notasi matriks

Download NOTASI MATRIKS

Post on 07-Feb-2016

47 views

Category:

Documents

2 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Science

TRANSCRIPT

Tugas Makalah

NOTASI MATRIKS UNTUK OPERATOR LINIER

D

I

S

U

S

U

N

OLEH:

Deslina Zebua

Devi Sunday Hutapea

Hotdon Naibaho

Yusuf Junior S

Pengenalan1. PERSAMAAN LINEAR

2. NOTASI MATRIKS PADA PERSAMAAN MATRIKS

Operator merupakan yang mengandung informasi tentang nilai-nilai(atau spektrum) suatu besaran bersangkutan. Untuk memperoleh nilai suatu besaran tersebut pada mekanika kuantum diperlukan perangkat matematika berupa aljabar operator. Operator pada fungsi gelombang misalnya operator yang bekerja pada fungsi gelombang,operatortersebut dapat menghasilkan suatu fungsi lainnya, yakni: Perangkat matematika yang diperlukan dalam hal ini, meliputi:

Operator Linear Penjumlahan dan perkalian operator Sifat tak komutatif perkalian operator Komutator dari dua operator Ortogonal,tenormalisasi,ortonormalA. Operator linear

Contoh- contoh dari operasi operator linear tersebut, misalnya perkalian dengan suatu konstanta c , perkalian dengan suatu fungsi : V (x) , diferensiasi : ketiganya adalah contoh dari operasi yang linear, yaitu memenuhi :

contoh yang tak linear misalnya : penjumlahan dengan suatu fungsi tertentu. namun selanjutnya kita hanya membahas operator yang linear saja. dua operator disebut sama : , jika hasi operasi nya terhadap fungsi yang mana saja adalah identik.

B. Penjumlahan dan perkalian operator

Antara dua operator dapat kita lakukan penjumlahan, dan perkalian. Penjumlahan dari dua operator didefenisikan . Defenisi ini mengakibatkan, misalnya:

begitu pula Singkatnya Operator- Operator berkomutasi pada operasi penjumlahan. Perkalian dua operator didefinisikan melalui

Perhatikan defenisi urutannya : bekerja pada , baru kemudian pada fungsi hasilnya dioperasikan :

Dan sebagainya pada perkalian juga berlaku :

Sehingga

C. Sifat tak komutatif perkalian operator

Umumnya perkalian operator tak komutatif sifatnya, jika Misalnya, dan maka sedangkan , yang tidak sama dengan .

Dalam hal ini dapat ditulis :

Karena berlaku untuk setiap dapat dituliskan sebagai kesamaan operator :

Perhatikan bahwa operator , atau :

Apabila persamaan ini kita kalikan dengan , dan mengingat bahwa , maka kita peroleh kesamaan operator :

Yang memperlihatkan bahwa operator-operator tidak komut.D. Komutator dari dua operator

Berkaitan dengan sifat-sifatnya terhadap komutasi, dapat didefinisikan komutator dari dua operator. Operasi perkalian antara dua operator sering dilakukan (seperti halnya perkalian antara dua observabel). Pengoperasian perkalian operator pada suatu fungsi dilakukan berturut-turut dari yang paling depan (paling dekat dengan fungsi yang dikenai). Perkalian antara dua operator mekanika kuantum yang sering muncul, karena sifat kedua operator tersebut adalah komutator. Komutator antara dua operator dan didefinisikan sebagai :

Dari defenisi di atas maka dapat diturunkan identitas-identitas berikut:

Apabila = 0, maka dikatakan bahwa dan bersifat komut. Nilai observabelnya dapat diukur secara serentak dan pasti serta mempunyai swafungsi simultan (klasik). Sedangkan apabila 0, dikatakan tidak komut, dan pengukuran observabelnya tidak bisa dilakukan secara serentar dan pasti (terikat pada prinsip ketakpastian Heisenberg, = )E. Ortogonal,tenormalisasi,ortonormal

Jika = 0, kedua fungsi dan itu disebut ortogonal sesamanya suatu fungsi dengan normal = 1, dimana dx=1 , disebut ternormalisasi. Suatu himpunan fungsi gelombang yang ortogonal sesamanya,yang masing-masing ternormalisasi disebut set fungsi gelombang yang ortonormal.F. Operator Hermit

Operator-operator yang sama dengan setangkup hermitnya disebut Operator Hermit.

Untuk semua operator hermit berlaku :

Yang berarti operator hermit itu bisa segera kita pindahkan keruang lainnya tanpa mengalami perubahan apapun.

Untuk setiap besaran fisis terdapat operator Hermitian yang mewakili besaran tersebut. Observabel atau kadang disebut sebagai observabel dinamis- sendiri diartikan sebagai sesuatu yang dapat diukur dan memiliki nilai. Mudahnya, besaran fisis dalam mekanika Newtonian berubah menjadi observabel (operator)1 dalam mekanika kuantum.

Misalnya, untuk menggambarkan energi total dalam mekanika kuantum kita gunakan

Bandingkan dengan Hamiltonian partikel untuk mekanika Newton

G. Operator invers

Beberapa sifat utama operator invers, misalnya:

H. Operator uniter

Suatu operator u yang biasa disebut uniter jika setangkup hermitnya identik dengan inversnya, atau:

Dengan demikian bagi operator uniter berlaku;

Masalah nilai eigen biasanya hasil operasi terhadap , yakni, merupakan fungsi yang bebas linear terhadap . namun bagi fungsi-fungsi tertentu, adalah sebanding dengan .

jadi, bagi fungsi khusus ini berlaku

= a (a=konstanta)

Kalau ini berlaku, disebut suatu fungsi eigen dari dan a itu disebut nilai eigennya, yang berkaitan dengan fungsi eigen tadi. guna menegaskan kaitan fungsi eigen dengan nilai eigennya, seringkali fungsi eigen itu dibubuhi tanda eigennya: a, sehingga hubungan tadi menjadi

a = aaKhusus bagi operator hermit berlaku teorema penting berikut ini:

a. Nilai eigen semua real

b. Fungsi-fungsi eigennya, dari nilai eigen yang berbeda, ortogonal sesamanya.

Pengukuran dalam mekanika kuantum dinyatakan dalam persamaan swanilai / nilai eigen.

dimana

= operator

= vektor keadaan

= nilai eigen (swanilai milik operator )

Nilai eigen menyatakan hasil ukur yang mungkin keluar dalam pengukuran.Misalkan A : V V suatu operator linear pada ruang vektor V. Suatu skalar kompleks a disebut nilai eigen dari A, jika terdapat vektor tak-nol V yang memenuhi persamaan

A() = a.

Vektor demikian disebut vektor eigen yang bersangkutan.

Jika V suatu vektor eigen dari operator linear A yang berkaitan dengan nilai eigen a, maka untuk sembarang c C, dengan c 0, cjuga merupakan vektor eigen terhadap a. Suatu nilai eigen a dikatakan tak-sederhana dengan orde m, dimana m 2, jika terdapat m buah vektor eigen yang bebas linear yang berkaitan dengan a. Jika tidak demikian, maka a disebut nilai eigen yang sederhana. Dapat diperlihatkan bahwa himpunan semua vektor eigen dari suatu operator linear pada ruang vektor V yang bersesuaian dengan suatu nilai eigen a, apabila digabung dengan himpunan tunggal yang beranggotakan vektor V, membentuk subruang dari V, yang kita namai subruang eigen yang berkaitan dengan nilai eigen a.

Kita memerlukan suatu cara yang sistematis untuk menentukan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari suatu operator linear. Pandang ruang hasil-kali dalam V dengan basis ortonormal S = 1, 2 , ... , n , operator linear A pada V. Misalkan a suatu nilai eigen dari A, dan

suatu vektor eigen yang bersangkutan, sehingga berlaku persamaan

(1) A() = a. Untuk i = 1,2,...n, perkalian-dalam ruas kiri

(1) dengan i menghasilkan

Dengan demikian, jika ruas kanan (1) juga dikalikan dengan i , maka diperoleh persamaan (2)yang dengan notasi (10) dapat pula dituliskan kembali menjadi

(3)

Hubungan (3) ini berupa sistem persamaan linear homogen dalam variabel-variabel ci , (i 1,2, ... ,n) yang merupakan koordinat-koordinat bagi vektor eigen yang dicari. Sistem demikian mempunyai penyelesaian yang tak-trivial bila dan hanya bila determinan matriks koefisien sistem tersebut sama dengan nol. Syarat ini dapat dinyatakan sebagai (4) det( ASaI ) = 0, dimana AS menyatakan matriks representasi bagi operator linear A, dan I matris identitas n n. Akar-akar dari persamaan (4),yang disebut persamaan karakteristik dari operator linear A, merupakan nilai-nilai eigen yang dicari. Jadi, jika diberikan suatu operator linear A, maka kita dapat menentukan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari A dengan menyelesaikan mula-mula persamaan (4), lalu kemudian persamaan (3).

Sekarang kita akan meninjau perilaku nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari operator Hermit. Kemudian nanti berdasarkan ini akan didefinisikan operator Hermit yang khusus, yang disebut observabel.

Teorema : Nilai-nilai eigen dari operator Hermit berupa bilangan real.

Bukti:

Misalkan A menyatakan operator Hermit pada ruang hasil-kali dalam V, dan a suatu nilai eigen dari A. Untuk suatu vektor eigen V, berlaku persamaan A() = a,

yang jika kedua ruasnya dikalikan dengan menghasilkan hubungan

(5) (A(), a (, .

Berdasarkan definisi operator Hermit dan persamaan (4), dapat disimpulkan bahwa

(A(), ,A()) A(), ,

yang memperlihatkan kerealan ruas kiri (5). Karena hasil-kali dalam di ruas kanan (5) juga real, maka terbukti bahwa nilai eigen a berupa bilangan real.

Jika sebuah operator,bekerja pada suatu fungsi,, dan hasilnya sama dengan fungsi tersebut dikalikan sebuah konstanta,, maka persamaan ini memenuhi persamaaneigenvalue

Variabeldisebut fungsi eigen (eigenfunction) dandisebut nilai eigen (eigenvalue).

Persamaaneigenvalueini biasa ditemukan pada persamaan gerak osilasi terkopel (coupled oscillation), persamaan gelombang padaquantum mechanics, dll.

Sebagai contoh, misalnya kita mendapatkan persamaan seperti di bawah ini

Untuk menyelesaikannya, kita gunakan matrix identitas

Jadi, persamaan di atas dapat dituliskan sebagai

Dengan memindahruaskan sisi kanan persamaan ke sisi kiri, kita dapatkan

Untuk mendapatkan hasilnon-trivia(bukan solusi), maka determinan matrix pertama sama dengan nol

Jadi, kita bisa mendapatkan persamaan

Solusieigenvaluedari persamaan tersebut adalah

Untuk mendapatka

Recommended

View more >