bab i notasi - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · web viewbab i notasi -...

45
BAB I NOTASI KELOMPOK 2 NAMA KELOMPOK : 1. DEVI WINDA MARANTIKA (1101125015) 2. DODI PERDANA PUTRA (1101125017) 3. FITRAH BUDI SATRIA (1101125022) 4. FITRIAH CHOIRUNNISA (1101125023) 5. MEGA PUSPITA DEWI (1101125122) 6. MEI PUSPITA WATI (1101125049) 7. MOH. FAQIH FEBRIANA (1101125123) 8. NOPITA SARI (1101125057) 9. NURUL METRIANA (1101125064) 10. PANCA ADITHYA (1101125134) 11. PITRI YULIANTI (1101125065) 12. SHINTYA INDAH PERMATASARI (1101125076)

Upload: lykhanh

Post on 08-Feb-2018

304 views

Category:

Documents


10 download

TRANSCRIPT

Page 1: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

BAB I NOTASI

KELOMPOK 2

NAMA KELOMPOK :1. DEVI WINDA MARANTIKA (1101125015)2. DODI PERDANA PUTRA (1101125017)3. FITRAH BUDI SATRIA (1101125022)4. FITRIAH CHOIRUNNISA (1101125023)5. MEGA PUSPITA DEWI (1101125122)6. MEI PUSPITA WATI (1101125049)7. MOH. FAQIH FEBRIANA (1101125123)8. NOPITA SARI (1101125057)9. NURUL METRIANA (1101125064)10. PANCA ADITHYA (1101125134)11. PITRI YULIANTI (1101125065)12. SHINTYA INDAH PERMATASARI (1101125076)13. VINA ALMIRA AMALIA (1101125083)14. YAYAH SHULHIYYAH (1101125149)15. HANUM SORAYA

1. Carilah nilai dari :

Page 2: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

a.∑r=1

4

4.3=12

b.∑k=2

5

k=2+3+4+5

∑k=2

5

k=14

c.∑t=3

4

2 t 2=2 (3 )2+2 (4 )2

∑t=3

4

2 t 2=2 (9 )+2 (16 )

∑t=3

4

2 t 2=18+32

∑t=3

4

2 t 2=50

d.∑t= 4

6

2t=24+25+26

∑t= 4

6

2t=16+32+64

∑t= 4

6

2t=112

e.∑x=1

4

(x+3 )=(1+3 )+ (2+3 )+ (3+3 )+ (4+3 )

∑x=1

4

(x+3 )=4+5+6+7

∑x=1

4

(x+3 )=22

BAB 1 NOTASI Page 2

Page 3: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

f.∑x=−4

1

2 x ( x−1 )=[2 (−4 ) (−4−1 ) ]+ [2 (−3 ) (−3−1 ) ]+[2 (−2 ) (−2−1 ) ]+ [2 (−1 ) (−1−1 ) ]+[2 (0 ) (0−1 ) ]+ [2 (1 ) (1−1 ) ]

∑x=−4

1

2 x ( x−1 )=−8 (−5 )+(−6 ) (−4 )+ (−4 ) (−3 )+ (−2 ) (−2 )+0 (−1 )+2 (0 )

∑x=−4

1

2 x ( x−1 )=40+24+12+4−1+0

∑x=−4

1

2 x ( x−1 )=79

1. Carilah nilai dari :a.

∑j=1

3

∑i=1

2

( i+ j )=∑i=1

2

(∑j=13

i+ j )∑j=1

3

∑i=1

2

(i+ j )=∑i=1

2

( (i+1 )+( i+2 )+( i+3 ) )

∑j=1

3

∑i=1

2

(i+ j )=∑i=1

2

(3 i+6 )

∑j=1

3

∑i=1

2

(i+ j )=(( (3×1 )+6 )+( (3×2 )+6 ) )

∑j=1

3

∑i=1

2

(i+ j )=(3+6 )+ (6+6 )

∑j=1

3

∑i=1

2

(i+ j )=9+12

∑j=1

3

∑i=1

2

(i+ j )=21

BAB 1 NOTASI Page 3

Page 4: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

b.∑j=1

2

∑i=1

3

mij=(∑i=13

mi)(∑j=12

m j)∑j=1

2

∑i=1

3

mij=(m1+m2+m3 ) (m1+m2 )

∑j=1

2

∑i=1

3

mij=m12+m1m2+m1m2+m2

2+m1m3+m2m3

∑j=1

2

∑i=1

3

mij=m12+2m1m2+m2

2+m1m3+m2m3

c.∑y=1

3

∑x=2

4

(x+2y )=∑x=2

4

(∑y=13

x+2y)∑y=1

3

∑x=2

4

(x+2y )=∑x=2

4

(( x+21 )+(x+22 )+(x+23 ))

∑y=1

3

∑x=2

4

(x+2y )=∑x=2

4

( ( x+2 )+( x+4 )+( x+8 ) )

∑y=1

3

∑x=2

4

(x+2y )=∑x=2

4

(3 x+14 )

∑y=1

3

∑x=2

4

(x+2y )=((3 (2 )+4 )+(3 (3 )+4 )+ (3 (4 )+4 ) )

∑y=1

3

∑x=2

4

(x+2y )=(6+4 )+(9+4 )+ (12+4 )

∑y=1

3

∑x=2

4

(x+2y )=39

d.BAB 1 NOTASI Page 4

Page 5: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

∑n=−2

1

∑m=−1

1

(2m+1 ) (n+2 )=( ∑m=−1

1

(2m+1 ))(∑n=−2

1

(n+2 ))∑n=−2

1

∑m=−1

1

(2m+1 ) (n+2 )= [ (2 (−1 )+1 )+ (2 (0 )+1 )+(2 (1 )+1 ) ]

[ (−2+2 )+(−1+2 )+(0+2 )+ (1+2 ) ]

∑n=−2

1

∑m=−1

1

(2m+1 ) (n+2 )= [−1+1+3 ] [0+1+2+3 ]

∑n=−2

1

∑m=−1

1

(2m+1 ) (n+2 )= (3 ) (6 )

∑n=−2

1

∑m=−1

1

(2m+1 ) (n+2 )=18

2. Nyatakan dalam bentuk Notasi ∑ :

a. 5+5+5+5

notasinya :∑i=1

4

5 (1 )i

b. (7−1 )+(7−2 )+ (7−3 )+ (7−4 )

notasinya :∑i=1

4

(7−i )

c. 2+5+8+11+14

notasinya :∑i=1

5

(3 i+2 )

d. (−6 )+ (−4 )+(−2 )+0+2+4

notasinya :∑i=−3

2

2 i

e. 1.22+2.32+3.42+4.52

notasinya :∑k=1

4

k ( k+1 )2

f. 3+32+33+34+35

notasinya=∑k=1

5

3k

3. Nyatakan dalam notasi ∑ :

BAB 1 NOTASI Page 5

Page 6: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

a. x11 y11+x12 y21+x13 y31+x14 y 41

notasinya :∑i=1

4

∑j=1

4

(x1 i y j1 )

b. ( p1+q1 )+ ( p2+q1 )+( p1+q2 )+( p2+q2 )+ ( p1+q3 )+( p2+q3 )

notasinya :

c. a41b13+a42b23+a43b33+a44 b43

notasinya : ∑i= j=1

4

a4 ib j 3

4. Carilah nilai dari :a.

∏i=1

3

2=2.2 .2=8

b.∏k=2

3

3k=(3×2 ) (3×3 )

∏k=2

3

3k=6×9

∏k=2

3

3k=54

c.∏y=1

3

∏x=1

2

xy=(∏x=12

x)(∏y=13

y )∏y=1

3

∏x=1

2

xy=(1.1 ) (2.1 ) (1.2 ) (2.2 ) (1.3 ) (2.3 )

∏y=1

3

∏x=1

2

xy=1.2.2 .4 .3 .6

∏y=1

3

∏x=1

2

xy=288

d.∏q=0

2

∏p=−1

3

( p+1 ) (q−1 )=[∏p=−1

3

(p+1 )][∏q=02

(q−1 )]BAB 1 NOTASI Page 6

Page 7: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

∏q=0

2

∏p=−1

3

( p+1 ) (q−1 )=[ (−1+1 ) (0+1 ) (1+1 ) (2+1 ) (3+1 ) ] [ (0−1 ) (1−1 ) (2−1 ) ]

∏q=0

2

∏p=−1

3

( p+1 ) (q−1 )=(0×1×2×3 ) (−1×0×1 )

∏q=0

2

∏p=−1

3

( p+1 ) (q−1 )=0

5. Carilah nilai dari :a.

∑m=2

4

∏n=1

3

(m−n )=¿∑m=2

4

(∏n=13

(m−n ))¿

∑m=2

4

∏n=1

3

(m−n )=¿∑m=2

4

( (m−1 ) (m−2 ) (m−3 ) )¿

∑m=2

4

∏n=1

3

(m−n )=¿∑m=2

4

(m2−3m+2 ) (m−3 ) ¿

∑m=2

4

∏n=1

3

(m−n )=¿∑m=2

4

(m3−6m2+9m−6 )¿

∑m=2

4

∏n=1

3

(m−n )=¿ ((23−6 (22 )+9 (2 )−6 )+(33−6 (32 )+9 (3 )−6 ) (43−6 (42 )+9 (4 )−6 ))¿

∑m=2

4

∏n=1

3

(m−n )=¿ (8−24+18−6 )+(27−54+27−6 )+ (64−96+36−6 ) ¿

∑m=2

4

∏n=1

3

(m−n )=¿ (−4 )+(−6 )+ (−2 )¿

∑m=2

4

∏n=1

3

(m−n )=¿−12¿

b.

BAB 1 NOTASI Page 7

Page 8: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

∏x=1

2

∑y=1

3

xy=∏x=1

2

(∑y=13

xy )∏x=1

2

∑y=1

3

xy=∏x=1

2

( x1+x2+x 3 )

∏x=1

2

∑y=1

3

xy=∏x=1

2

( x+2 x+3x )

∏x=1

2

∑y=1

3

xy=∏x=1

2

(6 x )

∏x=1

2

∑y=1

3

xy=(6×1 ) (6×2 )

∏x=1

2

∑y=1

3

xy=6×12

∏x=1

2

∑y=1

3

xy=72

6. Perhatikan bahwa :1=12 2n−1=1 ,2n=2, n=1 , Sn=n2=12=1

1+3=4=22 2n−1=3 ,2n=4 , n=2 , Sn=n2=22=4

1+3+5=9=32 2n−1=5 ,2n=6 , n=3 , Sn=n2=32=9

1+3+5+7=16=42 2n−1=7 ,2n=8 , n=4 , Sn=n2=42=16

Dengan menggunakan pola yang Nampak carilah :a. 1+3+5+…+99

2n−1=99

2n=100

n=50

Sn=n2=502=2500

b. 1+3+5+…+5555

2n−1=5555

2n=5556

n=2778

Sn=n2=27782=771728

c. 1+3+5+…+1001 2n−1=1001

BAB 1 NOTASI Page 8

Page 9: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

2n=1002

n=501

Sn=n2=5012=251001d. 1+3+5+…+99999

2n−1=99999

2n=100000

n=50000

Sn=n2=500002=25×108Dengan pengalaman menyelesaikan soal a, b,c, dan d :e. Carilah rumus untuk mencari 1+3+5+…+ (2n−1 )

1=1=12

1+3=4=22

1+3+5=9=32

Pola nampak dan dapat diduga dari tiga kasus atau keadaan diatas adalah :1+3+5+…+(2n−1 )=n2untuk setiapn∈N

f. Selidiki secara induksi matematis apakah rumus yang diperolh benar ?1+3+5+…+(2n−1 )=n2untuk setiapn∈N

(i) Missal n=1( (2×1 )−1 )=12

(2−1 )=1

1=1benar

(ii) Misal n=k

1+3+5+…+(2k−1 )=k2 , asumsikanbenar

(iii) Harus di tunjukkan n=k+1

BAB 1 NOTASI Page 9

Page 10: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

1+3+5+…+(2k−1 )+(2 (k+1 )−1 )=( k+1 )2

k 2+2k+1=(k+1 )2

(k+1 )2=(k+1 )2

TERBUKTI

7. Perhatikan bahwa :11.2

=12=11−12

12.3

=16=12−13

13.4

= 112

=13− 14

a. Carilah 11.2+ 12.3

11.2

+ 12.3

=( 11−12 )+( 12−13 )11.2

+ 12.3

=6−3+3−26

11.2

+ 12.3

=46=23

b. Carilah 11.2+ 12.3

+ 13.4

11.2

+ 12.3

+ 13.4

=( 11−12 )+( 12−13 )+( 13−14 )11.2

+ 12.3

+ 13.4

=12−6+6−4+4−312

BAB 1 NOTASI Page 10

Page 11: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

11.2

+ 12.3

+ 13.4

= 912

=34

c. Carilah 11.2+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

11.2

+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

=( 11−12 )+( 12−13 )+( 13−14 )+( 14−15 )11.2

+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

=60−30+30−20+20−15+15−1260

11.2

+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

=4860

=45

d. Berdasarkan pola yang anda duga, carilah rumus jumlah :11.2

+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

+…+ 1n (n+1 )

Jawab :Sn=

11.2

+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

+…+ 1n (n+1 )

11.2

=11−12

12.3

=12−13

13.4

=13−14

dst ⋮

1n (n+1 )

=1n− 1n+1

Sn=11− 1n+1

=n+1−1n+1

= nn+1

+¿

BAB 1 NOTASI Page 11

Page 12: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

Sehinga dapat ditunjukan suatu pola bahwa :Sn=

11.2

+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

+…+ 1n (n+1 )

= nn+1

e. Selidiki dengan induksi matematis apakah rumus anda benar ?11.2

+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

+…+ 1n (n+1 )

= nn+1

(i) Missal n=11

1 (1+1 )= 11+1

12=12, Benar

(ii) Missal n=k

11.2

+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

+…+ 1k (k+1 )

= kk+1

, Asumsikanbenar

(iii) Harus ditunjukan n=k+1

11.2

+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

+…+ 1k (k+1 )

+ 1(k+1 ) (k+2 )

= k+1k+2

kk+1

+ 1(k+1 ) (k+2 )

= k+1k+2

k (k+2 )+1(k+1 ) (k+2 )

= k+1k+2

k2+2k+1(k+1 ) (k+2 )

= k+1k+2

(k+1 ) (k+2 )(k+1 ) (k+2 )

= k+1k+2

k+1k+2

= k+1k+2

BAB 1 NOTASI Page 12

Page 13: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

TERBUKTI8. Buktikan dengan induksi matematis :

a. 12+32+52+…+(2n−1 )2=13n (2n−1 ) (2n+1 )

(i) Missal n=1(2 (1 )−1 )2=13 (1 ) (2 (1 )−1 ) (2 (1 )+1 )

12=13

(1 ) (3 )

1=1 ,Benar

(ii) Missal n=k

12+32+52+…+(2k−1 )2=13k (2k−1 ) (2k+1 ) , Asumsikan Benar

(iii) Harus ditunjukan n=k+1

12+32+52+…+(2k−1 )2+ (2 ( k+1 )−1 )2=13 (k+1 ) (2 ( k+1 )−1 ) (2 (k+1 )+1 )

13k (2k−1 ) (2k+1 )+(2k+1 )2=1

3(k+1 ) (2k+1 ) (2k+3 )

(4 k3−k )+3 (4 k2+4 k+1 )3

=13

(k+1 ) (2 k+1 ) (2k+3 )

4 k3+12k 2+11 k+33

=13

(k+1 ) (2k+1 ) (2k+3 )

13

(k+1 ) (2k+1 ) (2k+3 )=13

( k+1 ) (2k+1 ) (2k+3 )

TERBUKTI

b. 1+4+7+10+…+ (3n−2 )=12n (3n−1 )

BAB 1 NOTASI Page 13

Page 14: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

(i) Missal n=1(3n−2 )=1

2n (3n−1 )

(3 (1 )−2 )=12 (1 ) (3 (1 )−1 )

1=12

(2 )

1=1 , Benar

(ii) Misal n=k

1+4+7+10+…+(3k−2 )=12k (3k−1 ) , AsumsikanBenar

(iii) Harus ditunjukkan n=k+1

1+4+7+10+…+(3k−2 )+ (3 (k+1 )−2 )=12 (k+1 ) (3 (k+1 )−1 )

12k (3k−1 )+ (3k+1 )=1

2(k+1 ) (3k+2 )

(3k2−k )+2 (3k+1 )2

=12

(k+1 ) (3k+2 )

3k2+5k+22

=12

(k+1 ) (3k+2 )

12

(k+1 ) (3k+2 )=12

( k+1 ) (3k+2 )

TERBUKTI

c. 1.3+2.4+3.5+…+n (n+2 )=16n (n+1 ) (2n+7 )

(i) Missal n=1BAB 1 NOTASI Page 14

Page 15: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

n (n+2 )=16n (n+1 ) (2n+7 )

1 (1+2 )=16

(1 ) ( (1 )+1 ) (2 (1 )+7 )

1.3=16

(2 ) (9 )

3=3

(ii) Missal n=k

1.3+2.4+3.5+…+k ( k+2 )=16k (k+1 ) (2k+7 ) , AsumsikanBenar

(iii) Harus ditunjukkan n=k+1

1.3+2.4+3.5+…+k ( k+2 )+(k+1 ) ( (k+1 )+2 )=16 (k+1 ) ( (k+1 )+1 ) (2 (k+1 )+7 )

16k ( k+1 ) (2k+7 )+ (k+1 ) (k+3 )=1

6(k+1 ) (k+2 ) (2k+9 )

(k2+k ) (2k+7 )+6 (k2+4k+3 )6

=16

(k+1 ) (k+2 ) (2k+9 )

(2k3+9k2+7k )+ (6k2+24 k+18 )6

=16

( k+1 ) ( k+2 ) (2k+9 )

2k3+15k2+31k+186

=16

(k+1 ) (k+2 ) (2k+9 )

16

( k+1 ) ( k+2 ) (2k+9 )=16

( k+1 ) ( k+2 ) (2k+9 )

TERBUKTI

9. Buktikan dengan induksi matematis :a. ∑

n=1

k

n2=16k ( k+1 ) (2k+1 ) , untuk setiap n∈Z+¿ ¿

BAB 1 NOTASI Page 15

Page 16: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

12+22+32+…+k 2=16k (k+1 ) (2k+1 )

Harus ditunjukan n=k+1

12+22+32+…+k 2+( k+1 )2=16

(k+1 ) ( ( k+1 )+1 ) (2 ( k+1 )+1 )

16k ( k+1 ) (2k+1 )+(k2+2k+1 )=1

6(k+1 ) (k+2 ) (2 k+3 )

(k2+k ) (2k+1 )+6 (k2+2k+1 )6

=16

(k+1 ) (k+2 ) (2k+3 )

(2k3+3k2+k )+(6k2+12k+6 )6

=16

(k+1 ) (k+2 ) (2k+3 )

2k3+9k2+13k+66

=16

(k+1 ) (k+2 ) (2k+3 )

16

( k+1 ) ( k+2 ) (2k+3 )=16

( k+1 ) ( k+2 ) (2k+3 ) , TERBUKTI

b. ∑m=1

i

m3={12 t ( t+1 )}2

13+23+33+43+…+m3={m2 (m+1 )}2

Bukti :(i) Untuk m=1

13={12 (1+1 )}2

1=1(ii) Untuk m=k

13+23+33+43+…+k3={k2 (k+1 )}2 ASUMSIKAN BENAR

(iii) Akan dibuktikan untuk m=k+1

13+23+33+43+…+k3+(k+1)3={k+12 ((k+1)+1 )}2

BAB 1 NOTASI Page 16

Page 17: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

{k2 (k+1 )}2

+(k+1 )3={(k+1) (k+2 )2 }

2

{k2 (k+1 )}2

+(k+1 )2 (k+1 )={(k+1) (k+2 )2 }

2

(k+1 )2[ k222+ (k+1 )]={(k+1) (k+2 )2 }

2

(k+1 )2[ k2+4 k+422 ]={(k+1) (k+2 )2 }

2

{(k+1) (k+2 )2 }

2

={(k+1) (k+2 )2 }

2

TERBUKTI

c. ∑x=1

y

x ( x+1 )=13y ( y+1 ) ( y+2 ) , untuk setiap n∈Z+¿ ¿

1.2+2.3+3.4+…+ y ( y+1 )=13y ( y+1 ) ( y+2 )

Harus ditunjukkan x= y+1

1.2+2.3+3.4+…+ y ( y+1 )+ ( y+1 ) ( ( y+1 )+1 )=13 ( y+1 ) ( ( y+1 )+1 ) ( ( y+1 )+2 )

13y ( y+1 ) ( y+2 )+ ( y+1 ) ( y+2 )=1

3( y+1 ) ( y+2 ) ( y+3 )

( y2+ y ) ( y+2 )+3 ( y2+3 y+2 )3

=13

( y+1 ) ( y+2 ) ( y+3 )

( y3+3 y2+2 y )+(3 y2+9 y+6 )3

=13

( y+1 ) ( y+2 ) ( y+3 )

y3+6 y2+11 y+63

=13

( y+1 ) ( y+2 ) ( y+3 )

13

( y+1 ) ( y+2 ) ( y+3 )=13

( y+1 ) ( y+2 ) ( y+3 ) , TERBUKTI

BAB 1 NOTASI Page 17

Page 18: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

10. Buktikan dengan induksi matematis :a. 4 n<(n2−7 ) untuk semua nϵ Z dan n≥6Jawab :(i) Untuk n=6

4 (6)<((6)2−7 )24< (36−7 )

24<29 BENAR(ii) Untuk n=k

4 k<(k2−7 ) ASUMSIKAN BENAR(iii) Harus ditunjukkan bahwa n=k+1Karena 4 (k+1 )=4k+4dan 4k<(k2−7 )Maka :4 (k+1 )<{(k2−7 )+4 }4 (k+1 )<(k2−3 )Karena (k−6 )≥0untuk k ≥6 maka (k−6 )≥−3 untuk k ≥6 sehingga :4 (k+1 )<k 2+k−6

4 (k+1 )<k 2+2k−6(karena2k>k)

4 (k+1 )<k 2+2k+1−7

4 (k+1 )<(k+1)2−7TERBUKTIb. (cosθ+ isin θ )n=cosnθ+i sin nθ untuk semua n∈Z dann≥0

(i) Untuk n=0(cosθ+ isin θ )n=cosnθ+i sin nθ

(cosθ+ isin θ )0=cos0θ+i sin 0θ

1=1 , BENAR

Untuk n=1BAB 1 NOTASI Page 18

Page 19: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

(cosθ+ isin θ )n=cosnθ+i sin nθ

(cosθ+ isin θ )1=cos1θ+ isin 1θ

cosθ+ isinθ=cosθ+i sinθ ,BENAR

(ii) Untuk n=k

(cosθ+ isin θ )k=coskθ+ isin kθ , ASUMSIKAN BENAR

(iii) Untuk n=k+1

(cosθ+ isin θ )k +1=cos (k+1)θ+ isin(k+1)θ

(cosθ+ isin θ )k (cosθ+i sinθ )=cos (kθ+θ )+isin (kθ+θ )

(cos kθ+i sin kθ)(cos θ+isin θ )=(coskθ cosθ−sin kθ sin θ )+¿

i(sin kθcosθ+coskθ sin θ)

cos kθ cosθ+cos kθ isin θ+i sin kθ cosθ+ i2 sin kθ sinθ=¿

cos kθ cosθ−sin kθ sin θ+i sin kθ cosθ+i coskθ sin θ

Karena i=√−1, dan i2=−1 maka :cos kθ cosθ+cos kθ isinθ+i sin kθcosθ+(−1)sin kθ sin θ=¿

cos kθ cosθ−sin kθ sin θ+i sin kθ cosθ+i coskθ sin θ

cos kθ cosθ+cos kθ isin θ+i sin kθ cosθ−sin kθ sin θ=¿

cos kθ cosθ−sin kθ sin θ+i sin kθ cosθ+i coskθ sin θ

cos kθ cosθ−sin kθ sin θ+i sin kθ cosθ+i coskθ sin θ=¿

cos kθ cosθ−sin kθ sin θ+i sin kθ cosθ+i coskθ sin θ

TERBUKTIc. n<2n untuk semua nϵ ZJawab :(i) Untuk n=1

1<21

BAB 1 NOTASI Page 19

Page 20: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

1<2→ BENAR(ii) Untuk n=k

k<2k k ϵ Z ,0<k maka 20<2k

20+k<2k+k<2k+2k

20+k<2k+2k

20+k<2.2k

1+k<2k+1

k+1<2k+1

TERBUKTId. n3−n habis dibagi oleh 3(i) Untuk S(1)=1

S (1 )=13−1

S (1 )=0

Benar ,0habis dibagi3(ii) Anggaplah S (k )Benar

S(k)=k3−k habis dibagi 3(iii) Harus ditunjukkan bahwa S(k+1) benar, yaitu :S (k+1 )= (k+1 )3−( k+1 )

S (k+1 )=k3+3k2+3k+1−k−1

S (k+1 )=(k¿¿3−k )+3k2+3k ¿Karena k3−k habis dibagi 3, maka k3−k mempunyai factor 3, sehingga k3−k dapat dinyatakan dengan 3 t. Dengan demikian :(k¿¿3−k )+3 (k 2+k )=3 t+3 (k2+k )¿ mempunyai factor 3(k¿¿3−k )+3 (k 2+k )¿habis dibagi 3Sehingga :S (k+1 )=(k¿¿3−k )+3 (k 2+k )¿

S (k+1 )=3t+3 (k2+k )

BAB 1 NOTASI Page 20

Page 21: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

S (k+1 )=3 ( t+k 2+k ) habis dibagi 3, S (k+1 ) BENARTERBUKTI

e. 1+2+22+…+2n=2n+1−1

20+21+22+…+2n=2n+1−1(i) Untuk n=02n=2n+1−1

20=20+1−1

1=21−1

1=1 BENAR(ii) Untuk n=k

20+21+22+…+2k=2k+1−1, ASUMSIKAN BENAR(iii) Harus dibuktikan n=k+1

20+21+22+…+2k+2k +1=2( k+1) +1−1

2k +1−1+2k+1=2k+2−1

2.2k +1−1=2k +2−1

2k +2−1=2k +2−1 TERBUKTIf. 2n<n ! untuk semua nϵ Z dann≥4(i) Untuk n=42n<n!

2 (4 )<4 !

8<4×3×2×1!

8<24 BENAR(ii) Untuk n=k

2k<k !(iii) Harus dibuktikan untuk n=k+1

2 (k+1 )<(k+1 )!Dimana :(k+1 )!=1×2×3×…×k× (k+1 )(k+1 )!=(k ! )(k+1 )<2k (k+1 ) sebab 2k<k !2 (k+1 )<(k+1 )! sebab 2<2k

BAB 1 NOTASI Page 21

Page 22: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

TERBUKTIg. ¿n2 untuk semua nϵ Z dann>4(i) Untuk n=5

2n>n2

25>52

32>25 BENAR(ii) Untuk n=k

2k>k 2(iii) Untuk n=k+1

2k +1> (k+1 )2

2k .21>( k+1 )221 karena 2k>k 2h. n !<nn untuk semua nϵ Z dann>1(i) Untuk n=2

2 !<22

2×1<4

2<4 BENAR(ii) Untuk n=k

k !<kk ASUMSIKAN BENAR(iii) Akan dibuktikan untuk n=k+1

(k+1 )!<¿

(k+1 )!=1×2×3×…×k× (k+1 )

(k+1 )!=k ! (k+1 )

(k+1 )!<kk (k+1 ) sebab k !<kk¿ (k+1 ) k (k+1 ) sebab (k+1 )<k sehingga (k+1 )k<kk

Maka:(k+1 )!<¿

TERBUKTIBAB 1 NOTASI Page 22

Page 23: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

i. 3+3.5+3.52+…+3.5n= 34

(5n+1−1 )

3.50+3.51+3. 52+…+3.5n=34

(5n+1−1 )

(i) Untuk n=03.50=3

4(50+1−1 )

3.1=34

(4 )

3=3 BENAR(ii) Untuk n=k

3.50+3.51+3.52+…+3.5k=34

(5k+1−1 ) ASUMSIKAN BENAR(iii) Harus ditunjukan n=k+1

3.50+3.51+3.52+…+3.5k+3.5k +1=34

(5(k +1)+1−1 )

34

(5k +1−1 )+3. 5k+ 1=34

(5k+2−1 )

34(5¿¿k+1)−3

4+3.5k+1=3

4(5k+2−1 )¿

154

(5¿¿k+1)−34=34

(5k+2−1 )¿

154.5k .51−3

4=34

(5k +2−1 )

754.5k−3

4=34

(5k +2−1 )

52.345k−3

4=34

(5k +2−1 )

34

(5k +2−1 )=34

(5k+2−1 )

TERBUKTI11. Apakah pernyataan :Jika n>2 maka tidak ada x , y , z∈Z+¿¿ yang memenuhi hubungan x2+ y2=z2 merupakan suatu konjektur ? mengapa ?BAB 1 NOTASI Page 23

Page 24: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

Jawab :Teorema terakhir Fermat menyatakan bahwa tidak ada bilangan bulat bukan-nol yang memenuhi persamaan: xn + yn = zn dengan n bilangan bulat lebih besar dari 2. Hubungan antara teori Fermat dan Taniyama-Shimura Jika p adalah bilangan prima ganjil, dan a, b, c adalah bilangan bulat positif memenuhi ap+bp=cp, maka persamaan y = x(x - a² p)(x + bp) akan mendefinisikan sebuah kurva elips hipotetis kurva Frey, yang harusnya ada jika (dan hanya jika) teorema terakhir Fermat salah. Setelah karya Yves Hellegouarch yang pertama kali menyebutkan kurva ini, Frey menunjukkan bahwa jika kurva tersebut benar-benar ada, maka ia akan memiliki sifat-sifat yang aneh, dan mengusulkan bahwa kurva tersebut mungkin tidak memiliki bentuk modular.12. Carilah rumus jumlahnya dan buktikan dengan induksi matematis :

a. 12.4

+ 14 .6

+ 16 .8

+…+ 1(2n ) (2n+2 )

Sn=12 .4

+ 14 .6

+ 16 .8

+…+ 1(2n )(2n+2)

12.4

=12( 12−14)

14 .6

=12( 14−16)

16 .8

=12( 16−18)

1(2n ) (2n+2 )

=12 [ 1(2n )

− 1(2n+2 ) ]

12 [ 12− 1

(2n+2 ) ]=12 [n+1−12n+2 ]=12 [ n2n+2 ]

BAB 1 NOTASI Page 24

Page 25: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

∴S (n )= 12 .4

+ 14 .6

+ 16 .8

+…+ 1(2n ) (2n+2 )

= n2 (2n+2 )

Pembuktian dengan induksi matematis :(i) Untuk n=1

1(2n ) (2n+2 )

= n2 (2n+2 )

1(2.1 ) (2.1+2 )

= 12 (2.1+2 )

18=18, BENAR

(ii) Untuk n=k

12.4

+ 14 .6

+ 16 .8

+…+ 1(2k )(2+2)

= k2(2k+2)

ASUMSIKAN BENAR(iii) Akan dibuktikan untuk n=k+1

12.4

+ 14 .6

+ 16 .8

+…+ 1(2k )(2+2)

+ 1¿¿

k2(2k+2)

+ 1(2 k+2)(2 k+4)

= k+12(2k+4)

k (2 k+4 )+22 (2k+2 )(2k+4)

= k+12(2k+4 )

2 (k+1 )(k+1)2 (2k+2 ) (2k+4 )

=k+1

2(2k+4 )

k+12(2k+4 )

= k+12(2k+4)

b. 11.3

+ 13 .5

+ 15.7

+…..+ 1(2n−1 ) (2n+1 )

S (n )= 11 .3

+ 13 .5

+ 15 .7

+… ..+ 1(2n−1 )(2n+1)

11.3

=12 (11−13 )

BAB 1 NOTASI Page 25

Page 26: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

13.5

=12 ( 13−15 )

15.7

=12 ( 15−17 )

1(2n−1 )(2n+1)

=12 [ 12n−1

− 12n+1 ]

S (n )=[ 11− 12n+1 ]=12 [ 2n+1−12n+1 ]= 12 [ 2n2n+1 ]

∴ S (n )= 11 .3

+ 13 .5

+ 15 .7

+… ..+ 1(2n−1 )(2n+1)

= n2n+1

Pembuktian dengan induksi matematis :(i) Untuk n=1

1(2n−1 ) (2n+1 )

= n2n+1

1(2.1−1 )(2.1+1)

= 12.1+1

13=13BENAR(ii) Untuk n=k

11.3

+ 13 .5

+ 15.7

+…..+ 1(2k−1 )(2k+1)

= k2k+1ASUMSIKAN BENAR(iii) Akan dibuktikan untuk n=k+1

11.3

+ 13 .5

+ 15.7

+…..+ 1(2k−1 )(2k+1)

+ 1(2 (k+1 )−1 )(2 (k+1 )+1)

= k+12 (k+1 )+1

k2k+1

+ 1(2k+1 )(2k+3)

= k+12k+3

BAB 1 NOTASI Page 26

Page 27: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

k (2k+3 )+1(2k+1 )(2k+3)

= k+12k+3

2k2+3k+1(2k+1 )(2k+3)

= k+12k+3

(2k+1 ) ( k+1 )(2k+1 ) (2k+3 )

= k+12k+3

k+12k+3

= k+12k+3TERBUKTI

c.12.5

+ 15.8

+ 18 .11

+… ..+ 1(3n−1 ) (3n+2 )

S (n )= 12.5

+ 15.8

+ 18.11

+… ..+ 1(3n−1 )(3n+2)

12.5

=13 ( 12−15 )

15.8

=13 ( 15−18 )

18.11

=13 (18− 1

11 )⋮

1(3n−1 ) (3n+2 )

=13 ( 13n−1

− 13n+2 )

S (n )=13 [ 12− 1

3n+2 ]=13 [3n+2−26 n+4 ]=13 [ 3n6n+4 ]S (n )=[ n

6 n+4 ]∴ 12.5

+ 15.8

+ 18.11

+… ..+ 1(3n−1 ) (3n+2 )

=[ n6 n+4 ]Pembuktian induksi matematis :(i) Untuk n=1

1(3.1−1 ) (3.1+2 )

=[ 16.1+4 ]

12.5

= 110

,BENAR

BAB 1 NOTASI Page 27

Page 28: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

(ii) Untuk n=k

12.5

+ 15.8

+ 18.11

+…..+ 1(3k−1 ) (3k+2 )

=[ k6 k+4 ]ASUMSIKAN BENAR(iii) Akan dibuktikan untuk n=k+1

12.5

+ 15.8

+ 18.11

+…..+ 1(3 k−1 ) (3k+2 )

+ 1(3 (k+1 )−1 ) (3 (k+1 )+2)

=[ k+16 (k+1)+4 ]

[ k2(3 k+2) ]+ 1

(3k+2 )(3k+5)=[ k+16k+10 ]

k (3k+5 )+22 (3k+2 )(3k+5)

= k+12(3 k+5)

3k2+5k+22 (3k+2 )(3k+5)

= k+12(3 k+5)

k+12(3k+5)

= k+12(3k+5)

TERBUKTI13. Buktikan bahwa:a. 3membagi (n3+2n )untuk semuabilangan bulat n≥0Bukti : ambil s (n )=n3+2n

(i) s (0 )benar , sebab s (0 )=(0 )3+2.0=0+0 , dan0habis dibagi5 (ii) anggaplah S (k )=k3+2k habis dibagi3 (iii) harus di tunjukanbahwah s (k+1 )benar yaitu :s (k+1 )= (k+1 )3+2 (k+1 )

¿k3+3 k 2+3 k+1+2k+2=k 3+3 k2+5 k+3habis dibagi 3

s (k+1 )=k3+3k2+5k+3¿k3+2 k+3 (k2+k+1)

s (k+1 )=(k 3+2k )+3(k2+k+1) karena k3+2k habis dibagi3 ,makak3+2k mempunyai faktor 3 ,sehinggak3+2k dapat diyatakandengan3 t . dengandemikian : k3+2k=3 t→mempunyai faktor3

k3+2k→habis dibagi3

3 (k+1 )=(k3+2k )+3 (k2+k )

BAB 1 NOTASI Page 28

Page 29: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

∴ s (n ) salahuntuk semuan≥0

b. 5membagi (n5+n )untuk semuabilangan bulat n≥0

Bukti : ambil s (n )=n5+n

(i) s (0 )benar , sebab s (0 )=(0 )5+0=0+0 , dan0habis dibagi5 (ii) anggaplah5 (k )=k5+k habisdibagi5 (iii) harus ditunjukkanbahwa s ( k+1 )benar , yaitu :

5 (k+1 )=(k+1 )5+(k+1 )¿k5+5k 4+10k3+10k2+5k+1+k+1¿k5+5k 4+10k3+10k2+6k+2habis dibagi5

5 (k+1 )=k5+5 k4+10k3+10k2+6k+2¿ (k 5+k )+5k 4+10k3+10k2+5k+2

5 (k+1 )=(k5+k )+5 (k4+2k 3+2k 2+k )+2

karena k5+khabis dibagi5 ,maka k5+k mempunyai faktor 5 ,sehinggak5+k dapat dinyatakandengan5 t .dengandemikian k5+k=5 t mempunyai faktor 5 k5+k habisdibagi5 Sehingga :5 (k+1 )=(k5+k )+5 (k4+2k 3+2k 2+k )+2

¿5 t+5 (k 4+2k3+2k2+k )+2

¿5 (t+(k 4+2k3+2k2+k ))+2,2 tidakhabis dibagi5atau s (k+1 ) salah ∴ s (n ) salahuntuk semuan≥0

14. Tunjukkan apakah bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan perfect :a. 8Pembagi - pembagi 8 yang positif adalah 1,2,4 , dan8Jumlah pembagi – pembagi 8 yang positif adalah :1+2+4+8=15≠2×8=16Jadi, 8 bukan bilangan perfect

BAB 1 NOTASI Page 29

Page 30: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

b. 10Pembagi - pembagi 10 yang positif adalah 1,2,5 , dan10Jumlah pembagi – pembagi 10 yang positif adalah :1+2+5+10=18≠2×10=20Jadi, 10 bukan bilangan perfect

c. 15Pembagi - pembagi 15 yang positif adalah 1,3,5 , dan15Jumlah pembagi – pembagi 15 yang positif adalah :1+3+5+15=24≠2×15=30Jadi,15 bukan bilangan perfect

d. 100Pembagi - pembagi 100 yang positif adalah 1,2,4,5,10,20,25,50 dan100Jumlah pembagi – pembagi 100 yang positif adalah :1+2+4+5+10+20+25+100=217≠2×100=200Jadi,100 bukan bilangan perfect

e. 56Pembagi - pembagi 56 yang positif adalah 1,2,4,7,8,14,28 dan56Jumlah pembagi – pembagi 56 yang positif adalah :1+2+4+7+8+14+28+56=120≠2×56=112Jadi,56 bukan bilangan perfect

f. 210Pembagi - pembagi 210 yang positif adalah 1,2,3,5,6,7,10,21,30,35,42,70,105 ,dan210Jumlah pembagi – pembagi 15 yang positif adalah :1+2+3+5+6+7+10+21+30+35+42+70+105+210=547≠

BAB 1 NOTASI Page 30

Page 31: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

2×210=420Jadi,210 bukan bilangan perfect15. Tunjukkan apakah bilangan-bilangan berikut bersekawanan :a. 96dan108

pembagi−pembagi 96 yang positif adalah1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48

jumlah pembaginyadari 96 yang positif adalah1+2+3+4+6+8+12+16+24+32+48=156

pembagi−pembagi108 yang positif adalah1,2,3,4,6,9,12,18,27,36,54

jumlah pembaginyadari 108 yang positif adalah1+2+3+4+6+9+12+16+18+27+36+54=172

jadi ,96 dan108bukanbilangan bersekawan

b. 256dan320pembagi−pembagi256 yang positif adalah1,2,4,8,16,32,46,128

jumlah pembaginyadari 256 yang positif adalah1+2+4+8+16+32+46+128=237

pembagi−pembagi 320 yang positif adalah1,2,4,5,8,10,16,20,32,40,64,80,160

jumlah pembaginyadari 320 yang positif adalah1+2+4+5+8+10+16+20+32+40+64+80+160=442

jadi ,256dan320bukanbilanganbersekawan

c. 1000d an1200pembagi−pembagi1000 yang positif adalah1 ,2,3 ,4 ,5 ,8 ,10 ,20 ,25 ,40 ,

50 ,100 ,125,200 ,250 ,500

jumlah pembaginyadari 1000 yang positif adalah1+2+4+5+8+10+20+25+40+50+100+125+200+250+500=1340

pembagi−pembagi1200 yang positif adalah

1,2,3,5,6,8,10,12,15,16,20,24,25,30,40,48,50,60,75 ,80,100,120,150,200,240,600

jumlah pembaginyadari 1200 yang positif adal ah1+2+3+5+6+8+110+12+15+16+20+24+25+30+40+48+50+60+75+80+100+120+150+200+240+600=1800

jadi ,1000dan1200bukanbilanganbersekawan

d. 5025dan7500BAB 1 NOTASI Page 31

Page 32: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

pembagi−pembagi5025 yang positif adalah1,3,5,15,25,67,75,201,335 ,

1005,1675

jumlah pembaginyadari 96 yang positif adalah1+3+5+15+25+67+75+201+335+1005+1675=3407

pembagi−pembagi7500 yang positif adalah

1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,25,30,50,60,75,100,125,150,250,300,375,500,625,750 ,

1250,1500,1875,2500,3750

jumlah pembaginyadari 7500 yang positif adalah1+2+3+4+5+6+10+12+15+20+25+30+50+60+75+100+125+150+250+300+375+500+625+750+1250+1500+1875+2500+3750=14368

jadi ,5025dan7500bukanbilanganbersekawan

16. Buktikan dengan induksi matematis :a. Buktikan :2n≥ (1+n )untuk semuabilanganbulat n≥1

bukti :

(i) untuk n=121≥ (1+1)2≥2benar

(ii) untuk n=k2k ≥ (1+k )asumsikanbenar

(iii) akandi buktikanuntuk n=k+12k +1≥(1+(k+1)) 2k .2≥ (k+1 )2 2k +1≥k+1+k+1 2k +1≥k+1 terbukti

b. Buktikan:8membagi 32n−1untuk semuabilanganbulat n≥0

bukti :

(i) untuk n=132 (0 )−1=1−1=0 , dan0habis dibagi8.benar

(ii) untuk n=k32k−1habis dibagi8.asumsikanbenar

(iii) akandi buktikanuntuk n=k+132 (k +1)−1=32k .32−1

¿32k .32−32+32−1

BAB 1 NOTASI Page 32

Page 33: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

¿32 (32k−1 )+8

karena32k−1habis dibagi8 ,maka 32k−1mempunyai faktor 8 , sehingga32.k−1=8 t .dengandemikian :

32 (32k−1 )+8=32 .8 t+8

¿8 (32 t+1 ) jugahabis dibagi8.terbukti c. buktikan :2n3−3n2+n+31≥0untuk semuabilangan bulat n≥−2

bukti :

(i) untuk n=−22(−2)3−3 (−2)2+(−2 )+31≥0 −16−12−2+31≥0

1≥0benar (ii) untuk n=k

2k3−3 k2+k+31≥0asumsikan benar (iii) akandibuktikan untuk n=k+1

2(k+1)3−3 (k+1)2+ (k+1 )+31≥0

2 (k3+3k2+3k+1 )−3 (k 2+2k+1 )+k+1+31≥0

2k3+6k2+6 k+2−3k2−6k−3+k+1+31≥0 (2k3−3k2+k+31 )+6 k2≥0 terbukti karena ,2k3−3k2+k+31≥0

d. buktikan :n!≥2nuntuk semuabilanganbulat n≥4

bukti :

(i) untuk n=4

4 !≥2 .4

4 .3.2 .1≥2 .4

24≥8benar

(ii) untuk n=k

k !≥2k asumsikanbenar

(iii) akandibuktikan untuk n=k+1

(k+1 )!≥2(k+1)

BAB 1 NOTASI Page 33

Page 34: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

k ! (k+1 )≥2(k+1)

k ! (k+1 )≥2k+2

k !≥2k kembali keasumsi awal

(k+1 )!≥2 ( k+1 ) terbukti

e. buktikan : dxn

dx=nxn−1untuk semuabilangan bulat n≥0

(i) untuk n=0dx0

dx=(0 ) x0−1

0=0benar

(ii) untuk n=kdxk

dx=kxk−1asumsikanbenar

(iii) akandibuktikan untuk n=k+1 dxk+1

dx=(k+1)xk+1−1= (k+1 ) xk

dxk . xdx

=kxk−1 . x+1 . xk

¿kxk+xk ¿ xk (k+1 ) terbukti

17. Diketahui : A (0 )=2 dan A (n )=5 A (n−1). Tunjukkan : A (n )=5n untuk semua bilangan bulat n≥1Jawab :(i) Untuk n=1A (n )=5n

A (1 )=51

A (1 )=5 BENAR(ii) Anggaplah A (0 ) , A (1 ) , A (2 ) ,.. , A (k−2 ) , A (k−1 ) , A (k ) semua benar, yaitu :A (k )=5k

A (k−1 )=5k−1

A (k−2 )=5k−2

BAB 1 NOTASI Page 34

Page 35: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

A (1 )=51(iii) Harus ditunjukkan bahwa A (k+1 ) benar, yaitu :A (k+1 )=5k+1

A (k )=5 A (k−1)

A (k+1 )=5 A ( (k+1 )−1 )

A (k+1 )=5 A ( k )

A (k+1 )=5 (5k )

A (k+1 )=5k+1TERBUKTI18. Diketahui B (1 )=1 dan B (n )=4+B(n−1). Tunjukkan : B (n )=4n−3 untuk semua bilangan bulat n≥2.Jawab :(i) B (3 )benar sebab4 (3 )−3=9(ii) Anggaplah B (0 ) ,B (1 ) ,… .. ,B (k−2 ) ,B (k−1 ) ,B (k ) semua benar yaitu :

B (k )=4k−3

B (k−1 )=4 ( k−1 )−3

B (k−2 )=4 (k−2 )−3

B (1 )=4 (1 )−3=1

B (0 )=4 (0 )−3=−3 (iii) Haruslah ditunjukkan bahwa B(k+1) benar, yaitu : B (k+1 )=4k+1

B (k )=4+B(k−1)

B(k+1)=4+B( (k+1 )−1)

B (k+1 )=4+B(k)

B (k+1 )=4+4k−3

B (k+1 )=4k+1 TERBUKTI19. Diketahui C (0 )=3 ,C (1 )=7 , danC (n )=3C (n−1 )−2C(n−2). Tunjukkan : C (n )=−1+4 (2n) untuk semua bilangan bulat n≥0Jawab :

BAB 1 NOTASI Page 35

Page 36: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

(i) C (0 ) benar sebab −1+4 (20 )=−1+4 (1 )=3

C (1 ) benar sebab −1+4 (21 )=−1+4 (2 )=7(ii) Anggaplah C (0 ) ,C (1 ) ,…. ,C (k−2 ) ,C (k−1 ) ,C (k ) semua benar yaitu :C ( k )=−1+4(2k)

C ( k−1 )=−1+4 (2k−1)

C ( k−2 )=−1+4 (2k−2)

C (1 )=−1+4 (21 )=7

C (0 )=−1+4 (20 )=3 (iii) Haruslah ditunjukkan bahwa C ( k+1 ) benar yaitu : C ( k+1 )=−1+4(2k+1)

C ( k )=3C (k−1 )−2C (k−2 )

C ( k+1 )=3C {( k+1 )−1}−2C {(k+1 )−2 }

C ( k+1 )=3C (k )−2C (k−1 )

C ( k+1 )=3 (−1+4 (2k ))−2 (−1+4 (2k−1 ))

C ( k+1 )=3 {−1+22 .2k }−2 {−1+22. .2k−1}

C ( k+1 )=3 {−1+2.2k+1 }−2 {−1+2k+1 }

C ( k+1 )=−3+6.2k+1+2−2.2k+1

C ( k+1 )=−1+2k +1 (6−2 )

C ( k+1 )=−1+2k +1 (4 )

C ( k+1 )=−1+4(2k+1)

TERBUKTI

20.Diketahui D (0 )=2, D (1 )=7dan D (n )=D (n−1 )−2D(n−2). Tunjukkan : D (n )=3 (2n)−(−1)n untuk semua bilangan bulat n≥0Jawab :

BAB 1 NOTASI Page 36

Page 37: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

(i) D (0 )benar sebab3 (20 )−¿

D (1 )benar sebab3 (21 )−(−1 )1=7(ii) Anggaplah D (0 ) ,D (1 ) ,…. ,D (k−2 ) ,D (k−1 ) ,D (k ) semua benar, yaitu :D (k )=3 (2k )−(−1)k

D (k−1 )=3 (2k−1 )−(−1)k−1

D (k−2 )=3 (2k−2 )− (−1 )k−2

D (1 )=3 (21 )− (−1 )1=7

D (0 )=3 (20 )−¿(iii) Harus ditunjukkan bahwa D (k+1 ) benar, yaitu :D (k+1 )=3 (2k+1 )−(−1)k+1

D (k )=D ( k−1 )−2D (k−2 )

D (k+1 )=D ((k+1)−1 )−2D((k+1)−2)

D (k+1 )=D (k )−2D ( k−1 )

D (k+1 )=(3 (2k )−(−1)k )−2(3 (2k−1 )−(−1)k−1) D (k+1 )=3 (2k )−(−1)k−2.3 (2k−1 )+2 (−1 )k−1

D (k+1 )=3 (2k )−3 (2k )+ (−1 )k−1+2¿

D (k+1 )=3 (−1)k−1Tidak Terbukti

21. Diketahui :F (0 )=2 ,F (1 )=5 ,F (2 )=15dan F (n )=6 F (n−1 )−11F (n−2 )+6 F (n−3). Tunjukkan : F (n)=1−2n+2(3n) untuk semua bilangan bulat n≥0.Jawab :(i) F (0 ) benar sebab1– 20+2 (30 )=1−1+2 (1 )=2

F (1 ) benar sebab1– 21+2 (31 )=1−2+2 (3 )=5

F (2 ) benar sebab1– 22+2 (32 )=1−4+2 (9 )=15(ii) Anggaplah F (0 ) , F (1 ) ,…. ,F (k−2 ) , F (k−1 ) ,F ( k ) semua benar, yaitu :F (k )=1−2k+2(3k )

F (k−1 )=1−2k−1+2(3k−1)

BAB 1 NOTASI Page 37

Page 38: BAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com file · Web viewBAB I NOTASI - reznaramadhani3.files.wordpress.com

KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]

F (k−2 )=1−2k−2+2(3k−2)

F (2 )=1−22+2 (32 )=15

F (1 )=1−21+2 (31 )=5

F (0 )=1−20+2 (30 )=2(iii) Harus ditunjukkan bahwa :F (k+1 )benar yaitu :F (k+1)=1−2k+1+2(3k +1)

F (k )=6 F ( k−1 )−11F (k−2 )+6 F (k−3 )

F (k+1 )=6 F ((k+1)−1 )−11F ((k+1)−2 )+6 F((k+1)−3)

F (k+1 )=6 F (k )−11F (k−1 )+6 F (k−2 )

F (k+1 )=6 (1−2k+2 (3k ))−11 (1−2k−1+2 (3k−1 ))+6 (1−2k−2+2 (3k−2 ))

F (k+1 )=6−3.22 .2k+4.3 (3k )−11+11.2k−1−22.3k−1+6−3.2 .2k−2+3.22 .3k−2

F (k+1 )=6−11+6−12.2k−1+11.2k−1−3.2k−1+36.3k−1−22.3k−1+4.3k−1

F (k+1 )=1−4 (2k−1 )+18 (3k−1 )

F (k+1 )=1−2k+1+2(3k +1)

TERBUKTI

22. Carilah P (n )sebagai fungsi n dan selidiki dengan induksi matematis :a. P (n )=P (n−1 )+6 P (n−2 ) , n∈Z ,n≥2 , P (0 )=3 , P (1 )=6b. P (n )=7 P (n−1 )−10 P (n−2 ) , n∈Z ,n≥2, P (0 )=2 , P (1 )=1c. P (n )=5 P (n−2 )−4 P (n−4 ) , n∈Z ,n≥4 , P (0 )=3 , P (1 )=2 ,P (2 )=6 ,P (3 )=8

BAB 1 NOTASI Page 38