kestabilan dan bifurkasi model epidemik seir … · simulasi dan kesimpulan daftar pustaka . daftar...

KESTABILAN DAN BIFURKASI MODEL EPIDEMIK SEIR

DENGAN LAJU KESEMBUHAN TIPE JENUH

Oleh: Khoiril Hidayati (1209 100 070)

Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

2013

Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Manfaat

Latar Belakang

Khoiril Hidayati (1209 100 070)

Pendahuluan Metode Penelitian Tinjauan Pustaka

Analisa dan Pembahasan Simulasi dan Kesimpulan

Daftar Pustaka

PENYAKIT ENDEMIK

Jumlah Pesakitan tdk terkendali

Jumlah Kematian meningkat tajam

Keresahan masyarakat

Karantina, Pencegahan, Pengebalan, dll

Penyakit SEIR Treatmen dg tipe Jenuh Imun permanen


Bagaimana menentukan potensi penularan penyakit pada populasi rentan (R0) pada model epidemik dengan memperhatikan laju kesembuhan yang bersifat jenuh?

Bagaimana kestabilan titik setimbang dan bifurkasi dari model epidemik dengan kesembuhan tipe jenuh?

1.

2.


Rumusan Masalah



Daftar Pustaka


Model diasumsikan tipe SEIR dengan kesembuhan tipe jenuh, yaitu sistem imun yang terbentuk pada individu infectious (I) bersifat permanen.

Individu masuk dalam populasi melalui kelahiran atau imigrasi dengan laju konstan yang masuk dalam kelas susceptible (S) dan keluar karena kematian atau menjadi individu infectious.

1.

2.


Batasan Masalah



Daftar Pustaka


Mengetahui laju kesembuhan yang bersifat jenuh terhadap jumlah populasi rentan yang terinfeksi oleh infectious (R0)

Mengetahui kestabilan bifurkasi dari model epidemik SEIR sehingga mengetahui terjadinya penyebaran penyakit menular

1.

2.


Tujuan



Daftar Pustaka


Adanya pengetahuan bagi peneliti mengenai analisa penyebaran penyakit tipe SEIR dengan laju kesembuhan tipe jenuh

Sebagai rujukan bagi penelitian yang sejenis

Sebagai bahan pertimbangan bagi pihak terkait dalam menangani penyebaran penyakit menular tipe SEIR dengan laju kesembuhan tipe jenuh

1.

3.

2.


Manfaat



Daftar Pustaka


Metode Penelitian



Daftar Pustaka

Mengkaji Model Epidemik

Mencari Titik Kesetimbangan dan Bilangan Reproduksi Dasar

Menganalisa Stabilitas Titik Kesetimbangan

Menganalisa Terjadinya Bifurkasi

Simulasi dan Kesimpulan


Model Epidemik SEIR dengan Kesembuhan Tipe Jenuh Bilangan Reproduksi Dasar Titik Kesetimbangan Stabilitas Lokal Analisa Bifurkasi

Model Epidemik SEIR dengan Kesembuhan Tipe Jenuh



Daftar Pustaka



Bilangan Reproduksi Dasar



Daftar Pustaka

Bilangan reproduksi dasar adalah bilangan yang menunjukkan jumlah individu rentan yang dapat menderita penyakit disebabkan oleh satu individu infeksi. Kondisi yang akan timbul adalah satu diantara tiga kemungkinan berikut (Giesecke, 1994): a. Jika , maka penyakit akan menghilang dalam populasi b. Jika ,maka penyakit akan menetap(endemis) dalam populasi c. Jika , maka penyakit akan meningkat menjadi wabah dalam

populasi.



Next General Matrics



Daftar Pustaka

Adalah dengan membentuk sistem menjadi persamaan



Next General Matrics



Daftar Pustaka



Titik Kesetimbangan



Daftar Pustaka



Stabilitas Lokal



Daftar Pustaka





Daftar Pustaka

Kestabilan Routh-Hurwitz

Kemudian akan disusun koefisien persamaan karakteristik sehingga menjadi sebuah tabel Routh-Hurwitz.





Daftar Pustaka

Kestabilan Routh-Hurwitz

Dengan menggunakan akar karakteristik (nilai eigen), sistem dikatakan stabil atau mempunyai tanda bagian real nilai eigen negatif jika dan hanya jika elemen-elemen pada kolom pertama Tabel 2.1 memiliki tanda yang sama .

Kemudian disusun membentuk tabel berikut:





Daftar Pustaka

Teori Manifold Pusat

Center manifold theory adalah teori yang digunakan untuk memutuskan stabilitas lokal dari titik kesetimbangan non-hyperbolic (matriks linearisasi yang mempunyai paling sedikit 1 nilai eigen yang bagian realnya 0) dan juga meneliti keberadaan bifurkasi disekitar titik kesetimbangan bebas penyakit, dengan melihat kondisi pada parameter yang menyebabkan bifurkasi maju atau mundur terjadi Sistem dibentuk dalam persamaan





Daftar Pustaka

Teori Manifold Pusat




Daftar Pustaka

Model Epidemik SEIR tanpa Treatmen

Diperoleh sistem dinamik model:

Epidemik SEIR tanpa Treatmen Tipe Jenuh




Daftar Pustaka

Titik Kesetimbangan

Titik kesetimbangan dari sistem ini didapat dari

Titik kesetimbangan bebas penyakit terjadi ketika

Sehingga didapatkan titik kesetimbangan bebas penyakitnya adalah





Daftar Pustaka

Titik Kesetimbangan

Titik kesetimbangan endemik terjadi ketika

Sehingga diperoleh

dengan





Daftar Pustaka

Kestabilan titik kesetimbangan bebas penyakit

Kestabilannya didapatkan dari determinan matriks Jacobiannya, diperoleh:





Daftar Pustaka

Kestabilan titik kesetimbangan endemik

Kestabilannya didapatkan dari determinan matriks Jacobiannya, diperoleh:





Daftar Pustaka

Dengan menggunakan metode Routh-Hurwitz diperoleh:

dengan





Daftar Pustaka

Model Epidemik SEIR dengan Treatmen tipe Jenuh

Diperoleh sistem dinamik model:

Epidemik SEIR dengan Treatmen Tipe Jenuh




Daftar Pustaka

Bilangan Reproduksi Dasar





Daftar Pustaka

Titik Kesetimbangan

Titik kesetimbangan bebas penyakit pada model ini adalah

Sedangkan titik kesetimbangan endemik terjadi ketika pada sistem

dengan





Daftar Pustaka

Titik Kesetimbangan





Daftar Pustaka

Analisa Kestabilan Lokal Titik Setimbang dan Bifurkasi





Daftar Pustaka

Simulasi

Simulasi Kesimpulan




Daftar Pustaka

Kesimpulan

Simulasi Kesimpulan




Daftar Pustaka

Daftar Pustaka [1] Xueyong Zhou dan Jingan Cui (2011). “Analysis of stability and bifurkasi for an SEIR epidemik model with satured recovery rate”. Common Nonlinear Sci Numer Simulat. Elsevier. [2] Priyandoko, Bagus. (2009). “Analisis kualitatif dan bifurkasi pada Model Epidemik Tipe SEIR dengan Transmisi Vertikal”. Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika. [3] Greenhalgh D. Some results for a SEIR epidemic model with density dependence in he death rate. IMA J Math Appl Med Biol 1992;9:67. [4] Zhang J, Ma Z. Global dynamics of an SEIR epidemic model with saturating contact rate. Math Biosci 2003;185:15–32. [5] Cui JA, Mu XX, Wan H. Saturation recovery leads to multiple endemic equilibria and backward bifurcation. J Theor Biol 2008;254:273-85. [6] Djasuli, M. (2009). “Eksistensi Bifurkasi Mundur pada Model Penyebaran Penyakit Makroparasitis”. Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, Tugas Akhir S2 Jurusan Matematika. [7] Van den Driessche P, Watmough J. Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission. Math Biosci. 2002;180:129-48. [8] Guckenheimer J, Holmes P. Nonlinear oscillations. Dynamical systems and bifurcations of vector fields, Berlin: Springer; 1983.

Daftar Pustaka




Daftar Pustaka

kestabilan dan bifurkasi model epidemik seir … · simulasi dan kesimpulan daftar pustaka . daftar...

Documents