modul 1 fungsi

Upload: syifa-aulia-syifa

Post on 03-Mar-2018

282 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    1/25

    MODUL PERKULIAHAN

    Matematika

    Fungsi

    Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh

    Fakultas Teknik Teknik Sipil

    1

    MK90016 Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.D

    Abstract Kompetensi

    Dalam kehidupan sehari-hari andasering menjumpai hubungansesuatu dengan yang lainnya.Hubungan tersebut ada yang dapatdinyatakan dalam notasi matematikayang disebut dengan fungsi. Dalammodul ini akan dipelajari erbagai halyang berhubungan dengan fungsiyaitu : Konsep fungsi, operasi padafungsi, fungsi komposisi dan fungsiinvers, macam-macam fungsi dangrafiknya.

    Agar Mahasiswa dapat: mengertiapa yang dimaksud dengan fungsi,dapat menggambar sebuah fungsipada sistim koordinat Cartesian,mengenal macam-macam fungsi,mengenal apa yang dimaksuddengan: fungsi komposisi, fungsiinvers, fungsi periodik, fungsiterbatas dan fungsi monoton, dapatmenentukan komposisi fungsi, dandapat menentukan invers sebuah

    fungsi.

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    2/25

    2015

    2Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning

    Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id

    1

    2

    4

    5

    1

    2

    3

    5

    A B

    Gb. 1. Contoh diagram panah

    Konsep Fungsi

    Relasi antara dua himpunan

    Jika A dan B dua himpunan yang tidak kosong, maka didefinisikan:

    BdanA),(BA yxyx , A B disebut hasil kali cartesian antara himpunan

    A dan B. Jika R (A B), maka R disebut relasi dari himpunan A ke himpunan B.

    Relasidapat diartikan sebagaiaturan yang mengawankan dua himpunan.

    Ada beberapa cara menyatakan relasi, yaitu:

    a. diagram panah

    b. himpunan pasangan berurutan

    c. grafik kartesius

    Contoh:

    Diketahui himpunan A { 1, 2, 4, 5} dan B { 1, 2, 3, 5}, nyatakan relasi dari A ke B

    dengan dua lebihnya dari !

    Penyelesaian:

    a. diagram panah c. Grafik kartesius

    b. himpunan pasangan berurutan{(1,1), (4,2), (5,3)}

    Pemetaan atau fungsi

    Pemetaan atau fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang

    menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota pada B.

    Pemetaan seperti ini biasa dinotasikan dengan

    f: x y atau y f(x)

    dibaca f memetakanx key

    5

    4

    3

    2

    1

    Gb. 2. Contoh grafik kartesius

    A

    B

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    3/25

    2015

    3Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning

    Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id

    y dinamakan peta atau bayangan dari x oleh fungsi f. Himpunan semua

    peta/bayangan dari fungsi disebut daerah hasil (range).

    Jadi untuk suatu fungsi diperlukan syarat:

    a. Himpunan A sebagai daerah asal atau daerah definisi (domain).

    b. Himpunan B sebagai daerah kawan (kodomain).

    c. Himpunan R sebagai daerah hasil (range)

    d. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B yang memetakan setiap anggota A

    dengan tepat satu anggota pada B, atau dengan kata lain setiap anggota A

    dipasangkan habis tetapi tidak boleh ada satu anggota A yang punya

    asangan lebih dari atau kurang dari satu.

    Domain fungsi f biasanya dilambangkan dengan Df sedangkan range fungsi f

    biasanya dilambangkan dengan Rf.

    Contoh:

    1) Diantara diagram panah berikut yang merupakan fungsi (pemetaan) dari A ke B

    adalah

    a . c.

    b. d.

    Penyelesaian:

    b adalah jawabnya, sebab setiap anggota A dipasangkan habis dan punyakawan tunggal

    Gb. 3. Diagram panah

    A B

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    4/25

    2015

    4Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning

    Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id

    a bukan fungsi sebab ada anggota A yang tidak punya kawan c bukan

    fungsi sebab ada anggota A yang punya kawan lebih dari satu

    d bukan fungsi sebab ada anggota A yang tidak punya kawan dan ada anggota A

    yang punya kawan lebih dari satu.

    2) Diketahui suatu fungsi yang memetakan A {1, 8, 27} ke B {1, 2, 3, 4} dengan

    sifat pangkat tiga dari

    a) Buatlah diagram panahnya

    b) Tentukan domain, kodomain dan range fungsi tersebut.

    Penyelesaian:

    a)

    b) Domain fungsi (Df) adalah A {1, 8, 27}

    Kodomain fungsi adalah B {1, 2, 3, 4}

    Range fungsi (Rf) adalah R {1, 2, 3}

    Diagram panah di bawah ini menunjukkan kejadian khusus dari pemetaan yang

    disebut korespondensi satusatu.

    Gb. 4. Diagram panah

    Gb. 5. Korespondensi satu-satu

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    5/25

    2015

    5Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning

    Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id

    Korespondensi satusatu adalah pemetaan yang menghubungkan setiap anggota A

    dengan tepat satu anggota pada B dan menghubungkan setiap anggota B dengan

    tepat satu anggota pada A.

    Jika suatu fungsi f mempunyai daerah asal dan daerah kawan yang sama,misalkan D maka sering dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi

    tidak dinyatakan maka yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan riil (

    ).

    Untuk fungsifungsi pada kita kenal beberapa fungsi khusus antara lain: fungsi

    linier dan fungsi kuadrat.

    Operasi Fungsi

    Seperti halnya dua bilangan a dan b dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuahbilangan a + b, demikian juga halnya dua buah fungsi baru f dan g, walaupun fungsi

    bukanlah suatu bilangan. Operasi jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi pada dua buah

    fungsi didefinisikan sebagai berikut.

    Misalkan f dan g terdefinisi pada himpunan D, maka :

    1. (f + g) (x) = f(x) + g(x), untuk setiap x D.

    2. (f - g) (x) = f(x) - g(x), untuk setiap x D.

    3. (f . g) (x) = f(x) . g(x), untuk setiap x D.

    4. (k . f) (x) = k. f(x), untuk setiap x D dan k adalah konstanta.

    5. )(

    )(

    xg

    xfx

    g

    f

    , untuk setiap x D dan g(x) 0.

    Jika domain f adalah Dfdan domain g adalah Dgmaka domain untuk operasi fungsi f dan g

    diatas adalah DfDg.

    Contoh :

    Jika f(x) =x

    x

    1

    1 dan g(x) =x

    x1 , dengan masing-masing domain : Df= {x | x -1} dan Dg

    = {x | x 0}, maka dapat ditentukan operasi fungsi berikut :

    1. (f + g) (x) = f(x) + g(x) =x

    x

    1

    1+

    x

    x1=

    )1(

    12 2

    xx

    xx

    , dengan Df + g= R{-1, 0}

    2. (f - g) (x) = f(x) - g(x) =x

    x

    1

    1-

    x

    x1=

    )1(

    1

    xx

    x

    , dengan Dfg= R{-1, 0}

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    6/25

    2015

    6Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning

    Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id

    A B

    C

    x f(x)

    f g

    g(f(x))

    g f

    3. (f . g) (x) = f(x) . g(x) =

    x

    x

    1

    1

    x

    x1=

    )1(

    1 2

    xx

    x

    , dengan Df . g= R{ -1, 0}

    4. )()(

    xg

    xfxg

    f

    =

    x

    x

    x

    x

    1

    1

    1

    = x

    x

    1 , dengan Df / g= R{-1}

    5. (5. f) (x) = 5 . f(x) = 5

    x

    x

    1

    1=

    x

    x

    1

    55, dengan D5.f= R{-1}.

    Fungsi Komposisi

    Jika diketahui dua fungsi f : A B dan g : B C maka fungsi komposisi g f: A C

    ditentukan oleh rumus (g f)(x) g(f(x)),xA.

    Catatan: g fdibaca g komposisi f .

    Contoh:

    Diketahui f(x) x+ 3 dan g(x) 5x, tentukan:

    1. (f g)(x) dan (f g)(10)

    2. (g f)(x) dan (g f)(10)

    Penyelesaian:

    1. (f g)(x) f(g(x)) f(5x) 5x+ 3

    (f g)(10) 5.10 + 3 50 + 3 53

    2. (g f)(x) g(f(x)) g(x+ 3) 5(x+ 3) 5x+ 15

    (g f)(10) 5.10 + 15 50 + 15 65

    Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa gf fg , jadi komposisi fungsi tidak

    bersifat komutatif.

    Catatan:

    Syarat fungsi fdan gdapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi f gadalah Df

    Rg.

    Gb. 6. fungsi komposisi

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    7/25

    2015

    7Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning

    Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id

    Artinya irisan antara domain fungsi fatau Df dan range fungsi g atau Rg tidak kosong.

    Komposisi dua fungsi atau lebih

    Misalkan f, g dan h adalah fungsi maka fungsi-fungsi tersebut dapat tersusun

    menjadi fungsi komposisi:

    a. (f g)(x) = f(g(x))

    b. (f gh)(x) = f(g(h(x)))

    Contoh:

    Diketahui f(x) 4x8 dan g(x) 3x2dan h(x) 2x.

    Tentukan

    1) (f g)(x)

    2) (f

    f)(x)3) (f g h)(x)

    Penyelesaian:

    1) (f g)(x) f(g(x)) f(3x2) 4(3x2) 8 12x28

    2) (f f)(x) f(f(x)) f(4x8) 4(4x8) 8 16x40

    3) (f gh)(x) f(g(h(x)))

    f(g(2x))

    f(3(2x)2)

    f(12x2)

    4(12x2) 8

    48x28

    Sifat-sifat komposisi fungsi

    a. Operasi komposisi fungsi pada umumnya tidak bersifat komutatif f g g f

    b. Operasi komposisi fungsi pada umumnya bersifat assosiatif

    f (g h) = (f g) h

    c. Dalam operasi komposisi fungsi terdapat fungsi identitas, yaitu I(x) x, sehingga

    berlaku: I f f I f

    Contoh:

    Pada contoh sebelumnya diketahui f(x) 4x8, g(x) 3x2dan h(x) 2x. Tunjukkan

    bahwa:

    1) (f g)(x) (g f) (x)

    2) (f (g h))(x) = ((f g) h)(x)

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    8/25

    2015

    8Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning

    Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id

    3) (I f)(x)(f I)(x)f(x)

    Penyelesaian:

    1) (f g)(x) f(g(x)) f(3x2) 4(3x2) 8 12x28

    (g f)(x) g(f(x))

    g(4x8)

    3(4x8)2

    3(16x264x+ 64)

    48x2192x+ 192

    jadi (f g)(x) (g f) (x)

    2) f(x) 4x8, g(x) 3x2dan h(x) 2x

    menentukan (f (g h))(x) menentukan ((f g) h)(x)

    (g h)(x) g(h(x)) (f g)(x) f(g(x))

    g(2x) f(3x2)

    3(2x)2 4(3x2) 8

    12x2 12x28

    (f (gh))(x) f)(gh)(x)) ((f g) h)(x) (f g)(h(x))

    f(12x2) (f g)(2x)

    4(12x2) 8 12(2x)28

    48x28 48x28

    Jadi terbukti bahwa (f (g h))(x) = ((f g) h)(x)

    3) I(x) xdan f(x) 4x8

    (I f)(x) I(f(x)) I(4x8) 4x8 f(x)

    (f I)(x) f(I(x)) f(x)

    Jadi terbukti bahwa (I f)(x)(f I)(x)f(x)

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    9/25

    2015

    9Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning

    Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id

    A B

    Gb. 7. invers fungsi

    Menentukan fungsi fjika fungsi gdan f gdiketahui

    Contoh:

    Tentukan f(x) jika g(x) 3x+ 2 dan (f g)(x) 18x2+ 39x+ 22

    Penyelesaian:

    (f g)(x) 18x2+ 39x+ 22

    f(g(x)) 18x2+ 39x+ 22

    f(3x+ 2) 18x2+ 39x+ 22

    f(3x+ 2) 2(3x+ 2)224x8 + 39x+ 22

    f(3x+ 2) 2(3x+ 2)2+ 15x+14

    f(3x+ 2) 2(3x+ 2)2+ 5(3x+ 2) +4

    jadi f(x) 2x2+ 5x+ 4

    Dengan cara sama dapat pula ditentukan fungsi gjika fungsi fdan f g diketahui.

    Contoh:

    Tentukan g(x) jika diketahui f(x) 3xdan (f g)(x) 12x+ 24

    Penyelesaian:

    (f g)(x) 12x+ 24

    f(g(x)) 12x+ 24

    3 g(x) 12x+ 24

    g(x) 4x+ 8

    jadi g(x) 4x+ 8

    Catatan: dalam penyelesaian tersebut terkadang sulit untuk dikerjakan, namun

    dengan pengertian fungsi invers (balikan) akan memudahkan untuk menyelesaikan

    soal tersebut.

    Fungsi invers

    1. Pengertian invers suatu fungsi

    Perhatikan Gambar 7 berikut

    f 1(y) x

    f(x)

    y

    f

    f 1

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    10/25

    2015

    10Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning

    Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id

    Pada gambar di atas fungsi f :AB dengan BydanA),(),( xxfyyxf ,

    relasi g: BA dengan BdanA),(),( yxygxxyg maka g adalah invers

    dari fungsifdan ditulis f1. Jika relasi f1merupakan fungsi maka f1disebut fungsi

    invers, jika relasi f1bukan merupakan fungsi maka f1disebut invers dari f saja.

    Jika fungsi g f1 ada maka fdan gdisebut fungsifungsi invers, g adalah invers

    dari f dan f adalah invers dari g. Sehingga dapat dinyatakan dengan:

    yxfxyf )()(1 .

    Contoh:

    Pada fungsifungsi dalam himpunan pasangan berurutan berikut ini, nyatakan

    inversnya dan apakah merupakan fungsi invers.

    a. f = {(2,4), (3,6), (5,10)}

    b. g = {(2,4), (1,1), (1,1), (2,4)}

    c. h = {(1,1), (3,3), (1,1), (3,3)}

    Penyelesaian:

    a. f 1= {(4,2), (6,3), (10,5)}, merupakan fungsi invers

    b. g 1= {(4, 2), (1, 1), (1,1), (4, 2)}, merupakan invers dari fungsi g tetapi bukan

    merupakan fungsi invers.

    c. h 1= {(1, 1), (1,1), (2, 4), (2, 4)}, merupakan fungsi invers

    Catatan: syarat suatu fungsi memiliki fungsi invers adalah jika fungsi tersebut

    merupakan korespondensi satu

    satu.

    2. Menentukan fungsi invers

    Langkah

    langkah untuk menentukan fungsi invers dari fungsi y f(x) adalah:

    a. Tentukan terlebih dulu fungsixdari ysehingga didapatxf(y)

    b. Setelah didapatx f(y) selanjutnya tukarkan 2 variabel tersebut menjadi y f

    1(x)

    c. Kemudian tunjukkan bahwa (f f1)(x)(f1 f)(x)I(x) x

    Contoh:

    Tentukan fungsi invers dari y= 2x+ 10

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    11/25

    2015

    11Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning

    Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id

    A B

    xy

    f

    Gb. 8. Invers fungsi komposisi

    f 1z

    C

    g

    g f

    (g f)1

    g 1

    Penyelesaian:

    y2x+ 10 2xy10

    2

    10

    y

    x xf(y)

    jadi f1(x) 2

    10x 5

    2

    1x

    (f f1)(x) f )f1(x)) 1052

    12

    x x

    (f1 f)(x) f1(f(x)) 510)2(2

    1x x

    Karena (f

    f

    1

    )(x)

    (f

    1

    f)(x)

    I(x)xmaka fungsi invers dari y= 2x+ 10 adalah f

    1(x) 52

    1x

    Catatan: grafik fungsi fakan simetris dengan fungsi f 1 dengan sumbu simetrinya

    adalah garis yx.

    Fungsi invers dari fungsi komposisi

    Jika fungsi f : A B, g : B C dan (g f): A C maka (g f) memetakan

    setiapx A oleh fungsi fdilanjutkan oleh fungsi gke z C, atau dapat ditulis:

    f(x) = y dan g(y) = z (g f)(x) g(f(x)) = z

    Misalkan f -1 dan g -1 berturut-turut invers dari fungsi f dan g maka (g f) -1

    memetakkan setiap z C oleh fungsi g1 dilanjutkan oleh fungsi f1 ke x A

    sehingga dapat dinyatakan dengan (f-1 g1). Atau dapat ditulis:

    g1(z) = y danf1(y) =x (f-1 g1)(z) f1(g1(z)) =x

    Jadi (g f)

    1= f-1 g

    1

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    12/25

    2015

    12Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning

    Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id

    Jika f1, g1dan h1berturutturut masingmasing adalah fungsi invers dari

    fungsifungsi f, g dan hmaka berlaku hubungan:

    d. (f g) 1(x) (g 1 f 1)(x)

    e. (f g h) 1(x) (h1 g 1 f 1)(x)

    f. ((f g) g 1)(x) (g 1 (g f))(x) = f(x)

    g. (f 1(x)) 1 f(x)

    Ada 2 cara dalam menentukan rumus invers fungsi dari fungsi komposisi, yaitu:

    a. Menentukan dulu rumus fungsi komposisi, kemudian menentukan

    inversnya.

    Contoh:

    Diketahui fx7 dan g4x+ 1,tentukan (f g)1(x)

    Penyelesaian:

    (f g)(x) f(g(x)) f(4x+ 1) 4x+ 1 7 4x6

    Misalkan y4x6

    4xy+ 6

    4

    6yx

    Jadi (f g)1(x)

    4

    6x

    b. Menentukan dulu inversnya masing

    masing fungsi, kemudian

    dikomposisikan

    Contoh: (dari contoh sebelumnya)

    Diketahui f(x) x7 dan g(x)4x+ 1,tentukan (f g)1(x) Penyelesaian:

    f(x) x7 misalkan yx7

    xy+ 7 sehingga f1(x) x+ 7

    g(x) 4x+ 1 misalkan y4x+ 1

    4xy1

    4

    1y

    x sehingga g1(x) 4

    1x

    (f g)1(x) (g1 f1)(x)

    g1(f1(x))

    g1(x+ 7)

    4

    1)7( x=

    4

    6x

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    13/25

    2015

    13Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning

    Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id

    Macam-macam Fungsi dan Grafiknya

    Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

    Fungsi y = f(x) dikatakan fungsi genap, jika f(- x) = f(x), untuk setiap x Df.

    Dan fungsi y = f(x) dikatakan ganjil, jika f(- x) = - f(x), dalam hal ini daerah asal f sekaligus

    memuat x danx.

    Sifat-sifat fungsi genap dan fungsi ganjil adalah :

    1. Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu y

    2. Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik (0, 0) atau titik asal.

    Secara geometris sifat tersebut dapat dilihat pada Gambar 9 berikut.

    y y

    y = f(x) f(-x)= - f(x)

    x

    x

    (a). Grafik fungsi genap (b). Grafik fungsi ganjil

    Gambar. 9.

    Contoh :

    1. Fungsi f(x) = x2adalah fungsi genap, karena f(-x) = (-x)2= x2= f(x), x R

    2. Fungsi f(x) = sin x adalah fungsi ganjil, karena f(-x) = sin (-x) = - sin x = - f(x), untuk

    setiap x R.

    3. Fungsi f(x) = x3x2adalah fungsi yang tidak genap dan tidak ganjil, karena terdapat x

    Dfsehingga f(-x) = (-x)3(-x)2= -x3x2- f(x).

    4. Fungsi f(x) = 0 adalah fungsi genap dan fungsi ganjil, karena f(-x) = 0 = f(x) dan f(-x) = 0

    = - f(x), untuk setiap x Df

    5. Fungsi f(x) = - x tidak dapat dikatakan sebagai fungsi genap maupun fungsi ganjil

    Karena daerah asalnya tidak memuat x atau x secara bersamaan (bukan himpunan

    simetri).

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    14/25

    2015

    14Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning

    Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id

    Fungsi Konstanta

    Bentuk fungsi konstanta adalah f(x) = k, k adalah konstanta, Df= R dan Rf= {k}.

    Grafik fungsinya diperlihatkan pada Gambar 10.

    y

    f(x) = k

    x

    Gambar. 10

    Fungsi Identitas

    Bentuk fungsi identitas adalah f(x) = x, Df= R dan Rf= R.

    Grafik fungsinya diperlihatkan pada Gambar 11.

    y

    f(x) = x

    x

    Gambar 11.

    Fungsi Linier

    Fungsi linier mempunyai persamaan yax+ b, a,bdan a0. Grafik fungsi linier

    berupa garis lurus. Untuk menggambar grafik fungsi linier ada dua cara, yaitu: dengan

    tabel dan dengan menentukan titik potong pada sumbu x dan sumbu y.

    Contoh:

    Gambarlah grafik fungsi y 2x+ 2

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    15/25

    2015

    15Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning

    Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id

    Penyelesaian

    1. Dengan tabel

    x 1 0 1

    y 2x+ 2 0 2 4

    2. Dengan titik potong sumbu x dan sumbu y

    Persamaan garis y 2x+ 2

    Titik potong grafik dengan sumbu x:

    syarat y0 0 2x+ 2

    2x2

    x1

    sehingga titik potong grafik dengan sumbu x adalah ( 1,0)

    Titik potong grafik dengan sumbu y:

    syaratx0 y2 . 0 + 2 2

    sehingga titik potong grafik dengan sumbu y adalah ( 0,2)

    Kedua titik potong tersebut digambar dalam bidang kartesius kemudian dihubungkan

    sehingga tampak membentuk garis lurus (gambar 13).

    Dari tabel diperoleh titiktitik berupa

    pasangan koordinat, kita gambar titik

    tersebut dalam bidang kartesius

    kemudian dihubungkan sehingga

    tampak membentuk garis lurus.

    (Gbr. 12)

    0 1 2 3 4

    1

    1

    X

    Y

    Gb. 12. grafik fungsi linier

    2

    3

    4 y 2x+ 2

    0 1 2 3 4

    4

    3

    2

    1

    X

    Y

    Gbr. 13. Grafik fungsi linier

    y 2x+ 2

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    16/25

    2015

    16Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning

    Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id

    Gradien

    Persamaan garis biasa juga ditulis ymx+ c, dengan m,c. Dalam hal ini mdan

    cadalah konstanta, dengan mmelambangkan gradien (koefisien arah) garis lurus.

    Gradien adalah konstanta yang menunjukkan tingkat kemiringan garis. Dilihat dari

    gambar 14. maka mdapat dicari sebagai berikut:

    Pada Gambar. 14, misalkan adalah sudut antara garis horisontal (sejajar sumbux)

    dan grafik fungsi linier dengan arah putaran berlawanan arah

    dengan arah putaran jarum jam, maka gradien dapat pula didefinisikan dengan

    tan

    x

    ym .

    Sebagai catatan bahwa

    a) Jika m0 maka grafik sejajar dengan sumbu x dan ini sering disebut sebagai

    fungsi konstan.

    b) Jika m0 maka grafik condong ke kanan atas (090)

    c) Jika m0 maka grafik condong ke kanan bawah (90180)

    Menentukan persamaan garis melalui satu titik dan bergradien m

    Misalkan garis ymx+ cmelalui titik P(x1,y1), setelah titik (x1,y1) disubstitusikan ke

    persamaan garis tersebut diperoleh:

    12

    12

    12

    12

    xx

    xfxf

    xx

    yy

    x

    ym

    m= tan

    X

    Y

    Gb. 14. Gradien

    x1 x2

    y2

    y1

    y

    x

    O

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    17/25

    2015

    17Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning

    Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id

    12

    1

    12

    1

    xx

    xx

    yy

    yy

    y y1m (xx1)

    ymx + c

    y1mx1+ c

    y y1m (xx1)

    Jadi rumus persamaan garis melalui titik P(x1,y1) dan bergradien madalah

    Contoh:

    Tentukan persamaan garis yang melalui P(3,9) dan bergradien 6.

    Penyelesaian:

    Titik P(3,9) dan gradien m 6 disubstitusikan ke persamaan diatas

    y y1m(xx1)

    y 9 6(x3)

    y6x18 +9

    y6x9

    Jadi persamaan garisnya adalah y6x9.

    Menentukan persamaan garis melalui dua titik

    Persamaan garis melalui dua titik A(x1,y1) danB(x2,y2) dapat dicari dengan langkah

    sebagai berikut:

    persamaan garis melalui titikA(x1,y1) dan dengan memisalkan gradiennya madalah

    y y1m (xx1) . (i)

    karena garis ini juga melalui titik B(x2,y2), maka y2 y1 m (x2 x1), sehingga

    diperoleh gradien

    12

    12

    xx

    yym

    . (ii)

    persamaan (ii) disubstitusikan ke (i) diperoleh

    12

    1

    12

    1

    xx

    xx

    yy

    yy

    Jadi persamaan garis melalui dua titikA(x1,y1) danB(x2,y2) adalah

    Contoh:

    Tentukan persamaan garis yang melalui titik (1,6) dan (3,8).

    Penyelesaian:

    Kedua titik (1,6) dan (3,8) disubstitusikan ke persamaan garis melalui dua titik.

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    18/25

    2015

    18Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning

    Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id

    12

    1

    12

    1

    xx

    xx

    yy

    yy

    13

    1

    68

    6

    xy

    2

    1

    2

    6

    xy

    y6 x1

    yx+ 5

    Jadi persamaan garisnya adalah yx+ 5

    Menentukan titik potong antara dua garis

    Misalkan dua garis g1 dan g2 saling berpotongan di titik P(x,y), maka nilai x dan y

    harus memenuhi kedua persamaan garis tersebut. Titik potong dua garis dapat dicari

    dengan metode substitusi atau eliminasi.

    Contoh:

    Tentukan titik potong dari dua garis g1: y3x+ 2 dan g2:yx+ 8

    Penyelesaian:

    Soal di atas dapat diselesaikan dengan 2 metode

    a. Metode substitusi

    Nilai ypada persamaan g2diganti dengan nilai ypersamaan g1

    yx+ 8

    3x+ 2 x+ 8

    2x6

    x3

    x3 dimasukkan ke persamaan g2diperoleh

    yx+ 8 3 + 8 11

    jadi titik potong g1: y3x+ 2 dan g2:yx+ 8 adalah (3,11)

    b. Metode eliminasiMetode eliminasi dilakukan dengan menyamakan koefisien salah satu variabel

    untuk menghilangkan salah satu variabel lainnya. Karena kedua persamaan

    tersebut memiliki koefisien variabel y yang sama maka langsung dieliminasikan

    y3x+ 2 x3 dimasukkan ke persamaan g2

    yx + 8 yx+ 8 3 + 8 11

    0 2x6

    2x6 x3

    jadi titik potong g1: y3x+ 2 dan g2:yx+ 8 adalah (3,11)

    +

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    19/25

    2015

    19Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning

    Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id

    Catatan:

    a. Garis g1 yang bergradien m1dikatakan sejajar dengan g2 yang bergradien m2

    jika memenuhi m1m2

    Contoh:

    Apakah garis y5x+ 12 sejajar dengan y5x8

    Penyelesaian:

    Karena m1m25 maka kedua garis tersebut sejajar.

    b. Garis g1 yang bergradien m1dikatakan tegak lurusdengan g2yang bergradien

    m2 jika memenuhi m1. m21

    Contoh:

    Apakah garis 2y6x+ 12 dan 9y3x+ 8 saling tegak lurus?

    Penyelesaian:g1: 2y6x+ 12 y3x+ 6 m13

    g2: 9y3x+ 8 y9

    8

    3

    1 x m2

    3

    1

    m1. m23 .

    3

    11 sehingga kedua garis saling tegak lurus.

    Fungsi Kuadrat

    Bentuk umum fungsi kuadrat adalah yax2+ bx+ c dengan a,b,c dan a 0.

    Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola maka sering juga disebut fungsi parabola.

    Jika a0 , parabola terbuka ke atas sehingga mempunyai titik balik minimum (gambar

    15.a)

    Jika a 0 , parabola terbuka ke bawah sehingga mempunyai titik balik maksimum

    (gambar 15.b)

    Langkahlangkah menggambar grafik fungsi kuadrat yax2+ bx+ c :

    1. Menentukan pembuat nol fungsi y0 atau f(x) 0

    Gb. 15. a. grafik parabola

    Y

    X

    P(x,y)

    O

    Gb. 15. b. grafik parabola

    Y

    X

    P(x,y)

    O

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    20/25

    2015

    20Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning

    Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id

    Pembuat nol fungsi dari persamaan kuadrat yax2+ bx+ cdiperoleh jika ax2+ bx

    + c0. Sehingga diperoleh nilaixyang memenuhi ax2+ bx+ c0.

    2. Menentukan sumbu simetria

    bx

    2

    3. Menentukan titik puncak P (x,y) dengana

    bx

    2

    dan

    ay

    4

    D

    Dengan nilai diskriminan D b24ac.

    Jika ditinjau dari nilai adan D maka sketsa grafik parabola sebagai berikut:

    a < 0, D > 0 a < 0, D 0 a < 0, D < 0

    a > 0, D > 0 a > 0, D 0 a > 0, D < 0

    Catatan:

    persamaan kuadrat ax2+ bx+ c0 dapat dicari akarakarnya dengan:

    Pemfaktoran

    Kuadrat sempurna

    Rumus abc:x12a

    acbb

    2

    42

    Contoh:

    Gambarlah sketsa grafik fungsi yx26x+ 8

    Penyelesaian:

    a. Menentukan pembuat nol fungsi

    Dengan pemfaktoran diperoleh

    x26x+ 8 0

    (x 2) (x 4) 0

    x2 ataux4

    Definit positif

    Definit negatif

    X2X1

    X2X1

    X1X2

    X1X2

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    21/25

    2015

    21Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning

    Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id

    X

    Gb. 16. contoh grafik parabola

    Y

    1 31

    0

    b. Menentukan sumbu simetri

    32

    6

    1.2

    )6(

    2

    a

    bx

    c. Menentukan titik puncak P (x,y)Karena x sudah dicari maka tinggal mencari nilai y dengan substitusi x 3 ke

    fungsi y diperoleh

    y 326(3) + 8

    9 18 +8 1

    Jadi puncaknya adalah titik (3,1).Sehingga sketsa grafiknya adalah

    Fungsi Trigonometri

    1. Trigonometri dengan perbandingan sudut segitiga siku-siku

    Diketahui segitiga ABC, dengan sudut BAC = , sisi tegak (proyektor) = BC, sisi datar

    (proyeksi) = AB dan sisi miring (proyektum) = AC.

    C

    Proyektor Proyektum

    B Proyeksi A

    Gambar 17.

    Berdasarkan segitiga siku-siku tersebut, maka trigonometri didefinisikan sebagai :

    ACpanjang

    BCpanjang

    proyektum

    proyektorsin , sin = sinus

    ACpanjang

    ABpanjang

    proyektum

    proyeksi

    cos , cos = cosinus

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    22/25

    2015

    22Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning

    Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id

    ABpanjang

    BCpanjang

    proyeksi

    proyektortan , tan = tangent

    Perhatikan lingkaran satuan pada Gambar 18. dengan persamaan x2+ y2= 1, berpusat di

    titik asal dan bejari-jari satu. Nyatakan koordinat (1, 0) dengan A dan t sebarang bilangan

    positif, maka terdapat tepat satu titik B(x, y) sehingga panjang busur AB adalah t.

    y

    B(x, y)

    t

    A(1, 0) x

    Gambar 18.

    Karena keliling lingkaran adalah 2, sehingga jika t > 2di perlukan lebih dari satu putaran

    penuh untuk menelusuri t, jika t = 0 maka A = B, jika t < 0 maka kita juga akan memperoleh

    satu titik unik B(x, y) sehingga muncul definisi sinus dan kosinus.

    2. Sinus dan kosinus

    Andaikan t menentukan titik B(x, y) pada Gambar 18., maka

    sin t = y dan cos t = x.

    Dari dua rumusan tersebut diperoleh empat rumus fungsi trigonometri lainnya yaitu :

    tan t =t

    tSin

    cos cotan t =

    t

    t

    t sin

    cos

    tan

    1

    sec t =tcos

    1 cosec t =

    tsin

    1

    3. Sifat-sifat dasar sinus dan kosinus

    Pada fungsi sinus dan kosinus berlaku sifat-sifat sebagai berikut :

    1. -1 sin t 1 dan -1 cos t 1

    2. sin (t + 2) = sin t dan cos (t + 2) = cos t

    3. sin (- t) = - sin t dan cos (- t) = cos t

    4. sin

    t

    2

    = cos t dan cos

    t

    2

    = sin t

    5. sin2t + cos2t = 1

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    23/25

    2015

    23Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning

    Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id

    Sifat-sifat dasar sinus dan kosinus memberikan sifat-sifat fungsi trigonometri lainnya, yaitu :

    1. tan (- t) = - tan t

    2. 1 + tan2t = sec2t dan 1 + cotan2t = cosec2t

    Adapun grafik fungsi trigonometri diperlihatkan pada Gambar 19. berikut :

    y y

    x x

    (a).Grafik fungsi sinus (b). Grafik fungsi kosinus

    y

    x

    (c). Grafik fungsi tangen

    Gambar 19.

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    24/25

    2015

    24Matematika I Pusat Bahan Ajar dan eLearning

    Dr. Sri Purwiyanti, ST, MT, Ph.Dhttp://www.mercubuana.ac.id

    SOAL-SOAL LATIHAN

    I. Tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi yang diberikan berikut :

    1. f(x) = x

    2. h(x) = x1

    3. g(x) =x

    1

    4. s(x) =x

    x

    1

    2

    5. t(x) = xx 22

    II. Tentukan hasil operasi f + g, fg, f . g, f / g, dan g / f beserta domain dari fungsi yang

    diberikan berikut ini.

    1. f(x) =x

    x

    1

    1dan g(x) =

    x

    x1

    2. f(x) = x dan g(x) = 1x

    3. f(x) = x dan g(x) = 1x

    4. f(x) =2

    1

    xdan g(x) =

    1

    1

    x

    5. f(x) = 1x dan g(x) = 29 x .

    III. Tentukan fog dan gof dari fungsi-fungsi:

    1. f(x) = 4xx2dan g(x) = x

    2. f(x) =x

    1dan g(x) = x

    3. f(x) = 1x2dan g(x) = 1 + 2x

    4. f(x) = x1 dan g(x) = x1

    5. f(x) =x

    x

    1

    2dan g(x) = 1- x2.

    V. Tentukan invers fungsi-fungsi berikut & gambarkan grafik f(x) dan f-1(x) !

    1. f(x) = 3x2

    2. f(x) = -3(x+5)

  • 7/26/2019 Modul 1 Fungsi

    25/25

    3. f(x) = 4x3

    4. f(x) = (7x)5

    5. f(x) =4x

    4x

    6. f(x) =8x

    3x2

    3

    3

    VI. Gambarkan grafik fungsi berikut.

    1. f(x) = 22 x

    2. f(x) =1

    2 x

    x

    VII. Tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya jika :

    1. sin = 3/5 ; /2 < <

    2. cos = -4/5 ; < < 3/2

    3. tan = - 2 ;3/2 < < 2

    4. cot = 4/ 6 ; < < 3/2

    5. sec = -6 ; /2 < <

    6. csc = 5/4 ; 0 < < /2

    Daftar Pustaka :

    1. Frank. Ayres J.R.,Kalkulus Diferensial dan Integral, Erlangga, Jakarta, 2004.2. Purcell,Edwin J., Kalkulus jilid I, Erlangga, Jakarta, 20033. Stroud, K.A.,Matematika Teknik, Jilid I, Erlangga, jakarta, 20034. Yusuf Yahya, D.Suryadi H.S., Agus Sumin, Matematika dasar Untuk Perguruan

    Tinggi, Ghalia Indonesia, 2004