MODUL 4

4.1 Pendahuluan

Perlakuan matematik dalam permasalahan keteknikan meliputi empat langkah dasar :

1. Formulasi ( perumusan )Merupakan penyajian permasalahan dalam bahasa matematik. Langkah pengubahan ini berlandaskan pada hukum – hukum fisik yang berperan dalam keberlangsungan proses.

2. Penyelesaian Kesesuaian opersional dari model matematik dapat terpenuhi yang mungkin dilakukan pengulangan logis dan model matematik.

3. Interprestasi Merupakan pengembangan hubungan dari hasil – hasil model matematika dan perkiraan – perkiraannya dengan melakukan pengamatan dan pengecekan melalui eksperimental.

Langkah 1 dan 2 merupakan tujuan utama , sedang langkah formulasi dapat disajikan melalui persamaan differensial dan integral atau kombinasi dari keduannya .

Pada setiap modul matematik biasannya berlandasan hokum fisik , sebagai contoh yang berhubungan denga hokum kekekalan massa dan energy dalam bentuk sebagai berikut :

[ JumlahenergiMassamasuk ] - [ Jumlahenergi

Massa keluar ]= [ Jumlah energiMassa yang terakumulasi ]

Input – Output = Akumulasi

Formulasi hokum kekekalan massa / energy di atas dapat dilakukan dengan persamaan differensial dan solusinya menggunakan integral.

Tujuan Intruksional khususn:

- Mahasiswa mampu menginterprestasikan proses – proses fisik ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan persamaan differensial .

- Mahasiswa mampu menyelesaikan model persamaan differensial yang diperoleh dengan metode yang cocok.

4.2 Kegiatan belajar 1

Persamaan differensial orde 1

Persamaan dasar dari differensial orde 1 adalah :

dydx

=f (x¿¿1 f )………………… ………………………… ..(1)¿

Persamaan (1 ) dapat juga ditulis dalam bentuk

M (x¿¿1 y )dx+N ( x1 y )dy=0… ………………………(2)¿

Sebagai contoh bentuk persamaan (1) adalah

dydx

= x2+ y2

x− y

Bila persamaan differensial diatas ditulis dalam bentuk persamaan (2) maka akan diperoleh

(x¿¿2+ y2)dx+b ( x− y )dy=0¿

A Persamaan differensial Exact

Bila f adalah fungsi dua variable x dan y , maka total differensial dari fungsi f adalah :

df ( x¿¿1 y )=ə(x¿¿1 y )

əxdx+ə

(x¿¿1 y)dxəy

¿¿¿

Contoh 1 :

Bila f adalah fungsi dua variable yang ditulis dalam bentuk persamaan :

f (x¿¿1 y )=xy2+2 x3 y ¿

Maka :

əf(x¿¿1 y)

əx= y2+6 x2 y ə

(x¿¿1 y )əy

=2xy+2 x3¿¿

Total differensial df adalah :

df ( x¿¿1 y )=( y¿¿2+6 x2 y )dx+(2 xy+2 x3 )dy ¿¿

Bila persamaan differensial dapat ditulis dalam bentuk :

M (x¿¿1 y )dx+N (x¿¿1 y )dy=0……… …………… ..(3)¿¿

Maka persamaan differensial dikatakan exact bila :

əM ¿¿¿)

Bila persamaan differensial (3) adalah excat daru suatu fungsi f maka :

əf(x¿¿1 y)

əx=M (x¿¿1 y)danəf

(x¿¿1 y)əy

=N (x¿¿1 y)¿¿¿¿ )………….(5)

Bila salah satu persamaan (5) diintergralkan secara parsial maka akan diperoleh :

f (x¿¿1 y )=∫M (x¿¿1¿ y )dx+ f ( y )¿¿¿ ) ……………………… (6)

Bila integral persamaan (6) diturunkan terhadap y maka akan diperoleh :

əf (x1 y)əy

= əəy∫M (x¿¿1¿ y )dx+

df ( y)dy

¿¿

Bila hasil integral disubstitusi ke persamaan (5) maka akan diperoleh :

N (x¿¿1 y)=ə∫M (x¿¿1 y )dx+df ( y )

dy¿¿…………….(7)

Atau

df ( y )=N (x¿¿1 y )−ə∫M (x1¿ y )dx¿¿

f ( y )=∫ ¿¿

Subsitusi ke persamaan (6) akan diperoleh :

f (x¿¿1 y )=∫M (x¿¿1 y)dx+¿∫ ¿¿¿¿¿.(8)

Contoh 2

Selesaikan persamaan differensial berikut ini :

(3 x¿¿2+4 xy )dx+2x2+2 y¿ dy=0

Penyelesaian :

Terlebih dahulu periksa persamaan differensial diatas excat atau tidak exact dengan menggunakan persamaan (4).

M (x¿¿1 y )=3 x2+4 xy ¿ N ¿y) = 2 x2 + 2y

əM(x¿¿1 y)

əy=4 x¿ əN

(x¿¿1 y )əx

=4 x ¿

Ternyata persamaan differensial adalah excat sehingga berlaku :

əf(x¿¿1 y)

əx=M (x¿¿1 y)=3x2+4 xy¿¿

əf(x¿¿1 y)

əy=N ( x¿¿1 y )=2 x2+2 y ¿¿

f (x1 y )=∫M (x¿¿1 y)dx+ f ( y )=∫(3 x2¿¿+4 xy)dx+f ( y ) ¿¿¿

¿ x2+2x2 y+ f ( y)

əf (x1 y )əy

2x2+əf ( y )

əy

Sementara :

əf (x1 y)əy

=N (x¿¿1 y)=2x2+2 y¿

Maka

2 x2+2 y=2 x2+əf ( y )

əy

əf ( y)əy

=2 y

f ( y )= y2+C0

Sehinggga

f (x¿¿1 y )=x3+2 x2 y+ y2+C0 ¿

f (x1y) = x3 + 2x2y + y2+ C0

Sementara satu para meta hasil integrasi darif (x¿¿1 y )=C1¿, maka C1−C0=C

( Konstanta yang baru ) , maka jawaban persamaan differensial adalah :

x2+2x2 y+ y2=C

B Persamaan Differensial variable terpisah

Bentuk umum persamaan adalah :

f ( x ) G ( y )dx+ f (x ) g ( y )=0………… ………………¿)

Sebagai contoh sederhana persamaan adalah :

( x−4 ) y4dx−x3 ( y2−3 )dy=0

Bentuk umum persamaan (9) adalah titik excat , sehingga untuk

menyelesaikan persamaan digunakan integral factor 1

f ( x )G( y) ,

sehingga persamaan dapat disederhanakan menjadi .

f ( x ) dxf (x)

+g ( y )dyG ( y)

=0…… ……………………………… (10)

Bila fraksi F (x )f ( y)

diganti dengan M x) dan g(x )G(x)

dengan N (y) maka

persamaan (10) dapat ditulis dalam bentuk :

M (x) + N (y) = 0

Bila harga fungsi x dan N hanya fungsi y , maka penyelesaian persamaan differensial diperoleh :

∫M ( x )dx+∫N ( y ) dy=C

Contoh 3

Selesaikan persamaan differensial

( x 4 ) y4dx−x3 ( y2−3 )dy=0

Persamaan diatas adalah persamaan differensial variable terpisah , maka diambil factor integrasi x3y4, sehingga diperoleh .

(x−4)x3

dx−( y¿¿2−3)

y4dy=0¿

Atau

(x¿¿2−4 x−3)dx−( y¿¿2−3 y 4)dy=0¿¿

Integral persamaan diperoleh

−1x

+ 2x2

+ 1y− 1

y3=C

C. Persamaan Differensial linier orde 1

Bentuk umum

Misalkan jawaban umum persamaan (11) adalah :

y=u . v……… ……………………………………….(12)

Differensial persamaan (12) diperoleh

dydu

=udvdx

+vdudx

……………………… ……………(13)

Substitusikan persamaan (12) dan (13) kepersamaan (11) diperoleh

udvdx

+vdudx

+P ( x )u . v=Q ( x ) ………………….(14 )

Persamaan (14) diselesaikan secara parsial

udvdu

+P ( x ) u . v=0…………… ………………….(15)

u(dvdx

+ P (x))v = 0

dvdx

+ P (x) v = 0

dvv

= - P (x) dx

In v = -∫P ( x ) dx

v=e−∫ P ( x ) dx du

dx=Q ( x ) ………………………….(16)

vdudx

=Q ( x ) ………………………………………… …(17)

Substitusikan persamaan (16) ke (17)

e−∫ P ( x ) dx du

dx=Q (x)

dudx

=Q(x )e∫ P ( x ) dx

du=Q(x )e∫ P ( x ) dxdx

u=∫Q ( x ) e∫P ( x )dxdx+C ……………………… ……(18)

Jawaban umum persamaan differensial diperoleh dengan substitusi persamaan (16)

dan (18) kedalam persamaan (12)

y=e∫ P ( x ) dx [∫Q(x)e∫P (x ) dxdx+C ] …………….(19)

Contoh 4

Selesaikan persamaan differensial berikut ini :

dydx

+2 xy=4 x

Penyelesaian

∫P ( x ) dx=∫ 2x dx=x2

e∫P ( x ) dx=ex2→e

−∫ P ( x ) dx=x−x2

∫Q ( x ) e∫ P ( x ) dx=∫4 xex2dx=2ex2+C

Sehingga

y=e−x2 ⌊2ex2+C ⌋

y=2+C e−x2

Contoh 5

Selesaikan persamaan differensial xdydx

= y+3 x2−2 x

Penyelesaian

dydx

−1y

y=x2+3x−2

∫P ( x ) dx=−∫ dxx

=−¿ xdane− Inx=1x

∫Q( x)e∫P (x)dxdx=∫ (x2+3 x−2 ) 1x

dx

¿∫ x+3−2x

dx

¿12

x2+3 x−2∈x+C1

y=12

x3+3 x2−2x∈x+C x

Rangkuman

1 Persamaan differensial M (x¿¿1 y )dx+N (x¿¿1 y )dy=0¿¿

Differensial excat bila :

əM(x¿¿1 y)

dy=

əN ( x1 y)əx

¿

2 Persamaan differensial f ( x ) G ( y )+ f ( x ) g ( y )=0

Adalah Pd variable terpisah . penyelesaian menggunakan integral factor

1f

(x) g (y) , sehingga persamaan dapat disederhanakan menjadi :

F (x )f (x )

dx + G( y )g( y )

dy = 0

3 Persamaan differensial dydx

+ P (x) y = Q (x)

Adalah persamaan differensial linear orde 1 penyelesaian persamaan

differensial adalah

y=e−∫P ( x )dx [∫Q ( x ) e∫ P ( x ) dxd x+C ] Tes Formalitas Satu

1 Selesaikan persamaan differensial berikut dengan menggunakan cara excata. (x2 - y ) dx – x dy = 0 b. (x2 – y ) dx – xdy = 0c. (x2 + y2 ) dx + 2 xy dy = 0d. (x + ycosx )dx + sin x dy= 0e. (2x + 3y +4 )dx + (3x+4y+5) dy = 0

f. (4x3y3 + 1x

) dx + (3x4y2 - 1y

)dy = 0

2 Selesaikan persamaann berikut dengan variable terpisah :a. xy dx + (1+x2)dy= 0b. 4y dx + x dy = 0c. (1+2y)dx +(4-x2)dy = 0d. y2 dx – x2 dy = 0e. (1 +y)dx – (1+x)dy = 0

3 Selesaikan persamaan differensial dengan linear orde I

a.dydx

+ y = 2 + 2x

b. x dy - 2y dx = (x – 2)ex dx

c.didt

– 6i = 10 sin 2t

d.drdt

+ 3 r = 2

e. Y(1+ y2 )dx = 2 ( 1 – 2xy2)dy

Cara penilaian

- Soal no 1 dan dua bobot masing – masing 30 %- Soal no 3 bobot 40 %

4.3 Kegiatan belajar dua

Aplikasi persamaan differensial

1 Proses pencampuran dalam tanki berpengadukSuatu teknik mula – mula mengandung 50 gal air murni , pada saat mula – mula waktu = t = 0 , air mengandung 2 lb garam pergallon dialirkan masuk tanki dengan laju 3 gal / menit . campuran dibuat homogen dengan menggunakan pengaduk aliran masuk dana keluar tanki sama :Hitunglah :a. Berapa banyak garam dalam tanki setiap saat ± 70b. Berapa banyak garam setelah 25 menitc. Berapa banyak garam dalam tanki untuk waktu yang lama

Penyelesaian :

Misal x adalah banyak garam dalam tanki pada waktu t , formulitas matematik :

Input = Output + akumulasi

dxdt

= Input – Output

Air laut mengalir dengan laju 3 gal/ menit mengandung 2 lb garam/gal Input = ( 2 lb/gal )( 3 gal/menit)= 6 lb/ menit. Bila laju air masuk sama dengan lajua aliran keluar , maka tanki mengadung 50 gal campuran setiap saat . 50 galon mengandung x lb garam pada waktu t, jadi

2. Suatu tanki yang besar mula-mula berisi 50 galon air laut dan terdapat 10 lb garam terlarut. Air laut yang mengandung 2 lb gram terlarut pergalon mengalir masuk dalam tanki dengan laju alir 5 gal/menit,campuran dibuat homogeny dengan pengadukan dan keluar tanki dengan laju 3 galon/menit. Berapa banyak garam dalam tanki setelah waktu t>0 ?

Penyelesaian :

Misal x = garam dalam tanki pada waktu t

dxdt

= Input – Output

Input = (2 lb/gal) (5 gal/menit) = 10 lb/menit

Misal air laut keluar tanki mengandung garam C lb/gal

Output = (C lb/gal) (3 gal/menit)

Laju alir laut masuk tanki 5 gal/menit

Laju alir laut keluat 3 gal/menit

Pertambahan volume air laut pada waktu t adalah 5-3 = 2 gal/menit

Volume air laut dalam takni pada waktu t adalah (50 + 2t) gal

Konsentrasi garam dalam tangki pada waktu t adalah :

x50+2 t

lb/gal

Maka :

Output = 3x50+2 t

lb/menit

Persamaan differensiala diperoleh :

dxdt

=10-3x50+2 t

Kondisi awal x (0) = 10

Penyelesaian :

Persamaan differnsial diatas adalah linear orde I

dxdt

+3

2t+50 x =10

Penyelesaian :

∫P (t ) dt = ∫ 32 t+50

dt = 3/2 ∫ d (2 t+50)2 t+50

dt

= 3/2 ln (2t+50)

❑e∫P (t ) dt = Exp [3/2 ln (2t+50] = (2 t+50)3 /2

∫Q (t ) . e∫ P (t ) dt dt = ∫10 (2t+50)3/2 dt

= 2((2 t+50)5 /2 + C

X = (2 t+50)−3 /2 [2(2 t+50)5 /2 + C

X = 4(t+25)❑ + C

(2 t+50)3 /2

Kondisi awal :

X = 10 pada saat t = 0

10 = 100 + C

(50)3 /2

C = -(90) (50)3/2 = -22,50√2Pada saat t > 0

X = 4t + 100 - 22,50√2¿¿

Hukum Newton Tentang Pendinginan

- Laju pendingainana suatu substan di udara sebanding dengan perbedaan

temperature antara substan dan udara.

- dTdt

= k ( T-Ta)

Dimana :

T = Temperatur body

Ta = Temperatur medium

K = Konstanta

- dTdt

= Laju penurunan suhu terhadap waktu

3. Suatu benda di udara didinginkan dari 370 0K ke 340 0K membutuhkan waktu

selama 15 menit. Hitunglah waktu untuk mendinginkan benda tersebut menjadi

310 0K bila temperature udara 30 0K.

Penyelesaian :

Misal T adalah temperature benda pada waktu t.

- dTdt

= k ( T-Ta)

∫370

340dT

T−300 = -k ∫

0

15

dt

ln 40- ln 70 = -15 . k

15.k = ln 7/4 = 0.56

∫370

310dT

T−300 = -k ∫

0

1

dt

ln 10 – ln 70 = -kt

15 kt = 15 ln 7

t = 15 ln 70,56

= 52 menit

Hukum Fourier Tentang Konduksi

- Jika pada suatu benda terdapat gradient temperatur, maka akan terjadi

perpindahan energy dari bagian yang temperature tinggi ke bagian temperature

rendah (konduksi). Laju perpindahan kalor berbanding dengan temperature

normal.

Q = KA dTdt

Dimana :

K = Konduktivitas thermal

A = Luar permukaan tegak lurus aliran kalor

X = Jarak

T = Temperatur

Q = laju perpindahan kalor persatuan waktu

4. Salah satu permukaan suatu plat tembaga yang tebalnya 3 cm mempunyai suhu

tetap 400 0C, sedangkan suhu permukaan sebelah lagi dijaga tetap 100 0C,

berapa kalor yang berpindah mellintas lempeng itu jika K = 370 w/m0C dan A = 1

m2.

Penyelesaian :

Q = -KA dTdt

dT = - QKA

dx

∫400

100

dt = - QKA

∫0

0,03

dx

300 = QKA

(0,03)

Q = 300KA0,03

= 300x 370 x1

0,03

= 3,7 mw

5. Steam mengalir dengan pipa dengan diameter 0,2 m, tebal isolasi pipa 0,06 m (K

= 0,13), tentukan panas yang hilang perjam persatuan panjang pipa jika

temperature permukaan dalam pipa 470 0K dan temperature permukaan luar

300 0K.

Penyelesaian :

Q = -KA dTdt

atau 2πkdr=−Qdxx

Harga batas integral T = 300, x = 0,16

T = 470, x = 0,1

2πk ∫300

470

dT=−Q ∫0,16

0,1

❑ dxx

340 πk=Q ¿

Q=340 πkln 1,6

jouledet ik

Panas yang hilang permeter panjang pipa adlaah :

Q = 1,03 mj

6. Suatu reaksi berlangsung dalam reactor batch. Setelah reaksi berlangsuing 30

menit dicapai konversi 15%. Berapa waktu yang di butuhkan dalam mencapai

konversi 50% anggaplah reaksi adalah orde I.

Penyelesaian :

Formulasi matematik :

−dCadt

=k Ca

Pada saat awal

Ca = Cao pada saat t = 0

Bila konversi = x, maka Ca = Cao – Cao x

= Cao (1-x)

∫ Cao(1−x )Cao(1−x )

=−∫ k dt

∫ d (1−x)1−x

=−∫k dt

Kondisi batas :

Xo = o pada saat t = 0

Xo = x pada saat t0 = t

∫ d (1−x)1−x

=−∫k dt

ln ( 1-x) = -k.t

k=−ln(1−x)

t

Atau :

t=−ln (1−x)

k

Untuk t = 30 menit → x = 0,15

k=−ln(0,85)

30=5,4 x 10−3

t=−ln (1−x)

k

t= − ln 0,505,4 x10−3

¿128menit

7. Reaksi Irreversible orde 1 berantai

K1 K2

A R S

Persamaan laju reaksi adalah:

dCadt

=¿ K1. Ca ……………………………………………………….. (1)

dCRdt

=¿ K1.Ca – K2.CR …………………………………………....(2)

dCsdt

=¿ K2.CR ……………………………………………………….. (3)

Pada saat awal konsentrasi komponen A= Ca0

Konsentrasi komponen R dan S = 0

Tentukan konsentrasi komponen R untuk t >0

Penyelesaian:

Integral pers (1) akan diperoleh

∫Cao

cadCaCao

=−∫0

t

Kt dt

-ln CaCao

=kt . t atau

Ca = Cao. e−kt .t ………………………………………………………… (4)

Subtitusi persamaan (4) dan (2) akan diperoleh :

dCrdt

+ K2.CR = K1.Cao . e−kt .t ……………………………………. (5)

Persamaan (5) adalah persamaan differensial orde 1 linear dalam bentuk

dydx

+ P(y) = Q (X)

Misalkan jawaban umum persamaan (5) adalah :

CR = u . v , sehingga

dCRdt

=ud vdt + v

dudt

Subtitusi ke persamaan (5) diperoleh :

udvdt

+ v dudt

+ k2.u.v = K1.Cao . e−kt .t

Penyelesaian persamaan diatas secara parsil yakni salah satu ruas kiri harus = 0

u [dvdt

+ K2.v ] = 0

dvdt

+ k2.v = 0

∫ dvv

= - ∫❑K2.dt

ln v = - K2.t

v = e-k2.t

vdudx

= K1.Cao.e-k1.t

e-k1.tdudt

= K1.Cao.e-k1.t

dudt

= K1.Cao.e(k2-k1).t

du = k1.Cao.e(k2-k1).t dt

u = [k1

k2−k1] Cao.e(k2-k1).t + C1

Jawaban umum persamaan (5) adalah

CR= e-k.t [k1

k2−k1] Cao.e(k2-k1).t + C1

Pada saat t=0, maka CR=0

0 = [k1

k2−k1] Cao + C1

Atau

C1 = k1

k2−k1 Cao

Sehingga diperoleh

CR = e-k.t [k1

k2−k1 Cao.e(k2-k1).t + C1 +

k1k2−k1

Cao ]

CR= K1.Cao [ e−k1. t

k2−k1 + e−k 2 .t

k2−k1 ]

Rangkuman

- pencampuran dalam tanki yang mengalir

dxdt

= Input – Output

- Hukum pendinginan Newton

- dxdt

= k (T - Ta)

- Hukum Fourier tentang Konduksi

Q = -KA dTdx

- Laju reaksi orde 1

-dCadt

= K.Ca

Tes Formatif dua

1. Suatu benda mempunyai temperature mula-mula 80°F pada saat t=0 temperatur medium adalah 50°F. Setelah didinginkan selama 5 menit,tempereatur turun menjadi 70°f. Berapa temperature setelah 10

menit dan berapa waktu yang dibutuhkan untuk mencapai temperature 60°F ?

2. Suatu tanki mula-mula mengandung 100 gallon air laut dan 2- lb garam teralarut didalam nya,pada saat t=0,airlaut yang mengandung 3 lb garam pergallon dialirkan masuk tanki dengan laju 4 gal/menit. Campuran dibuat homogeny dengan cara pengadukan . Laju alir air laut keluat tanki adalah sama dengan laju alir masuk tanki. Berapa banyak garam dal tanki setelah 10 menit dan pada saat kapan garam dalam tanki sebanyak 160 lb?

3. Suatu tanki mula-0mula mengandung 100 gal air murni,pada saat t=0,air laut yang mengandung 4 lb/gal mengalir masuk dengan laju 5 gal/menit. Campuran dibuat homogeny dengan cara pengadukan. Campuran keluar tanki dengan laju 3 gal/menit. Hitunglah berapa banyak garam dalam tanki setelah 2- menit dan kapan dalm tanki terdapat 50 lb garam !

4. Suatu pipa steam mempunyai diameter 24 cm,diisolasi seteal 12 cm (K = 0,1), temperatur dalam pipa 500K dan temperature luar isolasi 300 K. Tentukanlah tempereatur isolasi pada jark x meter dari pusat pipa dan bereapa panas yang hilang perhari permeter panjang pipa?

Cara Penilaian

- Soal No.1 sampa dengan 4 mempunyai bobot nilai masing-masing 25%

Kunci Jawaban- Tes formatif 1

Soal no.1

a. xy = x33

+ C

b. xy2 + x33

= C

c. X2 + 2y sin x = C

d. X2 + 3xy + 2y2 + 4x + 5y = C

e. X4y3 + ln (x/y) = C

Soal no.2

a. Y2 (1+x2) = C

b. X4y = C

c. (1+2y)2 = C 2−X2+ x

d. Y = X + Cxy

e. (1+y) = C (1+x)

Soal no.3

a. y = 2x + Ce-x

b. y = ex + Cx2

c. I = 12

(3sin2t + cos2t) + Ce6t

d. 3r = 2 + Ce-3t

e. (1 + y2)2x = 2 ln y + y2 + C

- Tes Formatif dua

Soal no.1

a. = 63,33 °F b. = 13,55 menit

- Soal no.2

a. 112,31 lb

b. 17,33 menit

- Soal no.3

a. = 318,53 lb

b. = 2,74 menit

- Soal No.4

a. T = 300-250 (ln x – ln 0.24) / (ln 2 )

b. 19,6 mj

Daftar Pustaka

Frank. 1972. Differential Equations. First edition. McGraw. Hill Book Company.

London

Shepley. 1974. Differential Equations. Second Edition. Jhon Wieley dan Sons.

New York