15. notasi penjumlahan

11
Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 1 15. Notasi Penjumlahan Dalam statistika kita sangat sering menjumlahkan bilangan yang banyak. Misalnya, kita mungkin akan menghitung harga rata-rata pasta gigi merk tertentu yang dijual di sepuluh toko yang berbeda; atau mungkin pula kita ingin mengetahui berapa kali sisi muka muncul bila tiga keping mata uang ditos beberapa kali. Perhatikan sebuah percobaan yang mengamati turunnya bobot badan selama periode 6 bulan. Data yang tercatat adalah 15, 10, 18, dan 6 kilogram. Jika nilai pertama kita lambangkan dengan x 1 , yang kedua x 2 , dan demikian seterusnya, maka kita dapat menuliskan x 1 = 15, x 2 = 10, x 3 = 18, dan x 4 = 6. Dengan menggunakan huruf Yunani (sigma kapital) untuk menyatakan penjumlahan, kita dapat menuliskan jumlah empat perubahan bobot tersebut sebagai: yang kita baca penjumlahan x i , i dari 1 sampai 4.Bilangan 1 dan 4 masing-masing disebut batas bawah dan batas atas penjumlahan. Oleh karena itu Begitu pula: Secara umum, lambang berarti kita menggantikan iyang berada di belakang lambang penjumlahandengan 1 kemudian dengan 2, dan demikian seterusnya sampai dengan n, dan kemudian menjumlahkan semua suku-suku tersebut. Oleh karena itu, kita dapat menuliskan Untuk subskrip dapat digunakan huruf sembarang, walaupun tampaknya i, j, dan k lebih disukai para statistikawan. Jelaslah bahwa

Upload: vumien

Post on 31-Dec-2016

267 views

Category:

Documents


5 download

TRANSCRIPT

Page 1: 15. Notasi Penjumlahan

Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 1

15. Notasi Penjumlahan

Dalam statistika kita sangat sering menjumlahkan bilangan yang banyak. Misalnya, kita mungkin

akan menghitung harga rata-rata pasta gigi merk tertentu yang dijual di sepuluh toko yang berbeda;

atau mungkin pula kita ingin mengetahui berapa kali sisi muka muncul bila tiga keping mata uang

ditos beberapa kali.

Perhatikan sebuah percobaan yang mengamati turunnya bobot badan selama periode 6 bulan.

Data yang tercatat adalah 15, 10, 18, dan 6 kilogram. Jika nilai pertama kita lambangkan dengan x1,

yang kedua x2, dan demikian seterusnya, maka kita dapat menuliskan x1 = 15, x2 = 10, x3 = 18, dan x4

= 6.

Dengan menggunakan huruf Yunani (sigma kapital) untuk menyatakan “penjumlahan”, kita

dapat menuliskan jumlah empat perubahan bobot tersebut sebagai:

yang kita baca “penjumlahan xi, i dari 1 sampai 4.” Bilangan 1 dan 4 masing-masing disebut batas

bawah dan batas atas penjumlahan. Oleh karena itu

Begitu pula:

Secara umum, lambang berarti kita menggantikan i— yang berada di belakang lambang

penjumlahan—dengan 1 kemudian dengan 2, dan demikian seterusnya sampai dengan n, dan

kemudian menjumlahkan semua suku-suku tersebut. Oleh karena itu, kita dapat menuliskan

Untuk subskrip dapat digunakan huruf sembarang, walaupun tampaknya i, j, dan k lebih

disukai para statistikawan. Jelaslah bahwa

Page 2: 15. Notasi Penjumlahan

Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 2

Batas bawah penjumlahan tidak harus berupa subskrip. Misalnya, jumlah sembilan bilangan asli

pertama dapat dituliskan sebagai

Bila kita menjumlahkan untuk semua xi yang ada, kedua batas penjumlahan sering

dihilangkan, kita cukup menuliskan xi. Jika dalam percobaan diit yang disebutkan di atas hanya

digunakan 4 orang, maka xi = x1 + x2 + x3 + x4. Bahkan beberapa pengarang lebih ekstrem lagi

dengan tidak menggunakan subskrip dan menuliskan x untuk menyatakan jumlah semua data yang

ada.

Contoh 1:

Jika , , dan tentukanlah:

a)

b)

c)

Penyelesaian:

a)

b)

c)

Contoh 2:

Misalkan diketahui , , , , , dan

Maka hitunglah:

a)

b)

Penyelesaian:

a)

b)

Page 3: 15. Notasi Penjumlahan

Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 3

Tiga dalil berikut memberikan aturan dasar yang berhubungan dengan notasi penjumlahan.

Dalil 1: Penjumlahan jumlah dua atau lebih peubah sama dengan jumlah masing-masing

penjumlahannya. Jadi:

Bukti: Dengan menguraikan ruas kiri dan kemudian mengelompokkan kembali, kita memperoleh

Dalil 2: Jika c adalah suatu kinstanta, maka

Bukti: Dengan menguraikan ruas kiri dan kemudian memfaktorkannya, kita memperoleh

Dalil 3: Jika c adalah suatu konstanta, maka

Bukti: Jika dalam Dalil 2, semua xi sama dengan 1, maka

Contoh 3:

Page 4: 15. Notasi Penjumlahan

Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 4

Jika diketahui , , , dan , maka hitunglah nilai

Penyelesaian:

Contoh 4: sederhanakan

Penyelesaian:

Page 5: 15. Notasi Penjumlahan

Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 5

Tidak jarang kita menghadapi data yang diklasifikasikan menurut dua kriteria. Misalnya, xij

melambangkan banyaknya gas yang dihasilkan jika suatu percobaan kimia tertentu dilakukan pada

taraf suhu ke-i dan taraf tekanan ke-j. Untuk menjumlahkan data yang demikian, sangat memudahkan

bila kita menggunakan notasi penjumlahan ganda. Lambang

berarti pertama-tama kita menjumlahkan menurut subskrip j, dengan mengikuti aturan penjumlahan

tunggal, dan kemudian melakukan penjumlahan kedua dengan i mengambil nilai dari 1 sampai m.

Dengan demikian, untuk data dalam tabel berikut,

tekanan

1 2 3 4

suhu 1

2

kita memperoleh

Begitu pula, jika f(xi,yi) menyatakan buku dari penerbit xi di universitas yi, maka

melambangkan penjualan total buku-buku dari tiga penerbit tertentu di dua universitas tertentu.

Referensi:

Walpole, Ronald E. (1997). Pengantar Statistika, Edisi ke-3. Jakarta: Penerbit PT Gramedia

Pustaka Utama, halaman: 12-17.

Page 6: 15. Notasi Penjumlahan

Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 6

Page 7: 15. Notasi Penjumlahan

Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 7

Page 8: 15. Notasi Penjumlahan

Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 8

Page 9: 15. Notasi Penjumlahan

Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 9

Page 10: 15. Notasi Penjumlahan

Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 10

Page 11: 15. Notasi Penjumlahan

Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono | 11

Referensi:

Olson, Chester L. (1987). Statistics Making Sence of Data. USA: Allyn and Bacon, Inc. Wells

Avenue, Newton, Massachusetts, halaman: 10-16.