INVERSI GRAVITASI 2D MODEL KOTAKStephanie Tarumingkeng (20214020)

Abstract

Interpretasi dari data gravitasi memiliki sifat tidak unique, sehingga metode inversi untuk data gravitasi perlu untuk dikembangkan. Telah dibuat simulasi inversi linier dengan metode Lagrangain multiplier untuk model kotak dengan tujuan untuk mengetahui respon medan gravitasi dari benda berbentuk kotak. Medan gravitasi dari kotak dijabarkan perumusannya kemudian harganya dihitung dengan pemograman dalam matlab. Sebagai data validasi maka digunakan model sintetik yang hasilnya digunakan sebagai data masukan pada program inversi yang dibuat dan setelah itu inversi diterapkan pada data lapangan. Hasil yang diperoleh pada pemodelan ini dapat disimpulkan bahwa ada keambiguitasan hasil inversi dengan nilai error yang sangat kecil, artinya dengan parameter yang kita cobakan bisa diperoleh hasil yang jauh berbeda bila tidak diberikan nilai prediksi awal sebagai batasan nilai yang diharapkan. Selain itu penyebaran anomali gravitasi sangat dipengaruhi oelh konstanta smothness, semakin besar konstanta smothness maka semakin kecil area yang menggambarkan keberadaan benda dibawah permukaan bumi. Olehnya itu, diperlukan metode atau pendekatan lain untuk menyempurnakan hasil ini.

Pendahuluan

Metode gravitasi adalah salah satu metode geofisika yang dapat memberikan gambaran bawah permukaan melalui perbedaan rapat massa antar batuan disekitarnya. Kontras rapat massa ini digunakan untuk interpretasi struktur bawah permukaan pada daerah penelitian yang dapat diperoleh melaui proses inversi. Metode inversi merupakan proses mengestimasi model atau parameter model dari data, respon atau suatu keadaan. Model yang biasa digunakan adalah model bola homogen, poligon talwani, kotak, silinder, dll.

Interpretasi dari data gravitasi memiliki sifat tidak unique, artinya untuk satu profil anomali gravitasi memiliki tak hingga solusi atau ambiguitas, sehingga metode inversi untuk data gravitasi banyak mengalami perkembangan. Perkembangan metode inversi diantaranya menggunakan pendekatan Backus & Gilbert dengan dasar kriteria peminimuman fungsi jarak antara model awal dengan benda sebenarnya melalui Langrange multiplier (Green, 1975), menggunakan kriteria kompak yaitu memaksimumkan kekompakan atau meminimumkan luas penampang (2D) (Last dan Kubik, 1983), menggunakan kriteria “buka”, “tampak” dan “isi” yang modelnya tumbuh pada arah yang diinginkan dalam ruang model yang sudah ditentukan densitasnya, dimana model dapat diberikan dengan mengisi satu atau beberapa elemen dan pada setiap kali iterasi hanya ada satu elemen yang terisi (Rene , 1986), serta meminimumkan fungsi khusus yaitu fungsi momen inersia (Guillen dan Menichetti, 1984).

Metode Green digunakan dan dikembangkan algoritmanya menjadi inversi 3D untuk menginterpretasikan data gravitasi menggunakan beberapa kendala yaitu jarak minimum, kerataan, smothness dan kekompakan (Boulanger dan Chouteau ,2001 ). Selanjutnya versi 2D dari metode 3D Boulanger dan Choutea dikembangkan dengan menggabungkan fungsi pembobotan model objektif dan persamaan kendala untuk mengatasi masalah inversi (Vatankhah dkk, 2014). Dalam paper ini metode Vatankhah dkk akan dimodifikasi dengan menggunakan model kotak. Metode ini telah diuji dengan data sintetik yang dihitung dari model benda anomali dua dimensi bentuk kotak dan sebagai aplikasi praktisnya, metode ini diterapkan pada profil data lapangan gravitasi.

Teori Dasar

Medan Gravitasi dan Potensial GravitasiTeori yang mendasari metoda gravitasi adalah Hukum Newton. Hukum Newton menyatakan tarik-menarik antara dua massa dapat dituliskan sebagai berikut:

F (r )=Gm1 m2

r2 (− r̂ ) (1)

F (r )adalah gaya yang dialami oleh m2 akibat tarikan massa m1. Gaya ini selalu bersifat tarik-menarik. G adalah konstanta gravitasi yang besarnya adalah 6.67 x 10-11 m3 kg-1 s-2 . Besar gaya yang dialami oleh m2 akibat m1 adalah

F =|F (r )|=Gm1 m2

r 2 (2)

sedangkan arah gaya adalah menuju m1 sehingga diberi tanda

negatif, karena berlawanan arah dengan arah ( r̂ ) .

Percepatan massa m2 akibat m1 dituliskan sebagai:

g (r ) =F (r )m2

= − Gm1

r2 r̂ (3)

Satuan percepatan gravitasi yang lazim digunakan dalam metoda gravitasi adalah mgal (milli gal), dimana 1 mgal = 10-

3 cm s-2 atau ada juga yang menggunakan gravity unit (g.u), dimana 1g.u = 10-6 cm s-2 = 0.1 mgal. Dalam praktek, besaran g ini yang biasanya diukur di lapangan.

Oleh karena medan gravitasi bersifat konservatif, artinya bahwa kerja yang dilakukan untuk memindahkan massa m dalam medan gravitasi tidak bergantung pada lintasan ,maka dapat didefiniskan suatu potensial skalar U, yang memenuhi persamaan berikut:

g=−∇ U (r ) (4) ; Dimana, U (r )=−G

m1

r (5)

Potensial U ini bersifat skalar, sehingga kadang lebih mudah untuk dihitung dibandingkan g yang bersifat vektor. Potensial gravitasi di titik P akibat dari suatu distribusi massa seperti pada gambar berikut dapat dinyatakan oleh:

r̂r

P

m2

m1

r0 MVd

ρ (r0 )

r−r0

z

yo

r

. P

x

Gambar 1. Ilustrasi tarik-menarik antar dua massa.

U p (r ) =− G ∫V

ρ (r0 ) d3 r0

| r − r0 | (6)

Up adalah potensial skalar gravitasi di titik P akibat dari distribusi massa M, adalah rapat massa yang dapat bergantung pada posisi.

Metoda Eksperimen

Pada penelitian ini memanfaatkan bantuan Matlab 2013 untuk membuat program yang memodelkan gambaran bawah permukaan. Mula-mula dibuat pemodelan kedepan untuk diperoleh respon anomalinya, kemudian hasil dari respon anomalinya berupa data grafik dijadikan sebagai data sintetik untuk digunakan pada pemodelan inversi. Pengujian program ini dilakukan dengan menggunakan 1 data sintetik dan 2 data lapangan.

A. Pemodelan Kedepan

Pemodelan kedepan (forward modeling) yakni dengan diperkirakannya parameter model kita dapat menghitung respon yang dihasilkan dari model tersebut. Hasil dari pemodelan kedepan ini dijadikan sebagai data sintetik untuk diuji kevalidannya. Adapun persamaan pemodelan kedepan diberikan oleh :

B. Pemodelan Inversi

Pemodelan inversi dilakukan setelah pemodelan kedepan dilakukan. Adapun proses inversi yang dilakukan adalah inversi linear dengan prinsip berulang (iterasi), diagram alirnya terlihat pada gambar 5.

Gambar 5. Diagram Alir Proses Inversi Linear

Proses perubahan parameternya menggunakan Lagrangian multiplier dengan memberikan faktor pembobotan agar diperoleh hasil yang maksimal.

Proses Perubahan Parameter

Berdasarkan pendekatan Backus dan Gilbert, Green mengusulkan metode linear untuk inversi data gravitasi (Green, 1975). Pendekatan menggunakan minimalisasi fungsi berharga yang terdiri dari pembobotan jarak dari model yang diterima dari keadaan awal, dikenakan kesetaraan kendala, yang dapat diselesaikan dengan menggunakan Lagrangian multipliers (Lihat Lampiran A) (Boulanger dan Chouteau ,2001). Metode Green digunakan dan dikembangkan dalam algoritma inversi 3D untuk menafsirkan data gravitasi menggunakan seperangkat kendala. Berikut ini metode mereka, fungsi Lagrangian diberikan oleh

L( ρ , θ)=( ρ−ρ0 )T W T W ( ρ−ρ0)+(b−A ( ρ− ρ0 ))T θ (9)

Fungsi obyektif ini fleksibel dan memungkinkan menyisipkan berbagai kendala dan informasi apriori dalam proses inversi. Ini terdiri dari:

(7)Δg=13 , 3 x10−3 Δρd log ( 1+

h22

x2

1+h1

2

x2)

Dengan : h1=z0−12

dx

h2=z0+12

dx (8)

∆ρ adalah selisih rapat massa kotak dengan batuan sekitar (g/cm3)

h1 adalah kedalaman permukaan atas (meter)

h2 adalah kedalaman permukaan bawah (meter)

x adalah lebar massa anomali (meter)

Gambar 3. Ilustrasi Anomali Bawah Permukaan model

kotak

Gambar 2. Potensial oleh distribusi massa.

A=[GH ](N +M )XM (10)

GNxM adalah operator matriks forward dan H MxM merupakan

turunan pertama atau kedua matriks ( ∂   atau ∂2

) yang

dikalikan dengan ξ H( ξH ∂ atau ξ H ∂2 ). Matriks ∂ x2

dan ∂ z2

menggambarkan pendekatan Finite-Difference (FD) untuk

mengambil turunan dalam arah x dan z. Matriks M x M dari ∂ x2

dan ∂ z2

diberikan oleh :

∂ z2=[1 −2 1

1 −2 0⋱

0 1 −2 11 −2 1

] (11)

∂ x2=[1 0 −2 0 1

1 0 −2 0 1⋱ ⋱ ⋱

1 0 −2 0 11 0 −2 0 1

]

(12)

Dimana 0 dalam baris ∂ x2

adalah vektor nol berisi nz -1.

b=[Δg0 ](N +M )X 1 (13)

Dimana Δg Nx1 berbeda diantara data observed dan data

kalkulasi anomali (gobs−gpre

dan OMx1 adalah vektor nol.

θ=[αζ ](N + M ) X 1 (14)

Dengan θ adalah Lagrangian multipliers terkait dengan

kesetaraan kendala dan perpecahan dalam α untuk Δg dan ζuntuk 0.

ρoadalah vektor yang mengandung kontras awal masa jenis.

Umumnya ρo

= 0, tapi jika tetapi jika pengetahuan apriori dari sifat-sifat bawah permukaan distribusi ada, model penuh sifat

fisik diharapkan dapat digunakan. W MxM=P−1 QV terdiri dari 3 diagonal matriks P, Q dan V.

P adalah matrix dari kendala yang sulit, dimana ρjj adalah tetap

pada η=10−2 ketika informasi geologi memberikn nilai

densitas awal dari kotak ke j (ρ j0) . Jika tidak, ρjj tetap pada 1.

Selain itu, dalam algoritma ini positif dari kepadatan dikenakan selama inversi dengan memotong kepadatan luar batas yang diijinkan. Q adalah matriks pembobot kedalaman dengan

elemen diagonal

Q jj=1

( z j+σ )β(Li and Oldenburg, 1996,

1998). Sedangkan V adalah daerah kendala minimum

(kekompakan) dengan elemen diagonal

V jj=1

ρ j2+ε

Hasil dan Analisa

A. Data SintetikData sintetik diperoleh dari perhitungan forward dari model kotak. Dengan memodelkan benda di bawah permukaan berbentuk kotak dengan mengambil titik pengukuran 0-99 m dan nilai deltarho 100 gr/cm3, serta titik pusat kotak berada pada x0=50 m dan h=50 m dan panjang sisi 10 m maka diperoleh respon anomali yang terlihat pada gambar 6. Untuk menghindari terjadinya under-determined pada proses inversi, maka jumlah data disesuaikan dengan respon model.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

50

100

Jarak (m)

Ked

alam

an (m

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1001

1.5

2

2.5 Respon Anomali

Jarak (m)

delta

G (m

Gal

)

Gambar 6. Respon Anomali Gravitasi Pemodelan Kedepan

Hasil dari pemodelan kedepan ini dijadikan sebagai data sintetik yang akan digunakan pada pemodelan inversi. Pada proses inversi ini, digunakan metode Lagrangain Multiplier dengan menambahkan fungsi pembobot. Nilai konstanta smothnessnya yang digunakan sebesar 3,7x10-7 sehingga menghasilkan gambaran anomali gravitasi bawah permukaan seperti gambar 7. Diperoleh nilainya sudah mendekati seperti data pada pemodelan kedepan dengan nilai deltharho berkisar 4-5 gr/cm3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

1.5

2

2.5 Respon Anomali

Jarak (m)

dG (m

Gal

)

CALCOBS

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

50

100

Jarak (m)

Ked

alam

an (m

) Rho Akhir

-1 0 1 2 3 4

Gambar 7. Hasil Inversi dari data sintetik

Error yang diperoleh sangatlah kecil (gambar B3). Untuk menguji program yang dilakukan selain digunakan data sintetik, patutlah kita gunakan data lapangan untuk memperoleh hasil yang lebih maksimal.

B. Data LapanganInversi diterapkan pada 2 data lapangan berbeda daerah yaitu pada pertambangan bijih sulfida New South Wales, Australia dan pertambangan bijih mangan Zereshlu Camp, Zanjan-Iran. 1. Pertambangan bijih mangan Zereshlu Camp, Zanjan-Iran.

Daerah dari survei gravitasi meluas antara UTM koordinat [704296 704554] Timur dan [4130627 4130990] Utara, zona 38. Daerah ditutupi oleh Andesit merah diubah dengan ferrous Oksida dan Olivine piroksen Basalt Tuff, yang dua struktur dipisahkan oleh kesalahan utara-selatan (Gambar 8) (VATANKHAH dkk, 2014).

Sebuah profil dari anomali residual yang terdiri dari 26 data pengukuran, setiap sampel 2,5 m, dipilih untuk inversi. Bawah permukaan dibagi menjadi 26x20 = 520 kotak dengan panjang sisi 2,5 m. Inversi dikerjakan dengan mengkombinasikan jarak minimum, smothness dan kendala daerah minimum dimana ξ H = 3,7 x 10 -7. Hasil inversi terlihat pada gambar 10 dimana ditemukannya kontras densitas dan geometri untuk bijih mangan dengan nilai densitas berkisar antara 0,5 – 0,6 gr/cm3

yang sangat beda nilainya dengan hasil dari (VATANKHAH

dkk . Konstanta smothness ξ H sangat mempengaruhi hasil inversi dimana pada eksperimen ini divariasikan dengan nilai ξ H = 0 ; 3x 10 -7 dan 1x10-6 (perbandingannya terlihat pada lampiran B). Error yang diperoleh sangat kecil sehingga ketika hanya diperlukan iterasi 2 kali sudah ditemukan hasilnya, dapat dilihat pada gambar B4 (lampiran).

0 10 20 30 40 50 600

0.05

0.1

0.15

0.2

Respon Anomali

Jarak (m)

dG (m

Gal

)

CALCOBS

0 10 20 30 40 50 60

0

50

Jarak (m)

Ked

alam

an (m

)

Rho Akhir

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Gambar 8. Respon anomali gravitasi hasil inversi untuk pertambangan bijih mangan

2. Pertambangan bijih sulfida South wales, Australia.

Sama halnya dengan inversi pada data lapangan pertambangan bijih mangan di iran, inversi juga dilakukan di pertambangan bijih sulfida di Australia. Sebuah profil dari anomali residual yang terdiri dari 11 data pengukuran, setiap sampel 10 m, dipilih untuk inversi (GHALEHNOE dkk, 2014).Akan tetapi pada data ini bawah permukaannya dibagi menjadi 15 x 30 = 450 kotak dengan panjang sisi 10 m. Inversi dikerjakan dengan mengkombinasikan jarak minimum, smothness dan kendala

daerah minimum dimana ξ H = 3,7 x 10 -7. Hasil inversi terlihat pada gambar 9 dimana ditemukannya kontras densitas dan

geometri untuk bijih sulfida. Konstanta smothness ξ H sangat mempengaruhi hasil inversi dimana pada eksperimen ini

divariasikan dengan nilai ξ H = -1 ; 3x 10 -7 dan 1x10-6

(perbandingannya terlihat pada lampiran B2). Terlihat pada saat konstanta smothnessnya bernilai 0, gambar anomalinya

lebih luas dan dalam, sedangkan pada saat ξ H = 3 x10-7 gambar anomalinya lebih terlihat menyerupai seperti yang dilakukan

oleh GHALEHNOE dkk, sedangkan jika ξ H = 1 x 10 -6 yang berarti nilai konstanta smothnessnya semakin besar tampak gambarnya kurang begitu jelas dan areanya semakin kecil. Dari hasil inversi, diperoleh nilai gravitasinya berkisar diantara 5-10 x 10-3 gr/cm3. Nilai ini berbeda dengan hasil di lapangan. Akan tetapi error yang diperoleh sangat kecil yang hanya diperlukan iterasi 2 kali untuk ditemukan hasilnya, dapat dilihat pada gambar B5 (lampiran).

0 50 100 150 200 250 300 3500

0.005

0.01 Respon Anomali

Jarak (m)

dG (m

Gal

)

CALCOBS

0 50 100 150 200 250 300

0

50

100

150

Jarak (m)

Ked

alam

an (m

)

Rho Akhir

-10

-5

0

5

x 10-3

Gambar 9. Respon anomali gravitasi hasil inversi data lapangan pertambangan sulfida

Kesimpulan dan Saran

1. Penyebaran anomali gravitasi sangat bergantung pada konstanta smothness dimana semakin besar nilainya maka semakin kecil area yang menggambarkan kontras densitas dan geometri dari suatu benda di bawah permukaan bumi.

2. Penggunaan metode lagrangian multiplier sudah berhasil membuat hasil inversi pada data sintetik menyerupai kondisi awal benda akan tetapi pada data lapangan masih jauh dari kondisi sebenarnya, sehingga diperlukan metode lain untuk menyempurnakan metode ini.

3. Nilai deltarho yang diperoleh pada data sintetik berkisar 4-5 gr/cm3 sedangkan pada data lapangan 1 sebesar 0,5-0,7 4-5 gr/cm3

serta data lapangan 2 berkisar 5-10 x 10-3 4-5 gr/cm3 dengan error yang sangat kecil. Akan tetapi hal ini menimbulkan ambiguitas karena error yang sangat kecil tidak sesuai dengan hasil yang tidak sama dengan keadaan di lapangan. Olehnya itu, perlu adanya kombinasi beberapa pendekatan untuk menyempurnakan hasilnya.

Referensi

Backus, G. and Gilbert, J. F., 1967, Numerical applications of a formalism for geophysical inverse problems, Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, 13, 247-276.

Boulanger, O. and Chouteau, M., 2001, Constraints in 3D gravity inversion, Geophysical Prospecting, 49, 265-280. GHALEHNOEE, Mohammad Hossein; GHORBANI, Ahmad. 2D gravity COMPACT inversion based on a new weighting function. 2014.

Green, W. R., 1975, Inversion of gravity profiles by use of a Backus-Gilbert approach, Geophysics, 40, 763-772.

Guillen, A. and Menichetti, V., 1984, Gravity and magnetic inversion with minimization of a specific functional, Geophysics, 49, 1354-1360.

Last, B. J. and Kubik, K., 1983, Compact gravity inversion, Geophysics, 48, 713721.

VATANKHAH, S.; ARDESTANI, E. V.; ASHTARI JAFARI, M. A method for 2-dimensional inversion of gravity data. Journal of the Earth and Space Physics, 2014, 40.3: 23-33.

Lampiran A

Derivasi dari algoritma inversi (Boulanger dan Chouteau ,2001)

Kami ingin menemukan model ρ  yang memiliki dua sifat:

1. Memenuhi data observed gravitasi (gobs), yaitu gpre(ρ)= gobs (A-1)

dimana, gpre(ρ) adalah nilai-nilai gravitasi yang diprediksi oleh parameter model.2. Harus dekat dengan parameter perkiraan awal, ρ0. Di ruang

parameter, jarak ρ  dari ρ0 diberikan oleh

‖ρ−ρ0‖22=(W (‖ρ−ρ0‖) , W (‖ρ−ρ0‖))

(A-2)Hubungan g dan parameter model ρ adalah linier:

gpre(ρ)= (G, ρ) (A-3)dimana G adalah kernel dan (G, ρ) menunjukkan suatuproduk inti. Pengaruh gravitasi dari awalModel adalah gpre(ρ0 )= (G, ρ0) (A-4)dari (A-1), (A-3) dan (A-4), kita peroleh :gobs-gpre(ρ0)=G(ρ-ρ0) (A-5)

masalah kemudian diminimalisasi ‖W ( ρ−ρ0 )‖2

2 dikenakan

kendala gobs-gpre(ρ0)=G(ρ-ρ0) yang dapat diselesaikan dengan menggunakan Lagrangian multiplier

Lampiran B

0 10 20 30 40 50 600

0.05

0.1

0.15

0.2

Respon Anomali

Jarak (m)

dG (m

Gal

)

CALCOBS

0 10 20 30 40 50 60

0

50

Jarak (m)

Ked

alam

an (m

)

Rho Akhir

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0 10 20 30 40 50 600

0.05

0.1

0.15

0.2

Respon Anomali

Jarak (m)dG

(mG

al)

CALCOBS

0 10 20 30 40 50 60

0

50

Jarak (m)

Ked

alam

an (m

) Rho Akhir

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0 10 20 30 40 50 600

0.05

0.1

0.15

0.2

Respon Anomali

Jarak (m)

dG (m

Gal

)

CALCOBS

0 10 20 30 40 50 60

0

50

Jarak (m)

Ked

alam

an (m

)

Rho Akhir

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Gambar B1. Perbandingan hasil inversi dengan nilai konstanta smothness a). 0, b). 3 x 10-7, c). 1 x 10 -6

a b

c

0 50 100 150 200 250 300 3500

0.005

0.01 Respon Anomali

Jarak (m)

dG (m

Gal

)

CALCOBS

0 50 100 150 200 250 300

0

50

100

150

Jarak (m)

Ked

alam

an (m

)

Rho Akhir

-10

-5

0

5

x 10-3

0 50 100 150 200 250 300 3500

0.005

0.01 Respon Anomali

Jarak (m)

dG (m

Gal

)

CALCOBS

0 50 100 150 200 250 300

0

50

100

150

Jarak (m)

Ked

alam

an (m

)

Rho Akhir

-10

-5

0

5

x 10-3

0 50 100 150 200 250 300 3500

0.005

0.01 Respon Anomali

Jarak (m)

dG (m

Gal

)

CALCOBS

0 50 100 150 200 250 300

0

50

100

150

Jarak (m)

Ked

alam

an (m

)

Rho Akhir

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

Gambar B2. Perbandingan hasil inversi dengan nilai konstanta smothness berbeda a) 0, b) 3 x 10 -7, c) 1x 10-6

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Iterasi ke-

eror

(rm

s)

Eror

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

-5

Iterasi ke-

eror

(rm

s)

Eror

Gambar B3. Plot Error terhadap iterasi pada data sintetik Gambar B5. Nilai Error terhadap iterasi pada data lapangan

pertambangan bijih sulfida

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

Iterasi ke-

eror

(rm

s)

Eror

a b

c

Gambar B4 Nilai Error terhadap iterasi untuk data lapangan pertambangan bijih mangan