Fattaku Rohman,S.PD

GURU SMAN BI Jambi

Fatoer_caem@yahoo.com

http://www.math4smanbi.wordpres

s.com

BENTUK AKAR DAN BILANGAN BERPANGKAT PECAHAN

• Bilangan Rasional dan Irasional • Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat

dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, -1/2, 0, 3, 3/4, dan 5/9.

• Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.

• Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya

• √2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.

BENTUK AKAR

• Berdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang lain?

• Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional.

• Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi√a2 = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0

Contoh :

• Sederhanakan bentuk akar berikut √75Jawab :√75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3

MENGUBAH BENTUK AKAR MENJADI BILANGAN BERPANGKAT PECAHAN DAN SEBALIKNYA

• Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar n√am dapat ditulis am/n (dibaca: a pangkat m per n). Bentuk am/n disebut bentuk pangkat pecahan.

contoh :Ubahlah menjadi bentuk pangkat

7 64

67 67 764 2 2

Jawab :

Contoh :

OPERASI ALJABAR PADA BENTUK AKAR PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN

• Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang sejenis.

Contoh :Sederhanakan bentuk berikut ini !

2 2 3 2

4 3 2 3

2 5 3 5 4 5

4 7 3 7 2 7

a.

b.

c.

d.

Jawab :

a.

b.

c.

d.

2 2 3 2 2 3 2 5 2

4 3 2 3 4 2 3 2 3

2 5 3 5 4 5 2 3 4 5 5

4 7 3 7 2 7 4 3 2 7 3 7

• kesimpulan :jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku

• a√b + c√b = (a + c)√b• a√b - c√b = (a - c)√b

PERKALIAN DAN PEMBAGIAN Contoh :Tentukan hasil operasi berikut :a.

b.

2 3 5 2

Jawab :

2 3 5 2 (2 5) 3 2 10 6 a.

(2 5)(2 2) 3 2(3 5 2 3)

b. (2 5)(2 2) 3 2(3 5 2 3)

2 2 5 2 3 3 2 5 3 2 2 3

4 10 9 10 6 6 5 10 6 6

PERPANGKATAN Kalian tentu masih ingat bahwa

(am)n = am.n

Rumus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan

dari akar suatu bilangan.

Tentukan hasil dari operasi berikut :

a. (5)3 b. (23)5

CONTOH :

Jawab :a. (5)3 = 53

b. (23)5 = 2535 = 32343 = 32813

= 32.93 = 2883

= 52.5 = 55

OPERASI CAMPURAN Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih

mudah menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akarnya. Sebelum

melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.

Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan-

bilangan yang ada dalam tanda kurung.

ATURAN OPERASI PENGHITUNGJika tidak ada tanda kurungnya maka

•pangkat dan akar sama kuat; •kali dan bagi sama kuat;

•tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih kuat dihitung terlebih

dahulu; kali dan bagi lebih kuat daripada

tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dihitung terlebih dahulu.

Selesaikan operasi bilangan berikut !

CONTOH :

a. 3 x 32 + 56b. (5 + 5)2

c. 2(36 : 9) – (212 : 3)

JAWAB :a. 3 x 32 + 56

= 33.2 + 56= 36 + 56= 86

b. (5 + 5)2 = (5 + 5) (5 + 5)= 5.5 + 5.5 + 5.5 + 5.5= 25 + 105 + 25= 25 + 105 + 5= 30 + 105

c. 2(36 : 9) – (212 : 3)= 2(4) – (24)= 2.2 – 2.2= 4 – 4= 0

MERASIONALKAN PENYEBUT

• Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar, misalnya

• Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan.

2 3 5 7, , ,3 2 2 3 3 5 3

• Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut adalah

• Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.

, , , ,b a b a b a b a b

PENYEBUT BERBENTUK √B

• Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta √b adalah bentuk akar maka pecahan a/√b dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan √b/√b .

a a b a b

bb b b

Contoh : Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan

penyebutnya! 1.3

a

Jawab :

1 1 3 1 3 1. 3

3 33 3 3a

3.5

b

3 3 5 3 5 3. 5

5 55 5 5b

Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)

• Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) atau (a+√b) maka pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari (a+√b) adalah (a+√b) adalah dan sebaliknya.

2

( ).c c a b c a b

aa ba b a b a b

2

( ).c c a b c a b

ba ba b a b a b

BUKTI

a b a b a a b b a b

2a a b b a b b

2a a b a b b 2a b (bilangan rasional)

CONTOH : • Rasionalkan penyebut pecahan berikut.

8.3 5

a

7.5 3

b

Jawab :

2

8 8 3 5 8(3 5) 8(3 5).

3 5 43 5 3 5 3 5a

2(3 5) 6 2 5

2

7 7 5 3 7(5 3) 7(5 3).

5 3 225 3 5 3 5 3a

75 3

22

PENYEBUT BERBENTUK (√B+√D) ATAU (√B+√D)

• Pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawannya, yaitu sebagai berikut

( ).

c c a b c a ba

a ba b a b a b

( ).

c c a b c a bb

a ba b a b a b

CONTOH: Selesaikan soal berikut!

3.3 2

a

4.5 3

b

Jawab :3 3 3 2 3( 3 2)

. 3 3 3 23 23 2 3 2 3 2

a

4 4 5 3 4( 5 3).

5 35 3 5 3 5 3b

4( 5 3)

2( 5 3) 2 5 2 32