15. notasi penjumlahan

Download 15. Notasi Penjumlahan

Post on 31-Dec-2016

219 views

Category:

Documents

5 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 1

    15. Notasi Penjumlahan

    Dalam statistika kita sangat sering menjumlahkan bilangan yang banyak. Misalnya, kita mungkin

    akan menghitung harga rata-rata pasta gigi merk tertentu yang dijual di sepuluh toko yang berbeda;

    atau mungkin pula kita ingin mengetahui berapa kali sisi muka muncul bila tiga keping mata uang

    ditos beberapa kali.

    Perhatikan sebuah percobaan yang mengamati turunnya bobot badan selama periode 6 bulan.

    Data yang tercatat adalah 15, 10, 18, dan 6 kilogram. Jika nilai pertama kita lambangkan dengan x1,

    yang kedua x2, dan demikian seterusnya, maka kita dapat menuliskan x1 = 15, x2 = 10, x3 = 18, dan x4

    = 6.

    Dengan menggunakan huruf Yunani (sigma kapital) untuk menyatakan penjumlahan, kita

    dapat menuliskan jumlah empat perubahan bobot tersebut sebagai:

    yang kita baca penjumlahan xi, i dari 1 sampai 4. Bilangan 1 dan 4 masing-masing disebut batas

    bawah dan batas atas penjumlahan. Oleh karena itu

    Begitu pula:

    Secara umum, lambang berarti kita menggantikan i yang berada di belakang lambang

    penjumlahandengan 1 kemudian dengan 2, dan demikian seterusnya sampai dengan n, dan

    kemudian menjumlahkan semua suku-suku tersebut. Oleh karena itu, kita dapat menuliskan

    Untuk subskrip dapat digunakan huruf sembarang, walaupun tampaknya i, j, dan k lebih

    disukai para statistikawan. Jelaslah bahwa

  • Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 2

    Batas bawah penjumlahan tidak harus berupa subskrip. Misalnya, jumlah sembilan bilangan asli

    pertama dapat dituliskan sebagai

    Bila kita menjumlahkan untuk semua xi yang ada, kedua batas penjumlahan sering

    dihilangkan, kita cukup menuliskan xi. Jika dalam percobaan diit yang disebutkan di atas hanya

    digunakan 4 orang, maka xi = x1 + x2 + x3 + x4. Bahkan beberapa pengarang lebih ekstrem lagi

    dengan tidak menggunakan subskrip dan menuliskan x untuk menyatakan jumlah semua data yang

    ada.

    Contoh 1:

    Jika , , dan tentukanlah:

    a)

    b)

    c)

    Penyelesaian:

    a)

    b)

    c)

    Contoh 2:

    Misalkan diketahui , , , , , dan

    Maka hitunglah:

    a)

    b)

    Penyelesaian:

    a)

    b)

  • Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 3

    Tiga dalil berikut memberikan aturan dasar yang berhubungan dengan notasi penjumlahan.

    Dalil 1: Penjumlahan jumlah dua atau lebih peubah sama dengan jumlah masing-masing

    penjumlahannya. Jadi:

    Bukti: Dengan menguraikan ruas kiri dan kemudian mengelompokkan kembali, kita memperoleh

    Dalil 2: Jika c adalah suatu kinstanta, maka

    Bukti: Dengan menguraikan ruas kiri dan kemudian memfaktorkannya, kita memperoleh

    Dalil 3: Jika c adalah suatu konstanta, maka

    Bukti: Jika dalam Dalil 2, semua xi sama dengan 1, maka

    Contoh 3:

  • Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 4

    Jika diketahui , , , dan , maka hitunglah nilai

    Penyelesaian:

    Contoh 4: sederhanakan

    Penyelesaian:

  • Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 5

    Tidak jarang kita menghadapi data yang diklasifikasikan menurut dua kriteria. Misalnya, xij

    melambangkan banyaknya gas yang dihasilkan jika suatu percobaan kimia tertentu dilakukan pada

    taraf suhu ke-i dan taraf tekanan ke-j. Untuk menjumlahkan data yang demikian, sangat memudahkan

    bila kita menggunakan notasi penjumlahan ganda. Lambang

    berarti pertama-tama kita menjumlahkan menurut subskrip j, dengan mengikuti aturan penjumlahan

    tunggal, dan kemudian melakukan penjumlahan kedua dengan i mengambil nilai dari 1 sampai m.

    Dengan demikian, untuk data dalam tabel berikut,

    tekanan

    1 2 3 4

    suhu 1

    2

    kita memperoleh

    Begitu pula, jika f(xi,yi) menyatakan buku dari penerbit xi di universitas yi, maka

    melambangkan penjualan total buku-buku dari tiga penerbit tertentu di dua universitas tertentu.

    Referensi:

    Walpole, Ronald E. (1997). Pengantar Statistika, Edisi ke-3. Jakarta: Penerbit PT Gramedia

    Pustaka Utama, halaman: 12-17.

  • Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 6

  • Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 7

  • Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 8

  • Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 9

  • Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 10

  • Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 11

    Referensi:

    Olson, Chester L. (1987). Statistics Making Sence of Data. USA: Allyn and Bacon, Inc. Wells

    Avenue, Newton, Massachusetts, halaman: 10-16.