PEMBUKTIAN

Rumus integral

reduksi

Penyusun:

MATEMATIKA

CERIA

Pembuktian rumus integral reduksi Om Wendi

Page 1

Jangan Takut Jatuh Cinta dengan Matematika | www.wendiferdintania.wordpress.com

Rumus-rumus Integral Reduksi:

1) 1 21 1sin . sin .cos sin .n n n

nx dx x x x dx

n n

2) 1 21 1cos . cos .sin cos .n n n

nx dx x x x dx

n n

3) 2 21 2cosec . cosec .cotg cosec .

1 1

nn nnx dx x x x dx

n n

4) 2 21 2sec . sec .tan sec .

1 1

n n nnx dx x x x dxn n

5) 1 21cotg . cotg cotg .

1

n n nx dx x x dxn

6) 1 21tan . tan tan .

1

n n nx dx x x dxn

Pembuktian Rumus Integral Reduksi:

1) 1 21 1sin . sin .cos sin .n n n

nx dx x x x dx

n n

Bukti:

1sin . sin .sin .n nx dx x x dx

1sin . sin . cosn nx dx x d x

1 1sin . sin cos cos . sinn n nx dx x x x d x

1 11sin . sin .cos cos . 1 sin . sin

nn nx dx x x x n x d x

1 2sin . sin .cos 1 cos .sin .cos .n n nx dx x x n x x x dx

Pembuktian rumus integral reduksi Om Wendi

Page 2

Jangan Takut Jatuh Cinta dengan Matematika | www.wendiferdintania.wordpress.com

1 2 2sin . sin .cos 1 sin .cos .n n nx dx x x n x x dx

1 2 2sin . sin .cos 1 sin . 1 sin .n n nx dx x x n x x dx

1 2sin . sin .cos 1 sin . 1 sin .n n n nx dx x x n x dx n x dx

1 2sin . 1 sin . sin .cos 1 sin .n n n nx dx n x dx x x n x dx

1 21 1 sin . sin .cos 1 sin .n n nn x dx x x n x dx

1 2sin . sin .cos 1 sin .n n nn x dx x x n x dx

1 21 1sin . sin .cos sin .n n nn

x dx x x x dxn n

Terbukti bahwa: 1 21 1sin . sin .cos sin .n n n

nx dx x x x dx

n n

2) 1 21 1cos . cos .sin cos .n n n

nx dx x x x dx

n n

Bukti:

1cos . cos .cos .n nx dx x x dx

1cos . cos . sinn nx dx x d x

1 1cos . cos .sin sin . cosn n nx dx x x x d x

1 11cos . cos .sin sin . 1 cos . cos

nn nx dx x x x n x d x

1 2cos . cos .sin 1 sin .cos . sin .n n nx dx x x n x x x dx

1 2 2cos . cos .sin 1 cos .sin .n n nx dx x x n x x dx

1 2 2cos . cos .sin 1 cos . 1 cos .n n nx dx x x n x x dx

Pembuktian rumus integral reduksi Om Wendi

Page 3

Jangan Takut Jatuh Cinta dengan Matematika | www.wendiferdintania.wordpress.com

1 2cos . cos .sin 1 cos . 1 cos .n n n nx dx x x n x dx n x dx

1 2cos . 1 cos . cos .sin 1 cos .n n n nx dx n x dx x x n x dx

1 21 1 cos . cos .sin 1 cos .n n nn x dx x x n x dx

1 2cos . cos .sin 1 cos .n n nn x dx x x n x dx

1 21 1cos . cos .sin cos .n n nn

x dx x x x dxn n

Terbukti bahwa: 1 21 1cos . cos .sin cos .n n n

nx dx x x x dx

n n

3) 2 21 2cosec . cosec .cotg cosec .

1 1

nn nnx dx x x x dx

n n

Bukti:

2 2cosec . cosec .cosec .n nx dx x x dx

2cosec . cosec . cotgn nx dx x d x

2 2cosec . cosec cotg cotg . cosecn n nx dx x x x d x

2 12cosec . cosec .cotg cotg . 2 cosec . cosec

nn nx dx x x x n x d x

2 3cosec . cosec .cotg 2 cotg .cosec . -cosec .cotg .n n nx dx x x n x x x x dx

2 2 2cosec . cosec .cotg 2 cosec .cotg .n n nx dx x x n x x dx

2 2 2cosec . cosec .cotg 2 cosec . cosec 1 .n n nx dx x x n x x dx

2 2cosec . cosec .cotg 2 cosec . + 2 cosec .n n n nx dx x x n x dx n x dx

2 2cosec . 2 cosec . cosec .cotg 2 cosec .n n n nx dx n x dx x x n x dx

Pembuktian rumus integral reduksi Om Wendi

Page 4

Jangan Takut Jatuh Cinta dengan Matematika | www.wendiferdintania.wordpress.com

2 21 2 cosec . cosec .cotg 2 cosec .n n nn x dx x x n x dx

2 21 cosec . cosec .cotg 2 cosec .n n nn x dx x x n x dx

2 21 2cosec . cosec .cotg cosec .1 1

n n nnx dx x x x dxn n

Terbukti bahwa: 2 21 2cosec . cosec .cotg cosec .

1 1

n n nnx dx x x x dxn n

4) 2 21 2sec . sec .tan sec .

1 1

n n nnx dx x x x dxn n

Bukti:

2 2sec . sec .sec .n nx dx x x dx

2sec . sec . tann nx dx x d x

2 2sec . sec .tan tan . secn n nx dx x x x d x

2 12sec . sec .tan tan . 2 . sec . sec

nn nx dx x x x n x d x

2 3sec . sec .tan 2 tan .sec .sec .tan .n n nx dx x x n x x x x dx

2 2 2sec . sec .tan 2 sec .tan .n n nx dx x x n x x dx

2 2 2sec . sec .tan 2 sec . sec 1 .n n nx dx x x n x x dx

2 2sec . sec .tan 2 sec . 2 sec .n n n nx dx x x n x dx n x dx

2 2sec . 2 sec . sec .tan 2 sec .n n n nx dx n x dx x x n x dx

2 21 2 sec . sec .tan 2 sec .n n nn x dx x x n x dx

2 21 sec . sec .tan 2 sec .n n nn x dx x x n x dx

Pembuktian rumus integral reduksi Om Wendi

Page 5

Jangan Takut Jatuh Cinta dengan Matematika | www.wendiferdintania.wordpress.com

2 21 2sec . sec .tan sec .1 1

n n nnx dx x x x dxn n

Terbukti bahwa: 2 21 2sec . sec .tan sec .

1 1

n n nnx dx x x x dxn n

5) 1 21cotg . cotg cotg .

1

n n nx dx x x dxn

Bukti:

2 2cotg . cotg .cotg .n nx dx x x dx

2 2cotg . cotg . cosec 1 .n nx dx x x dx

2 2 2cotg . cotg .cosec . cotg .n n nx dx x x dx x dx

2 2cotg . cotg . cotg cotg .n n nx dx x d x x dx

2 2cotg . cotg . cotg cotg .n n nx dx x d x x dx

2 1 21cotg . cotg cotg .2 1

n n nx dx x x dxn

1 21cotg . cotg cotg .1

n n nx dx x x dxn

Terbukti bahwa: 1 21cotg . cotg cotg .

1

n n nx dx x x dxn

Pembuktian rumus integral reduksi Om Wendi

Page 6

Jangan Takut Jatuh Cinta dengan Matematika | www.wendiferdintania.wordpress.com

6) 1 21tan . tan tan .

1

n n nx dx x x dxn

Bukti:

2 2tan . tan .tan .n nx dx x x dx

2 2tan . tan . sec 1 .n nx dx x x dx

2 2 2tan . tan .sec . tan .n n nx dx x x dx x dx

2 2tan . tan . tan tan .n n nx dx x d x x dx

2 1 21tan . tan tan .2 1

n n nx dx x x dxn

1 21tan . tan tan .1

n n nx dx x x dxn

Terbukti bahwa: 1 21tan . tan tan .

1

n n nx dx x x dxn