PEMODELAN MATEMATIKA

Model Matematika Dalam Kasus Epidemik Kolera Dengan Populasi Konstan

Oleh

Kelompok 5

Silfia Fitriani : 2411.043

Gusdila Fitri Yanti : 2411.034

Dosen

Tisti Ilda Prihandini M.Si

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN TARBIYAH

STAIN SJECH M.DJAMIL DJAMBEK

BUKITTINGGI

2013/2014

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Kolera merupakan penyakit diare akut yang disebabkan oleh bakteri VibrioCholera.

Pada saat menginfeksi seseorang bakteri ini memproduksi Choleratoxin yangmengakibatkan

keluarnya cairan tubuh dalam jumlah yang banyak, sehingga tanpapenanganan yang tepat,

seseorang yang terjangkit oleh bakteri ini dapat meninggal.Setiap tahunnya, penyakit ini telah

menyebabkan kematian bagi ratusan ribu orangdiseluruh dunia. Dan merupakan salah satu

penyakit yang paling menakutkan diseluruh dunia.

Ketika di suatu daerah dengan tingkat sanitasi yang sangat rendahterdapat seorang

penderita diare yang membawa bakteri V.Cholera, maka sangatmungkin sekali terjadi

penyebaran bakteri V.Cholera di sumber air daerah setempat,sehingga dapat mengakibatkan

terkontaminasinya seluruh daerah tersebut, dan akanmenyebabkan kemungkinan terjadinya

tiga kasus, yaitu tidak ada outbreak (bebaskolera), terjadi epidemik atau terjadi endemik

diwilayah yang terjangkiti tersebut.

Badan Kesehatan Dunia (WHO) memperkirakan selama masa epidemik kolera 0.2– 1

% dari penduduk diwilayah yang terjangkit wabah kolera akan mengidap penyakitini dan

mampu menularkannya kembali kependuduk lainnya. Penyakit kolera yangterjadi pada lebih

dari 90% orang tergolong ringan. Dan kurang dari 10% orang yangterinfeksi bakteri Vibrio

Cholera berkembang menjadi penyakit yang parah. Menurut www.chclibrary.org/micromed

tanpa penanganan yang tepat, laju kematian akibat penyakit kolera bisa mencapai 50% lebih.

Pentingnya model ini di bahas karena melalui pemodelan matematika kita dapat

menyelesaikan masalah dalam penyebaran penyakit kolera dalam masa epidemic. Epidemic

adalah istilah umum untuk menyebut kejadian tersebarnya penyakit pada daerah yang luas

dan pada banyak penyakit yang menyebar tersebut. Epidemic adalah wabah yang terjadi

secara lebih cepat dari pada yang di duga.

1.2 Tujuan

Untuk memprediksi terjadinya wabah akibat kolera dan menentukan variable-variabel

yang dapat dikontrol untuk mengantisipasi penyebaran penyakit ini. Model matematika

adalah model yang menggunakan lambang‐lambang (simbol) matematika atau logika untuk

menyajikan perilaku objek yang akan diteliti. Model ini dapat dianggap sebagai usaha

abstraksi terhadap objek melalui cara analitik atau numerik dalam bentuk persamaan‐

persamaan matematika.

1.3 Manfaat

Bidang aplikasi : Bila telah diperoleh suatu penyelesaian maka hasil tersebut dapat

digunakan sebagai alat prediksi atau kontrol terhadap objek, yang dalam hal ini adalah

penyakit kolera.

Bidang matematika : kita bisa melihat bagaimana model matematika dapat digunakan

untuk menyelesaikan masalah dalam penyebaran kolera dalam masa epidemik.

1.4 Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah dalam pengerjaan literatur ini dapat diuraikan sebagai

berikut:

1. Bagaimana model matematika yang berkaitan dengan penyebaran penyakit dalam

kasus epidemic kolera dengan populasi konstan?

2. Berapa banyak infeksi baru yang dihasilkan jika satu infeksi dimasukkan ke

populasi yang sehat serta melihat perioda infeksi dari penyakit ini. ?

BAB II

LANDASAN TEORI

1.1 Bidang aplikasi biologi

1.1.1 Pengertian Penyakit Kolera

Perilaku dinamik dari sistem untuk menganalisis dinamika penyebaran penyakit

terdapat beberapa model matematika yang sering digunakan. Model-model tersebut memiliki

konsep yang sama yaitu compartmental epidemiologi (pembagian kelas) yang

menggambarkan penyebaran penyakit dari masing-masing kelas.

Jadi dalam suatu populasi akan terbagi menjadi beberapa kelas dimana masing-

masing kelas mewakili tahapan yang berbeda.kelas Susceptibel (S), yaitu populasi manusia

yang beresiko untuk terinfeksi penyakit kolera. Populasi yang suskeptibel ini menjadi tertular

jika mereka menjalin kontak dengan populasi manusia yang infektid. Kelas Infected (I), yaitu

populasi manusia yang telah terkena penyakit kolera dan mampu untuk menularkan penyakit

ini ke populasi lainnya.

Kolera dapat menyebar sebagai penyakit endemic, epidemic, atau pandemic. Bakteri

vibrio cholera berkembang biak dan menyebar melalui kotoran manusia. Bila kotoran yang

mengandung bakteri ini mengontaminasi air sungai dan sebagianya, orang lain yang

terkontak dengan air tersebut berisiko terkena penyakit kolera.

Pada suatu lingkungan masyarakat dimana penyakit kolera sedang mewabah, orang

yang sering melakukan interaksi dengan air yang tercemar bakteri vibrio cholerae, misalkan

dengan cara pengkonsumsian atau penggunaan untuk membersihkan bahan-bahan makanan,

mempunyai kemungkinan yang jauh lebih besar untuk tertular dibandingkan dengan orang

yang jarang atau tidak berinteraksi dengan sumber air yang tercemar bakteri vibrio cholera.

1.1.2 Cara penularan penyakit kolera

Kolera dapat menyebar sebagai penyakit yang endemik, epidemik, atau pandemik.

Meskipun sudah banyak penelitian berskala besar dilakukan, namun kondisi penyakit ini

tetap menjadi suatu tantangan bagi dunia kesehatan. Bakteri Vibrio cholerae berkembang

biak dan menyebar melalui feces (kotoran) manusia.

Bila kotoran yang mengandung bakteri ini mengkontaminasi air sungai dan

sebagainya, maka orang lain yang melakukan kontak dengan air tersebut beresiko terkena

penyakit kolera itu juga. Misalnya cuci tangan yang tidak bersih lalu makan, mencuci sayuran

atau makanan dengan air yang mengandung bakteri kolera, makan ikan yang hidup di air

terkontaminasi bakteri kolera, bahkan air tersebut (seperti di sungai) dijadikan air minum

oleh orang lain yang bermukim disekitarnya. Hal ini akan semakin meningkatkan resiko

terjadinya penyakit kolera.

Dalam situasi adanya wabah (epidemic), biasanya tinja orang yang telah terinfeksi

menjadi sumber kontaminasi. Penyakit ini dapat menyebar dengan cepat di tempat yang tidak

mempunyai penanganan pembuangan kotoran (sewage) dan pengolahan air minum yang

memadai. Pada saat wabah kolera (El Tor) skala besar terjadi di Amerika Latin pada tahun

1991, penularan yang cepat dari kolera terjadi melalui air yang tercemar karena sistem PAM

perkotaan yang tidak baik, air permukaan yang tercemar, serta sistem penyimpanan air di

rumah tangga yang kurang baik. Makanan dan minuman pada saat itu diolah dengan air yang

tercemar dan di jual oleh pedagang kaki lima, bahkan es dan air minum yang dikemaspun

juga tercemar oleh Vibrio cholerae. Biji-bijian yang dimasak dengan saus pada saat wabah itu

terbukti berperan sebagai media penularan kolera.

Vibrio cholerae yang dibawa oleh penjamah makanan dapat mencemari makanan,

yang apabila tidak disimpan dalam lemari es dalam suhu yang tepat dapat meningkatkan

jumlah kuman berlipat ganda dalam waktu 8-12 jam. Sayuran dan buah-buahan yang dicuci

dan dibasahi dengan air limbah yang tidak diolah, juga menjadi media penularan.

Bakteri kolera juga dapat hidup di lingkungan air payau dan perairan pesisir. Kerang-

kerangan (shellfish) yang dimakan mentah juga dapat menjadi sumber kolera. Seperti di

Amerika Serikat, kasus sporadis kolera timbul karena mengkonsumsi seafood mentah atau

setengah matang yang ditangkap dari perairan yang tidak tercemar. Sebagai contoh, kasus

kolera yang muncul di Louisiana dan Texas menyerang orang-orang yang mengkonsumsi

kerang yang diambil dari pantai dan muara sungai yang diketahui sebagai reservoir alami dari

Vibrio cholera (O1 serotipe Inaba), muara sungai yang tidak terkontaminasi oleh air limbah.

Biasanya penyakit kolera secara langsung tidak menular dari orang ke orang. Oleh karena itu,

kontak biasa dengan penderita tidak merupakan resiko penularan.

2.1 Bidang Matematika

2.2.1 Persamaan diferensial

Persamaan diferensial adalah sebuah persamaan yang memuat turunan satu atau lebih

variable terikat dengan satu atau lebih variable bebas.

Definisi 2.1: Persamaan diferensial adalah persamaan yang menyangkut satu atau

lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap satu atau lebih peubah

bebas (Pamuntjak dan Santosa,1990:1-11)

Definisi 2.2: Persamaan diferensial adalah persamaan yang menyangkut turunan

dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas (Ross,

1984: 3).

Definisi 2.3:Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu (atau

beberapa) fungsi yang tak diketahui (Finizio dkk, 1982: 1)

Menurut peubah bebas, persamaan diferensial dapat dibedakan menjadidua macam

yaitu persamaan diferensial biasa dan parsial sedangkan persamaan diferensial dilihat

dari bentuk fungsi atau pangkatnya juga dibedakan menjadi dua yaitu persamaan diferensial

linear dan persamaan diferensial non linear.

2.2.2 Persamaan diferensial biasa

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yangmenyangkut satu atau

lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap satu peubah bebas (Pamuntjak

dan Santosa,1990:1-12) Persamaan-persamaan yang memuat turunan biasa disebut

persamaan diferensial biasa.

Persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan difernsial yang mempunyai satu

variable bebas dan satu atau lebih variable terikat. Dengan beberapa asumsi, proses

pemodelan secara matematis penyebaran kolera dengan memperhatikan peran sumber air

dalam lingkungan masyarakat. Model tersebut berupa suatu persamaan diferensial nonlinier.

2.2.3 Persamaan diferensial non linear

Persamaan Diferensial Non Linear adalah persamaan diferensial yang bukan

persamaan diferensial linier (Pamuntjak dan Santosa,1990:1-15).Dengan demikian

persamaan diferensial F(x,y’,…,y(m))=0 adalah persamaan diferensial tak linear jika salah

satu dari berikut di penuhi oleh F:

a. F tidak berbentuk polinom dalam x,y’,…,y(m)

b. F tidak berbentuk polinom berpangkat lebih dari 2 dalam x,y’,…,y(m)

contoh:

1. yy’ + xy’’=0 persamaan diferensial tak linear karena F(x,y’,…,y(m))= yy’ +

xy’’ polinom berpangkat dua dalam y,y’,y”.

2. sin xy dydx

+ cos d ² ydxx ²

= 0 persamaan diferensial tak linear karena F tidak

berbentuk polinom

2.2.4 Sistem persamaan diferensial non linear

Sistem persamaan yang terdiri dari n buah persamaan diferensial tak linear dengan n

buah fungsi tak diketahui. Sistem ini disebut juga sistem tak linear. Bentuk umum

sistem persamaan diferensial non linear dapat di tulis sebagai berikut:

dxdt

=f (x , y)

dydt

=g(x , y )

f dan g mempunyai turunan parsial yang kontinu untuk semua (x,y), dengan:

dxdtdydt

=f (x , y)g (x , y )

, dydx

=f (x , y )g (x , y )

2.2.5 Laju berkaitan

Jika suatu kuantitas y adalah fungsi dari waktu t, laju perubahan y terhadap terhadap

waktu dinyatakan dalam bentuk dydt

. Bila dua atau lebih kuantitas, semua fungsi dari waktu t,

dihubungkan oleh satu persamaan, hubungan dari laju-laju perubahannya dapat ditentukan

dengan mendiferensiasikan kedua sisi dari persamaan

2.2.6 Penentuan titik tetap

Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa sebagaimana pada sistem

(3.1). Titik xdisebut titik tetap, jika f (x)=0. Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik

kesetimbangan. Untuk selanjutnya digunakan istilah titik tetap. (Tu 1994)

Contoh:

Suatu sistem persamaan diferensial berikut ini:

dwdt

=x+ay−(1+b ) z

dxdt

=ax+12

(a+b ) z

dydt

=(a+b ) y−2 d

Penyelesaian:

x + ay – (1+b)z=0

ax - 12

(a+b)y + c = 0

(a+b)y – 2d = 0

(a+b)y – 2d = 0

(a+b)y = 2d

y = 2d

(a+b)

ax - 12

(a+b)y + c = 0

ax = 12

(a+b)y - c

ax = 12

(a+b)2d

(a+b) – c

ax = d – c

x = d−c

a

x + ay – (1+b)z = 0

(1+b)z = x + ay

(1+b)z = d−c

a + a

2d(a+b)

(1+b)z = d−c

a +

2ad(a+b)

(1+b)z =(a+b ) ( d−c )+2a ² d

a(a+b)

z = (a+b ) ( d−c )+2 a ² d

a ( a+b )(1+b)

Maka, persamaan tersebut memiliki titik tetap { x , y , z } :

{x=d−c

a, y=

2 d(a+b)

, z=(a+b ) (d−c )+2 a ² d

a (a+b )(1+b) }

BAB III

PEMBAHASAN

Untuk membangun model matematika dari penyebaran penyakit kolera,

diberikan beberapa asumsi sebagai berikut :

1. Diasumsikan bahwa populasi manusia yang terdiri atas populasi S dan I

adalah konstan atau dengan kata lain total populasi N(t) = S(t)+I(t) konstan.

2. Diasumsikan bahwa laju kelahiran = laju kematian

3. Diasumsikan bahwa semua individu dalam komunitas tersebut menggunakan sumber

air yang sama (dalam hal ini menggunakan sungai) untuk melakukan berbagai

aktivitas mandi, cuci dan buang air besar.

4. Kontak terjadi akibat adanya pertemuan orang dengan orang disungai yang sama

dalam satu hari.

Kasus : Dari persamaan yang terbentuk pada Model Epidemik Kolera dengan populasi

konstan membentuk sistem persamaan diferensial non linier orde satu. Misalkan

diberikan parameter pada persamaan diferensial sebagai berikut:

a = 1

v = 0,5

c = 5

p = 0,6

N = 50

3.1 Pendefinisan Variabel

Kolera ditransmisikan melalui meminum air atau memakan makanan yang

terkontaminasi dengan bakteri kolera. Kolera outbreak dapat terjadi secara sporadis

diberbagai belahan dunia, dimana suplai air, sanitasi, dan higienitasnya tidak memadai.

Wilayah dengan jumlah penduduk yang sangat padat dan tingkat sanitasi yang sangat rendah

seringkali menjadi langganan “tempat persinggahan” bagi penyakit ini.

Keadaan wilayah di Indonesia dan didukung dengan pola hidup masyarakat

didaerahdaerah pinggiran yang kurang memperhatikan kesehatan lingkungan akan membuat

penyebaran penyakit ini berlangsung cepat. Karena selain air yang terkontaminasi oleh

bakteri V.Cholera, penyakit ini juga diperantarai oleh lalat. Jika lalat tersebut hinggap

ditempat yang ada feces orang yang terinfeksi kolera dan kemudian terbang kemakanan yang

tidak ditutup rapat, maka akan sangat mungkin sekali orang yang memakan makanan tersebut

akan terjangkit kolera, dengan gejala awalnya adalah menderita diare akut.

Setiap orang bisa terkena kolera, namun anak‐anak lebih banyak yang meninggal

akibat penyakit ini, karena mereka lebih cepat mengalami dehidrasi dibandingkan dengan

orang dewasa. Tanpa penanganan yang tepat, tingkat kematian akibat penyakit ini bisa

mencapai 50%. Sehingga apabila terjadi endemik kolera penanganan yang tepat dan akurat

dari pemerintah merupakan hal sangat penting dilakukan. Berikut ini adalah rute transmisi

dari penyakit kolera:

Gambar 1. Rute Transmisi Penyebaran Penyakit Kolera

Terlihat dalam bagan diatas, bahwa awal dari proses infeksi kolera berasal dari feces

yang mengandung V.Cholera, dan jika seseorang tidak memperhatikan dengan sungguh‐

sungguh kesehatan pribadinya, maka dia dapat terinfeksi kolera melalui tangan yang kotor,

ataupun makanan dan minuman yang secara tidak langsung telah mengandung V.Cholera.

Setelah memakan makanan yang terkontaminasi, makanan akan dicerna dilambung

kemudian masuk ke usus kecil. Didalam usus kecil, bakteri V.Cholera akan mengikatkan diri

dan tumbuh dengan subur dilingkungan alkalin didalam usus kecil.

FECES TANGAN

MAKANAN

LALAT AIR

TANAMAN MULUT

Gambar 2. Bakteri Vibrio Cholera

Setelah sukses berkoloni didalam usus kecil, dan berhasil mengatasi sistem

pertahanan tubuh host yang dimasukinya, bakteri ini mengeluarkan cholera toxin atau

choleragen dalam jumlah yang sangat besar, dan bertanggung jawab atas terjadinya diare.

Cholera toxin adalah zat yang berupa protein.

Infeksi oleh cholera toxin pada akhirnya akan menyebabkan keluarnya sodium klorida

dari dalam tubuh bersama‐sama dengan 10‐12 liter air setiap harinya. Sehingga tidaklah

mengherankan, orang yang terinfeksi oleh bakteri V.Cholera akan mengalami dehidrasi

bahkan bisa menyebabkan kematian.

Berikut ini akan dituliskan notasi-notasi yang digunakan dalam model ini :

No. Nama-Nama Variable Lambang

1. Jumlah populasi Susceptibel S

2. Jumlah populasi Infected I

3. Laju kelahiran/kematian manusia A

4. Laju kesembuhan populasi yang terinfeksi V

5.Rata-rata banyaknya pertemuan antara populasi

yang infected dengan yang Susceptibel perhari

C

6.Peluang sukses populasi yang suskeptibel

terinfeksi penyakit kolera

P

7. Jumlah total populasi manusia N

3.2 Formulasi Model Matematika

Dalam model matematika untuk penyakit kolera ini, diamati penyebaran penyakit

ini dalam suatu populasi manusia yang berukuran N. Dan dari fakta yang ada diperoleh hal ‐hal sebagai berikut :

1. Setiap bayi yang lahir akan lahir sehat, tidak terinfeksi oleh penyakit ini.

2. Proses menularnya penyakit dari orang yang infektive ke orang yang

suskeptibel terjadi akibat adanya pertemuan orang dengan orang disungai.

3. Setiap orang yang telah sembuh dari penyakit ini, akan tetap beresiko untuk

terinfeksi kembali apabila mereka berhubungan baik secara langsung ataupun tidak

langsung dengan orang yang masih mengidap kolera.

Dari asumsi yang telah diberikan, digambarkan dalam diagram model sebagai berikut:

aS aI

aN cp SIN

vI

Gambar 3. Digram kompartemen populasi manusia pada penyebaran penyakit kolera

Untuk memperoleh model matematikanya, terlebih dahulu akan ditelusuri dua langkah

yang diperlukan, diantaranya yaitu :

a. Memodelkan proses kontak dari penyakit

b. Menjelaskan peluang kontak antara populasi infektif dan suskeptibel yang pada

akhirnya akan melahirkan infeksi baru

Dari asumsi dan diagram populasi diatas, diketahui bahwa infeksi baru terjadi akibat

adanya kontak antara populasi yang susceptibel dan populasi yang infected. Dalam hal ini

kontak diartikan sebagai pertemuan antara orang dengan orang disungai yang telah

terkontaminasi dalam satu hari. Bila rata‐rata orang yang infektif bertemu dengan orang yang

susceptibel dalam satu hari adalah c, dan proporsi orang yang susceptibel dalam populasi

adalah S (t)N (t) , maka banyaknya kontak orang yang sakit dengan orang yang sehat dalam satu

hari adalah cI SN

Bila peluang sukses transmisi V.Cholera melalui orang yang terinfeksi keorang yang

sehat adalah p, maka banyaknya orang yang sehat terinfeksi kolera perhari adalah :

SUSCEPTIBEL (S) INFECTED (I)

pcI SN

(dalam hal ini diasumsikan peluang sukses akan terjadi setiap kali orang yang sehat

melakukan aktivitas MCK (mandi, cuci, kakus) disungai yang beberapa saat sebelumnya

telah digunakan oleh orang yang terinfeksi kolera).

Perubahan jumlah orang yang sehat dalam satu satuan waktu bertambah akibat adanya

jumlah kelahiran dalam populasi waktu t atau aN(t) dan jumlah orang yang telah sembuh dari

penyakit dan masih berpeluang untuk terinfeksi kembali atau vI (t) , dan berkurang akibat

adanya kematian alami orang yang sehat dalam waktu t atau aS(t) dan jumlah orang yang

sehat yang menjadi sakit dalam waktu t atau pcI(t) S (t)N (t)

.

Sehingga perubahan pada populasi suskeptibel adalah number added – number

lost, yaitu :

S (t+∆ t )−S ( t )=aN ( t )∆ t +vI ( t ) ∆ t−cpI (t ) S (t )N (t )

∆ t−aS (t )

atau

S (t +∆ t )−S (t)∆ t

=aN (t )−cpI ( t ) S (t )N (t )

−aS (t )+vI (t)

Jika ∆ t=∞,maka diperoleh

dSdt

=aN ( t )−cpI (t ) S ( t )N ( t )

−aS ( t )+vI (t )

Sedangkan perubahan jumlah orang yang sakit dalam satu satuan waktu bertambah

karena adanya jumlah orang yang sehat yang menjadi sakit dalam waktu t atau cpI ( t ) S (t )N (t )

dan berkurang karena jumlah orang yang telah sembuh dari penyakit dan masih berpeluang

untuk terinfeksi kembali atau vI (t) , kematian alami orang yang sakit dalam waktu t atau aI

(t) . Sehingga perubahan pada populasi infektid adalah number added – number lost, yaitu

I ( t +∆ t )−I ( t )=cpI ( t ) S ( t )N (t )

∆ t−aI (t )−vI (t )∆ t

Jika ∆ t=∞, maka diperoleh

dIdt

=cpI (t ) S ( t )N ( t )

−aI (t )+vI ( t)

3.3 Penyelesaian

Dari uraian diatas, maka model transmisi penyakit kolera adalah sebagai berikut :

dSdt

=aN ( t )−cpI (t ) S (t )N ( t )

−aS ( t )+vI (t ) (1)

dIdt

=cpI (t ) S ( t )N (t )

−aI (t )+vI ( t) (2)

Penyelesaian kasus:

dSdt

=0

2.50−5.0,6 . IS

50−2 S+0,5 I = 0

100−0,06 IS−2 S+0,5 I =0

−0,06 IS−2 S+0,5 I=−100(1)

dIdt

=0

0,06 IS−2 I−0,5 I=0

0,06 IS−2,5 I=0 (2)

0,06 IS=2,5 I

S= 2,50,06

S=41,67

−0,06 ( 41,67 )−2 ( 41,67 )+0,5 I=−100

−2,5002 I−83,34+0,5 I=−100

−2,002 I=−16,66

I=8,32

Jadi nilai (S,I) = (41,67 ,8,32)

3.3.1 Penentuan Titik Tetap

Selanjutnya akan dibahas tentang analisa titik tetap dan menghitung basic

reproduction number dari penyebaran penyakit kolera.

Titik tetap diperoleh dengan cara membuat persamaan (1) dan (2) bernilai nol. Pada saat titik

tetap diraih maka laju pertumbuhan dari tiap persamaan akan tetap dengan kata lain tidak

terdapat perubahan

jumlah populasi lagi (keadaan setimbang). Notasi yang akan digunakan untuk titik tetap dari

tiap persamaan adalah S* dan I*. Sebagai langkah awal, tetapkan persamaan (1) bernilai nol,

sedemikian sehingga :

dSdt

=0

aN−cpISN

−aS+vI ( t )=0(3)

Dan

dIdt

=0

cpISN

−aI+vI=0 (4 )

cpS−((a+v ) N ) I=0

→ I*=0

substitusikan nilai yang kita dapatkan ini kedalam persamaan (3), maka : aN = aS

atau

S * = N

Diperoleh salah satu titik tetap yaitu T1(S1*, I1

*) = (N,0). Titik tetap ini merupakan titik

tetap non endemik yang menyatakan bahwa dalam keadaan setimbang pada saat belum ada

infeksi maka jumlah populasi suskeptibel sama dengan total populasi tersebut. Dengan cara

yang sama, didapatkan titik tetap endemiknya adalah :

S *= a+vcp

N

Dan nilai I pada saat setimbang, yaitu :

I*=cp−a−v

cpN

Sehingga system dinamik (1) dan (2) mempunyai dua titik tetap, yaitu :

T1=(N,0)

T2= a+vcp

N , cp−a−v

cpN

Dengan titik tetap endemic T2 ada jika parameter

cpa+v

>1

Untuk penentuan nilai titik tetap dari kasus untuk :

S *= a+vcp

N

S *= 2+0,55.0,6

50

=2.53

50

=0,833.50

= 41.67

I*= cp−a−v

cpN

= 5.0,6−2−0.5

5.0,650

= 3−2−0,5

350

= 0,167.50

= 8,32

Sehingga system dinamik (1) dan (2) mempunyai dua titik tetap yaitu :

T1 =(50, 0)

T2=(41,67 ; 8,32)

3.3.2 Analisa titik tetap

Titik tetap yang sudah didapatkan diatas perlu diuji kestabilannya, apakah titik tetap

tersebut bersifat stabil atau tidak. Dari model yang ada diatas, dapat disederhanakan kedalam

bentuk model 1 dimensi dengan asumsi bahwa N(t)=S(t)+I(t) konstan. Sehingga sistem

dinamik tersebut dapat disederhanakan dengan mengeleminir variabel S(t)=N(t)- I(t).Dan

didapatkan

I1*= 0

I2*=

cp−a−vcp

N

sifat kestabilannya dapat dilihat digaris I(t) yang menyatakan populasi infektif dalam waktu t,

yaitu :

cp−a−vcp

N

Gambar 4. Sifat Dinamik Titik Tetap Populasi Infected

Terlihat bahwa titik tetap non endemik T1 tidak stabil, dan titik tetap endemik T2

stabil, dengan semua nilai-nilai yang berada disekitar I2*=

cp−a−vcp

N akan bergerak menuju

titik tetap tersebut.

Pada gambar 5 diatas, dapat dilihat plot grafik dari total populasi yang sehat dan yang

terinfeksi kolera disuatu wilayah yang terjangkit kolera. Terlihat bahwa dalam waktu kurang

dari 100 hari, kurang lebih 12% penduduk diwilayah tersebut akan terinfeksi kolera.

3.3.3 Basic Reproductive Number (R0)

Basic reproduction number adalah banyaknya infeksi (kasus) baru yang dihasilkan

akibat adanya satu penderita yang masuk kedalam populasi yang sehat. Pada saat endemik,

persamaan dIdt

>0 atau dengan kata lain cpISN

−(a+v ) I >0→ cpSN

>a+v asumsikan pada

saat t=0, maka S=N sehingga R0=cp

a+v

Dengan R0 = banyaknya kontak x peluang sukses kontak x periode waktu infeksi.

Setelah mensubstitusikan nilai parameter yang ada, didapatkan basic reproduction

number untuk penyakit kolera adalah : R0 = 12-14 kasus baru akibat adanya satu penderita

yang berinteraksi dengan populasi yang sehat. Nilai basic reproductive number (R0) yang

diperoleh dapat digunakan sebagai ukuran untuk mengukur terjadinya endemi. Pada model

ini, didapatkan R0 > 1 yang artinya infeksi akan menuju tak hingga. Dan dari R0 = cp

a+v

kita dapat mengontrol tingkat kesembuhan (v) dengan melakukan vaksinasi terhadap

penduduk agar jumlah kasus kolera dapat ditekan.

3.4 Evaluasi

3.4.1 Interprestasi Model Kolera dengan Populasi Konstan

Dari pembahasan model yang ada, diperoleh hasil‐hasil sebagai berikut :

1. Setiap ada satu penderita aktif yang mengidap kolera masuk kedalam suatu

populasi sehat, maka dapat dipastikan sebagian besar populasi yang sehat

lainnya akan terinfeksi oleh penyakit kolera. Hal ini akan sangat didukung sekali

jika masyarakat yang ada didalam komunitas tersebut tidak memperhatikan

higienitasnya.

2. Akan muncul 12‐14 kasus baru setiap harinya selama masa endemik. Terjadi

endemik kolera diwilayah yang terjangkit kolera dengan peluang sukses

3. Seseorang terinfeksi kolera adalah 25% jika seseorang bertemu dengan orang yang

telah terinfeksi kolera.

3.4.2 Cek jenis model

Kegunaan :Deskriptif karena model tersebut menjelaskan /

memprediksi bagaimana cara penyebaran kolera dalam masa epidemic.

Informasi data : Stokhastik

Besaran kuantitatif : Diskrit

Penyelesaian :Analitik karena penyelesaiannya menggunakan

persamaan differensial dalam matematika

BAB IVPENUTUP

4.1 Kesimpulan

Terlihat bahwa salah satu faktor pengendali penyakit kolera adalah dengan

memberikan vaksinasi bagi penderitanya. Hal ini terlihat ketika dibahas tentang basic

reproductive number. Dalam model matematika dalam kasus penyebaran penyakit kolera

diperoleh hasil, bahwa matematika dapat digunakan untuk memprediksi terjadinya

wabah akibat kolera dan menentukan variabel‐variabel yang dapat dikontrol untuk

mengantisipasi penyebaran penyakit ini.

Namun dalam model yang dibahas dalam paper ini belum melibatkan faktor

treatment penyakit kolera. Mungkin akan lebih baik untuk pembahasan selanjutnya kita

melibatkan faktor tersebut dan melihat sifat‐sifat dinamiknya.

4.2 Saran

Jika merujuk kedalam kasusu nyata, model diatas belum terbentuk sesuai dengan

kenyataan, karena belum memperhitungkan kasus adanya kematian akibat penyakit kolera

sehingga kurang realistic. Namun model diatas dibangun untuk mempermudah pemahaman

tentang konsep dasar system dinamik penyakit kolera

DAFTAR PUSTAKA

Ayres, Frank dan Elliot Mendelson. 2004. Schaum’s Outlines Kalkulus Edisi Keempat.

Jakarta: Erlangga.

Bronson, Richard dan Gabriel Costa. 2007. Schaum’s Outlines Persamaan Diferensial Edisi

Ketiga. Jakarta: Erlangga.

Sriyono. 2009. Matematika Ekonomi & Keuangan. Yogyakarta: CV Andi Offset.

Ross, Shepley L. 1989. Introduction To Ordinary Differensial Equations. New York: John

Wiley and Sons.

Verberg, dkk. 2003. Kalkulus Edisi Delapan. Jakarta: Erlangga.

Yohana dan Yovita. 2006. Terapy Herbal Penyakit. Jakarta: Eska Media.

http://lontar.ui.ac.id/opac/themes/libri2/detail.jsp?id=20180268&lokasi=lokal, 31 oktober

2013

digilib.its.ac.id/public/ITS-Research-11674-131124884-Preface.pdf

http://eprints.uny.ac.id/7102/. 15 oktober 2013

http://www.google.com/url?

sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&ved=0CC8QFjAB&url=http%3A

%2F%2Fmatematika.studentjournal.ub.ac.id%2Findex.php%2Fmatematika%2Farticle

%2Fdownload

%2F27%2F27&ei=bjFzUpCbKoSJrQfEg4GADg&usg=AFQjCNGLVJQBTBeahQw8kgnrC

difB7THKg, 22 oktober 2013

http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3&cad=rja&ved=0CDkQFjAC&url=http%3A%2F%2Fejournal.unsrat.ac.id%2Findex.php%2FJIS%2Farticle%2Fdownload%2F1802%2F1414&ei=bjFzUpCbKoSJrQfEg4GADg&usg=AFQjCNEGCYHCnTTDXqjyTZs3zfxS7UpyFA, 20 oktober 2013