KESTABILAN MODEL EPIDEMIK SEIR DENGAN WAKTU TUNDA

STABILITY OF SEIR EPIDEMIC MODEL WITH TIME DELAY

Wahyudi Rusdi, Syamsuddin Toaha, Jeffry Kusuma

Bagian Matematika Terapan, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin.

Alamat Korespondensi: Wahyudi Rusdi, S.Si Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin Makassar, HP: 085656077885 Email: Yudi_JAWZ@yahoo.co.id

ABSTRAK Model epidemik SEIR dengan waktu tunda merupakan model matematika yang menjelaskan fenomena epidemik dengan melibatkan periode laten dan waktu tunda pada penyebaran infeksi penyakit. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh waktu tunda pada interaksi antara individu rentan dan terinfeksi melalui vektor terhadap penyebaran infeksi penyakit. Dari model tersebut diperoleh dua titik keseimbangan, yaitu titik keseimbangan bebas penyakit dan endemik. Analisis kestabilan dari titik keseimbangan untuk 휏 = 0 dilakukan dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz pada nilai eigen dari sistem yang telah dilinearkan sedangkan untuk 휏 > 0 dilakukan dengan memeriksa kewujudan nilai eigen dengan bagian real bernilai nol dari persamaan karakteristiknya. Hasil analisis menunjukkan bilangan reproduksi dasar, R0, menentukan kestabilan dari tiap titik keseimbangan. Sementara waktu tunda tidak mempengaruhi jenis kestabilan titik keseimbangan, dan hanya berpengaruh pada konvergensi dari kesetabilan titik keseimbangan. Kata kunci : Epidemik, Kestabilan, Waktu Tunda, Titik Keseimbangan, Bilangan Reproduksi Dasar

ABSTRACT

SEIR epidemic model with time delay is a mathematical model that explains the phenomena of epidemic involving latent period and time delay in the spread of infectious diseases. The research aimed to determine the effect of the time delay at the interaction between susceptible and infected individuals through a vector for the spread of infectious diseases. The models obtained two equilibrium points i.e disease-free equilibrium and endemic equilibrium. Stability analysis of the equilibrium point for τ = 0 is conducted by using Routh-Hurwitz criteria on the eigenvalues of the system which has been linearized, whereas for τ > 0 is done by examining the form of eigenvalues with zero real part of the characteristic equation. The analysis showed basic reproduction numbers, R0, determines the stability of every equilibrium points. While time delay does not influence the stability type of the equilibrium points, and it only has the impact on the convergence of the equilibrium points stability.

Keywords: Epidemic, Stability, Time Delay, Equilibrium point, Basic Reproduction Numbers.

PENDAHULUAN

Epidemik merupakan suatu keadaan dimana berjangkitnya suatu penyakit menular

dalam populasi pada suatu tempat yang melebihi perkiraan kejadian yang normal dalam

periode yang singkat. Bila penyakit tersebut selalu terdapat dalam suatu tempat begitupun

dengan faktor penyebabnya maka dikatakan Endemik, kemudian bila penyakit tersebut

mempunyai ruang lingkup penyebaran yang sangat luas (global) maka disebut Pandemik.

Model epidemik adalah model matematika yang digunakan untuk mengetahui penyebaran

penyakit menular, khususnya menyangkut terjadi atau tidaknya keadaaan epidemik serta

pengaruh yang ditimbulkan. Model epidemik yang pertama kali menjelaskan masalah

penyebaran penyakit adalah model SIR yang dikemukakan oleh Kermack dan McKendrick

pada tahun 1927. Model ini terdiri atas tiga kompartemen (kelas) yaitu S (susceptible)

menyatakan banyaknya individu yang rentan penyakit, I (infected) menyatakan banyaknya

individu yang terinfeksi penyakit dan R (removed) menyatakan banyaknya individu yang

sembuh dari penyakit. Pada perkembangannya model ini terus dimodifikasi dengan asumsi

yang berbeda-beda agar dapat menjelaskan berbagai fenomena penyakit yang makin

kompleks (Hethcote, 2000) dan (Singh dkk., 2011).

Berbagai macam penyakit epidemik seperti campak (Measles), tubercoluses, malaria

dan Human Immunodeficiency Virus (HIV) mempunyai periode laten. Li dkk.(1994)

mengkonstruksi model epidemik SEIR yang terdiri dari empat kompartemen dengan

mempertimbangkan periode laten dari infeksi penyakit. Selanjutnya Li dkk. (1999)

mengasumsikan bahwa besarnya laju rekrutmen dan kematian alami tidak sama. Pada

perkembangan berikutnya Li dkk. (2004) menambahkan asumsi pada kompartemen E dan I,

bahwa kematian individu selain karena sebab alami juga dapat disebabkan oleh infeksi

penyakit (fatal). Sementara itu, Di Liddo (1985) mengembangkan model delay yang

melibatkan vektor sebagai perantara penyebaran infeksi penyakit, sehingga individu rentan

dapat terinfeksi oleh individu terinfeksi setelah melalui vektor, lalu Yan dkk. (2005)

mengembangkan model delay dengan meninjau penyebaran infeksi penyakit yang disebabkan

adanya interaksi yang terjadi antara individu rentan dan terinfeksi pada kompartemen E

(Exposed) dan I (Infected). Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui pengaruh waktu

tunda pada interaksi antara individu rentan dan terinfeksi melalui vektor terhadap penyebaran

infeksi penyakit.

BAHAN DAN METODE

Secara umum desain penelitian yang dilakukan adalah: menentukan titik

keseimbangan model, melinearisasi model, menganalisis kestabilan dari tiap titik

keseimbangan yang diperoleh, dan melakukan simulasi numerik. Adapun variabel penelitian

adalah sejauh mana pengaruh waktu tunda terhadap penyebaran infeksi penyakit dari individu

rentan ke individu terinfeksi melalui vektor baik secara teoritis maupun numerik. Kemudian

alat bantu komputasi yang digunakan pada penelitian ini adalah software Maple 16 dan

Matlab 2011.

HASIL

Dari model epidemik SEIR diperoleh dua titik keseimbangan 푄∗ = (푠∗, 푒∗푖∗, 푟∗) yaitu titik

keseimbangan bebas penyakit 푄 dan endemik 푄 .

푄 = , 0,0,0 dan

푄 = ( )( ) , ( ) −( ) , ( )( ) − , ( )( ) − .

Kemudian model tersebut dimodifikasi menjadi model epidemik SEIR dengan waktu tunda

lalu dilakukan linearisasi disekitar titik keseimbangan 푄∗, maka diperoleh

푠̇ = −푠(푡)(휇 + 훽푖∗) − 훽푠∗푖(푡 − 휏)(1.1푎)

푒̇ = 훽푠∗푖(푡 − 휏) + 훽푠(푡)푖∗ − (휎 + 휇 + 휉)푒(푡)(1.1푏)

횤̇ = 휎푒(푡)− (훾 + 휇 + 휂)푖(푡)(1.1푐)

푟̇ = 훾푖(푡) − 휇푟(푡).(1.1푑)

Analisis kestabilan pada tiap titik keseimbangan dilakukan dengan menyelesaikan persamaan

karakteristik yang dihasilkan oleh (1.1) yang dinyatakan sebagai berikut

Δ(휌, 휏) = 휌 + 퐴 휌 + 퐴 휌 푒 + 퐴 휌 + 퐴 휌푒 + 퐴 휌 + 퐴 푒 + 퐴 = 0,(1.2)

Untuk 휏 = 0,

Dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz, titik keseimbangan 푄 stabil asimptotik

bila 푅 < 1, dalam hal ini 푅 = . Sedangkan titik keseimbangan 푄 stabil asimptotik bila

푅 > 1.

Untuk 휏 > 0,

Perubahan kestabilan titik keseimbangan 푄 dan 푄 ditentukan oleh adanya akar real

positif yang dihasilkan dari polinomial berikut

푤 + 퐵 푤 + 퐵 푤 + 퐵 푤 + 퐵 = 0.(1.6)

Hasil analisis menunjukkan bahwa dengan menggunakan aturan tanda Descartes persamaan

tersebut tidak akan menghasilkan akar real positif. Dengan demikian titik keseimbangan 푄

dan 푄 akan stabil untuk 휏 ≥ 0.

Simulasi numerik dilakukan untuk melihat pengaruh waktu tunda pada model dengan

menggunakan beberapa nilai 휏 dan parameter lainnya. Gambar 1,2,3 dan 4 menunjukkan

populasi individu rentan, laten, terinfeksi dan sembuh serta perbandingannya terhadap

beberapa nilai 휏 yang diberikan.

PEMBAHASAN

Penelitian ini menunjukkan bahwa pengaruh waktu tunda pada model epidemik SEIR

hanya mempengaruhi konvergensi dari kestabilan tiap titik keseimbangan dan tidak

mempengaruhi jenis kestabilannya. Dalam hal ini waktu tunda hanya memberikan pengaruh

pada periode penyebaran infeksi penyakit dari individu rentan ke individu terinfeksi melalui

vektor. Penelitian yang dilakukan Yan dkk. (2005) mengembangkan model SEIR delay

dengan meninjau laju kontak eksponesial antara individu rentan dan terinfeksi. Kemudian

Abta dkk. (2012) menganalisis model SEIR delay dengan asumsi pertumbuhan logistik pada

individu rentan dan laju kontak penyakit diasumsikan berbentuk laju insidensi jenuh.

Pada penelitian ini model epidemik SEIR dikonstruksi berdasarkan asumsi Li dkk.

(1994), Li dkk. (1999), Li dkk. (2004) yang dinyatakan sebagai berikut :

푆̇ = 휆 − 훽푆(푡)퐼(푡) − 휇푆(푡)(2.1a)

퐸̇ = 훽푆(푡)퐼(푡) − (휎 + 휇 + 휉)퐸(푡)(2.1b)

퐼̇ = 휎퐸(푡) − (훾 + 휇 + 휂)퐼(푡)(2.1c)

푅̇ = 훾퐼(푡)− 휇푅(푡).(2.1d)

Kemudian model tersebut dimodifikasi berdasarkan asumsi Di Liddo (1985) sehingga

diperoleh model epidemik SEIR dengan waktu tunda yang dinyatakan sebagai berikut :

푆̇ = 휆 − 훽푆(푡)퐼(푡 − 휏) − 휇푆(푡)(2.2a)

퐸̇ = 훽푆(푡)퐼(푡 − 휏) − (휎 + 휇 + 휉)퐸(푡)(2.2b)

퐼̇ = 휎퐸(푡) − (훾 + 휇 + 휂)퐼(푡)(2.2c)

푅̇ = 훾퐼(푡)− 휇푅(푡).(2.2d) Selanjutnya dengan melakukan linearisasi model epidemik SEIR dengan waktu tunda (2.2)

disekitar titik keseimbangan 푄∗, maka diperoleh

푠̇ = −푠(푡)(휇 + 훽푖∗) − 훽푠∗푖(푡 − 휏)(2.3푎)

푒̇ = 훽푠∗푖(푡 − 휏) + 훽푠(푡)푖∗ − (휎 + 휇 + 휉)푒(푡)(2.3푏)

횤̇ = 휎푒(푡)− (훾 + 휇 + 휂)푖(푡)(2.3푐)

푟̇ = 훾푖(푡) − 휇푟(푡).(2.3푑)

Analisis kestabilan pada tiap titik keseimbangan dilakukan dengan menyelesaikan persamaan

karakteristik yang dihasilkan oleh (2.3) yang dinyatakan sebagai berikut

Δ(휌, 휏) = 휌 + 퐴 휌 + 퐴 휌 푒 + 퐴 휌 + 퐴 휌푒 + 퐴 휌 + 퐴 푒 + 퐴 = 0,(2.4)

dimana

푎 = 훽푖∗,푏 = 훽푠∗ , 푐 = (휎 + 휇 + 휉),푑 = (훾 + 휇 + 휂)

퐴 = 2휇 + 푎 + 푑 + 푐,

퐴 = −푏휎,

퐴 = 휇(휇 + 푎 + 2푑 + 2푐) + 푑푎 + 푐푎 + 푐푑,

퐴 = −2휇푏휎,

퐴 = 푐푑휇 + 푎푐푑 + 휇(푑휇 + 푐휇 + 푑푎 + 푐푎 + 푐푑),

퐴 = −휇 푏휎, dan

퐴 = 휇(푐푑휇 + 푎푐푑).

Untuk 휏 = 0, Menurut kriteria kestabilan Routh-Hurwitz (Edelstein dkk., 2005), bagian real

dari semua nilai eigen persamaan (2.4) bernilai negatif jika dan hanya jika

퐴 > 0, (퐴 + 퐴 ) > 0, (퐴 + 퐴 ) > 0dan

(퐴 + 퐴 )[퐴 (퐴 + 퐴 ) − (퐴 + 퐴 )]− 퐴 (퐴 + 퐴 ) > 0(2.5)

Untuk 휏 > 0, misalkan 휌 = 푖푤, 푤 > 0 adalah akar-akar persamaan karakteristik (2.4) maka

diperoleh

푤 + 퐵 푤 + 퐵 푤 + 퐵 푤 + 퐵 = 0,(2.6)

dimana

퐵 = 퐴 − 2퐴 ,

퐵 = 2퐴 + 퐴 − 2퐴 퐴 − 퐴 ,

퐵 = 퐴 − 2퐴 퐴 + 2퐴 퐴 − 퐴 , dan

퐵 = 퐴 − 퐴 .

Untuk mengetahui kemungkinan adanya akar real positif dari (1.6), digunakan aturan

tanda Descartes yang dinyatakan sebagai berikut:

Misalkan 푝(푥) = 푎 푥 + 푎 푥 + 푎 푥 + ⋯+ 푎 푥 merupakan polinomial derajat n

dengan koefisien real 푎 , dan 푏 adalah bilangan bulat yang memenuhi 0 ≤ 푏 < 푏 < ⋯ <

푏 . Maka banyaknya akar real positif dari 푝(푥) sama dengan banyaknya variasi tanda dari

koefisien polinomialnya 푎 ,푎 , … , 푎 (Wang, 2004).

Teorema 1 (Kar,2003).

Syarat kondisi perlu dan cukup titik keseimbangan (푠∗ , 푒∗푖∗, 푟∗) menjadi stabil asimptotik

untuk semua 휏 ≥ 0 adalah sebagai berikut.

(1) Bagian real untuk setiap akar-akar dari Δ(휌, 0) = 0adalah negatif.

(2) Untuk setiap real 푤 dan 휏 ≥ 0 , Δ(푖푤, 휏) ≠ 0 , dimana 푖 = √−1.

Teorema 2 (Kar,2003).

Jika kondisi (2.5) dan teorema 1 terpenuhi lalu persamaan (2.6) tidak mempunyai akar real

positif, maka titik keseimbangan (푠∗ , 푒∗푖∗, 푟∗) adalah stabil asimptotik untuk 휏 ≥ 0.

Misalkan persamaan (2.6) memiliki satu akar real postitif 푤 , maka dari (2.4) akan

menghasilkan akar imajiner 푖푤 . Dengan demikian 휏 dapat diperoleh dari persamaan

휏 = arccos ( )( ) ( )

+ , (2.7)

dimana 푘 = 0,1,2 …

Teorema 3 (Kar,2003).

Jika kondisi (2.4) terpenuhi lalu persamaan (2.6) mempunyai satu akar real positif 푤

sehingga diperoleh (2.7), maka titik keseimbangan (푠∗, 푒∗푖∗, 푟∗) adalah stabil asimptotik

untuk 휏 < 휏 dan tidak stabil untuk 휏 > 휏 , dan di titik (푠∗, 푒∗푖∗, 푟∗) akan terjadi bifurkasi.

Pada pembahasan ini akan dianalisis setiap titik keseimbangan pada saat 휏 = 0 dan 휏 > 0

untuk mengetahui pengaruh waktu tunda pada penyebaran infeksi penyakit.

Analisis kestabilan titik keseimbangan bebas penyakit

Tinjau titik keseimbangan bebas penyakit, 푄 = , 0,0,0 . Substitusi titik

keseimbangan tersebut pada (2.5) diperoleh persamaan karakteristik

휌 + 퐴 휌 + 퐴 휌 푒 + 퐴 휌 + 퐴 휌푒 + 퐴 휌 + 퐴 푒 + 퐴 = 0,(2.8)

dimana

퐴 = (2휇 + 푑 + 푐),

퐴 = − ,

퐴 = (휇(휇 + 푑 + 푐) + 푑휇 + 푐휇 + 푐푑),

퐴 = −2훽휆휎,

퐴 = (푐푑휇 + 휇(푑휇 + 푐휇 + 푐푑)),

퐴 = −휇훽휆휎, dan

퐴 = 휇 푐푑.

Untuk 휏 = 0, persamaan karakteristik (2.8) menjadi

(휌 + 휇) 휌 + (푑 + 푐)휌 + 푐푑휇 −휎훽휆휇 = 0(2.9)

Menurut kriteria Routh-Hurwitz syarat kestabilan untuk persamaan tersebut adalah < 1,

yang selanjutnya didefinisikan sebagai Bilangan Reproduksi Dasar, 푅 yang berarti rasio yang

menunjukkan jumlah individu rentan yang dapat menderita penyakit yang disebabkan oleh

satu individu terinfeksi (Driessche dkk., 2002). Dengan demikian titik kesimbangan bebas

penyakit 푄 stabil asimptotik bila 푅 < 1.

Untuk 휏 > 0, misalkan 휌 = 푖푤, 푤 > 0 adalah akar-akar persamaan karakteristik (2.8),

dengan menggunakan bentuk umum (2.6) diperoleh

푤 + 퐵 푤 + 퐵 푤 + 퐵 푤 + 퐵 = 0,(2.10)

dimana

퐵 = 2휇 + 푑 + 푐

퐵 = 휇 + 2푑 휇 + 2푐 휇 + 푐 푑 − ,

퐵 = 2푐 푑 휇 + 푑 휇 + 푐 휇 − 2훽 휆 휎 , dan

퐵 = 휇 푐 푑 − 휇 훽 휆 휎 .

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa persamaan (2.10) memiliki paling tidak satu akar

real positif. Menurut aturan tanda Descartes, persamaan (2.10) akan memiliki paling tidak

satu akar real positif jika variasi tanda koefisien polinomnya lebih dari atau sama dengan satu.

Dalam hal ini akan ditinjau bahwa 퐵 , 푖 = 1,2,3,4 memiliki tanda yang berbeda.

Karena titik keseimbangan bebas penyakit stabil saat 푅 = < 1, maka

퐵 = 2휇 + 푑 + 푐 > 0,

퐵 = 휇 + 2푑 휇 + 2푐 휇 + 푐 푑 1 − 푅 > 0

퐵 = 푑 휇 + 푐 휇 + 2푐 푑 휇 1 − 푅 > 0, dan

퐵 = 휇 푐 푑 1 − 푅 > 0.

Dari hasil analisis diperoleh

퐵 > 0,푖 = 1,2,3,4

Dengan demikian persamaan (2.10) tidak memiliki variasi tanda antar koefisien

polinomialnya, menurut aturan tanda Descartes persamaan tesebut tidak akan menghasilkan

akar real positif.

Lebih lanjut, karena persamaan (2.10) tidak memiliki akar real positif maka tidak

dapat diperoleh nilai 휏 pada persamaan (2.7) yang membuat titik keseimbangan bebas

penyakit 푄 menjadi tidak stabil, sehingga menurut teorema 1 dan 2 titik keseimbangan

tersebut akan stabil untuk 휏 ≥ 0. Dalam hal ini waktu tunda hanya berpengaruh pada

konvergensi dari kestabilan titik keseimbangan 푄 . Dengan kata lain bahwa waktu tunda yang

menyatakan periode infeksi penyakit oleh vektor hanya memperlambat proses penyebaran

infeksi penyakit dari individu terinfeksi ke individu rentan.

Analisis kestabilan titik keseimbangan endemik

Tinjau titik keseimbangan Endemik, yang dapat dinyatakan dalam 푅 ,

푄 =휆휇푅 ,

휆푐 1 −

1푅 ,

휇훽

(푅 − 1),훾훽

(푅 − 1)

Substitusi titik keseimbangan tersebut pada (2.5) diperoleh persamaan karakteristik

휌 + 퐴 휌 + 퐴 휌 푒 + 퐴 휌 + 퐴 휌푒 + 퐴 휌 + 퐴 푒 + 퐴 = 0,(2.11)

dimana

퐴 = (휇(푅 + 1) + 푑 + 푐),

퐴 = − ,

퐴 = (휇(휇푅 + 푑 + 푐 + 푑푅 + 푐푅 ) + 푐푑),

퐴 = − ,

퐴 = (푐푑휇(푅 + 1) + 휇 푅 (푑 + 푐)),

퐴 = − ,

퐴 = 푐푑휇 푅 , dan

푅 = .

Untuk 휏 = 0, persamaan karakteristik (2.11) menjadi

(휌 + 휇)[휌 + 휌 (휇 + 푎 + 푑 + 푐) + 휌(푑휇 + 푐휇 + 푎푑 + 푐푎 + 푐푑 − 푏휎) + 푐푑휇 − 휇푏휎 +

푎푐푑] = 0.(2.12)

Menurut kriteria Routh-Hurwitz titik keseimbangan endemik 푄 akan stabil asimpotik bila

푅 = > 1.

Selanjutnya untuk 휏 > 0, misalkan 휌 = 푖푤, 푤 > 0 adalah akar-akar persamaan karakteristik

(2.11), dengan menggunakan bentuk umum (2.6) diperoleh

푤 + 퐵 푤 + 퐵 푤 + 퐵 푤 + 퐵 = 0,(2.13)

dimana

퐵 = 휇 1 + 푅 + 푑 + 푐 ,

퐵 = 휇 푅 + 푑 휇 1 + 푅 + 푐 휇 1 + 푅 + 푐 푑 − ,

퐵 = 푐 푑 휇 1 + 푅 + 푑 휇 푅 + 푐 휇 푅 − , dan

퐵 = 푐 푑 휇 푅 − .

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa persamaan (2.13) memiliki paling tidak satu akar

real positif. Menurut aturan tanda Descartes, persamaan (2.13) akan memiliki paling tidak

satu akar real positif jika variasi tanda koefisien polinomnya lebih dari atau sama dengan satu.

Dalam hal ini akan ditinjau bahwa 퐵 , 푖 = 1,2,3,4 memiliki tanda yang berbeda.

Karena titik keseimbangan endemik stabil saat 푅 = > 1, maka

퐵 = 휇 1 + 푅 + 푑 + 푐 > 0,

퐵 = 휇 푅 + 푑 휇 1 + 푅 + 푐 휇 1 + 푅 > 0

퐵 = 푐 푑 휇 푅 − 1 + 푑 휇 푅 + 푐 휇 푅 > 0

퐵 = 푐 푑 휇 푅 − 1 > 0.

Dari hasil analisis diperoleh

퐵 > 0,푖 = 1,2,3,4.

Dengan demikian persamaan (2.13) tidak memiliki variasi tanda antar koefisien

polinomialnya, menurut aturan tanda Descartes persamaan tesebut tidak akan menghasilkan

akar real positif.

Lebih lanjut, karena persamaan (2.13) tidak memiliki akar real positif maka tidak

dapat diperoleh nilai 휏 pada persamaan (2.7) yang membuat titik keseimbangan endemik 푄

menjadi tidak stabil, sehingga menurut teorema 1 dan 2 titik keseimbangan tersebut akan

stabil untuk 휏 ≥ 0. Dalam hal ini waktu tunda hanya berpengaruh pada konvergensi dari

kestabilan titik keseimbangan 푄 . Dengan kata lain bahwa waktu tunda yang menyatakan

periode infeksi penyakit oleh vektor hanya memperlambat proses penyebaran infeksi penyakit

dari individu terinfeksi ke individu rentan.

Simulasi Numerik

Selanjutnya simulasi numerik dilakukan untuk melihat pengaruh waktu tunda pada

model (2.2) dengan memilih nilai 휏 = 5,휏 = 10 dan parameter yang lain diberikan oleh

Lenhart dkk. (2007) dan Zhou dkk. (2011). 휆 = 10,휇 = 휂 = 0.2, 훾 = 0.4,휎 = 1.2, 휉 =

0,1,훽 = 0.001dan0.1. Simulasi dilakukan dengan mengkombinasikan nilai parameter 훽 dan

휏 dengan syarat awal

푆(0) =휆휇 ,퐸(0) = 0, 퐼(0) = 1,푅(0) = 0.

Untuk nilai 훽 = 0,001 diperoleh 푅 = 0,05 < 1. Selanjutnya simulasi dilakukan dengan

mengambil 휏 = 5 dan 휏 = 10 kemudian dibandingkan dengan 휏 = 0. Hasil simulasi

menunjukkan bahwa waktu tunda yang diberikan hanya mempengaruhi konvergensi dari

kestabilan titik keseimbangan 푄 untuk 휏 ≥ 0.

Dengan demikian titik keseimbangan bebas penyakit,

푄 = (50,0,0,0)

stabil asimptotik.

Sedangkan untuk 훽 = 0,1, diperoleh nilai 푅 = 5 > 1. Selanjutnya simulasi dilakukan

dengan mengambil 휏 = 5 dan 휏 = 10 kemudian dibandingkan dengan 휏 = 0. Hasil simulasi

menunjukkan bahwa waktu tunda yang diberikan hanya mempengaruhi konvergensi dari

kestabilan titik keseimbangan 푄 untuk 휏 ≥ 0. .

Dengan demikian titik keseimbangan endemik,

푄 = (10,5,8,16)

stabil asimptotik. Gambar 1,2,3 dan 4 menunjukkan populasi individu rentan, laten, terinfeksi

dan sembuh serta perbandingannya terhadap beberapa nilai 휏 yang diberikan.

KESIMPULAN

Dari model epidemik SEIR diperoleh dua titik keseimbangan, yaitu titik keseimbangan

bebas penyakit, 푄 , dan titik keseimbangan endemik 푄 .

Analisis kestabilan dari titik keseimbangan untuk 휏 = 0 dilakukan dengan

menggunakan kriteria Routh-Hurwitz pada nilai eigen dari sistem yang telah dilinearkan dan

ditunjukkan bahwa titik keseimbangan bebas penyakit, 푄 stabil asimptotik ketika basic

reproduction number 푅 < 1, dalam hal ini penyakit akan menghilang dalam populasi. Titik

keseimbangan endemik 푄 stabil asimptotik ketika 푅 > 1 dalam hal ini penyakit akan

menyebar dan menjadi wabah dalam populasi. Sedangkan untuk 휏 > 0, analisis dilakukan

dengan menggunakan teorema yang diberikan oleh Kar (2003).

Dari hasil analisis teoritis dan numerik, menunjukkan bahwa kestabilan dari model

ditentukan oleh 푅 . Sementara waktu tunda hanya berpengaruh pada konvergensi dari

kestabilan setiap titik keseimbangan. Dalam hal ini waktu tunda yang menyatakan periode

infeksi penyakit oleh vektor hanya mempengaruhi proses penyebaran infeksi penyakit dari

individu terinfeksi ke individu rentan. Diharapkan pada penelitian berikutnya model epidemik

yang ditinjau lebih dikembangkan dengan meninjau aspek-aspek penting lainnya, terutama

yang berkaitan dengan waktu tunda dan penanganan berbagai penyakit menular.

DAFTAR PUSTAKA

Abta, A., Kaddar, A. dan Alaoui, H.T. (2012). Global Stability for Delay SIR and SEIR Epidemic Models with Saturated Incidence Rates. Electronic Journal of Differential Equations. 2: 1-13.

Di Liddo, A. (1985). A SIR Vector Disease Model with Delay. Pergamon. 7: 793-802. Driessche P. Van den dan Watmough, J. (2002). Reproduction Numbers and Sub-Threshold

Endemic Equilibria for Compartmental Models of Disease Transmission. Mathematical Biosciences. 180: 29-48.

_____________.(2008). Mathematical Epidemiology. Springer: Berlin. 159-178. Edelstein, L. dan Keshet. (2005). Mathematical Models in Biology. SIAM: New York. 150-

151. Hethcote, H.W. (2000). The Mathematics of Infectious Diseases. SIAM. 42: 599-653. Kar,T.K. (2003). Selective Harvesting in a Prey Predator Fishery with Time Delay.

Mathematical And Computer Modelling. 38: 449-458. Lenhart, S. dan Workman, J.T. (2007). Optimal Control Applied to Biological Models.

Chapman & Hall/CRC: London. 117-122. Li, G. dan Jin, Z. (2004). Global Stability of a SEIR Epidemic Model with Infectious Force in

Latent ,Infected and Immune Period. Science. 25: 1177-1184. Li, M.Y., Graef, J.R., Wang, L. dan Karsai J. (1999). Global Dynamics of a SEIR Model with

Varying Total Population Size. Mathematical Biosciences. 160: 191-213. Li, M.Y. dan Muldowney, J.S. (1994). Global Stability for the SEIR Model in Epidemiology.

Mathematical Biosciences. 125: 155-164. Singh, S.K. dan Aqeel, S. (2011). A Study of Effects of Disease Caused Death in A Simple

Epidemic Model. International Journal of Scientific & Engineering Research. 2: 1-3. Wang, X. (2004). A Simple Proof of Descartes's Rule of Signs. JSTOR. 111: 525-526. Yan, P. dan Liu, S. (2005). SEIR Epidemic Model with Delay. ANZIAM. 48: 119-134. Zhou, X. dan Cui, J. (2011). Analysis of Stability and Bifurcation for an SEIR Epidemic

Model with Saturated Recovery Rate. Science. 16: 4438–4450.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5049.75

49.8

49.85

49.9

49.95

50SEIR Model

t (hari)

S(t)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035SEIR Model

t (hari)

E(t)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 505

10

15

20

25

30

35

40

45

50SEIR Model

t (hari)

S(t)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10

12

14SEIR Model

t (hari)

E(t)

(a) (b)

Gambar 1. Populasi individu rentan terhadap waktu흉 = ퟎ, 흉 = ퟓ,흉 = ퟏퟎ. (풂)휷 = ퟎ,ퟎퟎퟏ dan (b)휷 = ퟎ,ퟏ.

(a) (b)

Gambar 2. Populasi individu laten terhadap waktu흉 = ퟎ, 흉 = ퟓ,흉 = ퟏퟎ. (풂)휷 = ퟎ,ퟎퟎퟏ dan (b)휷 = ퟎ,ퟏ.

휏 = 0

휏 = 5

휏 = 10

휏 = 0

휏 = 5

휏 = 10

휏 = 0

휏 = 5

휏 = 10

휏 = 0

휏 = 5

휏 = 10

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2SEIR Model

t (hari)

I(t)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35SEIR Model

t (hari)

R(t)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10

12

14

16SEIR Model

t (hari)I(t

)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10

12

14

16

18SEIR Model

t (hari)

R(t)

(a) (b)

Gambar 3. Populasi individu terinfeksi terhadap waktu흉 = ퟎ, 흉 = ퟓ,흉 = ퟏퟎ. (풂)휷 = ퟎ,ퟎퟎퟏ dan (b)휷 = ퟎ,ퟏ.

(a) (b)

Gambar 4. Populasi individu sembuh terhadap waktu흉 = ퟎ, 흉 = ퟓ,흉 = ퟏퟎ. (풂)휷 = ퟎ,ퟎퟎퟏ dan (b)휷 = ퟎ,ퟏ.

휏 = 0

휏 = 5

휏 = 10

휏 = 0

휏 = 5

휏 = 10

휏 = 0

휏 = 5

휏 = 10

휏 = 0

휏 = 5

휏 = 10