = Sehingga luas = luas (i) + Luas (ii) =

(2) Bukti IIABCDEQPTUMNLSKR

Selain secara aljabar di atas, bukti serupa di atas dapat dilakukan menggunakan prinsip kesamaan luas bangun, sehingga tampak seperti pergeseran bayangan (transformasi bangun datar), seperti gambar di bawah ini. Bukti bayangan di atas, menggunaakan perubahan bentuk bangun datar karena strain (peregangan) dan translasi yang keduanya tidak mengubah luas bangun datar. Berturut-turut perubahan yang terjadi adalah strain-translasi-strain.(3) Bukti III

Gbr. 1 Gbr. 2 Gbr. 3 Gbr. 4Translasi/RefleksiStrainStrain

Bukti pada gambar di atas, mirip dengan bukti sebelumnya, namun tanpa bantuan gambar tambahan selain ke-3 persegi dan segitiga siku-sikunya. Selain itu, transformasi yang terjadi berturut-turut strain-strain-translasi/refleksi.Perhatikan bahwa jajargenjang pada gambar ke-2 sama luasnya dengan persegipanjang yang bersesuaian pada gambar ke-1. Lalu, persegi pada gambar ke-3 sama luasnya dengan jajargenjang yang bersesuaian pada gambar ke-2. Terakhir persegi pada gambar ke-4 sama luasnya dengan persegi yang bersesuaian pada gambar ke-3. Ini dikarenakan transformasi strain, translasi, dan refleksi tidak mengubah luas bangun datar. Pembuktian yang lebih sederhana dapat pula dengan menunjukkan luas yang sama lewat rumus luas bangun datar persegipanjang, jajargenjang, dan persegi. Misalnya, alas a pada jajargenjang sama dengan panjang p pada persegipanjang, serta tinggi t pada jajargenjang sama dengan lebar l pada persegipanjang, sehingga luas kedua bangun sama.

(4) Bukti IVPerhatikan gambar di bawah ini.ABCDEQPTUR

Karena alas dan tingginya sama, maka :Luas segitiga BCQ = Luas persegipanjang BDEQ.Dengan teorema S-Sd-S, dapat ditunjukkan bahwa segitiga BCQ kongruen dengan segitiga BRA, sehinggaLuas segitiga BRA = luas segitiga BCQSelanjutnya dengan alas dan tinggi yang sama, makaLuas segitiga BRA = Persegi SCBRJadi, Luas persegipanjang BDEQ = Persegi SCBR , atauLuas persegipanjang BDEQ = Luas persegi SCBR .... (i) Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa:Luas persegipanjang DAPE = Luas persegi ACTU .... (ii) Dari (i) dan (ii), diperoleh :Luas persegi SCBR + luas persegi ACTU = Luas BDEQ + luas DAPE + = luas persegi BAPQ