pembuatan program solver analisis distribusi …digilib.batan.go.id/e-prosiding/file...

Prosiding Pertemuan I1miah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007

ISSN 1693-3346

PEMBUATAN PROGRAM SOLVER ANALISIS DISTRIBUSI TEGANGAN

BERBASIS METODA ELEMEN HINGGA (MEH)PADA KOMPONEN STRUKTUR.

Elfrida Saragi I", Utaja 2IpPIN - BAT AN2pRPN - BAT AN

*E-mail: [email protected]

ABSTRAK

PEMBUATAN PROGRAM SOLVER ANALISIS DISTRIBUSI TEGANGAN

BERBASIS METODA ELEMEN HINGGA (MEH) PAD A KOMPONEN

STRUKTUR. Salah satu faktor keselamatan yang ban yak dipertimbangkan saat ini adalah

umur pakai suatu komponen. Setiap komponen struktur yang mendapatkan beban statik

atau berulang (siklik) akan mengalami proses Fatigue (letih). Bila siklus beban ini

dikenakan pad a komponen struktur dalam waktu yang lama akan mengalami creep (proses

melar). Pad a fatigue dan creep, tingkat pembebanan selalu merupakan faktor utama

penyebab kerusakan , patah, dan / atau pecahnya komponen. Sifat elastis sempurna

komponen struktur hanya ada dalam teori. Komponen struktur adalah sebuah objek yang

mendapatkan beban siklik atau beban yang berulang dalam waktu yang lama. Proses

kemelaran atau keletihan suatu komponen struktur salah satunya disebabkan oleh stress.

Untuk menjawab hipotesa ini, Metode Elemen Hingga adalah salah satu metode yang

dapat digunakan untuk memperkirakan distribusi tegangan , disamping alat-alat ukur

berteknologi tinggi di laboratorium. Makalah ini menguraikan tentang pembuatan program

processor / solver untuk distribusi tegangan berbasis metode elemen hingga berdimensi

dua dengan bidang diskritisasi berbentuk elemen segitiga. Penulisan program

menggunakan Visual Basic

Kata kunci: MEH, Processor, Oistribusi Tegangan, Komponen struktur

237

Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007

ISSN 1693-3346

ABSTRACT

STRESS DISTRIBUTIONS ANALYSIS SOLVER DEVELOPMENT BASE ON

THEFINITE ELEMENT METHOD FOR STRUCTURE COMPONENT. One of the

safety factor which is seriusly concider is life time of component. Every structure

component which is bears the cyclic load will come in fatigue. If the cyclic load is

introduced at structure component for long period, the structure component will come in

creep. At fatigue and creep the load intencity is a main factor due to failure, break of a

component. The pure elasticity of a component is a theoritical aspect only. The structure

component is an object which is bears the cyclic a long period. Fatigue and creep is caused

by stress. For prove this hypothesis the finite element method (FEM) is method used for

stress distributions prediction, beside the laboratory high technology equipments. This

paper describes the solver development for stress disrtibutions, base on the finite element

method in two dimensional discritisation which are used the triangular element. The

program is written in Visual Basic Language.

Keywords: FEM,Stress,Structure Component, Visual Basic Language

PENDAHULUAN

PenyeIesaian distribusi tegangan dengan MEH, daerah (benda) yang dianalisis

dibagi-bagi menjadi sejumlah elemen ( diskretisasi geometri) yang berbentuk segitiga

(untuk dua dimensi). Penyelesaian dengan metode elemen hingga melibatkan tiga langkah

yaitu: I. PreProcessor, 2. processor (.wlver), 3. Post processing.

Program processor untuk analisis tegangan adalah satu bagian dari tiga tahap

penyelesaian masalah dengan MEH. Program ini melakukan process perhitungan meliputi

(struktur program) ; 1. Pengambilan file data, 2. Renumbering node, 3. optimasi,

4.Penyusunan matriks bentuk, 5. matrik sifat material, 6. Penyusunan koefisien matrik

kekakuan 7. Pemberian beban, 8. Penyelesaian persamaan linear dengan dekomposisi LU,

9.Penyelesaian distribusi tegangan, 1O. Penulisan hasil dan gambar animasi. Pengambilan

file data yang diperoleh dari program pre-processor yang berisi data material yang

akan disimulasi. Data-data tersebut berupa material properties, data elemen hasil meshing

238


ISSN 1693-3346

berupa koordinat dan nomor node, serta data beban. Data-data terse but diolah program

processor sehingga diperoleh persamaan matriks yang berbentuk

Ka= f (I)

k pada persamaan (1) adalah matriks kekakuan, a adalah matriks untuk variabel yang ingin

disimulasi (pergeseran), dan f adalah matriks beban gaya. Dengan menggunakan metode

dekomposisi LV, matriks a dapat ditentukan. Program processor ini hanya menganalisis

daerah (benda) dibagi-bagi menjadi sejumlah elemen ( diskretisasi geometri) yang

berbentuk elemen segitiga linier untuk dua dimensi.

Model matematik distribusi tegangan

...... 2)

dimana [;

& = L

Ba1I = /,

e

N "r

........ 3)

(/ = N u

.......... 4)

dimana: L = linear operator

Matrik sifat material plane stress = D =

dimana; cr = Tegangan

€ = regangan

a = pergeseran (displacement)

B = matrik fungsi bentuk

E--(I - J.I)

239

...... 5)


ISSN 1693-3346

Penyelesaian akhir persamaan 3 dan 4 dalam bentuk matrik dapat dituliskan sebagai

berikut;

Ke ae = fdimana ; Ke = matrik kekakuan

Matrik beban gaya = f = fEO - fao + fb + fs + fpl

STRUKTUR PROGRAM

........ 6)

....... 6a )

Struktur program processor ini dapat digambarkan seperti gambar berikut ini.

Gambar 1. Struktur program processor untuk analisis distribusi tegangan

III. MODULARISASI PROGRAM

Berdasarkan struktur program pad a gambar I, fungsi yang ada akan

dieksekusi secara berurutan (dari kiri ke kanan). Hasil akhir dari program processor

ini adalah "matriks a" pada persamaan (I). Jika dibuat dalam diagram aktivitas,

tahapan tersebut digambarkan sebagai berikut.

"'._",~I_n..","'1''''n .•.•.•...•_ .•__. h1l"-'~

Gambar 2. Diagram aktifitas untuk program processor

240

Prosiding Pertemuan Ilmiah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong, 20 Nopember 2007

ISSN 1693-3346

ILL Baca file data.

Infonnasi yang terdapat pada file data dikelompokkan berdasarkan data yang saling

terkait. Ada 7 kategori dalam pengelompokan ini. Jumlah Node: berisi infonnasi

jumlah node danjumlah elemen;

a) Data Node: berisi informasi koordinat setiap node

b) Data Material: berisi informasi id material, modulus Young, poisson ratio,

muai jenis, tebal

c) Data Elemen : berisi informasi nom or node ke-ij,k setiap elemen berdasarkan

id elemen

d) Gaya berat : berisi informasi nomor elemen, percepatan kearah X dan Y serta

nomor kurva.

e) Gaya terpusat : berisi informasi Nomor elemen; Gaya kearah X dan Y, nomor

kurva.

t) Gaya tekanan : berisi informasi dua node yaitu node 1 dan node2 yang diantara

keduanya mengalami tekanan.

g) Tumpuan sendi roll: berisi informasi pergeseran kearah X dan Y.

11.2. Menentukan variabel kunci.

Variabel kunci adalah variabel yang diperlukan untuk menyusun matriks

kekakuan (stiffness).

Matriks stiffness yang diperoleh akan simetri dan sparse. Variabel kunci tersebut

diberi nama JSTKO, ISTKQ, JDIAGQ.

Tabel 1. Nama variable pada penentuan variable kuncit--lo. t--l~ TipeScopeF'Un.gsi

1)

....TST.FC("..)1r:Lt.eger-GlouELl---r-JI e:n.yi.. rn.pa..n.ba..o. yea..1-c:n.ya.e1 ern.~ctil'U t.-u.r11it.s-ri

r.:.uago1~'-~t..a.~ sa..r'J"").pa.ie1 ~ ...•.oen. ya..n.. g t:i. eta:k: b e:rn.J.lai.

r-:Lol se~ V'ert..i:k:a.l c:t.i~ j~a.I"1n.ya ada1-.t"J,. :z k:a.1ij 'U.r.-Ua.h a~oCie2)

L:S'"T.JCO I:n.t..egorGlobalI'-JI eonyi rr .•..I-..•a.rJ.b.13.¥}. y-a..krJ.y:a.e1 ern.~di1"'1it.~g.s-ridi.agonal l..1t...a..rY:I.8. ~pa...i

e:1 e::rr:lC:r'). :y'a.%'1 g ti cia k b ern..:i 1a.i1').01

se c::a.ri!ll. 1..•.0 rizo:n.t..A. 1di.~ J1....UTtl~ya acba1ah:2

l-ca.li. Ju- r:r:1..la..h.rJ.O de

3.>

J£>I.A= 0I:n.tegerGloba.1l'V1e:n.yirn..pa..T"ltaLa!e1 ern.~~t.rl1<:11aU rrra.es s",...~..cl.isirr:l-pa:n.

Sa..rr1.pa..ip~dapo 00si 8ic:I.ia &'0 n.a.l•.•t.a•.•.••••d.1~ )U-:I"~cU~Y'8. a~e.h.:2 1<:a.1iju..rrIJ.aI"1 n.ode

241


ISSN 1693-3346

Penentuan variabel kunci berdasarkan diskritisasi bidang menjadi sejumlah elemen.

Pad a penelitian ini bent uk elemen yang didiskritisasi adalah elemen segitiga seperti

gambar di bawah ini:

Gambar 3: Bentuk geometri denganjumlah node dan elemen sebanyak 12 buah

rum us variabel kunci (JSTK, ISTK, JDIAG) adalah 2 kali jumlah node dengan

rum us berikut;

I. Variabel kunci JSTK dan ISTK

a. Untuk yang Ganjil

JSI = 2 * (Nomor_NODE_ pertama(l%) - Nomor_NODE_ dituju(l%)) + 1

JSTK(2 * Nomor_NODE_dituju(l%) - I) = JSI

ISTK(2 * Nomor_NODE_dituju(I%) - I) = JS2

b. Genap

JS2 = 2 * (Nomor_NODE_pertama(I%) - Nomor_NODE_dituju(I%)) + 2

JSTK(2 * Nomor_NODE_pertama(I%)) = JS2

ISTK(2 * Nomor_NODE_dituju(l%)) = JS I

II. Variabel kunci JDIAG

JDIAG(I%) = JDIAG(I% - I) + JSTK(I%)

Dimana; 1% adalah dimulai dari 1 Sampai dengan 2* jumlah Node

11.3. Menentukan matriks kekakuan (stiffnes~)

Untuk menentukan matriks stiffness diperlukan variabel kunci JDIAGO. Hal ini

disebabkan karena banyaknya elemen matriks stiffness adalah JDIAG(2 x

jmINode).

Komponen penyusun matriks stiffnes untuk setiap elemen adalah:

........ 7)

242


~10~2

0~3

0

Dimana : B = L N = I 0

In:, I0In:, 2

0/11:33

In:, I ~ I In:, 2 11122

In:, 3~3

BT = matriks fungsi bentuk yang di transpose

t = tebal

A = luasO.

Diagram aktifitas untuk matrik kekakuan adalah sebagai berikut.

ISSN 1693-3346

.... 7a)

Gambar 4. Diagram aktifitas untuk matrik kekakuan

Untuk menghitung luas setiap elemen, digunakan persamaan sebagai berikut.

11.4. Proses Assemblage

Untuk seluruh elemen perlu dilakukan assemblage. Koefisien matrik pada

persamaan 7 dapat dituliskan dalam suatu notasi yang menyangkut nomer node

elemen. Bila node pada elemen adalah i,j dan k maka dapat ditulis :

Ke = EtA x

~2i-I,2i-l)k(2i-I.2i)k(2i-I.2.i-I)k(2i-1.2.i) k(2i-I,2k-l)k(2i-I.2k)

~2i,2i-l)

~2i,2i)k(2i,2.i-I)k(2i,2.i)k(2i,2k-l)k(2i,2k)

~2.i-1,2i-l) ~2j-l,2i)

k(2j-l,2j-l)k(2.i-l,2j) k(2j-1 ,2k-l)~2i-I.2k)

K=

I~2j,2i-l)

k(2j,2i)k(2j.2j-l)k(2.i,2.i)k(2j,2k-l)~2j.2k)I........ 9)

~2k-I,2i-l) ~2k-l,2i)

k(2k-I.2j-l) k(2k-I.2i) k(2k-I.2k-l) k(2k-l,2k)

~2k,2i-l)

~2k.2i)k(2k.2j-l)k(2k.2j)k(2k.2k-l)k(2k.2k)

243


ISSN 1693-3346

Setelah semua elemen diproses, akan didapat bentuk matrik seperti pada persamaan 1.

Dimana; K =matrik bujur sangkar (2n x 2n) dinamakan matrik stiffness

a = matrik kolom berisi perpindahan node

f = matrik kolom berisi gaya xjarak (energi)

11.5. Memberikan syarat batas.

Persamaan 1 belum dapat diselesaikan, karena matrik K merupakan matrik

INDEFENITE. Agar dapat diselesaikan, maka perlu syarat batas yang berupa

tumpuan. Pemberian tumpuan bertujuan agar salah satu suku matrik (koefisien

matrik) atau lebih pada diagonal utama menjadi dominan. Ini akan mengakibatkan

matrik K menjadi POSITIVE DEFINITE, sehingga dapat diselesaikan. Matrik K

merupakan matrik simetri dimana k(p,q)=~q,p).Secara fisis pemberian tumpuan berarti

truss ditahan pada satu atau lebih nodenya. Ini berarti pada suatu node, pergerakan

pada salah satu arah dicegah (pergeserannya nol). Salah satu cara agar pergeseran

pad a satu node atau lebih menjadi nol (an = 0), dengan metoda PIVOTING. Misal ada

persamaan seperti berikut, dengan k (p,q)= k (q,p):

~l,l) al + k(l,2)a2 + ~1,3)a3 = fl

~2,1) al + k(2,2)a2 + k(2,3)a3 = f2

~3,1) al + k(3,2)a2 + k(3,3)a3 = f3

Agar a2= 0, maka persamaan diubah menjadi ;

k(l,l) at + ~I,2) a2 + k(l,3)a3 = fl

o al + I a2 + 0 a3 = 0

~3,1) at + ~3,2) a2 + k(3,3)a3 = f3

Agar keadaan simetri dapat dipertahankan, matrik diubah dalam bentuk berikut ;

244


ISSN 1693-3346

11.6. Dekomposisi LV

Matriks stiffness yang tersimpan dengan dimensi satu akan didekomposisi menjadi

matriks L dan U yaitu ; f= Ka dimana K = LU. Pola matriks U dan L sarna dengan

matriks stiffness. Pada gambar 5 terlihat bahwa pola matriks L dibalik sehingga

penyimpanannya mengikuti pola penyimpanan matriks stiffness.

1 II II,

1 1III

I1 1II

I 1 1III

1 II IL

1I 11

1

11 111

1 1

(a)

(b)

Gambar 5. Pola penyimpanan matriks L : (a) pola awal; (b) mengikuti pola matriks

stiffness

Gambar 5 adalah pola penyimpanan matriks U yang juga mengikuti pola

penyimpanan matriks stiffness.

u" U 12 U 1.1

Un

1I2.1u 2~

U .\~

U .14

U"

U 45 U ~(,

U 55 U sr. U 57

u {-.(, U (,7

U 77 U 71(

Gambar 6. Pola penyimpanan matriks U

11.7. Menyusun beban.

Matrik beban terdiri dari lima macam yang dinyatakan pada persamaan 6a yaitu

a.Self strain

a. fgo= JBTO EodV = JBTOEotdxdy = BTOEotA .... 6a)v A

245


b. Prestress

rao = fBTaodV = fSTao tdxdy = STao tA

c. Body force

ISSN 1693-3346

N,o

f: = IN' bdV = I NTbldxdy = II:' NJ

oN,

o

N,o

t dx dy

o N,

d. Permukaan tarikan

N0

0

N

f . N ' ,wlS

f ,. I No '0

I ' [: : ] dSf:

= =., N

N I

0

0N I

e. Beban Titik (point loads)

rpl = LNTfp

dimana ; £0 = tahanan regangan pribadi dari perukomponen struktur temperatur

cro = tegangan sisa dan s = permukaan (surface)

11.8. Penyelesaian persamaan linear.

Setelah diperoleh matriks L_elementO, U_elementO dan BebanO, persamaan linear

dapat diselesaikan dengan substitusi. Ilustrasi terhadap masalah ini dapat dilihat

pada gambar berikut yang menunjukkan hasil meshing dari objek yang disimulasi.

'25 >6 '27

'20

'6

"2

8

Gambar 7 . Hasil meshing objek yang disimulasi dengan elemen segitiga linear

PEMBAHASAN DAN HASIL

PEMBAHASAN.

246


ISSN 1693-3346

1. Pembacaan data input dari preprocessor

2. Pembuatan gambar geometri yang akan dianalisis dan diskritisasi bidang serta

pemberian nomor node dan elemen seperti gambar 7.

3. Melakukan perhitungan untuk variabel kunci (JSTK,JDIAG,ISTK)

4. Pembuatan program untuk matrik fungsi bentuk dan transposenya untuk setiap

elemen seperti pad a persamaan 7a.

5. Pembuatan program untuk matrik kekakuan

6. Pembuatan program untuk matrik beban seperti pada 11.7

7. Pembuatan program untuk LU decomposition

8. Pembuatan program untuk menghitung regangan untuk setiap elemen seperti pada

persamaan 3

9. Pembuatan program untuk menghitung distribllsi stress seperti pada persamaan 2

10. Pembuatan program untllk menlliis hasil

11. Pembuatan program superposisi setiap node

HASIL PROGRAM.

1. Program setelah dieksekusi menghasilkan gambar geometri, data node, element, data

beban, syarat batas berupa tumpuan dan variable kunci (JSTK,JDAIG,ISTK)

'::;;'"," ... j:;::"M'-: "00 •. "'M.._ "'M'"~~~";.':~~n~:_~""'_"" ""'_ ~c,.," "'Ot.1t ••.•o ....ecolI:'""_..•..z,....'" -~ 0)7'5 0• v, 0'0:'5 0~ 0'7", ('• 0, 0C1;>!' ~

,. 0.• ,".> ~· ", 0.•••'" l_._--~_..~ ---

2. Hasil program untuk matrik kekakllan dan diberikan gaya terpllsat kearah sumbu Y

pada nomor elemen 45 sebesar 10000 N

247

Prosiding Pertemuan IImiah Nasional Rekayasa Perangkat NuklirSerpong,20 Nopember 2007

1,~!1.r~':.-.~;:;:~.•~~.~.£..~.<W~.~.,~~11i1"'~':'J.r1!'~!t~.I:,:d\!.'!:aml'z=:C~11Z1!11!1Je!12I"-1IIJ:.1I!.&.JI::'.;;;::-!l~:::.:Itil.urJ---~~ _.. .a-~~ .

3. Hasil program untuk deformasi setiap node~U~1·~~~·.s~"~_'!'].a:jI,."~~:-I;nvr~.,""""'-"~ ~.,..~~.4!!J_-mJl(

~ ~ ~ e-o_ ~gnn_ QeC>uO &un ~ ~ •••

4. Hasil program perpindahan setiap node (Superposisi)1!~<rcr::·!:::::O·!E'I!I"'E :t·;;:·"C·:!:·rJ:\i1OII<U1;:3:'Q:;(tlLm~~~,,"It'····~,~·0. .,. c.- _ er••,•.u ••_ ••• CIoM>uo EL.un q,.,....•• ~ ••.•. 1._ ~,'''''

,..,,", - ..••.~ - ~. '-·1

ISSN 1693-3346

._ ..... ~,.;.~~

._..;,J;_""'"~""""-"-'-"":':"" :"'"T1j.. ~........; ,

!Eli!

·{.:':!'O:"'~~er~ _I_I_!-1::1 o. -60 J;~'_""'_

A::n.:,:1U::I::.:<:t-w,n •• ~I~ ~ .

~ :~~;::-:..:.-(_.._)~ ••••••••'U· ••..IE•.•• _)M , __ c_.- •. "·f •.•••)~ ••••• ....c)< •.•.•••• L._)~:: .. (. __ .,~...)

oj., .-g[~J ,

~~~~~;._ ..~,- --_ .... .,-

248


KESIMPULAN .

ISSN 1693-3346

Penguasaan teori dasar metoda elemen hingga (MEH) beserta pemrograman Processor

akan mempermudah penyelesaian persoalan distribusi tegangan berdimensi dua dengan

disktritisasi bidang berbentuk e1emen segitiga pada material atau pad a benda yang

dianalisis.

DAFT AR PUST AKA.

1. FRANK L ST ASA,"Applied Finite Element Analysis For Engineers", Florida

Institute of Technology (1985)

2. Structural Analysis Guide, Ansys Realease 5.7

3. Stress Analysis Guide, Ansys Release 5.7

4. SAEED MOA VENI," Finite Element Analysis, Theory and Application with

ANSYS", Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 07458 (1983)

5. WILLIAM WEAVER Jr, PAUL R. JOHNSTON, "Structural dynamics by finite

Elements", Prentice Hall; Englewood Cliffs, New Jersey 07632

6. DAUD lUNG at all,"Visual Basic, Super Bible", Sams Publishing, Indianapolis

USA 1999.

7. EV ANGELOS PETROUTSOS,"Mastering Visual Basic 5",Sybec, San Fransisco,

USA 1997.

249


LAMPIRAN

FLOW CHART INDUK PROGRAM PROCESSOR

C MULAI )"'--.BACAFILEDATA

ISSN 1693-3346

JSfK, JDIAG, ISfK

Variabel kundJSfK, JDIAG, ISIKdan I&TKF

NODE, ELE1\'IEN

r.IAIRIK FUNCSIBENIUKDANTRANSPOSE, r.IATRIKSJF ..••T M ..••TF.RT..••••

&J&JNMATRIKKoef matrik M1X#( )

KF.KAKTTAN MTX#i')

! f---to

BEBANBERAT, BEBAN&J&JN

TERPU&H, BEBANTEKANANRFRAN f4-!fNARAT BA-

TAS BEBAN

BEBAN 11JMPUAN

! ~INVERSLU_DECOf\'IP, L(), UO

M ATRTK'Ii.. ), HSL( )

I

HASIL LU (REGANGAN),FUNG~ BENI1JK

MENULISHA~T.

SELE&<\I

FILE HA ~L HSL()

250

pembuatan program solver analisis distribusi …digilib.batan.go.id/e-prosiding/file...

Documents