xii

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG MASALAH

Jantung merupakan organ tubuh yang penting peranannya dalam tubuh manusia, hal

ini disebabkan karena jantung berfungsi sebagai alat pemompa darah yang kemudian

memompakan keseluruh bagian tubuh.Jantung memiliki dua jenis gerakan yang yaitu

kontraksi (sistole) dan relaksasi (diastole).Sistole adalah tekanan darah saat terjadi

kontraksi pada otot jantung, sedangkan diastole adalah tekanan darah pada saat jantung

tidak berkontraksi atau sedang beristirahat pada saat pemompaan.

Model denyut jantung yang berbentuk ����̇ = −(��

� − ��� + ��)��̇ = �� − ��

� yang diambil dari

literature (Thanom dan Robert, 2011)akan dianalisa dengan menggunakan teori bifurkasi

untuk melihat sifat kestabilan dan jenis bifurkasi yang terjadi pada model. Teori bifurkasi

dipilih karena dapat mengetahui sifat perubahan kualitatif yang terjadi pada model

apabila parameter berubah-ubah.

Karena model denyut jantung hanya memiliki siklus denyut jantung pada saat sistole

dan diastole maka penelitian dilakukan pada data pengukuran denyut jantung.Data

denyut jantung diduga merupakan fungsi Gauss sehingga perlu dilakukan penyususan

fungsi Gauss agar antar data dan data yang diduga memiliki eror yang kecil sehingga

diperlukan metode Nelder-Mead simplex untuk mencari parameter-parameter yang dapat

meminimumkan nilai eror.

B. RUMUSAN MASALAH

1. Bagaimana sifat model denyut jantung apabila dianalisis dengan menggunakan teori

bifurkasi?

2. Bagaimana pola distribusi pada data pengukuran denyut jantung dengan

menggunakan metode Nelder-Mead ?

C. TUJUAN

1. Mengetahui sifat model denyut jantung yang dianalisis dengan menggunakan teori

bifurkasi

2. Mengetahui pola distribusi interval pada data pengukuran denyut jantung yang

parameter-parameter pada data dioptimasi dengan Nelder-Mead simplex untuk

mendapatkan nilai eror yang terkecil

xiii

D. BATASAN MASALAH

1. Model denyut jantung yang digunakan merupakan sistem persamaan tak linier yang

berbentuk dua persamaan.

2. Data pengukuran denyut jantung yang diteliti merupakan data yang diukur selama

2menit pada satu orang.

Hasil penelitian ini dituangkan dalam dua makalah sebagai berikut :

1. Analisis Model Denyut Jantung Dengan Menggunakan Teori Bifurkasi yang

dipublikasikan pada Seminar Nasional Pendidikan Matematika “Peran Matematika

dan Pendidikan Matematika Sebagai Solusi Problematika Pada Abad ke-21” yang

diselengarakan oleh FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta pada tanggal 22 Februari

2014, termuat dalam prosiding ISBN : 978-979-17763-7-0.

2. Pola Distribusi Interval Denyut Jantung Dengan Memanfaatkan Jumlahan Fungsi

Gauss Yang Dioptimasi Secara Nelder-Mead Simplex

MAKALAH 1

ANALISIS MODEL DENYUT JANTUNG DENGAN

MENGGUNAKAN TEORI BIFURKASI

Herlina D. Tendean1), Hanna A. Parhusip2), Bambang Susanto2)

1) Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW 2) Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW

Fakultas Sains dan Matematika UKSW Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711

1)herlinadwitendean@gmail.com,2)hannaariniparhusip@yahoo.co.id, 2)bsusanto5@gmail.com

ABSTRAK

Model denyut jantung manusia yang berbentuk ����̇ = −(��

� − ��� + ��)��̇ = �� − ��

�

dianalisa dengan menggunakan teori bifurkasi karena variasi parameter dalam model yang dapat menyebabkan perubahan sifat kualitatif titik setimbang. Model tersebut merupakan model tak linier maka model akan dilinierkan dengan mengunakan linierisasi deret Taylor. Untuk melihat perbandingan antara model linier dan tak linier yang sesuai dengan sistem kerja jantung manusia, maka kedua model diselesaikan dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4. Model linier tidak sesuai dengan sistem kerja jantung manusia karena dalam model linier tidak terjadi proses sistole dan diastole, sehingga model tak linier lebih valid karena sesuai dengan sistem kerja jantung manusia. Solusi yang didapatkan dari model tak linier merupakan bifurkasi homoklinik yang terjadi karena adanya siklus periodik dan sifat stabilitas titik setimbang cenderung tidak stabil. Kata kunci : Jantung, Bifurkasi Homoklinik, Titik Setimbang.

PENDAHULUAN

Pada proses pemompaan darah pada jantung memiliki dua jenis gerakan yang disebut kontraksi (sistole) dan relaksasi (diastole). Sistole adalah gerakan jantung pada saat tekanan darah terjadi kontraksi pada otot-otot jantung, sedangkan diastole adalah gerakan jantung pada saat jantung beristirahat pada saat pemompaan .Denyut jantung terjadi pada saat jantung berada dalam kondisi sistole dan diastole yang terjadi berulang-ulang.

Salah satu alat yang dapat digunakan untuk mengukur denyut jantung manusia adalah Electrodiagram (ECG).ECG menampilkan grafik yang merekam aktifitas kelistrikan jantung pada selang waktu tertentu, grafik yang muncul dari hasil pemeriksaan berupa grafik naik dan turun yang dapat disebut sebagai gelombang (Shyu dan Weichih, 2007).

Model denyut jantung manusia harus memiliki 3 siklus dasar (Jones dan

Sleeman,1983) : 1. Model yang dibuat harus berdasarkan keadaan setimbang dengan laju perubahan

panjang serabut otot dan gelombang aktifitas elektrokimia sama dengan nol 2. Terdapat ambang batas yang memicu gelombang elektrokimia yang

menyebabkan jantung berkontraksi 3. Model diharapkan dapat cepat kembali dalam keadaan setimbang Model denyut jantung yang diteliti dalam paper ini berbentuk (Thanom dan Robert,

2011): ���̇ = −(��

� − ��� + ��) � > 0 (1) ��̇ = �� − �� (2)

dengan

�� : Panjang serabut otot �� : Variabel aktifitas elektrokimia � : Konstanta parameter bernilai positif kecil yang berhubungan dengan nilai

eigen �� : Skalar kuantitas yang mewakili panjang serat otot dalam keadaan diastole � : Ketegangan dalam otot. Pada literatur nilai parameter yang diketahui adalah �� = 0, � = 0.2 dan � = 1.

Persamaan (1) dan (2) merupakan sistem persamaan yang memiliki bentuk umum ��⃗

��⃗= �⃗(�⃗, �), persamaan (1) dan (2) akan dianalisis dengan menggunakan teori bifurkasi.

Model dianalisis dengan menggunakan teori bifurkasi diharapkan dapat menunjukan sifat sistem kerja jantung apabila parameter berubah-ubah.

Teori Bifurkasi

Bifurkasi adalah perubahan sifat kualitatif titik setimbang dari sistem persamaan

diferensial ��⃗

��= �⃗(�⃗, �) yang terjadi karena variasi parameter. Titik setimbang adalah

solusi �⃗ = �⃗∗ yang menyebabkan ��⃗

��= 0�⃗ . Terdapat 3 jenis bifurkasi yang dapat

digambarkan dari sebuah persamaan diferensial (Golubitsky dan Dellnitz,1999) : 1. Bifurkasi pelana (saddle node bifurcation) yaitu dimana titik setimbang

�⃗∗bertabrakan dan menghilang. Bifurkasi pelana diperoleh dengan mendeteksi : �det (��)�

(�⃗,�)= 0 , (��(��) ≠ 0)

dengan �� adalah matriks Jacobian dari sistem persamaan diferensial. Matriks

Jacobian dibentuk dari turunan parsial dari sistem persamaan diferensial dari ��(�⃗, �) terhadap �� , dengan � = 1, … , � dan � = 1, … , � . Berdasarkan

komponennya, �� ditulis

�� =

⎣⎢⎢⎡

���

���⋯

���

���

⋮ ⋱ ⋮���

���…

���

���⎦⎥⎥⎤

. (3)

2. Bifurkasi hopf yaitu berubahnya jenis kestabilan titik setimbang persamaan diferensial, yang terjadi karena munculnya sepasang nilai eigen dari matriks Jacobian yang bernilai imajiner. Bifurkasi hopf dapat diperoleh jika sistem persamaan diferensial memenuhi :

�det (��)�(�⃗,�)

> 0 , (������ = 0)

Nilai eigen disini adalah nilai skalar � yang memenuhi persamaan ��⃗ = ��⃗. (4)

Matriks A adalah matriks Jacobian dari persamaan diferensial yang dihitung pada titik setimbangnya. Sehingga nilai eigen pada matriks Jacobian dicari dengan menyelesaikan (Mahmud, 2009)

det(� − �Ι) = 0 (5) 3. Bifurkasi homoklinik yaitu adanya siklus periodik pada suatu persamaan

diferensial, yang muncul karena sepasang nilai eigen (5) dari matriks Jacobian tidak sama dengan nol (Maoan dkk, 2012). Bifurkasi homoklinik dapat dideteksi jika persamaan diferensial memenuhi :

�det (��)�(�⃗,�)

> 0 , (������ ≠ 0)

Untuk menentukan sifat stabilitas titik setimbang maka sistem persamaan diferensial tak linier perlu diketahui sifat nilai eigen dari matriks Jacobian yaitu matriks pada persamaan (3).

Menurut (Golubitsky dan Dellnitz,1999) Titik setimbang untuk kasus bifurkasi dibedakan menjadi 2 bagian :

1. Titik setimbang hiperbolik (jika bagian riil pada nilai eigen dari matriks Jacobian pada titik setimbang tidak nol).

2. Titik setimbang non hiperbolik (jika bagian riil pada nilai eigen dari matriks Jacobian pada titik setimbang bernilai nol).

Sifat kestabilan untuk titik setimbang hiperbolik dibagi berdasarkan jenis dan tanda dari nilai eigen. Beberapa sifat kestabilan titik setimbang (Golubitsky dan Dellnitz,1999) :

1. Jika semua nilai eigen riil dan mempunyai tanda sama, stabil apabila nilai eigen positif dan tidak stabil apabila nilai eigen negatif.

2. Jika semua nilai eigen riil dan berbeda tanda (positif dan negatif) maka jenis kestabilan adalah pelana (saddle) dan selalu tak stabil.

3. Jika salah satu nilai eigen riil dan nilai eigen kompleks yang semua nilai eigen bernilai negatif maka jenis kestabilan adalah stabil, tetapi apabila semua nilai eigen bertanda positif maka jenis kestabilan adalah tak stabil. Jenis kestabilan ini disebut fokus titik (focus node).

4. Jika salah satu nilai eigen riil dengan tanda yang berlawanan dari nilai eigen yang kompleks, maka jenis kestabilannya disebut titik pelana fokus (saddle focus), titik setimbang ini selalu tidak stabil.

Karena model 1 yang digunakan bersifat tak linier maka sebagai langkah awal model dilinierkan dengan deret Taylor di sekitar titik setimbang �⃗∗. Linierisasi sistem persamaan tak linier dengan menggunakan Deret Taylor

Linierisasi didasarkan dari fungsi �⃗(�⃗)yang terletak dekat dengan titik setimbang,

dengan �⃗(�⃗∗) = 0�⃗ yang kemudian disusun sistem persamaan pada sekitar titik setimbang �∗.

��⃗

��= �⃗(�⃗) = �⃗(�⃗∗) + ����

�⃗∗(�⃗ − �⃗∗) + ⋯ (6)

Dari persamaan (6) selanjutnya yang lebih tinggi dbuang, sehingga persamaan menjadi

��⃗

��= �

���

��

⋮���

��

� =

⎣⎢⎢⎡

���

���…

���

���

⋮ ⋱ ⋮���

���⋯

���

���⎦⎥⎥⎤

��� − ��

∗

⋮�� − ��

∗� (7)

Persamaan (7) merupakan model sistem persamaan linier yang berada di sekitar titik setimbang �∗. Metode Runge-Kutta orde 4 untuk model denyut jantung persamaan (1) dan (2)

Untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial tak linier pada persamaan (1) dan (2) dapat digunakan metode Runge-Kutta (Yang dkk, 2005) dengan tujuan membawa

model kedalam fungsi waktu (� ). Penyelesaian ��⃗

��= �⃗(�⃗, �) menurut metode Runge-

Kutta Orde 4 adalah

�⃗��� = �⃗� +ℎ

6(������⃗ + 2��

����⃗ + 2������⃗ + ��

����⃗ )

dengan

������⃗ = �⃗(�⃗�, ��)

������⃗ = �⃗(�⃗� +

1

2ℎ��

����⃗ , �� +1

2ℎ)

������⃗ = �⃗(�⃗� +

1

2ℎ��

����⃗ , �� +1

2ℎ)

������⃗ = �⃗(�⃗� + ℎ��

����⃗ , ��) Persamaan (1) dan (2) merupakan sistem persamaan tak linier dan akan dibawa kedalam fungsi waktu (�) dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4, persamaan (1) dan (2) mempunyai penyelesaian

�⃗��� = �⃗� +ℎ

6(������⃗ + 2��

����⃗ + 2������⃗ + ��

����⃗ )

dengan

������⃗ = �

−1

�((��

�)� − ���� + ��

�)

��� − ��

� = ����

����

������⃗ = �

−1

�((��

� +ℎ

2���)� − � ���

� +ℎ

2���� + (��

� +ℎ

2���))

(��� +

ℎ

2���) + ��

� = ����

����

������⃗ = �

−1

�((��

� +ℎ

2���)� − � ���

� +ℎ

2���� + (��

� +ℎ

2���))

(��� +

ℎ

2���) + ��

� = ����

����

������⃗ = �

−1

�((��

� + ℎ���)� − �(��� + ℎ���) + (��

� + ℎ���))

(��� + ℎ���) + ��

� = ����

����

PEMBAHASAN Analisa model denyut jantung manusia

Dalam penilitian ini persamaan (1) dan (2) akan dicari nilai titik setimbangnya untuk mengetahui sifat stabilitas titik setimbang �⃗∗. Secara analitik didapatkan nilai titik setimbang

��∗ = ��

��∗ = −

1

�(�� − ��)

Sehingga titik setimbang (��∗, ��

∗)adalah (��, −�

�(��

� − ���)). Titik setimbang

tergantung pada parameter �, � dan ��. Berdasarkan titik setimbang pada persamaan (1) dan (2) merupakan bifurkasi homoklinik karena siklus periodik dapat muncul dan menghilang jika parameter divariasi. Pada gambar 1 ��divariasi −0.5 ≤ �� ≤ 0.5, jika �� > 0.5 dan �� < −0.5 maka tidak akan terjadi siklus periodik.

Gambar 1.Siklus periodik yang terjadi untuk �� = −0.5 (kiri), �� = 0 (tengah) dan

�� = 0.5 (kanan).

x2 ' = x1 - xd

x1 ' = - (x13 - T x1 + x2)/E

E = 0.2

T = 1

xd = - 0.5

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

x2

x1

x2 ' = x1 - xd

x1 ' = - (x13 - T x1 + x2)/E

E = 0.2

T = 1

xd = 0

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

x2

x1

x2 ' = x1 - xd

x1 ' = - (x13 - T x1 + x2)/E

E = 0.2

T = 1

xd = 0.5

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

x2

x1

Menentukan sifat stabilitas titik setimbang berdasarkan variansi parameter

Untuk menentukan sifat stabilitas titik setimbang persamaan (1) dan (2) maka dicari nilai eigen dengan membentuk matriks Jacobian sesuai dengan persamaan (3)

�� =

⎣⎢⎢⎡���

���

���

���

���

���

���

���⎦⎥⎥⎤

= �−1

�(3��

� − �) −1

�1 0

�

Nilai eigen �� dengan parameter yang telah diketahui �� = 3.62dan �� = 1.38,

jadi sifat kestabilan titik setimbang adalah tidak stabil karena nilai eigennya real dan bertanda positif dengan tipe titik setimbang hiperbolik. Sifat kestabilan berdasarkan nilai eigen dengan memvariasi parameter � , �� dan � ditunjukan pada table 1.

1. Parameter � yang divariasi Tabel 1. Nilai eige, determinan dan trace dari matriks Jacobian untuk beberapa variasi parameter �

No Nilai Paramete

r

Nilai Eigen Det /Trace

Matriks Jacobian Gambar pplane7

`1 � = 0.19 � = 1 �� = 0

�� = 3.9208 �� = 1.3424

5.2632 5.2632

� 5.2632 −5.2632

1 0�

2 � = 0.05

� = 1 �� = 0

�� = 18.9443 �� = 1.0557

20 20

�20 −201 0

�

3 � = 0.25

� = 1 �� = 0

�� = 2 �� = 2

4 4

�4 −41 0

�

4 � = 0.256

� = 1 �� = 0

�� = 1.96 + 0.29i �� = 1.96 − 0.29i

(pelana)

3.9063 3.9063

� 3.9063 − 3.9063

1 0�

5 � = 0.3

� = 1 �� = 0

�� = 1.67 + 0.75i �� = 1.67 − 0.75i

(pelana)

3.3333 3.3333

�3.3333 −3.3333

1 0�

Setelah memvariasi parameter � dapat terlihat nilai eigen selalu positif dan sifat kestabilan titik setimbang akan terjadi tidak stabil apabila � ≤ 0.25 dan sifat kestabilan pelana fokus terjadi apabila nilai � > 0.25. Dapat dikatakan bahwa sifat titik setimbang dengan memvariasi parameter � adalah pelana fokus dan tidak stabil.

x2 ' = x1 - xd

x1 ' = - (x13 - T x1 + x2)/E

E = 0.19

T = 1

xd = 0

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

x2

x1

x2 ' = x1 - xd

x1 ' = - (x13 - T x1 + x2)/E

E = 0.05

T = 1

xd = 0

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

x2

x1

x2 ' = x1 - xd

x1 ' = - (x13 - T x1 + x2)/E

E = 0.25

T = 1

xd = 0

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

x2

x1

x2 ' = x1 - xd

x1 ' = - (x13 - T x1 + x2)/E

E = 0.256

T = 1

xd = 0

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

x2

x1

x2 ' = x1 - xd

x1 ' = - (x13 - T x1 + x2)/E

E = 0.3

T = 1

xd = 0

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

x2

x1

2. Apabila parameter −0.5 ≤ �� < 0 atau 0.5 ≥ �� > 0 maka sifat kestabilan titik setimbang tidak stabil dan pelana fokus dan apabila �� = 0 sifat kestabilan titik setimbang tidak stabil.

3. Parameter � divariansi � ≥ 1 maka sifat kestabilan titik setimbang tidak stabil Setelah melakukan variansi parameter � , �� dan � persamaan(1) dan (2)

merupakan bifurkasi homoklinik karena persamaan (1) dan (2) memiliki siklus periodik. Dengan menggunakan bantuan pplane7 maka akan terlihat siklus yang terjadi pada persamaan (1) dan (2) dalam bidang fase.

Gambar 2.��= panjang serat otot, �� = Variabel aktifitas elektrokimia dimana �� = 0,

� = 0.2 dan � = 1. Gambar 2 menunjukan bahwa medan vektor dalam garis AB dan BC berjalan

menuju garis B dan C yang membentuk siklus. Titik-titik AB dan BC merupakan titik setimbang yang stabil sedangkan titik yang berada disekitar garis BC merupakan titik setimbang yang tidak stabil disebabkan pada garis B dan C merupakan ambang batas yang menyebabkan jantung berkontraksi (Thanom dan Robert, 2011).Titik setimbang dikatakan tidak stabil karena jantung merupakan organ tubuh yang tidak berhenti beraktifitas sehingga dapat dikatakan bahwa jantung tidak pernah berada pada kondisi yang stabil. Linierisasi sistem persamaan tak linier

Melinierkan sistem persamaan tak linier diharapkan persamaan yang linier lebih mendekati sistem kerja jantung. Pada persamaan (1) dan (2) akan disusun persamaan disekitar titik setimbang ��

∗ dan ��∗

���

��= ��(��, ��) = ��(��

∗, ��∗) + ����

(��∗,��

∗)(�� − ��

∗) + ����(��

∗,��∗)

(�� − ��∗)

���

��= ��(��, ��) = ��(��

∗, ��∗) + ������

��∗,��

∗)(�� − ��

∗) + ������(��

∗,��∗)

(�� − ��∗)

Linierisasi persamaan (1) dan (2) disekitar titik setimbang ��∗ dan ��

∗

�

���

�����

��

� = �−3��

� + �

�−

1

�1 0

� ��� − ��

∗

�� − ��∗� = �

−3��� + �

�−

1

�1 0

� �

�� − ��

�� −(−��

� + ���)

�

�

x2 ' = x1 - xd

x1 ' = - (x13 - T x1 + x2)/E

E = 0.2

xd = 0

T = 1

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

x2 (variabel aktif itas elektrokimia)

x1

(pa

nja

ng

se

raut

oto

t)

B

D C

A

�

���

�����

��

� = ������

���

�� (�� − ��) +

�

���� −

(��������)

��

�� − ��

� (8)

Persamaan (8) adalah hasil linierisasi persamaan (1) dan (2). Metode Runge-Kutta orde 4

Hasil Metode Runge-Kutta orde 4 akan diaplikasikan pada persaman (1) dan (2) dengan dibantu Matlab R2009a, dengan titik awal yang dipilih adalah -0.35 dan 0.35.

Gambar 3. Gambar dari persamaan (1) dan (2)dengan � = 0.2, � = 1 dan �� = 0

Gambar 3 merupakan gambar pada persamaan (1) dan (2) yang dibawa dalam fungsi � dengan titik awal yang dipilih adalah pada saat ��(�) = −0.35dan ��(�) = 0.35, titik awal dipilih berdasarkan perpotongan antara AB dan BC pada gambar 2. Pada gambar 3 menjelaskan �� adalah panjang serabut otot dan �� adalah variabel aktifitas elektrokimia, pada saat �� = 5 dan �� = 5 terlihat pada garis putus-putus yaitu pada saat jantung dalam keadaan diastole maka panjang serabut otot semakin melebar dan aktifitas elektrokimia akan semakin mengecil karena tidak terjadi kontraksi pada otot jantung, tetapi pada garis yang tidak putus-putus yaitu pada saat jantung dalam keadaan sistole maka panjang serabut otot akan semakin mengecil dan variabel aktifitas elektrokimia semakin membesar karena terjadi kontraksi dalam jantung yang dapat menghasilkan listrik didalam jantung.

Dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 persamaan (8) disusun seperti persamaan yang tak linier dan dibawa ke dalam fungsi waktu (�) untuk melihat kedekatan antara model yang linier dengan sistem kerja jantung. Dengan menggunakan bantuan Matlab R2009a maka persamaan (1),(2) dan (8) diaplikasikan dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 yang ditunjukan pada gambar 4.

0 5 10 15 20 25-2

-1

0

1

2

x1

0 5 10 15 20 25-1

-0.5

0

0.5

1

x2

t

Gambar 4. Gambar dari persamaan (1), (2) dan (8)

Pada gambar 4 terlihat bahwa sistem persamaan yang telah dilinierkan tidak sesuai dengan keadaan jantung manusia, karena keadaan panjang serabut otot dan variabel aktifitas elektrokimia semakin meningkat dan terlihat bahwa jantung tidak mengalami proses sistole dan diastole. Dimensi Analisis untuk Persamaan (1) dan (2)

Model pada persamaan (1) dan (2) merupakan model yang tak berdimensi sehingga pada kasus ini akan dilakukan analisis untuk menjadikan model yang tak berdimensi menjadi berdimensi. Misalkan berdasarkan dari literatur diberikan dimensi pada setiap variabel : �� = panjang serabut otot (meter) �� = aktivitas variabel elektrokimia (tegangan listrik = Volt) � = Tegangan (Pascal atau Newton/meter�) �� = Skalar kuantitas yang mewakili panjang serat otot dalam keadaan diastole (meter) � = waktu (detik)

Untuk mendapatkan informasi tentang satuan pada parameter pada persamaan (1) dan (2) tersebut maka perlu dilakukan terlebih dahulu analisa dimensi sebagaimana ditunjukkan berikut ini. Model ditulis dalam bentuk

��̇ = −���� + ���� − ��� (9)

��̇ = �(�� − ��), �, �, �, �, � > 0 (10) Penyekalaan umum yang dapat digunakan adalah

��� =��

�, ��� =

��

�, �̃ =

�

� . (11)

denganA, B dan � merupakan skala referensi untuk panjang serabut otot, tegangan listrik dan waktu. Skala referensi adalah nilai-nilai panjang serabut otot, tegangan listrik dan waktu yang biasa digunakan pada saat pengukuran jantung. Misalkan A adalah panjang serabut otot jantung dalam keadaan normal bagi orang sehat ketika jantung berkontraksi dalam satuan meter, B adalah tegangan listrik yang terjadi dalam jantung pada saat berkontranksi dalam satuan volt dan � adalah waktu yang digunakan pada saat jantung mengalami sistole dan diastole dalam satuan detik. Dengan menggunakan penyekalaan umum (11) pada persamaan (9) dan (10) diperoleh

�

����̇ = −������� + ������ − ����� (12)

�

����̇ = ��(��� − ���) (13)

selanjutnya perlu dicari �, �, � dan � dengan

� =�

��, sehingga � =

�

��=

��

���=

�

��

0 5 10 15 20 25-2

0

2

4

x1

0 5 10 15 20 25-20

0

20

40

60

x2

t

Linier

Linier

Tak linier

Tak Linier

�

������̇ = −

���

������ + ���� −

��

�����

�

���adalah� pada persamaan (1) yang sehingga dapat menjadi � =

�

��.Ekspresi

���

�� dapat

disederhanakan menjadi ���

�= 1 sehingga menyebabkan �� =

�

� jadi � = �

�

�.

Selanjutnya ��

��= 1jadi � =

��

�=

���

�

�.

Jadi model pada persamaan (1) dan (2) setelah dilakukan penyekalaan akan menjadi

����̇ = −���� + ���� − ��� (14)

���̇ = ��� − ��� (15) Persamaan (14) dan (15) merupakan persamaan yang muncul pada persamaan (1) dan (2), dengan menghilangkan notasi tilda maka persamaan (14) dan (15) dapat digunakan dengan dimensi yang dapat dihubungkan jika muncul pada pengukuran denyut jantung. Hal ini akan digunakan pada penelitian yang lebih lanjut. KESIMPULAN Berdasarkan analisis model denyut jantung yang dilakukan terlihat bahwa teori bifurkasi telah digunakan untuk menganalisis suatu persamaan diferensial yang mempunyai perubahan sifat kualitatif pada titik setimbang yang dikarenakan perubahan parameter. Persamaan tak linier yang sudah ada juga telah memenuhi sistem kerja jantung pada saat sistole dan diastole.Pada persamaan (1) dan (2) merupakan jenis bifurkasi homoklinik yang timbul karena adanya siklus periodik dengan sifat titik setimbang yang cenderung tidak stabil. Sifat titik setimbang adalah tidak stabil yang berarti bahwa jantung sedang berada pada kondisi sistole dan diastole yang berulang-ulang pada nilai parameter � ≤ 0.25dan � ≥ 0.25, −0.5 ≤ �� ≤ 0.5 dan � ≥ 1. UCAPAN TERIMA KASIH Terima kasih kepada Bapak Dr. Suryasatriya Trihandaru, M. Sc yang telah berkontribusi pada analisis dimensi model yang akan digunakan untuk penelitian lebih lanjut.

DAFTAR PUSTAKA

[1]. Golubitsky, M and Dellnitz, M. (1999). Liniear Algebra and Differential Equation Using Matlab. Brooks/Cole Publishing Company.

[2]. Imrona, Mahmud. (2009). Aljabar Linier Dasar. Jakarta : Erlangga. [3]. Jones, D.S and Sleeman, B. D. (1983). Differential Equations And

Mathematical Biology. Departement of Mathematical Sciences, University of Dundee. London.

[4]. Maoan Han, Junmin Yang and Dongmei Xiao. (2012). Limit Cycle Bifurcation Near a Double Homoclinic Loop with a Nilpotent Saddle. International Journal of Bifurcation and Chaos.

[5]. Pangase, Yulin. (2013). Penyelesaian Untuk Model Reaktor Reaksi Kimia (Continuous Flow Stirred Chemical Tank Reactor (Cstr)) Dengan Menggunakan Teori Bifurkasi. Fakultas Ilmu Alam dan Teknologi Rekayasa Universitas Halmahera.

[6]. Thanom, Witt and Loh, Robert N. K. (2011). Nonlinier Control Of Heartbeat Models. Departement of Electrical and Computer Engineering Center for Robotics and Advanced Automation Oakland University Rochester. USA.

[7]. Yang WY, Cao W, Chung TS and Morris J. (2005). Applied Numerical Methods Using Matlab. United State of America : Willey-Interscience.

MAKALAH 2

1

POLA DISTRIBUSI INTERVAL DENYUT JANTUNG DENGAN MEMANFAATKAN JUMLAHAN FUNGSI GAUSS YANG

DIOPTIMASI SECARA NELDER-MEAD SIMPLEX

Herlina D Tendean1),Hanna A Parhusip2), Suryasatria Trihandaru3), Bambang Susanto4) 1)Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW

2)Dosen Program Studi Matematika 3)Dosen Program Studi Fisika

4)Dosen Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana

Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711 1)herlinadwitendean@gmail.com,2)hannaariniparhusip@yahoo.co.id,3)suryasatriya@staff.uksw.edu

,4)bsusanto5@gmail.com

Abstrak Data denyut jantung manusia merupakan data yang memiliki gelombang periodik. Data denyut jantung didekati fungsinya dengan menggunakan fungsi Gauss. Parameter-parameter yang akan digunakan dalam fungsi Gauss dicari dengan menggunakan metode Nelder-Mead simplex untuk meminimumkan nilai eror yang terjadi pada fungsi Gauss. Dalam tiap gelombang denyut jantung selalu terjadi lima puncak sebut saja P, Q, R, S dan T. Jarak antar puncak P ke P, Q ke Q, R ke R, S ke S dan T ke T pada gelombang diseluruh data telah dicari frekuensi terjadinya jarak masing-masing antar puncak. Frekuensi terjadinya jarak tiap puncak ke puncak berikutnya merupakan distribusi Gamma dengan nilai parameter � berada pada interval 269.7837 ≤ � ≤ 373.7805 dan parameter � berada pada interval 0.0021 ≤ � ≤ 0.003 yang diperoleh dari distribusi Gamma.

Kata kunci : Denyut Jantung, Fungsi Gauss, Metode Nelder-Mead simplex, Nilai Eror, Frekuensi, Distribusi Gamma

PENDAHULUAN Model denyut jantung yang pernah diteliti merupakan sistem persamaan tak linier yang berbentuk

����̇ = −(��

� − ��� + ��)��̇ = �� − ��

�, model denyut

jantung telah diteliti dengan mengunakan teori bifurkasi untuk mencari sifat stabilitas titik setimbangnya dan didapatkan bahwa model merupakan jenis bifurkasi homoklinik yang siklus periodiknya dapat muncul dan menghilang apabila parameter divariasi dengan sifat stabilitas titik setimbang yang cenderung tidak stabil [1]. Model denyut jantung yang telah diteliti belum tepat dengan data denyut jantung sehingga perlu dilakukan modifikasi [2]. Modifikasi model yang dilakukan dengan ketegangan dalam otot pada model yang sebelumnya dianggap sebagai konstata sedangkan pada model yang baru ketegangan dijadikan sebagai parameter dalam fungsi waktu, lalu penambahan

konstanta yang mempresentasikan sinyal kontrol pada pacemaker[2]. Sedangkan pada makalah ini modifikasi akan dilakukan dengan proses fitting terhadap data denyut jantung yang telah ada. Fitting dilakukan dengan menggunakan Metode Nelder-Mead simplex dengan mengasumsikan bahwa data sebagai jumlahan pada sebuah periode gelombang dengan fungsi Gauss. METODE Model denyut jantung dengan kombinasi Fungsi Gauss Data denyut jantung yang diteliti merupakan data yang terdiri dari banyaknya jumlah titik-titik sampel dan selalu terjadi gelombang yang berulang-ulang.Data merupakan hasil pengukuran denyut jantung yang diambil selama 120 detik.Pada awalnya dicari dahulu satu gelombang dari keseluruhan data yang dimiliki.

2

Gambar 1. Gambar data denyut jantung (kiri) dan denyut jantung dalam satu gelombang

(kanan) Pada gambar 1 terlihat titik-titik puncak maksimum lokal dan minimum lokal.Puncak-puncak tersebut mempunyai makna fisis yang disimbolkan sebagai P, Q, R, S dan T sebagaimana ditunjukan pada Gambar 1 kanan.Irama jantung normal dapat dikatakan sebagai irama sinus yaitu irama yang terletak pada sekitar Vena Cava Superior di atrium kanan jantung. Irama jantung yang teratur yang berarti jarak antara gelombang yang relatif sama dan teratur. Hubungan P dengan Q, R dan S adalah bertujuan untuk membedakan suatu irama jantung, bentuk dan durasi pada puncak merupakan pembesaran pada atrium jantung.Sedangkan pada puncak-puncak Q, R dan S ditujukan untuk mendeteksi suatu irama jantung, abnormalitas konduksi. Gelombang T mengambarkan bahwa adanya kembali proses pemompaan

kedalam vetrikel jantung. Pada umumnya puncak T bernilai positif apabila puncak T negatif atau terbalik maka bisa terjadi ketidaknormalan pada jantung [3].Berdasarkan gambar 2 terlihat bahwa posisi puncak-puncak S terhadap potensial selalu berada pada posisi negatif sedangkan untuk puncak-puncak T selalu berada pada posisi positif.Data yang telah diukur merupakan data untuk jantung yang sehat. Pada penelitian ini akan ditentukan posisi P, Q, R, S dan T untuk keseluruhan data yang diukur. Untuk itu, diperlukan periode satu gelombang.Untuk menentukan periode satu gelombang maka syarat utama dari satu gelombang adalah satu gelombang harus memuat puncak-puncak P, Q, R, S dan T. Dengan contoh satu gelombang ditunjukan pada gambar 1 kanan.

Gambar 2. Posisi puncak S dan T pada data yang telah diukur

0 1 2 3 4 5

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

t (detik)

y (

mV

)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t (detik)

y (m

V)

P

Q

R

S

T

0 20 40 60 80 100 120 140 160-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Indeks

y (m

V)

S

T

3

Gambar 3. Data pada satu gelombang dengan letak �� , ���

dan �� pada tiap puncak P,

Q, R, S dan T Dari keseluruhan data yang diukur diasumsikan satu gelombang memenuhi kombinasi fungsi Gauss yang berbentuk:

�� = ∑ ����� ��(�����

)�

���� ����,�,�,�,� (1)

dengan error

� = �∑��������

��

� (2)

dengan, �� : titik-titik dugaan dengan menggunakan

fungsi Gauss, ���

: titik-titik pada data denyut jantung,

�� : tinggi titik puncak pada gelombang pada waktu ke �, ���

: waktu yang diperlukan pada saat ke �,

�� : lebar setiap puncak pada waktu ke �, � : menghitung nilai eror, � : banyaknya jumlahan data. Metode Nelder-Mead untuk meminimumkan nilai eror Dalam kasus ini dicari �⃗�

∗ yang akan

digunakan sebagai nilai parameter yang dapat meminimumkan nilai eror pada jumlahan fungsi Gauss dengan,

�⃗�∗

=

⎣⎢⎢⎢⎢⎡

�� �����

�� �����

�� �����

�� �����

�� ����� ⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

(3)

untuk setiap gelombang ke-i dengan � = 1, 2, … , � + 1.

Jadi terdapat �⃗�∗, �⃗�

∗, … , �⃗���

∗. Anggap

bahwa � disetiap �⃗�∗

adalah �(�⃗�∗) yang

dapat diurutkan yang memenuhi �� ≤ �� ≤⋯ ≤ ���� dimana � + 1 adalah banyaknya titik puncak R, sedangkan � adalah banyaknya gelombang.Jadi fungsi inilah sebagai fungsi tujuan yang diminimumkan.Masalah optimasi disini

adalah ditentukan �⃗�∗

yang meminimumkan��. Nelder-Mead bertujuan untuk meminimumkan nilai fungsi �(�⃗∗) untuk �⃗∗ ∈ �� , dimana �⃗∗ adalah pasangan �� , ���

, �� pada setiap puncak P, Q, R, S dan T.

Parameter skalar dalam metode Nelder-Mead yang harus ditentukan yaitu koefisien dari refleksi (�) , ekspansi atau perluasan (�) , kontraksi (�) dan penyusutan (�) . Parameter yang dapat digunakan dalam Nelder-Mead [4] � > 0, � > �, 0 < � < 1, dan

0 < � < 1 (4) Tetapi parameter � > � tidak didefinisikan secara tegas, sehingga parameter yang dipakai secara umum adalah

� = 1, � = 2, � =�

�dan � =

�

� (5)

Variasi parameter (�, �, �, �) dilakukan untuk dimensi ke−� [5]

� = 1, � = 1 +2

�, � = 0.75 −

1

2�dan

� = 1 −�

� (6)

Diasumsikan bahwa parameter pada persamaan (4) merupakan kondisi untuk

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t (detik)

y (

mV

)

R

S

T

Q

P

t0R

t0S

t0TsQ

sP

sR

sS

sT

t0P

AP AQ

AS

AR

ATt0Q

4

keadaan satu dimensi sedangkan untuk parameter (5) dapat digunakan untuk analisis dua dimensi.Pada penelitian ini parameter pada persamaan (5) juga masih digunakan. Satu Iterasi dalam Metode Nelder-Mead

1. Urutan Urutakan puncak � + 1 untuk memenuhi

��(�) ≤ ��

(�) ≤ ⋯ ≤

����(�) dengan menggunakan

aturan pada langkah selanjutnya. 2. Mencerminkan

Menghitung titik-titik hasil pencerminan dari

�� = �⃗ + ���̅⃗ − �⃗���� (7) dengan

�̅⃗ = ��⃗

�

�

���

Titik tengah terbaik terletak pada � kecuali �⃗��� . Selanjutnya �� = �(��) . Jika �� ≤ �� < �� , maka titik refleksi �� diterima sehingga iterasi diakhiri dan �� dipilih sebagai parameter-parameter yang baru. Apabila tidak lanjutkan kelangkah perluasan 3.

3. Memperluas / ekspansi Jika �� < �� atau �� > �� hitung nilai titik perluasan atau ekspansi �� yaitu

�� = �⃗ + ���� − �̅⃗�

= �⃗ + ��(�⃗ − �⃗���) (8) Selanjutnya evaluasi �� = �(��) , jika �� < �� maka langkah ini diterima dan iterasi dihentikan. Apabila �� ≥ �� ,maka�� diterima dan iterasi diakhiri

4. Kontraksi Apabila �� ≥ �� lakukan proses

kontranksi antara �̅⃗, �⃗��� dan ��. a. Tahap satu

Jika �� ≤ �� < ���� apabila �� lebih baik daripada �⃗��� , kontraksi yang terjadi pada tahap satu dengan menghitung

�� = �⃗ + � ��� − �⃗�

= �⃗ + ��(�⃗ − �⃗���) (9)

Evaluasi �� = �(��) , maka �� diterima dan hentikan iterasi sehingga �� dipakai sebagai parameter baru, apabila tidak memenuhi lanjutkan ke langkah 5

b. Tahap dua Jika �� ≥ ���� , lakukan kontraksi pada tahap dua dengan menhitung

��� = �⃗ + � ��⃗ − �⃗����(10)

Evaluasi ��� = �(���) , jika ��� ≤ ���� maka ��� diterima dan hentikan iterasi sehingga ��� digunakan sebagai parameter baru. Apabila tidak memenuhi lanjutkan ke langkah 5

5. Langkah terakhir Langkah terakhir apabila langkah 1 sampai 4 tidak dipenuhi yaitu dengan menghitung � pada saat titik ke � yaitu �⃗� = �⃗� + �(�⃗� − �⃗�) (11) dengan � = 1, 2, … , � + 1 . Titik puncak untuk iterasi selanjutnya terdiri dari �⃗�, �⃗�, … , �⃗���

Distribusi Gamma untuk menentukan peluang terjadinya frekuensi ∆� pada jarak antar puncak .Distribusi Gamma pernah digunakan untuk memprediksi periode gelombang air di pantai barat daya India [6]. Distribusi Gamma yang diduga pada gelombang denyut jantung dimana terdapat data � = [��, ��, … , ��] dengan � adalah jarak antar masing-masing puncak data yang berdistribusi Gamma dengan parameter � dan � maka fungsi densitasnya atau fungsi kepadatan terjadinya peluang dapat dirumuskan sebagai [7] �(�|�, �) = ��(�; �, �)

=����

Γ(�)����� �−

�

��

Γ(�) = � ���������

�

�

dengan � > 0, � > 0 dan � > 0.

5

ANALISIS DAN PEMBAHASAN Model Denyut Jantung Dengan Kombinasi Fungsi Gauss

Gambar 4.Puncak-puncak R pada tiap gelombang (kiri) dan tiap gelombang selalu memiliki

puncak P, Q, R, S dan T (kanan) Agar satu gelombang mudah ditentukan maka posisi satu gelombang dicari berdasarkan jarak dari puncak R ke puncak R berikutnya sehingga dari keseluruhan data yang dimiliki selama 120 detik sedangkan banyaknya titik puncak R pada keseluruhan data dengan menggunakan bantuan peakdet.m. Dalam keseluruhan data dalam waktu 120 detik terdapat 155 titik puncak R dengan selang waktu yang terjadi antara masing puncak R rata-rata mencapai 0.7693 detik. Pasangan nilai parameter �� , ���

dan ��

dipakai untuk menentukan titik-titik dengan menggunakan fungsi Gauss yang bertujuan untuk meminimumkan nilai eror � dengan menggunakan metode Nelder-Mead. Pada gambar 4 kiri menunjukan bahwa dalam tiap periode gelombang denyut jantung yang diukur selalu terjadi puncak-puncak R, sedangkan pada gambar 4 kiri menunjukan bahwa tiap periode gelombang yang terjadi selalu terdapat puncak maksimum dan minimum �� , ���

, ��

Metode Nelder-Mead untuk meminimumkan nilai eror pada fungsi Gauss Dalam kasus ini �⃗ merupakan pasangan data P, Q, R, S dan T yang memuat �� , ���

,

�� yang terdapat pada puncak maksimum dan minimum yang dijadikan sebagai titik dugaan awal �⃗(�) pada gelombang pertama dalam menggunakan metode Nelder-Mead.

�⃗(�) =

⎣⎢⎢⎢⎡

0.1111 0.3650 0.0478−0.0427 0.4800 0.04781.0351 0.5150 0.0478

−0.2869 0.5400 0.04780.1916 0.7400 0.0478⎦

⎥⎥⎥⎤

Setelah mendapatkan puncak-puncak P, Q, R, S dan T untuk langkah awal dicari terlebih dahulu �� yang dijadikan sebagai titik-titik dugaan dari parameter-parameter �� , ���

, �� pada puncak-puncak P, Q, R, S

dan T dengan menyusun pada persamaan (1) pada satu gelombang yang pertama �� =

�� ��� ��(�����

)�

���� � + �� ��� �

�(�����)�

���� � +

�� ��� ��(�����

)�

���� � + �� ��� �

�(�����)�

���� � +

�� ��� ��(�����

)�

���� �

Setelah mendapatkan titik-titik pada �� selanjutnya akan dihitung nilai eror antara pendekatan �� dengan ���

dengan

menggunakan persamaan (2) didapatkan nilai � untuk gelombang yang pertama 5.53%.

0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t (detik)

y (

mV

)R1 R2 R3

0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t (detik)

y (

mV

)

6

Gambar 5. Pendekatan antara �� dengan ���

Pada Gambar 5 terlihat pendekatan antara �� dengan ���

dengan bantuan fminsearch

dalam fungsi matlab dimana �� pada gambar adalah garis lurus yang merupakan pendekatan dengan menggunakan parameter-parameter dugaan P, Q, R, S dan T pada data dan titik-titik pada gambar merupakan ���

data pada gelombang yang

pertama. Dengan bantuan fungsi fminsearch pada matlab didapatkan nilai pendekatan antara data dengan dugaan yang terdekat dan didapatkan nilai parameter �� , ���

, ��

yang baru untuk setiap puncak P, Q, R, S dan T

Tabel 2.Parameter �� , ���, �� yang baru

pada gelombang pertama Titik puncak �� ���

��

P 0.0892 0.3748 0.0190 Q 0.1332 0.5370 0.0126 R 1.2163 0.5125 0.0091 S 0.1859 0.5332 0.0387 T 0.1625 0.7315 0.0286

Parameter baru yang didapatkan merupakan parameter yang berdasarkan metode Nelder-Mead yang meminimumkan nilai eror. Sedangkan metode Nelder-Mead dilakukan untuk mencari pendekatan Gauss pada keseluruhan gelombang yang terjadi adalah pendekatan Gauss untuk

keseluruhan gelombang semakin bergeser karena parameter �� , ���

dan �� pada

keseluruhan gelombang hampir sama, dianggap bahwa satu gelombang pada semua gelombang memiliki periode dan jarak yang sama. Distribusi Gamma untuk frekuensi ∆� antar puncak ke puncak Langkah selanjutnya dicari jarak antara puncak R ke puncak R berikutnya pada keseluruhan gelombang dalam waktu 120 detik. Laju denyut jantung dengan distribusi amplitudo denyut jantung yang pernah diamati antara orang sakit dan orang sehat dengan menggunakan analisis wavelet yang menunjukan bahwa perbedaan pada time series interval denyut jantung pada orang dewasa yang sehat dan tidak sehat tidak terletak pada variasi distribusi antar gelombang, karena variasi pola variabilitas denyut jantung selama sakit dapat mirip dengan pada saat sehat[8]. Pada makalah ini distribusi amplitudo diamati dengan memperhatikan frekuensi dari interval waktu antar puncak (P-P, Q-Q, R-R, S-S dan T-T).

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t (detik)

y (

mV

)

7

Gambar 6. Waktu pada masing-masing puncak R ke puncak R berikutnya (kiri) dan frekuensi

munculnya � pada gelombang Setelah semua puncak-punck R pada keseluruhan data didapatkan maka dicari jarak antar masing-masing puncak R ke puncak R berikutnya terdapat 155 puncak R dengan masing-masing jarak antar puncak R ada 154 titik. Dengan variansi pada masing-masing jarak antar puncak 0.0017.Dari semua jarak antar R yang dijadikan sebagai jarak antar gelombang pada data, ditunjukan rata-rata gelombang

berkisar 0.7693. Frekuensi yang muncul pada gambar 6 (kanan) yaitu jarak waktu yang diperlukan antara puncak R ke puncak R dengan memperhatikan histogram frekuensi yang muncul pada ∆� antar puncak untuk jantung yang sehat diduga sebagai distribusi Gamma Pada tiap puncak P, Q, R, S dan T masing-masing dicari jarak antar puncak yang kemudian dicari frekuensi yang muncul ∆� pada tiap puncak.

Tabel 3. Frekunsi terjadinya ∆� pada tiap puncak dan hasil fitting distribusi Gamma

Puncak Histogram (Frekuensi) Hasil fitting distribusi Gamma P-P

Q-Q

0 50 100 150 2000.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Indeks

y (

det

ik)

05

101520253035404550

Fre

ku

ensi

t (detik)

05

1015202530354045

0.6

850

0.7

065

0.7

280

0.7

495

0.7

710

0.7

925

0.8

140

0.8

355

0.8

570

0.8

785

0.9

000

Mor

e

Fre

ku

ensi

t (detik)

0.7 0.75 0.8 0.85 0.90

2

4

6

8

10

Data

Den

sity

puncak P

fitting

05

10152025303540

0.6

800

0.7

040

0.7

280

0.7

520

0.7

760

0.8

000

0.8

240

0.8

480

0.8

720

0.8

960

0.9

200

Mor

e

Fre

ku

ensi

t (detik)

0.7 0.75 0.8 0.85 0.90

2

4

6

8

10

Data

Den

sity

Puncak Q

fitting

8

R-R

S-S

T-T

Dengan aplikasi Toolbox pada Matlab R2009a “dfittool” maka fitting pada data frekuensi ∆� yang terjadi akan di fitting dengan menggunakan distribusi Gamma. Pada tabel 3 terlihat bahwa frekuensi ∆� pada jarak antar puncak ke puncak antara data yang diukur yang dengan peluang terjadinya hampir menyerupai. Sehingga frekuensi ∆� pada jarak antar puncak ke puncak merupakan distribusi Gamma dengan nilai � dan � yang merupakan hasil ditting dari distribusi Gamma terlihat pada tabel 4

Tabel 4. Parameter � dan � yang merupakan hasil fitting distribusi Gamma Puncak � Standar

eror � Standar

eror P-P 332.5077 37.8738 0.0023 0.00026 Q-Q 269.7837 30.7257 0.0029 0.0003 R-R 368.1399 41.9344 0.0021 0.00023 S-S 373.7805 42.5773 0.0021 0.00023 T-T 345.2989 39.3315 0.0022 0.00025

Parameter � dan � merupakan hasil fitting distribusi Gamm terlihat pada tabel 4 bahwa data frekuensi tiap puncak yang terjadi pada data denyut jantung merupakan distribusi Gamma, karena parameter � berada pada interval 269.7837 ≤ a ≤373.7805 dan parameter � berada pada interval 0.0021 ≤ � ≤ 0.003 . Sehingga dapat dikatakan bahwa data denyut jantung berdistribusi Gamma dengan � dan � memiliki interval yang tidak terlalu jauh dan histogram yang terjadi dengan fungsi kepadatan peluang hampir sama. Kesimpulan Data denyut jantung yang telah diukur merupakan data periodik yang merupakan fungsi Gauss dengan bantuan metode Nelder-Mead maka diperoleh parameter-parameter pada data yang memenuhi fungsi Gauss yang meminimumkan nilai eror pada fungsi Gauss.Nilai eror yang terjadi pada

0

10

20

30

40

50

0.6

95

0.7

175

0.74

0.7

625

0.7

85

0.8

075

0.83

0.8

525

0.8

75

0.8

975

0.92

Mor

e

Fre

ku

ensi

t (detik)

0.7 0.75 0.8 0.85 0.90

2

4

6

8

10

12

Data

Den

sity

Puncak R

fitting

0

10

20

30

40

50

0.69

5

0.7

175

0.7

4

0.7

625

0.78

5

0.8

075

0.8

3

0.8

525

0.87

5

0.8

975

0.9

2

Mor

e

Fre

ku

ensi

t (detik)

0.7 0.75 0.8 0.85 0.90

2

4

6

8

10

12

Data

Den

sity

Puncak S

fitting

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0.6

80

0.7

03

0.7

26

0.7

49

0.7

72

0.7

95

0.8

18

0.8

41

0.8

64

0.8

87

0.9

10

Mo

re

Fre

ku

ensi

t (detik)0.7 0.75 0.8 0.85 0.9

0

2

4

6

8

10

Data

Den

sity

Puncak T

fitting

fungsi Gauss adalah 5.53%. Frekuensi pada tiap puncak yang dalam denyut jantung yang diukur merupakan distribusi Gamma dengan nilai parameter � berada pada interval 269.7837 ≤ a ≤ 373.7805 dan parameter � berada pada interval 0.0021 ≤� ≤ 0.003. Saran Perlu adanya data jantung untuk orang yang tidak sehat untuk dapat mengetahui perbedaan puncak S dan T antara orang yang sehat dengan yang tidak sehat lalu ∆� frekuensi antar puncak berdistribusi Gamma atau tidak. Ucapan Terima Kasih Terimakasih kepada sdr.Gill Gaspar Lobo Pinto atas data denyut jantung yang telah diberikan sehingga dapat digunakan untuk penelitian dalam makalah ini. Daftar Pustaka

[1]. H. D. Tendean, H. A. Parhusip dan Bambang Susanto, “Analisis Model denyut Jantung Dengan Menggunakan Teori Bifurkasi”. Prosiding Seminar Nasional Pendidikan Matematika “Peran Matematika dan Pendidikan Matematika sebagai solusi Problematika Pada Abad ke-21”, pp 65-74, 2014, ISBN : 978-979-17763-7-0.

[2]. W. Thanom dan R. N. K. Loh, “Nonlinier Control of Heartbeat Models”. Systemic, Cybernetics and Informatics, vol. 9, no. 1, pp 21-27, 2011, ISSN : 1690-4524.

[3]. A. N. Azhar dan Suyanto, “Studi Identifikasi Sinyal ECG Irama Myocardial Ischemia Dengan Pendekatan Fuzzy Logic”, Juti, vol. 7, no. 4, pp 193-206, 2009.

[4]. J. C. Lagarias, J. A. Reeds, M. H. Wright dan P. E. Wright, “Convergence Properties Of The Dimension Nelder-Mead Simplex Method In Low Dimension”, Siam J. Optim, vol. 9, no. 1 pp 112-147, 1998.

[5]. F. Gao dan L. Han, “ Implementing The Nelder-Mead Simplex Algorithm With Adaptive

Parameters”. Springer Science and Business Media, 2010.

[6]. S. P. Satheesh, V. K. Praveen, V. J. Kumar, G. Muraleedhran dan P. G. Kurup, “Weibul and Gamma distribution for Wave Parameter Predictions”. J Ind Geophys Union, vol. 9, no. 1, pp 55-64, 2005.

[7]. T. P. Minka, “Estimating a Gamma Distribution”, 2002.

[8]. P. Ch. Ivanov, M.G. Rosenblum, C.-K. Peng, J.E. Mietus, S. Havlin, H.E. Stanley dan A.L Goldberger, “Scaling and Universality in Heart Rate Variability Distribution”, Elsevier. Physica A 249 pp 587-593, 1998.

xvi

KESIMPULAN

Berdasarkan penguraian dari kedua makalah dapat disimpulkan sebagai berikut

1. Model denyut jantung yang berbentuk ����̇ = −(��

� − ��� + ��)��̇ = �� − ��

� memiliki sifat

stabilitas titik setimbang yang cenderung tidak stabil dan merupak bifurkasi

homoklinik. Sifat titik setimbang adalah tidak stabil yang berarti bahwa jantung

sedang berada pada kondisi sistole dan diastole yang berulang-ulang pada nilai

parameter � ≤ 0.25dan � ≥ 0.25, −0.5 ≤ �� ≤ 0.5 dan � ≥ 1. Ketika model denyut

jantung dilinierkan ternyata model yang linier tidak menunjukan sistem kerja jantung

manusia pada sistole dan diastole. Tetapi model belum sempurna yag dihasilkan dari

model yang dianalisa hanya siklus denyut jantung saja dan bukan sinyal pada

pengukuran denyut jantung.

2. Data pengukuran denyut jantung yang dianalisa dengan memanfaatkan fungsi Gauss

untuk menunjukan bahwa data merupakan fungsi Gauss dengan bantuan metode

Nelder-Mead didapatkan parameter-parameter �� , ��� dan �� pada tiap puncak pada

gelombang yang dapat meminimumkan nilai eror pada fungsi Gauss adalah 0.0553%.

Pada tiap-tiap puncak disetiap gelombang dicari frekuensi terjadinya nilai ∆� pada

tiap interval sebut saja P-P, Q-Q, R-R, S-S dan T-T. Frekuensi pada tiap puncak yang

dalam denyut jantung yang diukur merupakan distribusi Gamma dengan nilai

parameter �dan � merupakan distribusi Gamma.

Saran

Data untuk orang sehat dapat dikatakan mempunyai profil yang sama tentang

distribusi, tetapi untuk orang yang tidak sehat atau sakit mungkin memiliki profil

yang berbeda dengan orang sehat karena sifat tegangan denyut jantung kemungkinan

berbeda dan hal ini dapat dilakukan untuk penelitian lebih lanjut.

Untuk interval frekuensi antar puncak ke puncak (P ke R, Q ke R, S ke R dan T ke R)

mungkin bukan merupakan distribusi Gamma. Hal ini dapat dipelajari untuk kajian

teori yang lebih baik.

xvii

Hasil Review 23 Juni 2014

1. Pada paper 1 halaman 65 arti dari ECG adalahELECTRODIAGRAMyang seharusnya

adalahELECTROCARDIOGRAM.

2. Data pengukuran yang diteliti merupakan hasil pengukuran denyut jantung yang

diambil oleh Gill Gaspar Lobo selama 120 detik.

3. Hubungan siklus denyut jantung dan data denyut jantung

Gambar A. Siklus denyut jantung Gambar B. data pengukuran denyut jantung

dalam satu gelombang

Gambar C.cara pembaca data pengukuran denyut jantung

Sumber : rikaerika.wordpress.com/2012/12/10/sistole-and-diastole/

Gambar A merupakan gambar siklus denyut jantung yang bersifat mekanika dan

gambar B merupakan gambar pengukuran denyut jantung yang bersifat

kelistrikan.Gambar A dan gambar B tidak dapat dijadikan satu karena satuan dalam

x2 ' = x1 - xd

x1 ' = - (x13 - T x1 + x2)/E

E = 0.2

xd = 0

T = 1

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

x2 (variabel aktif itas elektrokimia)

x1

(pa

nja

ng

sera

ut oto

t)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t (detik)

y (m

V)

P

Q

R

S

T

Sistole

Diastole

xviii

sifat mekanika dan kelistirkan denyut jantung memiliki satuan yang berbeda. Untuk

gambar c dapat merupakan cara membaca hasil pengukuran denyut jantung pada ECG.

4. Dalam mencari pendekatan fungsi Gauss dapat dilakukan translasi pada gelombang

pertama ke gelombang selanjutnya agar bisa mendapatkan ��, ���dan s�

5. Daftar pustaka pada paper 1 “Shyu, Liang-Yu dan Weichih Hu. (2007). Intelligent

Hybrid Methods for ECG Classicitaion. Journal of Medical and Biological

Engineering, 28(1) : 1-10. 23 November 2007.

6. Penulisan pada paper 2 pada abstrak dan pada kesimpulan halaman 8 “nilai parameter �

berada pada interval 269.7837 ≤ � ≤ 373.7805 dan parameter � berada pada interval

0.0021 ≤ � ≤ 0.003” tidak diperbolehkan secara statistic karena pada � dan � memuat

P, Q, R, S dan T sehingga tidak dapat dijadikan sebagai interval dan diperbaharui “nilai

parameter � dan � berdistribusi Gamma”dapat dilihat pada paper 2 halaman 8.