MODUL PERKULIAHAN

Matematika I(Fungsi)

a. Konsep fungsi.

b. Operasi pada fungsi.c. Fungsi komposisi dan fungsi invers.d. Macam-macam fungsi dan grafiknya.

FakultasProgram StudiTatap MukaKode MKDisusun Oleh

Fakultas Teknik Teknik Sipil01MK90016Hendy Yusman F, M.Pd

AbstractKompetensi

Agar Mahasiswa :

Dalam kehidupan sehari-hari anda sering menjumpai hubungan sesuatu dengan yang lainnya, baik hubungan antar manusia ataupun yang lainnya. Hubungan yang ada tersebut ada yang dapat dinyatakan dalam notasi matematika yang mana hal tersebut akan sangat bermanfaat bagi anda sebagai mahasiswa teknik sipil. Dalam modul ini Anda akan mempelajari 4 materi yaitu : Konsep fungsi, operasi pada fungsi, fungsi komposisi dan fungsi invers,macam-macam fungsi dan grafiknya. Pada materi 1 adalah konsep fungsi, materi 2 adlah operasi pada fungsi, materi 3 fungsi komposisi dan inversnya, selanjutnya materi ke 4 adalah macam-macam fungsi dan grafiknya

1. Mengerti apa yang dimaksud dengan fungsi dan dapat menentukan relasii yang merupakan sebuah fungsi.

2. Dapat menggambarkan sebuah fungsi pada sistim koordinat Cartesian.3. Mengenal macam-macam fungsi.

4. Mengenal apa yang dimaksud dengan :fungsi komposisi, fungsi invers, fungsi periodik, fungsi terbatas dan fungsi monoton.5. Dapat menentukan komposisii fungsi.6. Dapat menentukan invers sebuah fungsi.

1. Konsep Fungsi

1.1 Relasi antara dua himpunan

Jika A dan B dua himpunan yang tidak kosong, maka didefinisikan:

, A ( B disebut hasil kali cartesian antara himpunan A dan B. Jika R ( (A ( B), maka R disebut relasi dari himpunan A ke himpunan B. Relasi dapat diartikan sebagai aturan yang mengawankan dua himpunan.

Ada beberapa cara menyatakan relasi, yaitu:

a. diagram panah

b. himpunan pasangan berurutan

c. grafik kartesius

Contoh:

Diketahui himpunan A ( { 1, 2, 4, 5} dan B ( { (1, 2, 3, 5}, nyatakan relasi dari A ke B dengan dua lebihnya dari !

Penyelesaian:

a. diagram panah

c. Grafik kartesiusb. himpunan pasangan berurutan

{(1,(1), (4,2), (5,3)}

1.2 Pemetaan atau fungsi

Pemetaan atau fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota pada B.

Pemetaan seperti ini biasa dinotasikan dengan

f : x ( y atau y ( f(x)

dibaca f memetakan x ke y

y dinamakan peta atau bayangan dari x oleh fungsi f. Himpunan semua peta/bayangan dari fungsi disebut daerah hasil (range).Jadi untuk suatu fungsi diperlukan syarat:

a. Himpunan A sebagai daerah asal atau daerah definisi (domain).b. Himpunan B sebagai daerah kawan (kodomain).c. Himpunan R sebagai daerah hasil (range)

d. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B yang memetakan setiap anggota A dengan tepat satu anggota pada B, atau dengan kata lain setiap anggota A dipasangkan habis tetapi tidak boleh ada satu anggota A yang punya pasangan lebih dari atau kurang dari satu.

Domain fungsi f biasanya dilambangkan dengan Df sedangkan range fungsi f biasanya dilambangkan dengan Rf.

Contoh:

1) Diantara diagram panah berikut yang merupakan fungsi (pemetaan) dari A ke B adalah

a.

c.

b.

d.

Penyelesaian:

b adalah jawabnya, sebab setiap anggota A dipasangkan habis dan punya kawan tunggal

a bukan fungsi sebab ada anggota A yang tidak punya kawan c bukan fungsi sebab ada anggota A yang punya kawan lebih dari satu

d bukan fungsi sebab ada anggota A yang tidak punya kawan dan ada anggota A yang punya kawan lebih dari satu.

2) Diketahui suatu fungsi yang memetakan A ( {1, 8, 27} ke B ( {1, 2, 3, 4} dengan sifat pangkat tiga dari

a) Buatlah diagram panahnya

b) Tentukan domain, kodomain dan range fungsi tersebut.

Penyelesaian:

a) Domain fungsi (Df ) adalah A ( {1, 8, 27}

Kodomain fungsi adalah B ( {1, 2, 3, 4}

Range fungsi (Rf ) adalah R ( {1, 2, 3}Diagram panah di bawah ini menunjukkan kejadian khusus dari pemetaan yang disebut korespondensi satu(satu.

Korespondensi satu(satu adalah pemetaan yang menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota pada B dan menghubungkan setiap anggota B dengan tepat satu anggota pada A.

Jika suatu fungsi f mempunyai daerah asal dan daerah kawan yang sama, misalkan D maka sering dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi tidak dinyatakan maka yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan riil ((). Untuk fungsi(fungsi pada ( kita kenal beberapa fungsi khusus antara lain: fungsi linier dan fungsi kuadrat.2. Operasi Fungsi

Seperti halnya dua bilangan a dan b dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan a + b, demikian juga halnya dua buah fungsi baru f dan g, walaupun fungsi bukanlah suatu bilangan. Operasi jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi pada dua buah fungsi didefinisikan sebagai berikut.

Misalkan f dan g terdefinisi pada himpunan D, maka :

1. (f + g) (x) = f(x) + g(x), untuk setiap x ( D.

2. (f - g) (x) = f(x) - g(x), untuk setiap x ( D.

3. (f . g) (x) = f(x) . g(x), untuk setiap x ( D.

4. (k . f) (x) = k. f(x), untuk setiap x ( D dan k adalah konstanta.

5. , untuk setiap x ( D dan g(x) ( 0.

Jika domain f adalah Df dan domain g adalah Dg maka domain untuk operasi fungsi f dan g diatas adalah Df ( Dg.

Contoh :

Jika f(x) = dan g(x) = , dengan masing-masing domain : Df = {x | x (-1} dan Dg = {x | x ( 0}, maka dapat ditentukan operasi fungsi berikut :1. (f + g) (x) = f(x) + g(x) = + = , dengan Df + g = R {-1, 0}

2. (f - g) (x) = f(x) - g(x) = - = , dengan Df g = R {-1, 0}

3. (f . g) (x) = f(x) . g(x) = = , dengan Df . g = R { -1, 0}

4. = = , dengan Df / g = R {-1}

5. (5. f) (x) = 5 . f(x) = 5 = , dengan D5.f = R {-1}.

3. Fungsi Komposisi

Jika diketahui dua fungsi f: A ( B dan g: B ( C maka fungsi komposisi g f : A ( C ditentukan oleh rumus (g f)(x) ( g(f(x)), x ( A.

Catatan: g f dibaca g komposisi f .

Contoh:Diketahui f(x) ( x + 3 dan g(x) ( 5x, tentukan:

1. (f g)(x) dan (f g)(10)

2. (g f)(x) dan (g f)(10)

Penyelesaian:1. (f g)(x) ( f(g(x)) ( f(5x) ( 5x + 3

(f g)(10) ( 5.10 + 3 ( 50 + 3 ( 53

2. (g f)(x) ( g(f(x)) ( g(x + 3) ( 5(x + 3) ( 5x + 15

(g f)(10) ( 5.10 + 15 ( 50 + 15 ( 65

Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa ( , jadi komposisi fungsi tidak bersifat komutatif.

Catatan:

Syarat fungsi f dan g dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi f g adalah Df ( Rg ( (.

Artinya irisan antara domain fungsi f atau Df dan range fungsi g atau Rg tidak kosong.

1. Komposisi dua fungsi atau lebih

Misalkan f, g dan h adalah fungsi maka fungsi-fungsi tersebut dapat tersusun menjadi fungsi komposisi:

a. (f g)(x) = f(g(x))

b. (f g h)(x) = f(g(h(x)))

Contoh:

Diketahui f(x) ( 4x ( 8 dan g(x) ( 3x2 dan h(x) ( 2x.

Tentukan

1) (f g)(x)

2) (f f)(x)

3) (f g h)(x)

Penyelesaian:1) (f g)(x) ( f(g(x)) ( f(3x2) ( 4(3x2) ( 8 ( 12x2 ( 8

2) (f f)(x) ( f(f(x)) ( f(4x ( 8) ( 4(4x ( 8) ( 8 ( 16x ( 40

3) (f g h)(x) ( f(g(h(x)))

( f(g(2x))

( f(3(2x )2)

( f(12x 2)

( 4(12x 2) ( 8

( 48x 2 ( 8

2. Sifat-sifat komposisi fungsi

a. Operasi komposisi fungsi pada umumnya tidak bersifat komutatiff g ( g fb. Operasi komposisi fungsi pada umumnya bersifat assosiatif

f (g h) = (f g) hc. Dalam operasi komposisi fungsi terdapat fungsi identitas, yaitu I(x) ( x, sehingga berlaku: I f ( f I ( fContoh:

Pada contoh sebelumnya diketahui f(x) ( 4x ( 8, g(x) ( 3x2 dan h(x) ( 2x. Tunjukkan bahwa:

1) (f g)(x) ( (g f) (x)2) (f (g h))(x) = ((f g )h)(x) 3) (I f)(x) ( (f I)(x) ( f(x) Penyelesaian:

1) (f g)(x) ( f(g(x)) ( f(3x2) ( 4(3x2) ( 8 ( 12x2 ( 8

(g f)(x) ( g(f(x))

( g(4x ( 8)

( 3(4x ( 8)2

( 3(16 x2 ( 64x + 64)

( 48 x2 ( 192x + 192

jadi (f g)(x) ( (g f) (x)2) f(x) ( 4x ( 8, g(x) ( 3x2 dan h(x) ( 2xmenentukan (f (g h))(x)

menentukan ((f g ) h)(x)

(g h)(x) ( g(h(x))

(f g)(x) ( f(g(x))

( g(2x)

( f(3x2)

( 3(2x )2

( 4(3x2) ( 8

( 12x 2

( 12x2 ( 8

(f (g h))(x) ( f)(g h)(x)) ((f g) h)(x) ( (f g)(h(x))

( f(12x 2)

( (f g)(2x)

( 4(12x 2) ( 8

( 12(2x)2 ( 8

( 48x 2 ( 8

( 48x 2 ( 8

Jadi terbukti bahwa (f (g h))(x) = ((f g ) h)(x) 3) I(x) ( x dan f(x) ( 4x ( 8

(I f)(x) ( I(f(x)) ( I(4x ( 8) ( 4x ( 8 ( f(x)

(f I)(x) ( f(I(x)) ( f(x)

Jadi terbukti bahwa (I f)(x) ( (f I)(x) ( f(x) 3. Menentukan fungsi f jika fungsi g dan f g diketahui

Contoh:

Tentukan f(x) jika g(x) ( 3x + 2 dan (f g)(x) ( 18x2 + 39x + 22Penyelesaian:

(f g)(x) ( 18x2 + 39x + 22

( f(g (x)) ( 18x2 + 39x + 22

( f(3x + 2) ( 18x2 + 39x + 22

( f(3x + 2) ( 2(3x + 2)2 ( 24x ( 8 + 39x + 22

( f(3x + 2) ( 2(3x + 2)2 + 15x +14

( f(3x + 2) ( 2(3x + 2)2 + 5(3x + 2) +4

jadi f(x) ( 2x2 + 5x + 4

Dengan cara sama dapat pula ditentukan fungsi g jika fungsi f dan f g diketahui.

Contoh:

Tentukan g(x) jika diketahui f(x) ( 3x dan (f g)(x) (12x + 24

Penyelesaian:

(f g)(x) ( 12x + 24

( f(g(x)) ( 12x + 24

( 3 g(x) ( 12x + 24

( g(x) ( 4x + 8

jadi g(x) ( 4x + 8

Catatan: dalam penyelesaian tersebut terkadang sulit untuk dikerjakan, namun dengan pengertian fungsi invers (balikan) akan memudahkan untuk menyelesaikan soal tersebut.4. Fungsi invers

1. Pengertian invers suatu fungsi

Perhatikan gambar 4.1 berikut

Pada gambar di atas fungsi f : A ( B dengan , relasi g: B ( A dengan maka g adalah invers dari fungsi f dan ditulis f (1. Jika relasi f (1 merupakan fungsi maka f (1 disebut fungsi invers, jika relasi f (1 bukan merupakan fungsi maka f (1 disebut invers dari f saja.

Jika fungsi g ( f (1 ada maka f dan g disebut fungsi(fungsi invers, g adalah invers dari f dan f adalah invers dari g. Sehingga dapat dinyatakan dengan: .

Contoh:

Fungsi(fungsi dalam himpunan pasangan berurutan berikut ini nyatakan inversnya dan apakah merupakan fungsi invers.

a. f = {(2,4), (3,6), (5,10)}

b. g = {((2,4), ((1,1), (1,1), (2,4)}

c. h = {((1,(1), ((3,(3), (1,1), (3,3)}

Penyelesaian:

a. f (1= {(4,2), (6,3), (10,5)}, merupakan fungsi invers

b. g (1= {(4, (2), (1, (1), (1,1), (4, 2)}, merupakan invers dari fungsi g tetapi bukan merupakan fungsi invers.

c. h (1= {((1, 1), (1,1), ((2, 4), (2, 4)}, merupakan fungsi invers

Catatan: syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers adalah jika fungsi tersebut merupakan korespondensi satu(satu.

2. Menentukan fungsi invers

Langkah(langkah untuk menentukan fungsi invers dari fungsi y ( f(x) adalah:

a. Tentukan terlebih dulu fungsi x dari y sehingga didapat x ( f(y)

b. Setelah didapat x ( f(y) selanjutnya tukarkan 2 variabel tersebut menjadi y ( f (1(x)

c. Kemudian tunjukkan bahwa (f f (1)(x) ( (f (1f)(x) ( I(x) ( xContoh: Tentukan fungsi invers dari y = 2x + 10

Penyelesaian:

y ( 2x + 10 ( 2x ( y (10

(

( x ( f(y)

jadi f (1(x) ( (

(f f (1)(x) ( f )f (1(x)) ( ( x(f (1f)(x) ( f (1(f(x)) ( ( xKarena (f f (1)(x) ( (f (1f)(x) ( I(x) ( x maka fungsi invers dari y = 2x + 10 adalah f (1(x) (

Catatan: grafik fungsi f akan simetris dengan fungsi f (1 dengan sumbu simetrinya adalah garis y ( x.

3. Fungsi invers dari fungsi komposisi

Jika fungsi f: A ( B, g: B ( C dan (g f): A ( C maka (g f) memetakkan setiap x ( A oleh fungsi f dilanjutkan oleh fungsi g ke z ( C. Atau dapat ditulis:

f(x) = y dan g(y) = z ( (g f)(x) ( g(f(x)) = zMisalkan f -1 dan g -1 berturut-turut invers dari fungsi f dan g maka (g f) -1 memetakkan setiap z ( C oleh fungsi g 1 dilanjutkan oleh fungsi f 1 ke x ( A sehingga dapat dinyatakan dengan (f -1 g 1). Atau dapat ditulis:

g 1(z) = y dan f 1(y) = x ( (f -1 g 1)(z) ( f 1(g 1(z)) = x

Jadi (g f) 1 = f -1 g 1

Jika f (1, g (1 dan h (1 berturut(turut masing(masing adalah fungsi invers dari fungsi(fungsi f , g dan h maka berlaku hubungan:

a. (f g) (1(x) ( (g (1f (1)(x)

b. (f g h) (1(x) ( (h(1 g (1 f (1)(x)

c. ((f g) g (1)(x) ( (g (1 (g f ))(x) = f(x)

d. (f (1(x)) (1 ( f(x)

Ada 2 cara dalam menentukan rumus invers fungsi dari fungsi komposisi, yaitu:

a. Menentukan dulu rumus fungsi komposisi, kemudian menentukan inversnya.

Contoh: Diketahui f ( x ( 7 dan g ( 4x + 1, tentukan (f g) (1(x)

Penyelesaian:

(f g)(x) ( f(g(x)) ( f(4x + 1) ( 4x + 1 ( 7 ( 4x ( 6

Misalkan y ( 4x ( 6

( 4x ( y + 6

(

Jadi (f g) (1(x) (

b. Menentukan dulu inversnya masing(masing fungsi, kemudian dikomposisikan

Contoh: (dari contoh sebelumnya)

Diketahui f(x) ( x ( 7 dan g(x)( 4x + 1, tentukan (f g) (1(x) Penyelesaian:

f (x) ( x ( 7 ( misalkan y ( x ( 7

( x ( y + 7sehingga f (1(x) ( x + 7

g(x) ( 4x + 1 ( misalkan y ( 4x + 1

( 4x ( y ( 1

(

sehingga g(1(x) (

(f g) (1(x) ( (g (1 f (1)(x)

( g (1 (f (1(x))

( g (1(x + 7)

(

(

5. Macam-macam Fungsi dan Grafiknya

5.1. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi y = f(x) dikatakan fungsi genap, jika f(- x) = f(x), untuk setiap x ( Df.

Dan fungsi y = f(x) dikatakan ganjil, jika f(- x) = - f(x), dalam hal ini daerah asal f sekaligus memuat x dan x.

Sifat-sifat fungsi genap dan fungsi ganjil adalah :

1. Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu y

2. Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik (0, 0) atau ttitik asal.

Secara geometris sifat tersebut dapat dilihat pada gambar 5.1. berikut.

yy

y = f(x)f(-x)= - f(x)

x

x

(a). Grafik fungsi genap (b). Grafik fungsi ganjil

Gambar 5.1.

Contoh :1. Fungsi f(x) = x2 adalah fungsi genap, karena f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x), (x ( R

2. Fungsi f(x) = sin x adalah fungsi ganjil, karena f(-x) = sin (-x) = - sin x = - f(x), untuk setiap x ( R.

3. Fungsi f(x) = x3 x2 adalah fungsi yang tidak genap dan tidak ganjil, karena terdapat x ( Df sehingga f(-x) = (-x)3 (-x)2 = -x3 x2( - f(x).

4. Fungsi f(x) = 0 adalah fungsi genap dan fungsi ganjil, karena f(-x) = 0 = f(x) dan f(-x) = 0 = - f(x), untuk setiap x ( Df5. Fungsi f(x) = - tidak dapat dikatakan sebagai fungsi genap maupun fungsi ganjil Karen daerah asalnya tidak memuat x atau x secara bersamaan (bukan himpunan simetri).

5.2 Fungsi Konstanta

Bentuk fungsi konstanta adalah f(x) = k, k adalah konstanta, Df = R dan Rf = {k}.

Grafik fungsinya diperlihatkan pada gambar 5.2.

y

f(x) = k

x

Gambar 5.2.

5.3. Fungsi Identitas

Bentuk fungsi identitas adalah f(x) = x, Df = R dan Rf = R.

Grafik fungsinya diperlihatkan pada gambar 5.3.

y

f(x) = x

x

Gambar 5.3.5.4. Fungsi Linier

Fungsi linier mempunyai persamaan y ( ax + b, a, b ( ( dan a ( 0. Grafik fungsi linier berupa garis lurus. Untuk menggambar grafik fungsi linier ada dua cara, yaitu: dengan tabel dan dengan menentukan titik potong pada sumbu x dan sumbu y.

Contoh:

Gambarlah grafik fungsi y ( 2x + 2

Penyelesaian

1. Dengan tabel

x(101

y ( 2x + 2024

2. Dengan titik potong sumbu x dan sumbu y

Persamaan garis y ( 2x + 2

Titik potong grafik dengan sumbu x:

syarat y ( 0 ( 0 ( 2x + 2

2x ( (2

x ( (1

sehingga titik potong grafik dengan sumbu x adalah ( (1,0)

Titik potong grafik dengan sumbu y:

syarat x ( 0 ( y ( 2 . 0 + 2 ( 2

sehingga titik potong grafik dengan sumbu y adalah ( 0,2)

Kedua titik potong tersebut digambar dalam bidang kartesius kemudian dihubungkan sehingga tampak membentuk garis lurus (gambar 2.7).

1. Gradien

Persamaan garis biasa juga ditulis y ( mx + c, dengan m, c ( (. Dalam hal ini m dan c adalah konstanta, dengan m melambangkan gradien (koefisien arah) garis lurus.

Gradien adalah konstanta yang menunjukkan tingkat kemiringan garis. Dilihat dari gambar 2.8 maka m dapat dicari sebagai berikut:

Pada gambar 2.8, misalkan ( adalah sudut antara garis horisontal (sejajar sumbu x) dan grafik fungsi linier dengan arah putaran berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam, maka gradien dapat pula didefinisikan dengan .Sebagai catatan bahwa

a) Jika m ( 0 maka grafik sejajar dengan sumbu x dan ini sering disebut sebagai fungsi konstan.

b) Jika m ( 0 maka grafik condong ke kanan atas (0(( ( ( 90()

c) Jika m ( 0 maka grafik condong ke kanan bawah (90(( ( ( 180()2. Menentukan persamaan garis melalui satu titik dan bergradien m

Misalkan garis y ( mx + c melalui titik P(x1,y1), setelah titik (x1,y1) disubstitusikan ke persamaan garis tersebut diperoleh:

y ( mx + c

y1 ( mx1 + c

y ( y1 ( m (x ( x1)

Jadi rumus persamaan garis melalui titik P(x1,y1) dan bergradien m adalah

Contoh:

Tentukan persamaan garis yang melalui P(3,9) dan bergradien 6.

Penyelesaian:

Titik P(3,9) dan gradien m ( 6 disubstitusikan ke persamaan diatas

y ( y1 ( m(x ( x1)

( y ( 9 ( 6(x ( 3)

( y ( 6x ( 18 +9

( y ( 6x( 9

Jadi persamaan garisnya adalah y ( 6x( 9.

3. Menentukan persamaan garis melalui dua titik

Persamaan garis melalui dua titik A(x1,y1) dan B(x2,y2) dapat dicari dengan langkah sebagai berikut:

persamaan garis melalui titik A(x1,y1) dan dengan memisalkan gradiennya m adalah

y ( y1 ( m (x ( x1) . (i)

karena garis ini juga melalui titik B(x2,y2), maka y2 ( y1 ( m (x2 ( x1), sehingga diperoleh gradien

. (ii)

persamaan (ii) disubstitusikan ke (i) diperoleh

Jadi persamaan garis melalui dua titik A(x1,y1) dan B(x2,y2) adalah

Contoh:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (1,6) dan (3,8).

Penyelesaian:

Kedua titik (1,6) dan (3,8) disubstitusikan ke persamaan garis melalui dua titik.

(

(

( y ( 6 ( x ( 1

( y ( x + 5Jadi persamaan garisnya adalah y ( x + 5

4. Menentukan titik potong antara dua garis

Misalkan dua garis g1 dan g2 saling berpotongan di titik P(x,y), maka nilai x dan y harus memenuhi kedua persamaan garis tersebut. Titik potong dua garis dapat dicari dengan metode substitusi atau eliminasi.

Contoh:

Tentukan titik potong dari dua garis g1: y ( 3x + 2 dan g2: y ( x + 8

Penyelesaian:

Soal di atas dapat diselesaikan dengan 2 metode

a. Metode substitusi

Nilai y pada persamaan g2 diganti dengan nilai y persamaan g1

y ( x + 8

( 3x + 2 ( x + 8

( 2x ( 6

( x ( 3

x ( 3 dimasukkan ke persamaan g2 diperoleh

y ( x + 8 ( 3 + 8 ( 11

jadi titik potong g1: y ( 3x + 2 dan g2: y ( x + 8 adalah (3,11)

b. Metode eliminasi

Metode eliminasi dilakukan dengan menyamakan koefisien salah satu variabel untuk menghilangkan salah satu variabel lainnya. Karena kedua persamaan tersebut memiliki koefisien variabel y yang sama maka langsung dieliminasikan

y ( 3x + 2

x ( 3 dimasukkan ke persamaan g2

y ( x + 8

y ( x + 8 ( 3 + 8 ( 11

0 ( 2x ( 6

2x ( 6 ( x ( 3

jadi titik potong g1: y ( 3x + 2 dan g2: y ( x + 8 adalah (3,11)

Catatan:

a. Garis g1 yang bergradien m1 dikatakan sejajar dengan g2 yang bergradien m2 jika memenuhi m1 ( m2Contoh:

Apakah garis y ( 5x + 12 sejajar dengan y ( 5x ( 8

Penyelesaian:Karena m1 ( m2 ( 5 maka kedua garis tersebut sejajar.

b. Garis g1 yang bergradien m1 dikatakan tegak lurus dengan g2 yang bergradien m2 jika memenuhi m1 . m2 ( (1

Contoh:

Apakah garis 2y ( 6x + 12 dan 9y ( (3x + 8 saling tegak lurus?

Penyelesaian:g1: 2y ( 6x + 12 ( y ( 3x + 6 ( m1 ( 3

g2: 9y ( (3x + 8 ( y ( ( m2 (

m1 . m2 ( 3 . ( (1 sehingga kedua garis saling tegak lurus.

5.5. Fungsi KuadratBentuk umum fungsi kuadrat adalah y ( ax2 + bx + c dengan a, b, c ( ( dan a ( 0. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola maka sering juga disebut fungsi parabola.

Jika a ( 0 , parabola terbuka ke atas sehingga mempunyai titik balik minimum (gambar 5.5.a)

Jika a ( 0 , parabola terbuka ke bawah sehingga mempunyai titik balik maksimum (gambar 5.5.b)

Langkah(langkah menggambar grafik fungsi kuadrat y ( ax2 + bx + c :

1. Menentukan pembuat nol fungsi ( y ( 0 atau f(x) ( 0

Pembuat nol fungsi dari persamaan kuadrat y ( ax2 + bx + c diperoleh jika ax2 + bx + c ( 0. Sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi ax2+ bx + c( 0.

2. Menentukan sumbu simetri

3. Menentukan titik puncak P (x, y) dengan dan

Dengan nilai diskriminan D ( b2 ( 4ac.

Jika ditinjau dari nilai a dan D maka sketsa grafik parabola sebagai berikut:

a < 0, D > 0

a < 0, D ( 0

a < 0, D < 0

a > 0, D > 0

a > 0, D ( 0

a > 0, D < 0

Catatan:

persamaan kuadrat ax2 + bx + c ( 0 dapat dicari akar(akarnya dengan:

Pemfaktoran

Kuadrat sempurna

Rumus abc: x12 (

Contoh:

Gambarlah sketsa grafik fungsi y ( x2 ( 6x + 8

Penyelesaian:

a. Menentukan pembuat nol fungsi

Dengan pemfaktoran diperoleh

x2 ( 6x + 8 ( 0

(x ( 2) (x ( 4) ( 0

x ( 2 atau x ( 4

b. Menentukan sumbu simetri

c. Menentukan titik puncak P (x, y)

Karena x sudah dicari maka tinggal mencari nilai y dengan substitusi x ( 3 ke fungsi y diperoleh

y ( 32 ( 6(3) + 8

( 9 ( 18 +8 ( (1

Jadi puncaknya adalah titik (3,(1).Sehingga sketsa grafiknya adalah

5.6 Fungsi Trigonometri

5.6.1 Trigonometri dengan perbandingan sudut segitiga siku-siku

Diketahui segitiga ABC, dengan sudut BAC = (, sisi tegak (proyektor) = BC, sisi datar (proyeksi) = AB dan sisi miring (proyektum) = AC.

C

Proyektor Proyektum

B Proyeksi A

Gambar 5.6.1.

Berdasarkan segitiga siku-siku tersebut, maka trigonometri didefinisikan sebagai :

, sin = sinus

, cos = cosinus

, tan = tangentPerhatikan lingkaran satuan pada gambar 5.6.2. dengan persamaan x2 + y2 = 1, berpusat di titik asal dan bejari-jari satu. Nyatakan koordinat (1, 0) dengan A dan t sebarang bilangan positif, maka terdapat tepat satu titik B(x, y) sehingga panjang busur AB adalah t. y

B(x, y) t

A(1, 0) x

Gambar 5.6.2.

Karena keliling lingkaran adalah 2(, sehingga jika t > 2( di perlukan lebih dari satu putaran penuh untuk menelusuri t, jika t = 0 maka A = B, jika t < 0 maka kita juga akan memperoleh satu titik unik B(x, y) sehingga muncul definisi sinus dan kosinus.

5.6.2. Sinus dan kosinusAndaikan t menentukan titik B(x, y) pada keterangan gambar 5.6.2., maka

sin t = y dan cos t = x.

Dari dua rumusan tersebut diperoleh empat rumus fungsi trigonometri lainnya yaitu :

tan t =

cotan t =

sec t =

cosec t =

5.6.3. Sifat-sifat dasar sinus dan kosinusPada fungsi sinus dan kosinus berlaku sifat-sifat sebagai berikut :

1. -1 ( sin t ( 1 dan -1 ( cos t ( 1

2. sin (t + 2() = sin t dan cos (t + 2() = cos t

3. sin (- t) = - sin t dan cos (- t) = cos t

4. sin = cos t dan cos = sin t

5. sin2 t + cos2 t = 1

Sifat-sifat dasar sinus dan kosinus memberikan sifat-sifat fungsi trigonometri lainnya, yaitu :

1. tan (- t) = - tan t

2. 1 + tan2 t = sec2 t dan 1 + cotan2 t = cosec2 t

Adapun grafik fungsi trigonometri diperlihatkan pada gambar 5.6 berikut :

y y

x x

(a).Grafik fungsi sinus (b). Grafik fungsi kosinus

Gambar 5.6

y

x (c). Grafik fungsi tangenSOAL-SOAL LATIHAN

I. Tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi yang diberikan berikut :

1. f(x) =

2. h(x) =

3. g(x) =

4. s(x) =

5. t(x) =

II. Tentukan hasil operasi f + g, f g, f . g, f / g, dan g / f beserta domain dari fungsi yang diberikan berikut ini.

1. f(x) = dan g(x) =

2. f(x) = x dan g(x) =

3. f(x) = dan g(x) =

4. f(x) = dan g(x) =

5. f(x) = dan g(x) = .

III. Tentukan fog dan gof dari fungsi-fungsi:

1. f(x) = 4x x2 dan g(x) =

2. f(x) = dan g(x) =

3. f(x) = 1 x2 dan g(x) = 1 + 2x

4. f(x) = dan g(x) =

5. f(x) = dan g(x) = 1- x2.

V. Tentukan invers fungsi-fungsi berikut & gambarkan grafik f(x) dan f-1(x) !

1. f(x) = 3x 2

2. f(x) = -3(x+5)

3. f(x) = 4 x34. f(x) = (7 x)55. f(x) =

6. f(x) =

VI. Gambarkan grafik fungsi berikut.

1. f(x) =

2. f(x) =

VII. Tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya jika :

1. sin ( = 3/5 ; (/2 < ( < ( 2. cos ( = -4/5 ; ( < ( < 3(/2

3. tan ( = - ;3(/2 < ( < 2( 4. cot ( = 4/; ( < ( < 3(/2

5. sec ( = -6 ; (/2 < ( < ( 6. csc ( = 5/4 ; 0 < ( < (/2

Daftar Pustaka

1. Frank. Ayres J.R.,Kalkulus Diferensial dan Integral, Erlangga, Jakarta, 2004

2. Purcell,Edwin J., Kalkulus jilid I, Erlangga, Jakarta, 2003

3. Yusuf Yahya, D.Suryadi H.S., Agus Sumin, Matematika dasar Untuk Perguruan Tinggi, Ghalia Indonesia, 20040 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

(

(1

(

(

Gb 1.2. contoh grafik kartesius

A

B

1 (

2 (

4 (

5 (

((1

( 2

( 3

( 5

A

B

Gb. 1.1. contoh diagram panah

(

(

(

(

(

(

(

(

A

B

(

(

(

(

(

(

(

(

A

B

(

(

(

(

(

(

(

(

A

B

(

(

(

(

(

(

(

(

A

B

Gb.1.3. diagram panah

1 (

8 (

27(

( 1

( 2

( 3

( 4

A

B

Gb. 1.4. diagram panah

Gb. 1.5. korespondensi satu(satu

(

(

(

(

(

(

(

(

A

B

(

(

A

B

(

C

x

f(x)

f

g

g(f(x))

g EMBED Equation.3 f

Gb. 2.11. fungsi komposisi

(

(

A

B

f (1(y) ( x

f(x) ( y

f

Gb. 4.1. invers fungsi

f (1

(

(

A

B

x

y

f

Gb. 2.13. invers fungsi komposisi

f (1

(

z

C

g

g EMBED Equation.3 f

(g EMBED Equation.3 f)(1

g (1

0 1 2 3 4

1

(

(1

(

X

Y

Gb. 2.6. grafik fungsi linier

2

3

4

(

y ( 2x + 2

Dari tabel diperoleh titik(titik berupa pasangan koordinat, kita gambar titik tersebut dalam bidang kartesius kemudian dihubungkan sehingga tampak membentuk garis lurus. (gambar 2.6)

(

0 1 2 3 4

4

3

2

1

(

(1

(

X

Y

Gb. 2.7. Grafik fungsi linier

y ( 2x + 2

(

(

X

Y

Gb. 2.8. Gradien

x1 x2

y2

y1

y

x

(

O

EMBED Equation.3

m = tan (

(

y ( y1 ( m (x ( x1)

EMBED Equation.3

+

Gb. 5.5.a. grafik parabola

Y

X

P(x,y)

O

Gb. 5.5.b. grafik parabola

Y

X

P(x,y)

O

X2

X1

(

(

X1 ( X2

(

Definit negatif

X2

X1

(

(

X1 ( X2

(

Definit positif

Y

X

1

(

2

3

(

4

(1

0

(

Gb. 5.6. contoh grafik parabola

201425Matematika IPusat Bahan Ajar dan eLearning

Hendy Yusman F, M.Pdhttp://www.mercubuana.ac.id

_1229081467.unknown

_1438780792.unknown

_1438780800.unknown

_1438784650.unknown

_1438784956.unknown

_1438785000.unknown

_1438785333.unknown

_1438784983.unknown

_1438784673.unknown

_1438780802.unknown

_1438784598.unknown

_1438780801.unknown

_1438780796.unknown

_1438780798.unknown

_1438780799.unknown

_1438780797.unknown

_1438780794.unknown

_1438780795.unknown

_1438780793.unknown

_1438780788.unknown

_1438780790.unknown

_1438780791.unknown

_1438780789.unknown

_1438780786.unknown

_1438780787.unknown

_1374747049.unknown

_1374747051.unknown

_1374747052.unknown

_1374747050.unknown

_1229111471.unknown

_1229111499.unknown

_1229105367.unknown

_1144044703.unknown

_1228938460.unknown

_1228938738.unknown

_1229064530.unknown

_1229064613.unknown

_1229081428.unknown

_1229064653.unknown

_1229064551.unknown

_1229062508.unknown

_1229064492.unknown

_1229062522.unknown

_1228938821.unknown

_1228938915.unknown

_1228938739.unknown

_1228938566.unknown

_1228938625.unknown

_1228938541.unknown

_1228934913.unknown

_1228934981.unknown

_1228938373.unknown

_1228934957.unknown

_1144764198.unknown

_1228934880.unknown

_1144044750.unknown

_1137825757.unknown

_1137830531.unknown

_1140436551.unknown

_1144043670.unknown

_1137933285.unknown

_1138082304.unknown

_1139298019.unknown

_1138082264.unknown

_1137830555.unknown

_1137830119.unknown

_1137830185.unknown

_1137830467.unknown

_1137826161.unknown

_1136380177.unknown

_1137825439.unknown

_1137825656.unknown

_1137825212.unknown

_1133325831.unknown

_1136378961.unknown

_1136379264.unknown

_1134543637.unknown

_1135682195.unknown

_1133467930.unknown

_1133073508.unknown

_1133073609.unknown

_1133160331.unknown

_1133160596.unknown

_1133073549.unknown

_1133065356.unknown

_1133071191.unknown