modul matematika 1 (mpm 6301) (materiuts)
TRANSCRIPT
MATERI & BUKU REFERENSI
Materi : • SISITEM BILANGAN REAL
• PERTIDAKSAMAAN FUNGSI REAL
• FUNGSI SATU VARIABEL, DOMAIN,
RANGE DAN GRAFIK FUNGSI,
KEKONTINUAN FUNGSI
• DIFERENSIAL
• APLIKASI DIFERENSIAL
• INTEGRAL TAK TENTU
Referensi :• KALKULUS JILID 1, EDISI 9, PURCELL,
ERLANGGA.
• KALKULUS , EDISI 13, THOMAS,
ERLANGGA.
• KALKULUS, KOKO MARTONO ,
ERLANGGA.
• INTEGRAL FUNGSI SATU VARIABEL &
PENERAPANNYA, EDISI 1, MUSTAMINA
MAULANI; LISA SAMURA; CAHAYA
ROSYIDAN, PENERBIT UNIVERSITAS
TRISAKTI
BAB 1PERTIDAKSAMAAN REAL
• Bentuk Umum Pertidaksamaan dalam bilangan real :
A, B, C, D suku banyak/Polinom
Tanda < dapat diganti dengan >, ≤ ,≥• Permasalahan:
Menyelesaikan suatu pertidaksamaan dengan mencari himpunanjawab bilangan Real (x) yang memenuhi pertidaksamaan tersebut
LANGKAH MENENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN
• Dengan rumus aljabar elementer dan urutan, ubahlah bentukpertaksamaan menjadi !(#)
%(#)< 0. dengan P, Q suku banyak.
• Uraikan P dan Q atas faktor linier / kuadrat definit positif• Tentukan tanda pertaksamaan pada garis bilangan• Tentukan himpunan jawabnya dan tampilkan dalam bentuk selang
CONTOH SOAL Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut
1. !"#!$% < 2
Jawab : !"#!$% −2 < 0!"#"#(!$%)
!$% < 0"!"()!$% < 0 ( dikali (-))
!$()!$% > 0 ( Buat Garis Bilangan)
HP= { ' ∶ ' < −10 *+*, ' > 4, ' ∈ 0} atau (−∞,−10) ∪ (−4,∞)
2. *!!"+!"#%!$+ ≥ 0
Jawab : *!$( !"#%!$+ ≥ 0 ( Buat Garis bilangan)
HP = "+% ,
"(* ∪ [2,∞)
LATIHAN SOALTentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan soal-soal berikut:
1. 3' + 2 ≤ 10 − 6' < 2' + 5. 6. #!$+! ≥ *!"#
2. !"(!$()!(%"!)"
+$,! < 0. 7. (! +-
.!$% ≥ 3
3. (!!$%)(-"!!)(,!"*)# ≥ 0. 8. !"#!! ≥ !$(
!$*
4. !$(!"# ≥
!!$* 9. x < !$#
! ≤ 2
5. 2 < !!$(! ≤ ' + 3 10. 2' + 1 ≤ '# ≤ 2' + 4
BAB 2FUNGSI SATU VARIABEL
Definisi :Fungsi pada himpunan D ∁. R adalah suatu aturan yang memasangkan setiap unsur di D dengan tepatsatu bilangan real.
Daerah Definisi (Df) dan daerah nilai (Rf) funsgi :Himpunan D dinamakan daerah definisi fungsi, dan himpunan bilangan real yang merupakan pasangandari unsur D dinamakan daerah nilai fungsiJika fungsi ini dinamakan f maka fungsi f dari himpunan D ke R dituliskan sebagai :
f ∶ D → R , y = f(x). Dan y = f(x) dinamakan aturan fungsiDf = {x |f x bilangan real } Dan Rf = {f(x) | x ∈ Df }x = variable bebas dan y variable tak bebas
Tentukan Domain dan Range fungsi
1. O ' = '# + 2
2. O ' = '# − 4' + 5 , 0 ≤ ' ≤ 3
3. O ' = 1 + 1 − 2'
4. O ' = !!!"(
5. O ' = 4' − '#
6. O ' = %!! "-
7. O ' = ! (! "#)! "(
I Fungsi Elementer: 1. Fungsi Aljabar Suku Banyak ( Polinom) Fungsi Linier Ax + By + C = 0
Pn (x) Fungsi Kuadrat !"! + $" + %Fungsi kubik !"! + $"" + %" + &dst
2. Fungsi Rasional : #$(%)'$(%)
. Dimana P dan G polinom
3. Fungsi Irasional (akar dari fungsi rasional) : % '("). Dimana q(x) fungsi rasional
II Fungsi Transenden :
1. Fungsi Triginometri sinx, cos x, tangen x dst
2. Fungsi Hiperbolik dan invers hiperbolik
Jenis Fungsi
Contoh Fungsi
1. O ' = 2' + 5 Fungsi Linier2. O ' = '# + 4' − 1 Fungsi Kuadrat3. O ' = 4'* − '# + 4' − 10. Fungsi Kubik
4. O ' = !!+! "( Fungsi Rasional
5. O ' = !!$+ Fungsi Irasional
6. O ' = " 3'* − 4' + 1. Fungsi Irasional7. O ' = 3 cos 4' Fungsi Trigonometri8. O ' = 3 STU"(6' Fungsi Trigonometri9. O ' = 3 tgnh '. Fungsi Hiperbolik
OPERASI ALJABAR FUNGSI
• Jika fungsi f(x) dan g(x) terdefinisi pada himpunan D maka :
1. (f + g) (x) = f(x) + g(x)
2. (f - g) (x) = f(x) - g(x)
3. (l f) (x) = l f(x) dimana l anggota real
4. (f g) (x) = f(x) g(x)
5. !" # = !($)
"($) dimana g(x) ≠ 0
• Fungsi dengan banyak persamaan, sebagai contoh :
( ) = +)! , ) < 0
4 − )! , 0 ≤ ) ≤ 2) − 2 , ) ≥ 2
• Fungsi komposisi
( ° 5 ) = ( 5 )Jelaskan dengan contoh
• Fungsi Invers
invers dari fungsi f(x) dituliskan denngan f-1(x)
adalah suatu fungsi tunggal yang terdefinisi
pada Rf dan memenuhi f(f-1 (x) ) = x
first second
13
Grafik Fungsi denganPergeseran Fungsi
Pergeseran Fungsidigunakan untukmenggambarkan grafikfungsi y = f(x+a), y = f(x) + a, X = *O ' dan X= O *'
bisa dilakukanjika grafik dasary = f(x) sudahdiketahui
y = f(x+a)y = f(x) + a X =*O ' X =O *'dapat ditentukan
Grafik dasar yang akan dipakai misalnya:* = ", * = "", * = "!, y = ", y = ln x, y = sin x dan y = cos x
1. Grafik y = f(x) + aDiperoleh dari grafik dasary = f(x) dengan menggeser a satuan ke atas jika a> 0 dan sejauh a kebawah jika a< 0
2. Grafik y = f(x + a)Diperoleh dari grafik dasary = f(x) dengan menggeser a satuan ke a ke kiri jika a> 0 dan sejauh a ke kanan jika a< 0
.. 012345 6 = 78 9
Diperoleh dari grafik dasary = f(x) dengan caramengalikan setiap nilai y dengan !
14
.. 012345 6 = 8 79
Diperoleh dari grafik dasary = f(x) dengan cara membagisetiap nilai x dengan ! ( caraDilatasi)
Pergeseran
Latihan : Gambarkan Grafik fungsiberikut dengan menggunakanpergeseran fungsi
1. * = "" + 42. * = "" − 23. * = (" + 1)"
4. * = (" − 3)"
5. * = − "!
6. * = − "" + 1
7. * = cos6" , 0 ≤ " ≤
7"
8. * = 1 − sin"
15
9. * = "" + 4x + 610. * = −"" + 2x + 211. * = "" − 6x + 512. * = 2 − sin2" ,−π ≤ " ≤ I
13. * = J"" , " < 0
4 − "", 0 ≤ " ≤ 2" − 2, " > 2
.
second
16
Grafik fungsi yang memuat nilai
mutlak dilakukan dengan cara :
1. Ubahlah bentuk aturan
fungsi menjadi fungsi tanpa
nilai mutlak, dengan sifat nilai
mutlak
2. Menggambarkan fungsi
didalam nilai mutlak, yang
dibawah sumbu x dicerminkan
terhadap sumbu x dan yang
diatas sumbu x tetap
Grafik Fungsi Nilai Mutlak
Latihan : Gambarkan Grafik fungsi nilai mutlak berikut :
1. ' = #& − 22. * # = # ( # - 2)
3. g # = cos #4. p # = #& − 4#
17
Perumusan Masalah NyataDalam Bentuk Fungsi Real
Masalah nyata dengan bentuk fungsi real banyak ditemui. Misalnya :• Tarif Pos bergantung pada berat• Prestasi seseorang bergantung pada potensi, dll
Masalah nyata dengan 2 variable yang saling berkaitan dapat dirumuskan menjadi bentuk fungsidengan 1 variable.
18
6. Perumusan Masalah NyataDalam Bentuk Fungsi Real
Contoh :Sebuah Cermin yang merupakan gabungan dari persegi panjang dan setengah lingkaran berjari-jari r dibagian atasnya, jika keliling cermin adalah 9m, nyatakan luas permukaan cermin sebagai fungsi dari r.
Jawab :Jika jari-jari lingkaran adalah r dan sisi persegi Panjang adalah t.
Keliling Cermin = 2r + 2t + IM = 9 maka 2N = 9 − 2M − IM dan N = 8"− M −
9"IM
Luas Permukaan cermin =L = 2MN + 9"IM
" t. t
O M = 2M (8"− M −
9"IM) + 9
"IM" = 9M − 2 M" − IM"
Jadi O M = 9M − (2 − I)M"
merupakan Luas cermin fungsi dari jari-jari r 2r Scanned by CamScanner
19
Latihan Masalah NyataDalam Bentuk Fungsi Real
1. Sebuah bejana berbentuk kerucut lingkaran tegak terbalik dengan jari-jari lingkaran alas 2 cm dan tinggi200cm. Pada saat tinggi minyak t cm, Tentukan volume minyak dalam bejana sebagai fungsi dari t
2. Volume sebuah kotak berbentuk balok dengan alas bujursangkar adalah 9000cm3. Jika biaya pembuatanbidang alas dan tutup kotak Rp. 200 per cm2 dan bidang sisinya Rp. 25 per cm2, Tentukan biaya total pembuatan kotak sebagai fungsi dari Panjang rusuk alasnya.
BAB 3. KEKONTINUAN
LIMIT SEPIHAK
ü Limit Kiri: lim$→(" * # = 3 , adalah
jika # mendekati 4 dari kiri (# → 4)) maka* # mendekati 3
ü Limit Kanan: lim$→(# * # = 3 , adalah
jika # mendekati 4 dari kanan (# → 4*) maka* # mendekati 3
TEOREMAlim$→( * # = 3 jika dan hanya jika lim$→(" * # = 3 dan
lim$→(#
* # = 3maka * # disebut mempunyai limit di titik x = c.
AKIBATNYA :jika lim$→(" * # ≠ lim
$→(#* # maka tidak mempunyai limit di
titik x = c
KEKONTINUAN FUNGSI
DEFINISI :Fungsi O ' kontinu di titik x = c jika lim
!→0&O ' =
lim!→0'
O ' = O(*)
Akibatnya: jika salah satu syarat tidak dipenuhi makaO ' tidak kontinu / diskontinu.
Jika * # = 62 − # , # < −35 ,−3 ≤ # < 2#& − 2 , # ≥ 2
Tentukanlah: a. Gambar grafik f(x).
b. Apakah * # mempunyai limit di titik x = -3
c. Apakah * # kontinu di titik x = -3
d. Apakah f(x) kontinu di titik x = 2
SOAL LATIHAN
• Jika * # = 6<# + 3> , # < −210 ,−2 ≤ # < 4
2<# + 5># , # ≥ 4Tentukanlah nilai a dan b sehingga fungsi * # kontinu di semua titik.
• Jika * # =3 + # ,−4 < # ≤ −2(# + 1)& , −2 < # < 4
# + 10 , # ≥ 4
Tentukanlah: a. Gambar grafik f(x). b. Apakah * # kontinu di titik x = - 2c. Apakah * # mempunyai limit di titik x = 4
LATIHAN SOAL
1. Tentukan konstanta a dan b agar fungsi berikut kontinu pada R :
! " = $AB1CDB EF , " < '
' − )". , " ≥ '
2. Tentukan konstanta a dan b agar fungsi berikut kontinu pada R :
! " = $," − - , " < .)". , " = .- "F − . , " > .
BAB 4.DIFERENSIAL
vMisalkan fungsi # = % & terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat titik C.
vTurunan dari fungsi # = % & , ditulis #& = %& & , maka definisiturunan
#& = %& & = '(
'#= lim
∆#→+
, #-∆# .,(#)
∆#, jika limit ada
TABEL DIFERENSIAL DASARUNTUK FUNGSI EKSPLISIT # = % &
( = * + (! = *! +
)$ :)$%&
;' ;'
ln ) 1)
?@: ) AB? )AB? ) −?@: )
tan ) ?;A! )," ," ln a
-.+ + sec + tan +
Cosec x −67-.6 + 6789: +
TEOREMA
Jika fungsi % & dapat diturunkan di titik x=c makaturunan/ diferensial kiri sama dengan turunan /diferensialkanan di titik x=c, sehingga berlaku
%& + ada jika %.& + = %-& +
Teorema diatas dapat digunakan untuk membuktikan apakah suatu fungsi mempunyai turunan disuatutitik atau didaerah definisinya
ATURAN DIFERENSIAL FUNGSI EKSPLISIT
Jika u = u(x) dan v = v(x) masing-masing fungsi dalam variable bebas x maka berlaku :
vJika # = ,. . maka #& = ,&. + .&,vJika # = ,. .. 0 maka #& = ,&. 0 + ,.&0 +, . 0&
vJika # = ?
@maka #& = ?!@.@!?
@"vAturan Rantai (diferensial untuk fungsi
komposisi) :Jika # = %(2 & ) maka '(
'#= '(
',
',
'A
'A
'#
DIFERENSIALUNTUKFUNGSIIMPLISIT
vBentuk umum Fungsi Implisit adalah :
Z ', X = 0 , dimana X = X(')vMasalah :
Menentukan 232! dengan menggunakan diferensial fungsi yaitu
diferensial total sebagai berikut:454! [' +
4543 [X = 0
4543 [X = − 45
4! ['
maka 232! = − 454! /
4543
CONTOH SOAL
Tentukan +,+$ dari soal di bawah ini (fungsiimplisit) :
%-& + ()* 3% + 4& = &,
Jawab: %-& + ()* 3% + 4& − &, = 0
./
.$ = 3%&& + 3 012& 3% + 4&
./
., = %-& + 4 012& 3% + 4& − 24*&+,+$ = − -$(,*- 01(( -$*2,
$),*2 01(( -$*2, )&34,
Tentukan %&%' dari soal berikut (Fungsi Implisit) :
1. QRS0! − (&)'5$(+ 50 = 2
2. 30 = TUS"*(30 + 4V)
3. V = +,(.'&5$))0125((')