model perokok

BAB I

PENDAHULUAN

I.1. Latar Belakang

Dalam perkembangan zaman saat ini yang terus maju, diperlukan suatu

analisis yang dapat diterima secara ilmiah terhadap setiap peristiwa yang terjadi

dalam kehidupan manusia. Peristiwa-peristiwa yang ada dapat dianalisis

menggunakan berbagai macam sudut pandang, misalnya suatu peristiwa

dipandang dari sudut pandang ekonomi, sosial budaya, sudut pandang politik dan

sebagainya. Salah satunya, peristiwa yang ada dapat dipandang dalam bentuk

model matematika. Artinya peristiwa tersebut dapat dirumuskan dalam bentuk

persamaan atau fungsi matematika.

Secara umum model matematika adalah suatu usaha untuk menciptakan

suatu replika atau tiruan dari suatu fenomena atau peristiwa alam maupun sosial

ke dalam bahasa matematika, proses seperti ini disebut sebagai Pemodelan Secara

Matematika. Model matematika memiliki aplikasi cukup penting dalam berbagai

bidang ilmu. Dengan menggunakan beberapa asumsi, permasalahan yang ada

dalam lingkungan kehidupan dapat ditransformasikan dalam model matematika.

Dari model matematika yang ada selanjutnya dapat dianalisis perilaku-perilaku

yang ada didalamnya. Oleh karena itu model matematika mewakili idealisasi

simflikasi realitas.

Dewasa ini, ada banyak fenomena sosial yang mampu kita transformasi ke

dalam suatu persamaan matematika sebagai rumus atau persamaan yang

menyatakan ciri pokok suatu system atau proses dalam bahasa matematika.

Model matematika yang akan disusun adalah model yang menggambarkan

pergerakan dari sub-sub populasi tersebut. Model yang disusun menggambarkan

perilaku dari tiap-tiap sub populasi, sehingga dapat diambil suatu tindakan berdasar

model matematika untuk dapat mengendalikan penyebaran populasi.

Pada makalah ini, kami mencoba merancang suatu model matematika

yang mendeskripsikan sebuah kasus yang membentuk sistem tersendiri. Kasus

yang kami maksud adalah interaksi perokok, bukan perokok, dan orang yang

1

sedang berusaha berhenti merokok di kalangan Mahasiswa FMIPA Unhas, dengan

memperhatikan aspek-aspek yang kami anggap memberikan pengaruh yang cukup

signifikan pada kasus tersebut. Kasus tersebut menjadi pilihan kami sebagai salah

satu permasalahan di kehidupan nyata yang cukup menarik untuk kita kaji dalam

bentuk persamaan matematika dengan asumsi-asumsi tertentu yang implementasi

kasus tersebut termasuk sebagai kasus interaksi publik dalam kehidupan sehari-

hari.

Aktivitas merokok yang sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari

tidak hanya melibatkan kalangan yang memiliki materi yang berlebih, orang yang

tergolong dewasa, atau dikhususkan pada laki-laki, namun aktivitas merokok kini

mulai merambah ke berbagai kalangan. Hal tersebut menandakan bahwasanya

persebaran populasi perokok yang ada sudah tak mengenal ruang dan waktu. Dari

aspek-aspek di atas penulis mencoba membawa kasus tersebut ke dalam

persamaan matematika.

Salah satu faktor yang banyak dipertimbangkan dalam pembentukan

model tersebut adalah adanya interaksi antar populasi perokok, populasi bukan

perokok serta populasi orang yang sedang berusaha berhenti merokok di kalangan

mahasiswa FMIPA Unhas. Sehingga dengan adanya interaksi antar populasi

tersebut sangat mempengaruhi perubahan-perubahan yang terjadi pada populasi

perokok, bukan perokok, maupun pada populasi orang yang sedang dalam berada

pada tahap berusaha berhenti merokok. Atas dasar ini penulis mencoba

mengembangkan makalah tersebut dengan judul “Interaksi Antara Perokok

Aktif Dan Pasif Di Kalangan Mahasiswa Fmipa Unhas”.

I.2 Rumusan Masalah

Dalam makalah ini, permasalahan yang akan dibahas adalah berupa

penyusunan model matematika yang menggunakan pendekatan compartemental

atau pembagian kelas. Adapun rumusan masalah yang akan dibahas pada makalah

ini adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana membentuk suatu model matematika dari suatu fenomena di

kehidupan nyata?

2

2. Bagaimana menjelaskan konsep mengenai model matematika yang telah

dibentuk?

3. Bagaimana menganalisis titik kesetimbangan, kestabilan dari model

tersebut?

4. Bagaimana menjelaskan kurva solusi yang diberikan oleh model tersebut?

I.3 Batasan Masalah

Mengingat bahwa permasalahan penyusunan model matematika Interaksi

perokok aktif dan perokok pasif di kalangan mahasiswa FMIPA Unhas sangat

kompleks, maka perlu dilakukan pembatasan atas ruang lingkup permasalahan.

Dalam makalah ini, penulis membatasi masalah pada beberapa hal, yaitu dengan

pemodelan dilakukan dengan pendekatan model epidemiologi dengan

memperhatikan asumsi pada model yang diberikan Model Interaksi Antara

Perokok Aktif Dan Pasif Di Kalangan Mahasiswa FMIPA Unhas melalui

penyebaran kuisioner yang berformat pasti pada beberapa mahasiswa FMIPA

Unhas. Dengan demikian parameter-parameter dan nilai yang digunakan

berdasarkan hasil kuisioner yang diperoleh. Kemudian asumsi yang dibuat

didasarkan pada keadaan yang dianggap sangat berpengaruh pada kasus tersebut

untuk merancang modelnya.

Dari persamaan matematika yang dibentuk selanjutnya dilakukan analisis

titik kesetimbangan, selanjutnya linearisasi di sekitar titik kesetimbangan untuk

memperoleh persamaan dan nilai karakteristiknya sebagai acuan dalam

menentukan kestabilan dari titik kesetimbangan yang diperoleh. Teknik tersebut

dikenal dengan analisis kualitatif, yaitu mencoba menganalisis solusi dari sistem

persamaan yang dibentuk secara grafis. Perhitungan matematis yang digunakan

dalam menentukan aspek-aspek di atas, sepenuhnya menggunakan software

matematika yaitu program pada Maple.

3

I.4 Tujuan

Berdasarkan permasalahan diatas, maka dapat dirumuskan tujuan penulisan

karya tulis ini adalah sebagai berikut: :

1. Membentuk suatu model matematika dari suatu fenomena di kehidupan

nyata.

2. Menjelaskan konsep mengenai model matematika yang telah dibentuk

3. Menganalisis titik kesetimbangan, kestabilan dari model tersebut.

4. Menjelaskan kurva solusi yang diberikan oleh model tersebut.

I.5 Manfaat Penulisan

Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah memberikan gambaran

mengenai interaksi antara perokok aktif dan pasif di kalangan mahasiswa Fmipa

Unhas.

4

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

II.1. Aktivitas Merokok

Kesehatan merupakan aspek yang sangat penting bagi kehidupan manusia.

Saat ini banyak penyakit yang diderita tidak disebabkan oleh kuman, atau bakteri,

tetapi lebih disebabkan oleh kebiasaan atau pola hidup yang tidak sehat. Jantung

koroner, kanker, stroke, kanker kulit, diabetes, gigi keropos dan tekanan darah

tinggi merupakan contoh dari penyakit-penyakit tersebut. Hardinge, dkk (2001)

mengemukakan bahwa merokok adalah salah satu kebiasaan atau pola hidup yang

tidak sehat itu. Lebih lanjut dikemukakannya bahwa perilaku merokok tidak

hanya menyebabkan berbagai macam penyakit tetapi juga dapat memperberat

penyakit lainnya. White & Watt (1981) mengungkapkan bahwa seorang perokok

yang menghisap 1-9 rokok perhari akan mengalami pemendekan umur sekitar 5.5

tahun.

Dalam membahas perilaku merokok, terlebih dahulu alasan mengapa

seseorang merokok sementara orang lain tidak merokok. Antonang (1997)

menulis bahwa merokok adalah perilaku yang kompleks, karena merupakan hasil

interaksi dari aspek kognitif, lingkungan sosial, karena psikologis, conditioning,

dan keadaan fisiologis. Secara kognitif, para perokok tidak memperlihatkan

keyakinan yang tinggi terhadap bahaya yang didapat dari merokok. Mereka

beranggapan bahwa merokok tidak merusak kesehatan asal diimbangi dengan

olahraga secara teratur dan mengkonsumsi makanan bergizi. Bila ditinjau dari

aspek sosial, sebagian besar perokok menyatakan bahwa mereka merokok karena

terpengaruh oleh orang-orang lain disekitarnya. “Demi pergaulan” adalah alasan

yang paling sering dikemukakan oleh perokok pada saat ditanya mengapa mereka

merokok. Secara psikologis, perilaku merokok dilakukan untuk relaksasi,

mengurangi ketegangan dan melupakan sejenak masalah yang sedang dihadapi.

Interaksi antara perokok aktif dengan perokok pasif ini biasanya terjadi di

tempat-tempat umum, seperti misalnya stasiun kereta api, terminal, di dalam bus

kota, dll.

5

II.2. Model Matematika

Model matematika didefinisikan secara luas sebagai rumus atau persamaan

yang menyatakan ciri pokok sistem fisik atau proses dalam bahasa matematika.

Klasifikasi Model matematika

a. Model teoritis: dikembangkan menggunakan prinsip kimia dan fisika.

b. Model empiris: diperoleh dari analisa matematika (statistika) data operasi

proses.

c. Model semiempiris: mongkompromikan antara model teoritis dan model

empiris dengan satu atau lebih parameter dievaluasi dari data eksperimen

atau plant.

Perbandingan Model Teoritis dan Empiris

Teoritis

1. Mencoba menggambarkan meknisme dari sebuah fenomena

menggambarkan hubungan sebab‐akibatdari suatu mekanisme).

2. Karena keterbatasan pengetahuan tentang fisika ruang‐waktu, gambaran

hubungan sebab‐akibat inidibatasi pada tingkat penggambaran yang

sangat kasar.

3. Membutuhkan pemahaman tentang mekanisme sehingga membutuhkan

sangat banyak pengetahuan (pemahaman) dan sangat banyak kerja untuk

mengembangkan.

4. Dapat digunakan untuk mengekstrapolasi dengan resiko yang lebih kecil

dibandingkan dengan pernyataan empiris.

Empiris

1. Tidak mencoba menggambarkan mekanisme.

2. Tidak didasarkan pada teori yang menyatakan mekanisme tersebut.

3. Didasarkan pada data yang diperoleh melalui pengalaman (percobaan

dan pengamatan) tanpa interpretasi eksplisit tentang data melalui sebuah

teori.

4. Mengkorelasikan data empiris menggunakan metoda statistika.

5. Lebih mudah untuk mengembangkan daripada pernyataan teoritis.

6

6. Hanya dapat digunakan untuk ekstrapolasi dengan resiko yang sangat

besar karena model empiris tidak memberikan implikasi apapun tentang

keabsahannya diluar kisaran data dimana data tersebut didasarkan.

Karakteristik Tipikal Model Matematika

1. Model matematika menggambarkan proses alam atau sistem dalam

bahasa matematika.

2. Model matematika mewakili idealisasi dan simplifikasi realitas. Yakni,

model tersebut mengabaikan detail dari proses alam dan menfokuskan

pada manifestasi intinya.

3. Model matematikamenghasilkan hasil yang dapat diulangi, dan sebagai

akibatnya, dapat digunakan untuk tujuan prediksi. Sebagai contoh, jika

gaya pada benda dan massanya diketahui, persamaandiatasdapat

digunakan untuk menghitung percepatan.

II.3. Analisis Kualitatif

Model epidemiologi merupakan salah satu cabang dan pemodelan

matematika di mana model ini lebih banyak digunakan untuk menganalisis dan

memodelkan karakteristik yang saling berpengaruh antar individu. Sebagai contoh

adalah pemodelan pada penularan penyakit, perpindahan ciri atau karakteristik

suatu populasi dan lain sebagainya. Model yang di bahas pada makalah ini, yaitu

Model Interaksi Perokok Aktif dan Pasif di kalangan Mahasiswa FMIPA Unhas.

Namun, pada model epidemiology umumnya menganalisis bagaimana proses

penularan suatu penyakit dapat terjadi. Model tersebut dapat juga kita

Dalam memformulasikan model ini dalam bentuk turunan, diasumsikan

bahwa semua kompartemen, atau variable yang terlibat merupakan suatu fungsi

yang terturunkan terhadap waktu. Pada umumnya model epidemologi berbentuk

model yang deterministik karena pembentukan model tersebut, seluruhnya

ditentukan dari karakteristik kasus yang dimodelkan dengan asumsi, bahwa unsur-

unsur pembentuk model terjadi secara pasti.

7

Adapun hal-hal yang diperhatikan dalam analisis kualitatif yaitu, Sistem

Persamaan Differensial, titik kesetimbangan, linearisasi disekitar titik

kesetimbangan, persamaan karakteristik, nilai karakteristik sebagai nilai eigen dan

penentuan kestabilan dari titik kesetimbangan yang diperoleh.

II.3.1. Sistem Persamaan Diferensial

Definisi 1 [Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL)]

Suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut:

dxdt

= x=Ax+b , x (0 )=x0

(2.1)

dengan A adalah matriks koefisien konstan berukuran dan b vektor konstan.

Sistem tersebut dinamakan SPDL orde 1 dengan kondisi awalx (0 )=x0. Jika b=0

sistem dikatakan homogen dan dikatakan tak homogen jika 0 .

Definisi 2 [Sistem Persamaan Diferensial Tak Linear (SPDTL)]

Suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut:

x=f (x , t ) (2.2)

Dengan x=(x1 (t )¿

xn (t ))dan f (x , t )=( f 1 (t , x1, x2 , …. xn )¿

f n (t , x1, x2 , …. xn )) diasumsikan fungsi tak linear

pada (, x1, x2 ,…. xn ).

Sistem (2.2) disebut sistem persamaan diferensial tak linear.

[Braun, 1983]

Definisi 3 [Sistem Persamaan Diferensial Mandiri ]

Misalkan suatu sistem persamaan diferensial (SPD) dinyatakan sebagai berikut

x=f (x ) , x∈Rn (2.3)

dengan f merupakan fungsi kontinu bernilai riil dari x dan mempunyai turunan

parsial kontinu. Persamaan (2.3) disebut persamaan diferensial mandiri

(autonomous) karena tidak memuat t secara eksplisit di dalamnya.

8

II.3.2. Titik Tetap

Definisi 4 [Titik Tetap]

Diberikan sistem persamaan diferensial

x=f (x ) , x∈Rn (2.4)

Titikxdisebut titik tetap atau titik kritis atau disebut juga titik kesetimbangan jika

f ( x )=0

Titik Tetap Stabil

Misalkan x adalah titik tetap sebuah persamaan diferensial dan x(t) adalah solusi

dengan kondisi awal x(0)=x0, dimana x0≠ x. Titik xdikatakan titik tetap stabil,

jika untuk setiapε>0 terdapat r>0 ,

sedemikian hingga|x0−x .|<r ,maka|x ( t )−x .|<0untuk t>0

[Vershult, 1990]

Analisis Kestabilan Titik Tetap

Analisa kestabilan untuk setiap titik tetap yang berbeda untuk setiap nilai eigen

yakni:

a. Sistem x=Axadalah stabil jika dan hanya jika setiap nilai eigen dari

bernilai negatif.

b. Sistem x=Axadalah tidak stabil jika dan hanya jika minimal satu nilai

eigen dari A bernilai positif.

[Borrelli dan Coleman, 1998]

II.3.3. Titik Kesetimbangan

Titik lesetimbangan adalah sebuah keadaan dari sebuah sistem yang tidak

berubah. Jika sistem dinamik diuraikan dama persamaan differensial atau system

persamaan diferensial, maka titik kesetimbangn dapat diperoleh dengan

mengambil turunan pertamanya sama dengan nol. Misalakan diberikan sistem

persamaan differensial biasa orde satu sebagai berikut.

x=f (xε , t) (2.5)

Titik xεdisebut titik kestimbangan dari x=f ( xε ,t )

9

Jika untuk setiap t berlaku

f ( xe , t )=0 , (2.6)

maka

x ( t ; xe , t0 )=xe , (2.7)

untuk sebarang t0 .

Titik xe yang memenuhi persamaan (2.3) disebut suatu titik keseimbangan

(equilibrium point) atau titik kritis (critical point) atau keadaan setimbang

(equilibrium state). Dengan demikian, suatu solusi yang melalui titik

keseimbangan xe pada suatu saat akan tetap pada titik itu untuk setiap waktu t.

Solusi yang demikian disebut solusi keseimbangan (equilibrium solution) atau

trayektori konstan (constant trajectory) dan jika xe=0 , ia disebut solusi nol

(null solution). Misalkan xe adalah suatu titik keseimbangan dari sistem dinamik

x=f ( x , t ) , dengan f ( xe , t )=0 untuk setiap t.

Definisi 5 Titik kesetimbangan xe , atau solusi kesetimbangan x ( t )=xe

dikatakan stabil jika diberikan sebarang t0 dan bilangan positif ε , terdapat suatu

bilangan positif δ (ε , t0) sedemikian sehingga, jika

‖x0−xe‖<δ

(2.8)

berlaku

‖x (t ; x0 , t0 )−xe‖<ε, untuk setiap t≥t0 .

Definisi 6 Titik keseimbangan xe disebut konvergen (stabil secara quasi-

asimptotik, quasi-asymptotically stable), jika untuk sebarang t0 terdapat δ1 (t0) , sedemikian sehingga, jika

‖x0−xe‖<δ1 (2.9)

berlaku

10

limt →∞

x ( t ; x0 , t0)=xe, (2.10)

untuk setiap t0 . Dengan perkataan lain, untuk setiap ε 1 , terdapat T (ε1 , x0 , t0) sedemikian sehingga, jika

‖x0−xe‖<δ1

berlaku

‖x (t ; x0 , t0 )−xe‖<ε1 ,untuk setiap t≥t0+T

Definisi 7 Titik keseimbangan xe disebut stabil secara asimptotik, atau disebut

stabil asimptotik saja, jika ia konvergen dan stabil.

Definisi 8 Titik keseimbangan xe disebut stabil asimptotik global, jika ia stabil

dan setiap trayektori konvergen ke titik keseimbangan tersebut untuk t menuju ke

tak berhingga.

II.3.4. Linearisasi di Titik Kesetimbangan

Pertimbangkan sistem persamaan diferensial autonomi non linear dimensi

dua

yang mempunyai titik keseimbangan ( xe , ye) , yaitu memenuhi f ( xe , y e)=0 dan

g( xe , ye )=0 . Untuk menganalisis kestabilan titik keseimbangan ( xe , ye) , kita

lanjutkan dengan memeriksa apa yang terjadi jika kurva solusi ( x ( t ) , y ( t )) pada

awalnya sangat dekat dengan titik keseimbangan ( xe , ye) , proses ini biasa disebut

analisis kestabilan linear atau linearisasi sistem di sekitar titik keseimbangan.

Misalkan

11

dimana ε adalah suatu bilangan positif kecil, yaitu 0<|ε| ¿¿. εX ( t ) dan εY ( t )

dapat dinyatakan sebagai nilai pergeseran (displacement) x ( t ) dan y ( t ) dari titik

keseimbangan. Dengan mengsubstitusi persamaan (2.22) ke dalam persamaan

(2.21) diperoleh

Dengan mengenakan ekspansi deret Taylor pada fungsi dua variabel di atas

disekitar titik keseimbangan ( xe , ye)diperoleh

Dengan asumsi bahwa nilai ε cukup kecil maka bentuk Ο(ε 2) juga menjadi

lebih kecil lagi. Dengan itu, bentuk Ο(ε 2) dapat diabaikan. Selanjutnya, karena

titik keseimbangan ( xe , ye) memenuhi f ( xe , y e)=0 dan g( xe , ye )=0 , maka

bentuk terakhir dapat ditulis sebagai

Masalah nilai eigen dan vektor eigen banyak sekali dijumpai dalam bidang

rekayasa, seperti masalah kestabilan system, optimisasi dengan SVD, kompresi

pada pengolahan citra, dan lain-lain. Pada makalah ini nilai eigen digunakan

untuk mencari akar dari persamaan karakteristik. Misalkan sebuah matriks Anxn

dan v adalah vektor tak nol di Rn dan skalar λmerupakan scalar Rill sehingga

memenuhi A v=λ v maka λdinamakan nilai eigen sedangkan vdinamakan vektor

eigen. Dapat diperhatikan bahwa :

12

A v=λ v

⟷ A v−λ v=0

⟷ A v−λI v=0

Dimana Inxn merupakan matriks Identitas

⟷ ( A−λI ) v=0

Dengan mengingat kembali pembahasan mengenai SPL homogen maka

( A−λI ) v=0

Akan mempunyai solusi tunggal v adalah vektor nol jika dan hanya jika

det ( A−λI ) ≠ 0

Karena menurut definisi vektor v adalah vektor tak nol, maka kondisi ini akan

dipenuhi jika dan hanya jika det ( A−λI )=0. Dengan demikian kita bisa

mengetahui nilai eigen dari suatu matriks A, yakni skalar (λ) yang memenuhi :

det ( A−λI )=0.

Selanjutnya persamaan ini dinamakan persamaan karakteristik . Jadi nilai-nilai

eigen merupakan akar-akar dari persamaan karakteristik tersebut. Jadi inti

pencarian nilai eigen adalah mencari akar persamaan karakteristik

det ( A−λI )=0

Dari pemaparan masalah nilai eigen diatas, matriks yang dilibatkan pada kasus

tersebut yaitu matriks Jacobiannya.

Sistem persamaan diferensial linear di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks

yang mempunyai titik keseimbangan (0, 0). Matriks ( f x f y

gx g y)

disebut juga

matriks jacobian.

Sekarang pertimbangkan kembali sistem dimensi 2

x=ax+byy=cx+dy (2.28)

13

dengan asumsi bahwa ad−bc≠0 , yaitu titik keseimbangan (0, 0) adalah titik

keseimbangan yang terisolasi. Anggaplah bahwa sistem (2.23) adalah sistem

persamaan diferensial linear yang berpadanan dengan sistem persamaan

diferensial non linear (2.21) dengan titik keseimbangan ( xe , ye) . Dari penjelasan

diatas, kita dapat memperoleh matriks jacobiannya, kemudian dapat pula kita

peroleh nilai-nilai eigennya dari akar-akar persamaan karakteristiknya.

Selanjutnya analisis kestabilan titik keseimbangan ( xe , ye) untuk sistem non

linear (2.21) diberikan dalam teorema berikut.

Teorema (Boyce dan DiPrima, 1992). Misalkan r1 dan r2 adalah nilai eigen dari

sistem linear (2.23) yang bersesuaian dengan sistem non linear (2.21). Maka tipe

dan kestabilan titik keseimbangan (0 , 0 ) dari sistem linear (2.23) dan sistem non

linear (2.21) diberikan pada tabel 1.1.

Table 1.1: Sifat-sifat Kestabilan pada sistem linear dan non linear

Nilai eigen Sistem Linear Sistem Non Linear

r1 dan r2 Tipe Kestabilan Tipe Kestabilan

r1>r2>0 IN Tidak Stabil IN Stabil

r1<r2<0 INStabil

AsimptotikIN

Stabil

Asimptotik

r2<0<r1 SP Tidak Stabil SP Tidak Stabil

r1=r2>0 PN atau IN Tidak StabilPN, IN, atau

SpPTidak Stabil

r1=r2<0 PN atau INStabil

Asimptotik

PN, IN, atau

SpP

Stabil

Asimptotik

r1 , r2=ρ±iω

ρ>0 SpP Tidak Stabil SpP Tidak Stabil

14

ρ<0 SpPStabil

Asimptotik SpP

Stabil

Asimptotik

ρ=0 C Stabil C atau SpP Tak Tentu

IN, Node tidak sejati; PN, Node sejati; SP, Titik Pelana; SpP, Spiral; C, Pusat

Secara esensial, Teorema 1.2 menyatakan bahwa untuk suatu gangguan yang

kecil, nilai bentuk non linear juga kecil dan tidak mempengaruhi kestabilan dan

tipe dari titik keseimbangan sebagaimana ditentukan oleh bentuk linear kecuali

dalam dua kasus yaitu, r1 dan r2 adalah bilangan kompleks murni dan r1 dan r2

real dan sama. Analisis kestabilan lokal untuk titik keseimbangan ( xe , ye) dari

sistem non linear adalah ekivalen dengan analisis kestabilan titik keseimbangan

(0, 0) yang terisolasi untuk sistem linear.

15

BAB III

HASIL DAN PEMBAHASAN

III.1. Model Matematika

Dalam matematika, Teori Model adalah ilmu yang menyajikan konsep-

konsep matematis melalui konsep himpunan, atau ilmu tentang model-model yang

mendukung suatu sistem matematis. Teori Model diawali dengan asumsi

keberadaan obyek-obyek matematika (misalnya keberadaan semua bilangan) dan

kemudian mencari dan menganilisis keberadaan operasi-operasi, relasi-relasi atau

aksioma-aksioma yang melekat pada masing-masing obyek atau pada kumpulan

obyek-obyek tersebut.

Populasi pada model tersebut dibedakan dalam tiga kelas populasi yaitu

populasi orang yang rentan merokok (bukan perokok) dalam variable x, kemudian

populasi orang yang merokok (perokok) dalam variavel y dan terakhir orang yang

sedang dalam tahap berusaha berhenti merokok dalam variable z.

Asumsi-asumsi yang berlaku adalah :

1. Diasumsikan bahwa terdapat sebanyak M individu yang rentan merokok

yang masuk kedalam system, dan terdapat N individu yang perokok juga

masuk ke dalam system. Populasi awal yang merokok disebabkan karena

adanya kemauan sendiri atau adanya pengaruh dari orang lain.

2. Bertambahnya populasi orang yang merokok dipengaruhi oleh adanya

populasi awal yang merokok, adanya orang yang bukan perokok yang tiba-

tiba merokok tanpa ada interaksi dengan perokok, adanya interaksi antara

perokok dan bukan perokok yang mengakibatkan orang yang bukan perokok

menjadi perokok, serta interaksi antara perokok dengan orang yang sedang

16

http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan

http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika

berusaha berhenti merokok yang mengakibatkan orang yang dalam tahap

berusaha berhenti merokok kembali jadi perokok.

3. Berkurangnya populasi orang yang merokok dipengaruhi oleh adanya orang

yang perokok menjadi berusaha berhenti merokok tanpa ada interaksi

dengan populasi lain. Selain itu dipengaruhi karena adanya interaksi antara

orang yang perokok dengan orang yang bukan perokok mengakibatkan

perokok menjadi berusaha berhenti merokok.

4. Bertambahnya populasi awal orang yang tidak merokok dipengaruhi oleh

adanya interaksi antara orang yang bukan perokok dengan orang yang

sedang dalam tahap berusaha berhenti merokok, mengakibatkan orang yang

sedang berusaha berhenti merokok kemudian menjadi berhenti merokok.

Selain itu adanya orang yang dalam tahap berusaha berhenti merokok

menjadi benar-benar berhenti merokok tanpa adanya interaksi dengan

populasi lain.

5. Berkurangnya populasi orang yang tidak merokok dipengaruhi oleh adanya

orang yang tidak merokok menjadi perokok tanpa adanya interaksi dengan

populasi lain dalam hal ini karena kemauan sendiri. Selain itu adanya

interaksi antara orang bukan perokok dengan orang yang perokok,

mengakibatkan orang yang bukan perokok menjadi orang prokok.

6. Populasi orang yang sedang dalam tahap berusaha berhenti merokok

bertambah oleh adanya interaksi antara bukan perokok dengan orang

perokok yang mengakibatkan orang yang perokok menjadi berusaha untuk

berhenti merokok. Selain itu, juga dipengaruhi oleh adanya orang yang

perokok menjadi berusaha berhenti merokok tanpa ada interaksi dengan

populasi lain.

7. Selanjutnya berkurangnya populasi orang yang sedang dalam tahap berhenti

merokok kembali menjadi perokok karena adanya interaksi dengan orang

yang perokok. Selain itu dipengaruhi oleh adanya interaksi antara orang

bukan perokok dengan orang yang berusaha berhenti merokok

mengakibatkan orang yang dalam tahap berusaha berhenti menjadi berhasil

berhenti merokok. Dan terakhir adanya orang yang sedang dalam tahap

17

Orang yang merokok

Orang yang rentan merokok

Orang yang berusaha berhenti merokok

Max

bxyN

cy

dzy qxz qxz

rx ry

kz

rz

sxy sxy

berusaha berhenti merokok menjadi orang yang tidak perokok tanpa adanya

interaksi atau pengaruh populasi orang lain.

8. Ketiga kelas populasi yang ada juga berkurang, karena adanya orang yang

dianggap keluar dari sistem seperti halnya D.O atau karena adanya orang

yang berhenti kuliah dengan persentase yang cukup kecil.

III.2. Analisis Kualitatif

III.2.1. Diagram Kompartemen

Secara skematis, pola penyebaran perokok dan perilaku interaksi dapat

digambarkan dalam diagram kompartemen berikut:

III.2.2. Sistem Persamaan Diferensial

18

Di mana,

dxdt

merupakan laju pertumbuhan populasi orang yang rentan merokok setiap

tahun.

dxdt

merupakan laju pertumbuhan populasi orang yang tidak merokok setiap tahun

dxdt

merupakan laju pertumbuhan populasi orang yang sedang berusaha berhenti

merokok setiap tahun

Dan,

M = Jumlah Mahasiswa baru non perokok.

N = Jumlah Mahasiswa baru perokok.

a = Peluang/persentase mahasiswa tidak perokok menjadi perokok karena

kemauan sendiri.

b = Peluang seorang mahasiswa yang tidak merokok menjadi perokok karena

bergaul dengan perokok.

c = Peluang/persentase seorang mahasiswa perokok untuk berusaha berhenti

merokok.

d = Peluang/persentase seorang mahasiswa yang berusaha berhenti merokok,

tetapi kembali lagi menjadi perokok karena bergaul dengan perokok.

k = Peluang/persentase seorang mahasiswa yang berusaha berhenti merokok

menjadi benar-benar berhenti merokok.

r = Peluang seorang mahasiswa yang meninggalkan fakultas karen DO,

meninggal dunia, atau sarjana.

q = Peluang seorang mahasiswa yang berusaha berhenti merokok menjadi

benar-benar berhenti karena bergaul dengan mahasiswa yang tidak

merokok.

s = peluang interaksi antara seorang mahasiswa yang rentan merokok dan

mahasiswa perokok yang mengakibatkan mahasiswa yang perokok

berusaha berhenti merokok.

x = Menunjukkan populasi mahasiswa yang rentan merokok.

y = Menunjukkan populasi mahasiswa yang merokok.

19

z = Menunjukkan populasi mahasiswa yang berusaha berhenti merokok.

III.2.1. Titik Kesetimbangan Populasi

Titik kesetimbangan (equilibrium point) biasa juga disebut titik kritis

(critical point) atau keadaan setimbang (equilibrium state). Titik kesetimbangan

populasi akan terjadi bila tak satu pun dari populasi mengalami perubahan jumlah

dalam hal ini , dan yang terjadi secara kontinu atau akan

tetap bernilai 0 meskipun terjadi perubahan waktu, sehingga sistem persamaan

(3.1) menjadi

Dari hasil pengumpulan data, diperoleh :

Dengan mensubsitusi nilai dari parameter yang telah diperoleh ke dalam

persamaan (1), maka diperoleh :

20

Untuk memperoleh keadaan setimbang, maka dapat kita mensubsitusi persamaan

(3.3) ke persamaan (3.2) diperoleh

Dari persamaan di atas diperoleh titik kesetimbangannya, yaitu :

III.2.4. Titik Kestabilan

Kestabilan Titik Kesetimbangan

Untuk menentukan kestabilan dari titik kesetimbangan dari model ini,

terlebih dahulu kita menentukan matriks jacobiannya, menggunakan rumus

matriks jacobian dari persamaan

Adapun matriks Jacobian, diperoleh

Sekarang, kita akan mencari akar-akar persamaan dari masing-masing titik

kesetimbangan yang telah diperoleh sebelumnya,

21

Untuk

Dari titik kesetimbangan I di atas diperoleh

Dari aljabar linear diketahui bahwa terdapat suatu penyelesaian non trivial

untuk sistem persamaan linear homogen jika dan hanya jika determinan dari

koefisiennya sama dengan nol, yaitu

Dari persamaan di atas

Dari persamaan (3.7) di atas diperoleh akar-akar persamaan karakteristiknya,

sebagai nilai eigen yaitu :

Karena ada akar dari persamaan karakteristik sebagai nilai eigen yang positif

maka untuk titik kesetimbangan I ini tidak stabil.

Untuk

Dari titik kesetimbangan 2 di atas diperoleh

22






yaitu:

Berdasarkan teorema Boyce dan Di Prima, Karena semua akar karakteristik

sebagai nilai eigen bernilai negatif maka solusi setimbang II stabil asimptotik.

Untuk

Dari titik kesetimbangan 3 di atas diperoleh

23





Dari persamaan (9) di atas diperoleh akar-akar persamaan karakteristiknya, yaitu:

Karena ada akar karakteristik yang positif maka untuk titik kesetimbangan III ini

tidak stabil.

Untuk

Dari titik kesetimbangan di atas diperoleh

24






yaitu:

Berdasark teorema Boyce dan DiPrima, Karena semua akar karakteristik negatif

maka dari titik kesetimbangan IV dapat dikatakan stabil asimptotik.

Dari persamaan di atas dapat digambarkan dalam grafik

25

Keterangan :

: menunjukkan laju pertumbuhan populasi x (mahasiswa yang

rentan merokok)

: menunjukkan laju pertumbuhan populasi y (mahasiswa yang

merokok)

: menunjukkan populasi z (mahasiswa yang berusaha berhenti

merokok)

Dari gambar di atas dapat dijelaskan bahwa dalam 10 tahun ke depan

populasi y dalam hal ini populasi mahasiswa yang merokok semakin meningkat

sedangkan populasi x (populasi mahasiswa yang rentan merokok) dan populasi z

(populasi mahasiswa yang berusaha berhenti merokok) akan semakin menurun

dan pada akhirnya tepatnya tahun ke 10, kedua populasi tersebut akan punah.

26

BAB IV

PENUTUP

IV.1. Kesimpulan

Dari hasil dan pembahasan sebelumnya, maka dapat disimpulkan bahwa

untuk Model Interaksi Perokok Aktif dan Pasif Di Kalangan mahasiswa FMIPA

Unhas :

1. Model matematika yang dapat dibentuk pada kasus tersebut adalah

Sistem Persamaan Diferensial

2. Dari model di atas diperoleh empat titik kesetimbangan, diantaranya sebagai

berikut :

27

3. Kestabilan dari titik kesetimbangan yang diperoleh, bahwa untuk titik

kesetimbangan I dan III, tidak stabil karena terdapat nilai eigen yang bernilai

positif dan untuk titik kesetimbangan yang II dan IV diperoleh bahwa titik

kesetimbangan tersebut stabil asimptotik.

4. Kurva solusi yang diberikan oleh model tersebut, dapat dijelaskan bahwa

dari waktu ke waktu populasi mahasiswa yang perokok akan semakin

meningkat, hal in berbanding terbalik dengan populasi mahasiswa yang rentan

merokok dan yang berusaha berhenti merokok dari waktu ke waktu akan

menurun dan ada waktu populasi tersebut akan punah. Ini merupakan

keprihatinan yang sangat mendalam artinya polusi udara yang disebabkan

asap rokok semakin banyak yang kan menyebabkan lapisan ozon yang ada di

bumi akan semakin menipis. Selain itu, dampak negatif yang akan dirasakan

oleh perokok pasif itu akan semakin banyak.

IV.2. Saran

Dalam laporan ini masih banyak kekurangan, alangkah baiknya jika model

ini dikembangkan dengan menambahkan parameter-parameter yang terlibat serta

membentuk model yang ada secara logistik.

28

model perokok

Documents