1

Modul MatematikaKelas

Nama Siswa : Anwar DjasilNISN : 9971987941Kelas / Semester : XI / GenapBidang Keahlian : Elektonika

2

PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Dalam modul ini akan mempelajari 3 kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1

adalah macam – macam nangun ruang, unsur – unsur dan jarring –

jaringnya. Kegiatan belajar 2 adalah luas permukaan dan volume bangun

ruang. Kegiatan belajar 3 adalah hubungan antara unsure – unsure

bangun ruang. Dalam kegiatan belajar yaitu macam – macam bangun

ruang dan unsure-unsur akan diuraikan mengenai kubus, balok, prisma,

tabung, kerucut, limas dan bola. Dalam kegiatan belajar 2 yaitu luas

permukaan dan volume bangun ruang, akan diuraikan mengenai luas

permukaan dan volume kubus, balok, prisma, tabung, kerucut, limas dan

bola. Dalam kegiatan belajar 3, yaitu hubungan antar hubungan antara

unsure – unsure bangun ruang, akan diuraikan mengenai hubungan garis

dengan titik, titik debgan bidang, garis dengan bidang, kedudukan garis

dalam ruang, kedudukan dua bidang, jarak, dan sudut

B. Prasarat :

Pengetahuan awal yang harus dimiliki peserta diklat antara lain :

Konsep bangun datar dimensi dua

Luas dan keliling bangun datar dimensi dua.

C. Tujuan Akhir

Selesai mempelajari modul ini peserta diklat diharapkan dapat :

1. Mengetahui unsur – unsur bangun ruang

2. Menggambar macam-macam bangun ruang

3. Menuliskan unsure-unsur pada bangun ruang

4. Menggambar jaring-jaring bangun ruang pada suatu bidang datar

5. Menentukan luas permukaan bangun ruang, dan menggunakannya

untuk menyelesaikan masalah sehari-hari.

6. Menentukan volume bangun ruang, dan menggunakannya untuk

menyelesaikan masalah sehari-hari.

7. Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang

8. Menentukan jarak antara dua garis dalam ruang.

9. Menentukan besar sudut dalam ruang.

3

D. Kegiatan Belajar

Kegiatan Belajar 1

a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar 1, siswa diharapkan dapat :

Menentukan unsure-unsur bangun ruang Menentukan panjang diagonal bidang dan diagonal ruang Menggambar jarring-jaring bangun ruang

b. Uraian Materi

I. Bangun Ruang dan Unsur - unsunya

1. K U B U S

Kubus adalah bangun ruang yang terdiri enam bidang sisi, setiap sisinya berbentuk persegi (bujur sangkar). Seperti pada gambar berikut ini :

H G Kubus memiliki : E a. 12 rusuk yang sama panjang yaitu : AB, BC, CD, AD, AE, BF, CG, DH, EF, FG, AF dan EH

b. 12 diagonal bidang yg sama panjang : B C AC, BD, EG, FH, AF, BE, DG,

CH, BG, CF, AH dan DE A Bc. 4 diagonal ruang yang sama panjang yqitu : AG, BH, CE dan DFd. 6 bidang diagonal yang luasnya sama yaitu : ABGH, CDEF, BCHE, ADGF,

ACGF dan BDHF e. Rusuk-rusuk yang sejajar adalah : AB ⁄⁄ DC ⁄⁄ EF ⁄⁄ HG, AD ⁄⁄ BC ⁄⁄ FG ⁄⁄EH,

AF ⁄⁄ BF ⁄⁄ CG ⁄⁄ DHf. Rusuk-rusuk yang berpotongan dengan rusuk AB adalah : AD, BC, AE, BFg. Rusuk-rusuk yang bersilangan dengan rusuk AB adalah : CG, DH, EH, FGh. Diagonal-diagonal bidang yg berpotongan dgn AB adalah : AF, BE, AH, BGi. Diagonal-diagonal ruang yang bersilangan dengan AB adalah : CE, DEj. Jaring – jarring kubus

H G

H D C G H

E A B F E

E F

Contoh : 1Sebuah kubus ABCD, EFGH, panjang rusuknya 2 meter. Tentukanlah :

a. Panjang diagonal bidangnya b. panjang diagonal ruangnya

c. luas bidang diagonal ruang ACGE

Jawab : H G D C

E F 2m

D C A 2m B

# Panjang diagonal bidang

F

D

4

A B AC2 = AB2 + BC2

E G # Panjang diagonal ruangnya :

AG2 = AC2 + CG2

A C AG2 = (2√2)2 + 22

AG = √8 + 4

AG = 2√3 m

# Jadi luas biada diagonal ruang ACGE adalah : L = AE x AC

L = (2 x 2√2) m

L = 4√2 m

Contoh : 2

Sebuah kubus ABCD, EFGH, panjang rusuknya 4x meter. Tentukanlah :a. Panjang diagonal bidangnya b. panjang diagonal ruangnyac. luas bidang diagonal ruang ACGEJawab : H G D C

E F 4x m

D C A 4x m B

# Panjang diagonal bidang

A B AC2 = AB2 + BC2

E G AC = √ (4x)2 + (4x)2 → 4√2x m

# Panjang diagonal ruangnya :

AG2 = AC2 + CG2

AG2 = (4√2x)2 + (4x)2

A C AG = √32x2 + 16x2

AG = 4√3x m

# Jadi luas biada diagonal ruang ACGE adalah : L = AE x AC

L = (4x)m x (4√2x)m

L = 16√2x2 m2

2. B A L O K Balok memiliki :

H G a. 3 pasang rusuk yang sejajar :

AB ⁄⁄ CD ⁄⁄ EF ⁄⁄ HG

E F AD ⁄⁄ BC ⁄⁄ FG ⁄⁄ EH

D C AE ⁄⁄ BF ⁄⁄ CG ⁄⁄ DH

b. Rusuk-rusuk yang sejajar sama

A B panjang.

c. 4 diagonal ruang yang sama panjang, yaitu : AG, BH, CE dan DFd. 3 kelompok diagonal bidang yang sama panjang, yaitu :

AF = BE = DG = CH, AC = BD = EG = FH, AH = DE = BG = CEe. 3 kelompok diagonal yang luasnya sama, yaitu :

5

3. PRISMA

H G U T Prisma adalah bangun ruang yang

E F S mempunyai sepasang sisi sejajar yang

Sebangun, yang disebut alas, serta sisi-

D C R Q sisi lain yang menghubungkan ujung-

A B ujung titik sudut dengan kedua alasnya

P disebut sisi tegak.

Unsur-unsur Prisma tegak segitiga pada gambar di atas :a. Sisi alas dan sisi atasnya berbentuk segitiga, yaitu PQR dan STU, sisi tegaknya

berbentuk segi empat yaitu PQTS,QRUT, dan PRUSb. Rusuk alas yaitu PQ,QR, dan RP. Rusuk atasnya yaitu : ST, UT, dan US. Rusuk

tegaknya : PS, QT, dan UR.c. Diagonal sisinya : PT, QS, QU, RT, PU, dan RS

4. LIMAS T Limas adalah suatu bangun yang mempunyai

Satu sisi sebagai alas dan sisi-sisi lain

berupa segitiga berpotongan pada satu

S R titik disebut titik puncak, sedangkan

O jarak dari titik puncak ke alas limas

P Q disebut tinggi limas.

Unsur-unsur limas :Limas segi empat T.PQRS memiliki rusuk TS, TP, TQ, dan TR. Rusuk tegak Dan sisi tegak berupa segitiga TQR,TRS,TSP, dan TPQ

5. TABUNG Jari2

Tabung adalah bangun ruang dgn

Suatu irisan melingkar yang

Bidang selimut seragam. Jiks ujung-ujungnya tegak

lurus pada permukaan yang

Bidang alas melengkung, tabung itu disebut

abung tegak

Tabung memiliki 3 sisi yaitu : berbentuk bidang lengkung dan lainnya berbentuk lingkaran.

6. KERUCUT Kerucut adalah bangun ruang yang alasnya

T berbentuk lingkaran dgn jari-jari r.

OT = t menyatakan tinggi S t bidang selimut kerucut dgn T sbg puncak

Kerucut dan s disebut

Apotema atau garis pelukis.

Bidang alas

r O

6

7. BOLA

Bola adalah himpunan semua titik dlm

Ruang dengan jarak tertentu dari suatu titik

Tetap yang disebut pusat, dan jarak tersebut

disebut jari – jari.

Kerjakan soal – soal berikut dengan cermat

1. H G Diketahui kubus ABCD . EFGH, seperti

gambar disamping. Rusuk-rusuk manakah yang :

E F a. Garis yang sejajar dengan rusuk AB

b. Rusuk yang berpotongan dengan rusuk AB

D C c. Rusuk yang bersilangan dengan rusuk AB

d.Diagonal bidang yang berpotongan dengan

A B garis PQ

e. Diagonal bidang yang terletak pada bidang ABCDf. Bidang-bidang yang melalui ABg. Bidang-bidang sejajar dengan ABh. Diagonal – diagonal bidang yang terletak pada bidang ABCD

Jawab :

a. e.

b. f.

c. g.

d h

Latihan 1

7

2. Diketahui kubus ABCD . EFGH, dengan panjang rusuknya 4 cm. hitunglah :

a. Panjang diagonal bidangnya b. Panjang diagonal ruangnya

c. luas bidang diagonalnya

Jawab :

a. b.

c.

3. Diketahui panjang diagonal bidang sebuah kubus ABCD . EFGH adalah √200 cm. tentukanlah

a. panjang sebuah rusuknya b. Panjang diagonal ruangnya

c. luas bidang diagonalnya

Jawab :

a. b.

c.

4. Sebuah balok ABCD . EFGH mempunyai ukuran panjang AB = 80 mm, BC = 60 mm dan CG = 50 mm, tentukanlah :a. Panjang diagonal sisi AC dan panjang diagonal ruang AGb. luas bidang diagonal ACGE

Jawab :

a. b.

c.

8

5. Gambakan jarring – jarring bangun berikut :a. Kubus c. Prisma Segitiga e. Tabungb. Balok d. Limas f. KerucutJawab :

a. Jaring – jarring Kubus d. Jaring-jaring Limas

b. Jaring-jaring Balok e. Jaring-jaring Tabung

c. Jaring-jaring Prisma Segitiga f. Jaring-jaring Kerucut

9

Kegiatan Belajar 2

a. Tujuan Kegiatan Belajar 2

Setelah mempelajari kegiatan belajar 2 diharapkan siswa dapat :

Menentukan luas permukaan kubus, balok, prisma, limas, tabung, kerucut, dan bola

Menentukan volume permukaan kubus, balok, prisma, limas, tabung, kerucut, dan

bola.

b. Uraian Materi

II. Luas Permukaan dan Volume Bangun

Ruang

2.1. Kubus

Contoh :

Perhatikan gambar disamping..!

Tentukanlah :

a. Luas permukaannya

b. Volumenya

10 cm

Jawab :

a. L = 6p2 L = 6(10cm)2 b. V = p3 V = (10cm)3

L = 600cm2 V = 1.000cm3

2.2. Balok

Contoh :

Perhatikan gambar disamping..!

8cm Tentukanlah :

a. Luas permukaannya

b. Volumenya

12 cm

Jawab :

a. L = 2pl + 2pt + 2lt b. V = p l t

L = 2(12 x 6) + 2(12 x 8) + 2(6 x 8) b. V = (12 x 6 x 8) cm3

L = 432 cm2 V = 576 cm3

2.3. Prisma

Luas permukaan : L = 6p2

Volume : V = p3

Luas permukaan : L = 2pl + 2pt + 2ltVolume : V = p l t

Luas permukaan : L = (K x t) + (2 x La)Volume : V = La x t

6cm

10

D E Gambar disamping adalah prisma segi tiga siku2

Jika panjang rusuk AB = 29cm dan BC = 20cm

F dan AD = 15cm, tentukanlah :.

A B a. Panjang rusuk AC b. luas permukaannya

c. Volumenya

c

Jawab :

a. AC2 = AB2 – BC2 b. Lp = 2L∆ABC + (AB x AD + AC x AD + BC x BE)

AC2 = (29)2 – (20)2 Lp = 2.½.(20x 21) + (29 x 15)+(21 x 15)+(20 x 15)

AC2 = 841 – 400 Lp = 420 + 435 + 315 + 300

AC2 = √441 AC = 21 Lp = 1470 cm2

2.4. Limas

T

Limas T.AQRS alasnya berbentuk persegi

Dengan panjang rusuk alas 10 cm, jika

Tinggi limas (OT) = 8cm tentukanlah :

S R a. Panjang garis TU

O U b. Luas permukaannya c. Volumenya

P Q

Jawab :

a. TU2 = OU2 + OT2 b. L = La + 4(½ QR x TU) c. V = ⅓ La x t

TU2 = 52 + 122 L = (10 x 10) + 2 (10 x 13) V = ⅓(102 x 8)

TU2 = 25 + 144 L = 100 + 260 V = 266,67 cm3

TU = √169 L = 360 cm2

TU = 13 cm

2.5. Tabung

Luas permukaan : L = Lp = La + Ls

Luas alas : Panjang x lebarLuas selimut : 4 x luas ∆ Volume : V = ⅓La x tinggi

Luas Selimut : Ls = 2πrt = Ka x tinggi

Luas Permukaan : Lp = 2πr ( r + t) Volume : V = πr2t

11

Contoh : Sebuah tabung seperti padagambar disamping.

Jika diameter tabung 28 cm dan tingginya 30cm

Tentukanlah :

a. Luas selimutnya

b. Luas permukaannya

Jawab : c. Volumenya

a. Ls = 2π r t b. Lp = 2πr (r + t) c. V = π r2 t

Ls = 2(22/7)(14)(30) Lp = 2(22/7)(14)(14 + 30) V = 22/7(14)2(30)

= (44) (60) = (88) (44) V = (22) (840)

= 2.640 cm2 = 3.872 cm2 V = 18.480 cm2

2.6. Kerucut

Contoh :

T Sebuah kerucut dengan jari-jari alas 21cm, jika

Tinggi kerucut 20 cm. tentukanlah :

a. Panjang garis pelukisnya

b. Luas selimutnya

c. Luas permukaannya

d. Volumenya

Jawab :

a. S2 = (21)2 + (20)2 b. Ls = π r s c. Lp = πr (r + s)

S2 = 441 + 400Ls = (22/7)(21)(29) Lp = (22/7)(21)(21 + 29)

= √841 = 1914 cm2 = (66) (50)

= 29 cm = 3.300 cm2

d. V = ⅓ πr2t

V = ⅓(22/7)(21)2 (20)

V = (22) (420)

V = 9.240 cm3

2.7. Bola

Contoh :

Sebuah bola dengan diameter 21 cm, tentukanlah :

a. Luas kulit bola b. Volumenya

Jawab :

a. L = 4πr2 b. V = 4/3 πr3

L = 4(22/7)(21)2 V = 4/3 (22/7)(21)3

L = (88) (63) V = (88/3) (1323)

L = 5.544 cm2 V = 38.808 cm3

Luas Selimut : Ls = πrsLuas Permukaan : Lp = πr ( r + s) Volume : V = ⅓ πr2t

Luas Kulit bola : Lk = 4πr2

Volumenya : V = 4/3 πr3

r

12

Kerjakan soal – soal berikut dengan cermat :

1. Diketahui balok ABCD EFGH dengan panjang AB = 8 cm, AD = 6 cm dan AE = 4 cm. Hitunglah :

a. Luas permukaannya b. Volumenya

Jawab :

1. a. L = 2pl + 2pt + 2lt . b. V = p l t

L = 2(8 x 6) + 2(8 x 4) + 2(6 x 4) b. V = (8 x 6 x 4) cm3

L = 208 cm2 V = 192 cm3

2. T Sebuah limas T.ABCD dengan alas berbentuk

persegi dan panjang sisinya 10 cm. Jika tinggi

13 cm pada sisi tegaknya 13 cm, Hitunglah ….

D C a. Tinggi limas

E-------------- F b. Volume limas

c. Luas Permukaan limas

A 10 cm B

Jawab :

a. TE = √a2 - b2 b.

= √132 - 52

=√169 - 25

= √144

= 12 cm2

3. Diketahui Luas permukaan sebuah kubus adalah 384 cm2, tentukan :

a. Panjang rusuk kubus b. Volume

. .

4. Sebuah kerucut mempunyai jari-jari 7 cm dan tinggi 24 cm, hitunglah :a. Luas Permukaan kerucut b. Volume kerucut

Latihan 2

13

5. Luas permukaan sebuah tabung tanpa tutup adalah 814 cm2. jika jari-jarinya 7cm.

terntukanlah : ……. (π = 22/7)

a. Tinggi tabung b. Volume tabung

6. Sebuah bola memiliki jari-jari 7 cm. Hitunglah :

a. Volume Bola b. luas permukaan ½ bola

.

7. Sebuah proyeksi peluru terdiri dari bagian yang berbentuk

tabung, dengan panjang 10 mm dengan diameter 6 mm,

ujungnya berbentuk kerucut dengan tinggi 4mm. tentukan

lah :

a. Luas permukaannya

b. Volumenya

Jawab :

a. b.

.

14

8.

D E Sebuah prisma alasnya berbentuk segitiga siku-siku2

yang panjang kedua sisi siku-sikunya 3 cm dan 4 cm.

F jika tinggi prisma 8 cm, tentkanlah :.

A B a. Volume b. luas permukaannya

C

a. b.

.

Kegiatan Belajar 3

c. Tujuan Kegiatan Belajar 3

Setelah mempelajari kegiatan belajar 2 diharapkan siswa dapat :

15

Menentukan jarak antara titik dengan titik pada suatu bangun ruang

Menentukan besar sudut yang dibentuk oleh beberapa ruang garis pada bangun ruang.

d. Uraian Materi Kegiatan Belajar 3

III. Hubungan Antara Unsur-Unsur Dalam Bangun

Ruang

3.1. Proyeksi sebuah titik pada garis P’

Proyeksi sebuah titik P pada sebuah garis g dapat

Diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari

Titik P ke garis g. perpotongan garis tegak lurus

Dari titik P dengan garis g yaitu titik P.

Keterangan ;

P = titik yang diproyeksikan

P’ = titik hasil proyeksi g

PP’ = proyektor (jarak P ke garis g) P

g = garis proyeksi

3.2. Proyeksi titik pada bidang P

Keterangan :

P = titik yang diproyeksikan

P’ = titik hasil proyeksi

PP’ = garis yang diproyeksikan (proyektor)

V = Bidang yang menerima proyeksi

PP’ = tegak lurus pada bidang V P

V

3.3. Hubungan antara garis dengan bidang

Hubungan dua buah garis dapat berupa :

a. Dua garis sejajar, adalah dua garis yang terletak dalam satu bidang yang memiliki

arah yang sama.

b. Dua buah garis berpotongan, adalah dua garis yang terletak dalam satu bidang yang

bertemu di satu titik.

c. Dua garis bersilangan, adalah dua garis yang terletak pada bidang yang berbeda dan

jika diproyeksikan salah satu diantaranya akan bertemu di satu titik.

H G

Contoh : H

F

D

16

Tentukan garis yang sejajar, berpotongan, E

Dan bersilangan dengan rusuk AB dari

Kubus ABCD.EFGH berikut ini : C

A B

Jawab :

Garis yang sejajar dengan AB, adalah : DC, EF, dan HG

Garis yang berpotongan dengan AB adalah : AD, AE, BC, dan BF

Garis yang bersilangan dengan AB adalah : CG, DH, EH, dan FG

3.4. Proyeksi garis pada bidang

Keterangan : B

V = bidang yang menerima proyeksi A

(bidang proyeksi) g

g = garis yang diproyeksikan

(proyektum)

AA dan BB = garis proyektor A B

AB = garis hasil proyeksi V

ABBA = bidang proyektor

3.5. Sudut antara garis danbidang g

Sudut antara garis dan bidang adalah

Sudut lancip yang dibentuk oleh garis g

Dengan proyeksinya dengan bidang V

g

V

3.6. Sudut antara dua bidang

Sudut antara dua bidang yang ber

Berpotongan adalah sudut yang H G

Dibentuk oleh dua garis yang ber E

Potongan serta masing-masing

garis itu tegak lurus terhadap garis

potong antara bidang ABCD dan C

bidang BDG. Sudut antara bidang A B

ABCD dan bidang BDG adalah

Sudut COG. Garis OG mewakili bidang BDG dan garis AC mewakili bidang ABC.

Contoh :

F

D

17

1. Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Hitunglah titik C ke bidang BDG !

Jawab :

AC = √ AB2 + BC2 = √ 82 + 82 = 8√2 cm

PC = ½ x AC = ½ x 8√2 = 4√2 c

Perhatikan ∆ PCG

H G G

E F 8 cm

D C

A 8 cm B P 4√2 C

PG = √PC2 + CG2 = √ (4√2)2 + 82 = √ 32 + 64 = 4√6 cm

Sin ᾳ = CG = 8 = 2 = 2 √6 = 1 √6 PG 4√6 √6 6 3

Pada ∆ PCT

Sin ᾳ = CT PC

1 √6 = CT 3 4√2 √6 CT = 1 √6 X 4√2 = 4 √12 X 2√3 = 8 √3 cm 3 3 3

Jadi jarak titik C ke bidang BDG adalah 8 √3 cm 3

Evaluasi

18

SOAL PILIHAN GANDA

Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat untuk setiap soal berikut :

1. H G Perhatikan gambar disamping !

Garis HB disebut …………….

E F a. Garis diagonal

b. Diagonal ruang

D C c. Diagonal sisi

d. Bidang diagonal

A B e. Bidang frontal

2. Gambar berikut adalah jarring-jaring kubus, jika bidang sisi E sebagai alas maka sebagai

tutupnya adalah…

a. A c. C e. E

b. B d. D

3. Sebuah balok mempunyai perbandingan panjang : lebar : tinggi = 5 : 2 : 1 dan luas permukaan nya 306 cm2, Volume balok tersebut adalah ……. cm3

a. 180 c. 240b. 200 d. 250 e. 270

4. Sebuah tabung tanpa tutup dan alas dibuat dari selembar kertas berbentuk persegi panjang seperti terlihat pada gambar berikut …

l

p

Jika panjang = p dan l masing – masing adalah 88 cm dan 28 cm, maka panjang jari – jari r adalah …….. ( π = 22 )

7a. 7 cm c. 28 cm e. 42 cmb. 14 cm d. 36 cm

5. Sebuah kerucut memiliki tinggi 48 cm dan jari-jari alas 14 cm. Luas selimut kerucut tersebut adalah ….. cm2

a. 1.100 c. 2.240 e. 4.220b. 2.200 d. 2.400

F

B C D E

A

19

6. Diketahui sebuah tabung terbentuk dari tabung dan 25 cm

Kerucur beserta ukuran-ukurannya seperti pada tampak pada gambar disamping ini.

Volume bangun tersebut adalah ……. ( π = 22 ) 10 cm 7

a. 2.768 cm3

b. 2.772 cm3 d. 2.792 cm3

c. 2.784 cm3 e. 2.798 cm3 14 cm

6. Alas sebuah prisma berbentuk segitiga sama kaki. Panjang sisi alas segitiga 20 cm dan sisi-sisi lainnya 26 cm. Jika tinggi prisma 10 cm, maka volume prisme tersebut adalah …a. 1.300 cm3 c. 2.100 cm3

b. 1.500 cm3 d. 2.400 cm3 e. 2.600 cm3

T

7. Alas sebuah limas berbantuk persegi dengan panjang Sisi alas 12 cm dan tinggi limas 8 cm, seperti pada gambar 8 cm

disamping, Volume limas adalah….. D C

a. 567 cm3 c. 384 cm3 e. 336 cm3

b. 550 cm3 d. 376 cm3 A B

12 cm

9. Diketahui kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk 6 cm. jarak titik B ke garis HC adalah

a. 6 √5 cm c. 6√3 cm e. 3√6

b. 9√2 cm d. 4√6 cm

10. Luas permukaan sebuah kubus adalah 384 cm2. Panjang rusuk kubus tersebut adalah …. Cm

a. 6 c. 8 e. 10

b. 7 d. 9

Selamat Berlatih, Semoga Sukses