modul geometri

Download Modul Geometri

Post on 17-Feb-2016

141 views

Category:

Documents

15 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Modul Matematika tentang Geometri

TRANSCRIPT

  • 1

    BAB I DEFINISI DEFINISI DAN PENGGUNAANNYA

    DIDALAM PEMBUKTIAN

    Mendifinisikan suatu kata adalah penting, sebab (1) definisi-definisi

    tersebut dibentuk untuk keperluan manusia dalam kaitannya dengan diskusi, dan (2)

    setiap definisi yang telah ditetapkan, tidak dapat diubah oleh sembarang salah satu

    unsurnya yang tidak memperhitungkan yang lain dalam kelompoknya.

    Sifat-sifat definisi yang harus ada sebagai berikut.

    (1) Kata yang didefinisikan harus ditempatkan dalam kelasnya; pertama-tama kelas

    yang menunjukkan kumpulan (koleksi) dan memiliki kesamaan sifat.

    (2) Perlu menunjukkannya bilamana kata yang didefinisikan tersebut berbeda dari

    yang lain didalam kelasnya; hal ini dapat dilakukan dengan menambahkan frase

    (phrase).

    (3) kata-kata didalam definisi harus sesederhana mungkin, daripada yang

    didefinisikan.

    (4) Suatu definisi harus dapat dibalikkan.

    Menurut jenisnya, definisi terbagi atas definisi demonstratif dan konotatif..

    Sedangkan untuk kata yang lebih sederhana, selanjutnya tidak didefinisikan

    seluruhnya. Kata yang dimaksud seperti kata pertama, istilah primitif, atau unsur

    dasar istilah, lebih sederhana disebut istilah yang tidak didefinisikan.

    Pengertian Pangkal (Undefined Terms)

    Terdapat 5 pengertian pangkal dalam geometri sebagai dasar untuk mendefinisikan

    semua geometri lainnya dalam geometri Euclid, yaitu:

    (1) Titik (Point)

    (2) Garis (Line)

    (3) Terletak pada (Lie on); misalnya dua titik terletak pada sebuah garis

    (4) Diantara (Between); misalnya C diantara titik-titik A dan B

    (5) Kongruen (Congruent)

  • 2

    Istilah titik tidak didefinisikan. Meskipun kita tidak mungkin untuk

    mendefinisikan, tetapi dapat dicoba untuk membuat arti atau penjelasannya. Hal ini

    dapat dikerjakan dengan mendaftar beberapa sifat atau ciri-cirinya dengan tanpa

    melakukan klasifikasi. Suatu kata yang tidak dapat didefinisikan, kata tersebut dapat

    dijelaskan. Perbedaan menjelaskan (deskripsi) dengan mendefinisikan, dapat

    diterangkan sebagai berikut.

    (1) Bila suatu kata tersebut didefinisikan, berarti mengklasifikasikan.

    (2) Bila suatu kata tersebut dijelaskan, sifat-sifat kata itu diketahui tanpa

    mengklasifikasikan.

    Beberapa ide tentang sifat-sifat titik yang dipilih, dicoba untuk

    menggambarkan titik dengan suatu ujung jarum. Hasilnya kita dapatkan bahwa:

    titik tidak mempunyai panjang atau lebar tetapi menunjukkan letak. Istilah garis

    tidak didefinisikan. Sifat-sifat garis dapat disebutkan sebagai: garis tidak mempunyai

    lebar tetapi dapat diperpanjang sejauh yang dikehendaki pada kedua ujungnya.

    Istilah himpunan (set) tidak didefinisikan. Namun jika dicoba untuk menjelaskan,

    artinya antara lain sebagai berikut: himpunan adalah sesuatu yang diartikan (well

    defied) sebagai kumpulan (collection).

    Penekanan kata diartikan (well defied), menerangkan sebagai berikut.

    (1) Jika unsur-unsur himpunan tersebut diketahui, kita dapat menerangkan

    bagaimana mendapatkannya.

    (2) Dengan diketahui unsur unsur himpunan tersebut, dapat didaftar anggota-

    anggotanya.

    Istilah diantaranya (betweenness) tidak didefinisikan. Hal ini dapat

    digambarkan sebagai berikut.

    A B C

    Pada garis ini, B diantara A dan C. Urutan tidak menjadikan masalah; misalkan dapat

    diurutkan sebagai A,B,C atau C,B,A. Jika ketiga titik tersebut tidak segaris, B tidak

    dapat dikatakan diantara A dan C. Secara umum, jika tiga titik pada garis, maka ada

    satu dan hanya satu dari urutan dibawah ini benar.

  • 3

    A,B,C A,C,B B,A,C

    Setiap struktur geometri memiliki pembatasan-pembatasan. Misalnya dalam

    geometri Euclid setiap dua titik yang berbeda dapat dilukis satu dan hanya satu

    garis; sehingga dalam geometri Euclid tidak bisa diterima bahwa melalui dua titik

    dapat dilukis dua buah garis, sebagaimana Gambar 1.1 berikut ini.

    Gambar 1.1

    Empat Postulat Pertama Euclids

    Postulat Euclid-1. Untuk setiap titik P dan setiap titik Q yang tidak sama QP

    terdapat secara unik sebuah garis yang melalui P dan Q.

    Secara informal postulat ini dapat dinyatakan dengan dua buah titik menentukan

    secara unik sebuah garis. Selanjutnya garis yang melalui titik-titik P dan Q

    dinotasikan dengan PQ . Untuk memulai postulat kedua, dapat dibuat definisi

    pertama

    Definisi 1. Diberikan dua buah titik, yaitu A dan B. Segmen AB adalah himpunan titik

    A, titik B, dan titik-titik yang terletak pada garis AB dan diantara A dan B (Gambar

    1.2). Titik A dan titik B dikatakan titik-titik akhir (endpoints) dari segmen AB.

    Selanjutnya notasi AB digunakan untuk segmen AB.

    Gambar 1.2

    Postulat Euclid-2. Untuk setiap segmen AB dan untuk setiap segmen CD terdapat

    secara unik titik E sehingga B diantara A dan E, dan segmen CD kongruen dengan

    segmen BE (Gambar 1.3).

    P Q

    A C B Segmen AB

    A C B Garis AB

  • 4

    Gambar 1.3 BECD

    Postulat ini kadang-kadang secara informal dapat dikatakah bahwa: Sembarang

    segmen AB dapat diperluas oleh sebuah segmen BE yang kongruen dengan segmen

    CD yang diberikan. Dalam postulat ini telah digunakan pengertian pangkal tentang

    kongruen. Selanjutnya notasi BECD digunakan untuk mengungkapkan CD

    kongruen dengan BE. Untuk melanjutkan ke postulat 3, diawali dulu mengenalkan

    definisi yang lain sebagai berikut.

    Definisi 2. Diberikan dua titik O dan A. Himpunan dari semua titik P sehingga segmen

    OP kongruen dengan segmen OA disebut lingkaran dengan O sebagai pusat, dan

    setiap segmen OP disebut dengan jari-jari lingkaran. Diduga bahwa pada

    pembicaraan sebelumnya disebutkan bahwa OAOA , sehingga A adalah juga titik

    yang tepat pada lingkaran yang terdefinisi.

    Postulat Euclid-3. Untuk setiap titik O dan setiap titik A )( AO , terdapat sebuah

    lingkaran dengan pusat O dan jari-jari OA (Gambar 1.4).

    Gambar 1.4 Lingkaran dengan pusat O dan jari-jari OA

    Definisi 3. Sinar AB adalah himpunan titik pada garis AB : titik-titik yang dimiliki

    segmen AB dan semua titik C pada garis AB sehingga B diantara A dan C. Sinar AB

    A B E

    D C

    P

    A

    O

  • 5

    dikatakan memancar dari titik vertek A(emanate from the vertek A) yang

    merupakan bagian dari garis AB (Gambar 1.5).

    Gambar 1.5 Sinar AB

    Definisi 4. Sinar AB dan AC bertolak belakang jika keduanya sinar berbeda,

    memancar dari titik A yang sama, dan keduanya bagian dari garis yang sama

    ACAB (Gambar 1.6).

    Gambar 1.6 Sinar Berlawanan

    Definisi 4. Sebuah sudut dengan vertek A adalah sebuah titik A dengan dua sinar

    berbeda dan tidak berlawanan yakni AB dan AC (sisi dari sudut) yang memancar

    dari A (Gambar 1.7).

    Gambar 1.7 Sudut dengan vertek A

    Untuk sudut di atas, dinotasikan dengan .atau ,, CABBACA

    A B

    C

    B C A

    B

    A

    C

  • 6

    Definisi 5. Jika CADBAD dan memiliki sisi bersama yakni sinar AD dan sisi-sisi

    lainnya AB dan AC merupakan dua sinar berlawanan, maka sudut yang satu

    suplemen dari sudut lainnya, atau dua sudut yang saling bersuplemen (Gambar 1.8).

    Gambar 1.8 Sudut saling bersuplemen

    Definisi 6. Sebuah sudut BAD adalah sudut siku-siku jika memiliki sebuah sudut

    yang bersuplemen yang kongruen (Gambar 1.9).

    Gambar 1.9 Sudut siku-siku CADBAD

    Postulat Euclid-4. Untuk semua sudut siku-siku kongruen satu sama lain.

    Soal-soal

    1. Dari definisi-definisi berikut, manakah yang merupakan definisi yang tidak

    lengkap ?.

    a. Bangku ialah sesuatu yang digunakan untuk landasan menulis.

    b. Buku sejarah adalah buku yang berisi sejarah.

    c. Jika persegi panjang merupakan bujur sangkar, maka keempat sisinya sama.

    2. Tulislah definisi no. 1 tersebut, sehingga memenuhi sifat definisi.

    3. Definisikan istilsh-istilah berikut :

    a. sepatu lari. b. biografi. c. kertas tulis.

    4. Apakah mungkin dalam anda mempelajari geomerti akan mendefinisikan istilah

    primitif ?

    B

    D

    A C

    B A C

    D

  • 7

    5. A

    5

    1 2 2

    4 3

    B C D

    a. Namakan suatu garis pada 1, dengan 2 cara berbeda.

    b. Namakan suatu garis pada 3, dengan 2 cara berbeda

    c. Namakan suatu garis pada 4, dengan 6 cara berbeda

    d. Namakan suatu garis pada 5, dengan 6 cara berbeda

    e. Namakan suatu garis pada 1, dengan 2 cara berbeda

    f. Namakan suatu garis pada 2, dengan 2 cara berbeda

    6.

    a. Namakan suatu sudut pada 1 , dengan 2 cara berbeda .

    b. Namakan suatu sudut pada 2 , dengan 2 cara berbeda

    c. Namakan suatu sudut pada 3 , dengan 4 cara berbeda

    d. Namakan suatu sudut dengan sisi-sisi AB dan AC .

    e. Namakan suatu sudut dengan sisi-sisi CB dan CA .

    f. Namakan dua sisi pada

  • 8

    8. Pada diagram dibawah ini , bagaimanakah mungkin untuk dapatnya menjelaskan

    bahwa AB dalam batas-batas AC dan B