pd8

3.5 Penyelesaian Menggunakan Transformasi LaplaceDari beberapa contoh persamaan differensial sebelumnya dapat diselesaikan,

dengan menggunakan metode transformasi Laplace [L{f′(x)} = sF(s) – f(0)], untuk

membuktikan hal tersebut dapat ditunjukkan dari contoh berikut :

Contoh 86

Selesaikanlah y′– 5y = 0; y(0) = 2

Penyelesaian

L{y′} – 5L{y} = L{0}.

dengan y(0) = 2 dan L{y} = Y(s) ⇒ [sY(s) – 2] – 5Y(s) = 0⇒ Y(s) = 5s

2−

sehingga transformasi Laplace invers dari Y(s),

y(x) = L-1{Y(s)} = L-1

− 5s2

= 2

− 5s1

= 2e5x

Contoh 87

Selesaikanlah y′– 5y = e5x; y(0) = 2

Penyelesaian

Diketahui,

L{y′} – 5L{y} = L{ e5x}.

dengan y(0) = 2 dan L{y} = Y(s) ⇒ [sY(s) – 2] – 5Y(s) = 5s

1−

⇒ Y(s) = 5s

2−

+ ( ) 25s1

−


y(x) = L-1

− 5s2

+ ( )

− 25s1

= 2L-1

− 5s1

+ L-1

( )

− 25s1

= 2e5x + xe5x

Contoh 88

Selesaikanlah y′ + y = xe-x

Penyelesaian

Misalkan, y(0) = C, dengan C konstanta tak tentu.

L{y′} + L{y} = L{ xe-x}

dengan y(0) = C dan L{y} = Y(s)

⇒ [sY(s) – C] + Y(s) = ( ) 21s1

+ (Lihat tabel transformasi Laplace untuk L{ xe-x})

81

⇒ Y(s) = 1+s

C + ( ) 31s

1+


y(x) = L-1

+ 1sC

+ ( )

+ 31s1

= CL-1

+ 1s1

+ ½L-1

( )

+ 31s2

= Ce-x +½ x2e- x

Contoh 89

Selesaikanlah y′ + y = sin x, y(0) = 0

Penyelesaian

Diketahui,

L{y′} + L{y} = L{sin x}

dengan y(0) = 0 dan L{y} = Y(s)

⇒ [sY(s) – 0] + Y(s) = ( )1s1

2 + (Lihat tabel transformasi Laplace untuk L{ xe-x})

⇒ Y(s) = ( ) 1)(s1s1

2 ++


y(x) = L-1

( )

++ 1)(s1s1

2 = ½e-x – ½ cos x + ½ sin x

Contoh 90

Selesaikanlah dN/dt = kN, N(0) = 250, k : konstanta

Penyelesaian

Diketahui,

L

dtdN

= L{kN}

dengan N(0) = 250 dan L{N(t)} = n(s)

⇒ [sn(s) – 250] = kn(s)]

⇒ n(s) = k s

250−

sehingga transformasi Laplace invers dari n(s),

N(t) = L-1{n(s)} = L-1

− k s250

= 250 L-1

− k s1

= 250ekt

82

Contoh 91

Selesaikanlah y′′ – 3y′ + 4y = 0 , y(0) = 1, y′(0) = 5

Penyelesaian

Diketahui,

L{y′′} – 3L{y′} + 4L{y} = L{0}

dengan y(0) = 0, y′(0) = 5 dan L{y} = Y(s)

⇒ [s2Y(s) – s – 5] – [sY(s) – 1] + 4Y(s) = 0

⇒ Y(s) = 4)3s(s2s

2 +−+


y(x) = x27cose (3/2)x + x

27sine7 (3/2)x .

Contoh 92

Selesaikanlah y′′ – y′ – 2y = 4x2 , y(0) = 1, y′(0) = 4

Penyelesaian

Diketahui,

L{y′′} – L{y′} – 2L{y} = L{4x2}


⇒ [s2Y(s) – s – 4] – [sY(s) – 1] – 2Y(s) = 3s8

⇒ Y(s) = 2)s(s3s

2 −−+

+ 2)s(ss8

23 −−


y(x) = ( )x322x

35 ee −− + (– 3 + 2x – 2x2 + x

382x

31 ee −+ ) = 2e2x + 2e-x – 2x2+2x – 3.

Contoh 93

Selesaikanlah y′′ + 2y′ + 5y = e–tsin t, y(0) = 0, y′(0) = 1

Penyelesaian

Diketahui,

L{y′′} + 2L{y′} + 5L{y} = L{e–tsin t}


⇒ [s2Y(s) – s(0) – 1] + 2[sY(s) – 0] + 5Y(s) = 11)(s1

2 ++ = 22ss

12 ++

83

⇒ Y(s) = 5)2s(s1

2 ++ + ( ) 5)2s(s22ss1

22 ++++

= ( ) 5)2s(s22ss32ss

22

2

++++++


y(t) = -t31 e (sin t + sin 2t).

Contoh 94

Selesaikanlah y′′ – 3y′ + 2y = 4e2t, y(0) = –3, y′(0) = 5

Penyelesaian

Diketahui,

L{y′′} – 3L{y′} + 2L{y} = 4L{e2t}

dengan y(0) = –3, y′(0) = 5 dan L{y} = Y(s)

⇒ [s2Y(s) – 3s – 5] –3[sY(s) +3] + 2Y(s) = 2s

4−

⇒ Y(s) = 2)2)(s3s(s4

2 −+− + ( )23ss3s14

2 +−−

= 1s

7−

− +

2s4−

+ 22)(s4

−


y(t) = -t7e- + 2t4e + 2t4te

Contoh 95

Selesaikanlah 2

2

dtXd + 2∝

dtdX

+ ω2X = 0, X(0) = X0, X′(0) = V0 dengan X0, V0, ∝ dan ω

merupakan konstanta.

Penyelesaian

Diketahui,

Untuk ω2 > ∝2

L{ 2

2

dtXd } + 2∝L{

dtdX

} + ω2L{X} = L{0}

dengan X(0) = X0, X′(0) = V0 dan L{X} = x(s)

⇒ s2x(s) – X0s – V0 + 2∝ [sx(s) – X0] + ω2x(s) = 0.

84

⇒ x(s) = 22000

ωs2αs)X2α(VsX

++++

= 2220

αωα)(sα)X(s

−+++

+ 22200

αωα)(sαXV

−+++

sehingga transformasi Laplace invers dari x(s),

X(t) =L-1{x(s)}= t-0eX α cos tαω 22 − + tαωsine

αωαXV 22αt

2200 −

−

+ −

Untuk ω2 = ∝2

X(t) = L-1{x(s)} = L-1

α+sX 0 +

++

200

α)(sαXV

= t-0eX α + αt

00 )teαX(V −+

Untuk ω2 < ∝2

X(t) =L-1{x(s)}= X0 cosh tωα 22 − + tωαsinheωα

αXV 22αt

2200 −

+

+ −

Contoh 96

Selesaikanlah y′′′ + y′ = ex, y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0

Penyelesaian

Diketahui,

⇒ [s3Y(s) – (0)s2 – (0)s – 0] + [sY(s) – 0] = 1s

1−

atau

⇒ Y(s) = s)1)(s (s1

3 +−

y(x) = L-1

+−+

−+−

1s1/2(1/2)s

1s1/2

s1

2 = –1 + xe21

+ xcos21

– xsin21

Contoh 97

Selesaikanlah Y′′′ – 3Y′′ + 3Y′ – Y = t2et, Y(0) = 1, Y′(0) = 0, Y′′(0) = – 2

Penyelesaian

Diketahui,

L{Y′′′} – 3L{Y′′} + 3L{Y′} – L {Y} = L{t2et}

dengan Y(0) = 1, Y′ (0) = 0, Y′′(0) = – , sehingga

⇒ [s3y(s)–s2y(0 – sy′(0)–y′′(0)] – 3[s2y(s) – sy(0) – y′(0)]+3[sy(s) – y(0)] – y(s) = 31)(s2

−

⇒(s3 – 3s2 + 3s – 1) y(s) – s2 + 3s – 1 = 31)(s2

− , dan

85

y(s) = 3

2

1)-(s13ss +−

+ 61)-(s2

= 3

2

1)-(ss 13ss −+−

+ 61)-(s2

= 3

2

1)-(s1 1)(s 1)(s −−−−

+ 61)-(s2

= 1-s

1 – 21)-(s

1 – 31)-(s

1 + 61)-(s

2

Jadi,

Y = et – tet – 2et t2

+ 60et t5

Contoh 98

Selesaikanlah sistem persamaan

=+′=+′

04yzxzy

; y(0) = 1, z(0) = – 1

Penyelesaian

Misalkan notasi L{y(x)} dan L{z(x)} berturut - turut sebagai Y(s) dan Z(s), maka

transformasi Laplace dari kedua persamaan differensial tersebut,

[sY(s) – 1] + Z(s) = 2s1

⇒ sY(s) + Z(s) = 2

2

ss 1+

[sZ(s) + 1] + 4Y(s) = 0 ⇒ 4Y(s) + sZ(s) = – 1

sehingga penyelesaian persamaan linier simultannya adalah,

Y(s) = 4)s(s

1ss2

2

−++

dan Z(s) = 4)(ss

44ss22

23

−++

Dengan menggunakan metode pembagian parsial untuk menyelesaiakn persamaan, maka

y(x) = L-1{Y(s)} = L-1

++

−−−

2s3/8

2s7/8

s1/4

= 41− + 2xe

87

+ 2x-e83

z(x) = L-1{Z(s)} = L-1

++

−−

2s3/4

2s7/4

s12 = x – 2xe

47

+ 2x-e43

Contoh 99


=++′=−′

=+′

1ywzez y

x sinywx ; w(0) = 0, y(0) = 1 dan z(0) = 1

Penyelesaian

Misalkan notasi L{w(x)}, L{y(x)}, dan L{z(x)} berturut - turut sebagai W(s), Y(s), dan Z(s),

maka transformasi Laplace dari ketiga persamaan differensial tersebut,

86

[sW(s) – 0] + Y(s) = 1s

12 +

⇒ sW(s) + Y(s) = 1s

12 +

[sY(s) – 1] – 4Z(s) = 1s

1−

⇒ sY(s) – Z(s) = 1s

s−

[sZ(s) – 1] + W(s) + Y(s) = s1

⇒ W(s) + Y(s) + sZ(s) = s

1s +


W(s) = 1)s(s1

−−

, Y(s) = 1)1)(s (s

ss2

2

+−+

dan Z(s) = 1s

s2 +

Dengan menggunakan metode pembagian parsial untuk menyelesaikan persamaan, maka

w(x) = L-1{W(s)} = L-1

−−

1s1

s1

= 1 – ex

y(x) = L-1{Y(s)} = L-1

++

− 1s1

1s1

2 = ex + sin x

z(x) = L-1{Z(s)} = L-1

+ 1ss

2 = cos x

Contoh 100


=′+′=++′′0yz

xyzy ; y(0) = 0, y′(0) = 0, z(0) = 1

Penyelesaian

Misalkan notasi L{y(x)} dan L{z(x)} berturut - turut sebagai Y(s) dan Z(s), maka

transformasi Laplace dari kedua persamaan differensial tersebut,

[s2Y(s) – (0)s – (0)] + Z(s) + Y(s) = 0 ⇒ (s2+1)Y(s) + Z(s) = 0

[sZ(s) – 1] + [sY(s) – 0] = 0 ⇒ Y(s) + Z(s) = s1


Y(s) = 3s1− dan Z(s) =

s1

+ 3s1

Dengan menggunakan metode pembagian parsial untuk menyelesaiakn persamaan, maka

y(x) = L-1{Y(s)} = L-1

− 3s

1 = 2x

21−

z(x) = L-1{Z(s)} = L-1

s1

+

3s1

= 1 + 2x21

87

Contoh 101


=′′+′+−′=++′−=+−′′

0z2z2yw20z 2y w23e2zy w -x

; w(0) = 0, w′(0) = 0, y(0) = 2,

z(0) = 2, z′(0) = -2.

Penyelesaian

[s2W(s) – s – 1] – Y(s) + 2Z(s) = 1s

3+

– 2[sW(s) – 1] + 2[sY(s) – 2] + Z(s) = 0

2[sW(s) – 1] – 2Y(s) + [sZ(s) – 2] + 2[s2Z(s) – 2s +2] = 0

⇒ s2W(s) – Y(s) + 2Z(s) = 1s

42ss 2

+++

⇒ – sW(s) + 2sY(s) + Z(s) = 2

⇒ 2sW(s) – Y(s) + (2s2+s) Z(s) = 4s


W(s) = 1s

1−

, Y(s) = 1)1)(s (s2s

+− dan Z(s) = 1s

2+

Dengan menggunakan metode pembagian parsial untuk menyelesaikan persamaan, maka

w(x) = ex

y(x) = ex + e-x

z(x) = 2e-x.

I. Latihan

1. Selesaikanlah :a. y′ – 5y = e5x; y(0) = 2 b. y′ – 5y = 0; y(π) = 2c. y′ + y = xe-x

2. Tentukan Penyelesaian : a. y′ + y = sin x; y(0) = 1 b. dP/dt = 0.05P; P(0) = 2000c. dQ/dt + 0. 2Q = 1; Q(0) = 0

3. Tentukan penyelesaian :a. dI/dt + 50I = 5; I(0) = 0b. dT/dt + kT = 100k; T(0) = 50, k konstanta c. dQ/dt + 0. 04 Q = 3.2e-0,04t; Q(0) = 0d. dI/dt + 20I = 6 sin 2t; I(0) = 6

88

4. Selesaikanlah : a. y′′ + 4y = 0; y(0) = 2, y′(0) = 2b. y′′ + 9y = 0; y(0) = 3, y′(0) = –5

5. Tentukan penyelesaian :a. y′′ + 4y′ + 8y = sin x; y(0) = 1, y′(0) = 0b. y + y – 2y = sin t; y(0) = 1, y (0) = 0c. y – y = t; y(0) = – 1 , y (0) = 1d. x + 4 x + 4x = 0; x(0) = 10 , x (0) = 0e. x + 4 x + 4x = 0; x(0) = 2 , x (0) = –2

6. Selesaikanlah :

a. 2

2

dtId + 20

dtdI

+ 200I = 0; I(0) = 2, I′(0) = 24

b. Y′′ + Y = t; Y(0) = 1, Y′(0) = –2

c. 2

2

dtQd + 8

dtdQ

+ 25Q = 150; Q(0) = 0, Q′(0) = 0

d. 2

2

dtQd + 8

dtdQ

+ 25Q = 50 sin 3t; Q(0) = 0, Q′(0) = 0

e. y′′ – 3y′ + 2y = e -x; y(1) = 0, y′(1) = 0

7. Tentukan Penyelesaian :a. y′′ – 2y′ + y = f(x); y(0) = 0, y′(0) = 0

b. y′′ + y = f(x); y(0) = 0, y′(0) = 0 jika

≥<

=1x21x0

(x)f

c. 2

2

dtxd + 16x = – 16 + 16u(t – 3); x(0) = x′(0) = 0

d. y′′ – 3y′ – 4y =

≤<≤

≡1202t0ef(x)

t

; y(0) = 0, y′(0) = 0

8. Selesaikanlah :a. Y′′′ + 9Y = cos 2t; Y(0) = 1, Y′(π/2) = –1b. Y′′′ + a2Y = F(t); Y(0) = 1, Y′(0) = –2c. Y′′– a2Y = F(t)

9. Persamaan differensial pada pembelokan Y(x) dari balok horisontal dengan

panjang l diketahui sebagai 4

4

dxYd =

EIWo , 0 < x < 1; Y(0) = 0, Y′′(0) = 0, Y′′(l) = 0.

Carilah Y(x) jika Wo, E, dan I dinotasika sebagai konstanta positif.

1. Selesaikanlah : 4

4

dxYd =

EIW(x)

, 0 < x < 1; Y(0) = 0, Y′ (0) = 0, Y′′(l) = 0, Y′′′(l) = 0.

11. Selesaikanlah

=−′′=′+′′

x sinz yx cosyz

; z(0) = –1, z′(0) = – 1, y(0) = 1, y′(0) = 0.

89

12. Selesaikanlah

−=−=2XYdY/dt3Y2XdX/dt

; X(0) = 8, Y(0) = 3.

13. Selesaikanlah

=+′−′′=+′+′′

2tsin153YX4 Y15e3XYX -t

;

X(0) = 35, X′(0) = – 48, Y(0) = 27, Y′(0) = – 35

14. Selesaikanlah

=++

=++−−

5515I20Idt

dI

010Idt

dI2dt

dI5I

211

221

1

; I1(0) = I2(0) = 0

Jawaban :

1. a. y(x) = 2e5x + xe5x b. y(x) = 2e5(x - π)

c. y(x) = ce-x + ½x2e -x

2. a. y(x) = 23 e-x – ½cos x + ½sin x b. P(t) = 2000e0.05t

c. Q(t) = 5 – 5e – 0.2t

3. a. I(t) = 0.1 – 0.1e – 50t b. T(t) = – 50e – kt + 100

c. Q(t) = 3.2te – 0.04t d. I(t) = 101609

e –20t– 101

3cos 2t +

10130

sin

2t

4. a. y(x) = 2 cos 2x + sin 2x b. y(x) = 3 cos 3x - 35

sin 3x

5. a. y(x) = e – 2x(6569

cos 2x + 130131

sin 2x) + 657

sin x – 654

cos x

b. y(t) = 61

et - 151

e – 2t – 101

cos t - 101

sin t

c. y(t) = – t + 21

et - 23

e – t

d. x(t) = 10e – 2t (1 + 2t).e. x(t) = 2e – t + 2te – t

6. a. I(t) = 512

e – 10t sin 10t b. Y(t) = t + cos t – 3 sin t.

c. Q(t) = 6 – 6e – 4t cos 3t – 8e – 4t sin 3t.

d. Q(t) = 5225

(2 sin 3t – 3 cos 3t) + 5225

e – 4t( 3cos 3t + 2 sin 3t)

e. y(x) =

21− ex – 2 +

31

e2x – 3 + 61

e – x

7. a. y(x) = xex* f(x) = ∫ −

x

0

t t)dtf(xte b. y(x) = [2 – 2cos ( x - )] u (x -1)

c. x(t) = – 1 + cos 4t + u (t – 3)[ 1 – cos 4(t – 3)]

d. y(x) = 31− et +

101

e – t + 151

e4t + u (1 – 2)[ 61

et – 101

e4e – t + 151

e – 6 e4t]

90

8. a. Y(t) = 54 cos 3t +

54

sin 3t + 51

cos 2t

b. Y(t) = cos at – a

atsin2 + ∫ −

t

0

dvv)a(tsinF(v)a1

c. Y(t) = A cosh at + B sinh at + ∫ −t

0

dvv)a(tsinhF(v)a1

9. Y(x) = 24EIW0 (l3x – 2lx3 + x4) =

24EIW0 x(l – x)(l2 + lx – x2).

10. Y(x) = 16EIW0

2I x2 – 12EIW0 I

x3 + 24EIW0 x4–

24EIW0 (x – ½)4 u(x – ½).

11. y(x) = – ½x2 dan z(x) = 1 + ½x2

12. X = 5e – t + 3e4t dan Y = 5e – t – 2e4t

13. X = 30 cos t – 15 sin 3t + 3e – t + 2 cos 2t Y = 30 cos 3t – 60 sin t – 3e – t + sin 2t

14. I2 = 1 – e – 55t/2 dan I1 = 2I1 = 2 – 2e – 55t/2.

91

pd8

Documents