MODEL CAMPURAN LINEAR

Bab 6 Linear Mixed Models (6.1-6.5)

Outline

Model umum

Struktur Ragam Peragam

Model Campuran untuk data longitudinal

Menduga pegaruh tetap untuk Ragam (V) diketahui

Menduga pegaruh tetap untuk Ragam (V) tidak diketahui

Prediksi pegaruh acak untuk Ragam (V) diketahui

Model umum

𝒚 = 𝑿𝜷 + 𝒁𝒖 + 𝒆

𝒚 adalah vektor amatan berukuran nx1

𝜷 adalah vektor pengruh tetap berukuran px1

u adalah vektor pengaruh acak berukuran rx1

𝒆 adalah vektor komponen sisaan berukuran nx1

𝑿 adalah matriks rancangan pengaruh tetap berukuran nxp

𝒁 adalah matriks rancangan pengaruh acak berukuran nxr

𝒚|𝒖 diasumsikan mengikuti sebaran tertentu dengan 𝐸 𝒚|𝒖 = 𝑿𝜷 + 𝒁𝒖 dan 𝑉𝑎𝑟 𝒚 𝒖 = 𝑹

Untuk mendapatkan momen pertama dan kedua dari y, dibutuhkan pengaruh acak u

Nilai harapan dari u diasumsikan sama dengan 0 dengan ragam D, sehingga diperoleh 𝐸 𝒚 = 𝑿𝜷 dan 𝑉𝑎𝑟 𝒚 = 𝑽 = 𝒁𝑫𝒁′ + 𝑹

Struktur Ragam Peragam

Misalkan data skor ujian matematika level 9 dari empat kelas pada 15 sekolah di New York City.

Data dibedakan berdasarkan jenis kelamin.

Tiga sumber keragaman yaitu : antar sekolah,

antar kelas pada setiap sekolah

antar siswa pada setiap kelas

Misalkan 𝑦𝑡𝑖𝑗𝑘 adalah skor ujian siswa ke –k ( dari jenis kelamin ke-t) dalam kelas-j dari sekolah ke-i, maka persamaan model dapat dituliskan :

𝐸 𝑦𝑡𝑖𝑗𝑘|𝑠𝑖 , 𝑐𝑖𝑗 = 𝛽𝑡 + 𝑠𝑖 + 𝑐𝑖𝑗

𝛽𝑡 adalah pengaruh tetap dari jenis kelamin ke-t (t= 1,2)

𝑠𝑖 adalah pengaruh acak dari sekolah ke-i (𝑖 = 1, … , 15)

𝑐𝑖𝑗 adalah pengaruh acak dari kelas ke-j (𝑗 = 1, 2,3,4) untuk setiap sekolah ke-i

Indeks 𝑘 = 1,… , 10

𝐸 𝑦𝑡𝑖𝑗𝑘|𝑠𝑖 , 𝑐𝑖𝑗 = 𝛽𝑡 + 𝑠𝑖 + 𝑐𝑖𝑗

𝐸 𝒚|𝒖 = 𝑿𝜷 + 𝒁𝒖

𝜷 =𝛽𝒎𝛽𝒇

, 𝒖 =𝒖𝟏𝒖𝟐

={𝑐𝑠𝑖}𝑖=1

15

{𝑐{𝑐𝑐𝑖𝑗}𝑗=14 }𝑖=1

15 , 𝒁 = 𝒁𝟏 𝒁𝟐 sehingga 𝒁𝒖 = 𝒁𝟏𝒖𝟏 + 𝒁𝟐𝒖𝟐

𝐸 𝒚 𝒖 = 𝑿𝜷 + 𝒁𝟏𝒖𝟏 + 𝒁𝟐𝒖𝟐

𝑽 = 𝒁𝟏𝑫𝟏𝒁𝟏′ + 𝒁𝟐𝑫𝟐𝒁𝟐

′ + 𝒁𝟏𝑫𝟏𝟐𝒁𝟐′ + 𝒁𝟐𝑫𝟐𝟏𝒁𝟏

′ + 𝑹

𝑫 = 𝑣𝑎𝑟 𝒖 =𝑣𝑎𝑟(𝒖1) 𝑐𝑜𝑣(𝒖𝟏, 𝒖𝟐

′ )

𝑐𝑜𝑣(𝒖𝟐, 𝒖𝟏′ ) 𝑣𝑎𝑟(𝒖2)

=𝑫𝟏 𝑫𝟏𝟐

𝑫𝟐𝟏 𝑫𝟐

𝑫𝟏 adalah matriks ragam pengaruh acak dari sekolah, 𝑫𝟐 adalah matriks ragam pengaruh acak dari antar kelas pada setiap sekolah, dan 𝑫𝟏𝟐 = 𝑫𝟐𝟏 adalah mariks peragam antar sekolah dan kelas. R didefenisikan sebagai 𝑉𝑎𝑟 𝒚 𝒖 , yaitu ragam-peragam dari komponen 𝑝𝑡𝑖𝑗𝑘 (pengaruh acak dari galat).

Struktur Ragam Peragam

𝑦1,1,1,1⋮

𝑦2,15,4,10=

1⋮0

0⋮1

𝛽𝑚𝛽𝑓

+ 𝒁1 𝒁2𝒖𝟏𝒖𝟐

𝒚1200𝑥1 𝑿1200𝑥2 𝜷2𝑥1 𝒁1200𝑥15 𝒁1200𝑥60

𝒖75𝑥1

𝒖1

𝒖2

15 x 1

60 x 1

𝑫 = 𝑣𝑎𝑟 𝒖 =𝑫𝟏 𝑫𝟏𝟐

𝑫𝟐𝟏 𝑫𝟐

𝑫75𝑥75

𝑫1

𝑫2

𝑫12

𝑫21

15 x 15

60 x 60

15 x 60

60 x 15

𝑦𝑡𝑖𝑗𝑘

Bentuk umum dari 𝐸 𝒚 𝒖 dan 𝑽 jika terdapat r faktor pengaruh acak

𝐸 𝒚 𝒖 = 𝑿𝜷 + 𝑖=1𝑟 𝒁𝒊𝒖𝒊

𝑽 =

𝒊=𝟏

𝒓

𝒁𝒊𝑫𝒊𝒊𝒁𝒊′ +

𝒊=𝟏

𝒓

𝒊′=𝟏

𝒓

𝒁𝒊𝑫𝒊𝒊′𝒁𝒊′′ + 𝑹

𝒁 = 𝒁𝟏 𝒁𝟐 … 𝒁𝒓 = {𝑟𝒁𝒊}𝑖=1𝑟

𝒖 = {𝑐𝒖𝒊}𝑖=1𝑟 dan 𝑫 = 𝑣𝑎𝑟 𝒖 = {𝑚𝑫𝒊𝒊′}𝑖,𝑖′=1

𝑟

dimana 𝑫𝒊𝒊 = 𝑣𝑎𝑟 𝒖𝒊 dan 𝑫𝒊𝒊′ = 𝑐𝑜𝑣 𝒖𝒊, 𝒖𝒊′′

Jika antar faktor acak diasumsikan saling bebas sehingga 𝑫𝒊𝒊′ = 𝟎 maka

𝑫 = {𝑑𝑫𝒊}𝑖=1𝑟 dan 𝑽 = 𝒊=𝟏

𝒓 𝒁𝒊𝑫𝒊𝒁𝒊′ + 𝑹

Jika pada contoh kasus diasumsikan antar sekolah saling bebas, dan ragam dari sekolah homogen maka dapat dituliskan sebagai 𝑫𝟏 = 𝜎𝑠

2𝐈15

Jika diasumsikan juga antar kelas pada setiap sekolah saling bebas maka ragam dari pengaruh interaksi dapat dituliskan 𝑫𝟐 = {𝑑𝜎𝑖

2𝐈4}𝑖=115 = 𝜎𝑐

2𝐈60

𝑉𝑎𝑟 𝒚 𝒖 = 𝑹 = 𝜎2𝐈1200

𝑫 = 𝑣𝑎𝑟 𝒖 =𝑫𝟏 𝟎𝟎 𝑫𝟐

=𝜎𝑠2𝐈15 𝟎

𝟎 {𝑑𝜎𝑖2𝐈4}𝑖=1

15 =𝜎𝑠2𝐈15 𝟎

𝟎 𝜎𝑐2𝐈60

𝑽 = 𝒁𝟏𝒁𝟏′ 𝝈𝒔

𝟐 + 𝒁𝟐𝒁𝟐′ 𝝈𝒄

𝟐 + 𝜎2𝐈1200

Sehingga secara umum jika terdapat r faktor acak saling bebas, antar individu dalam

faktor acak tersebut juga bebas , dan memiliki ragam homogen, maka dapat

dituliskan

𝑫 = {𝑑𝜎𝑖2𝐈𝑞𝑖}𝑖=1

r dan 𝑽 = 𝒊=𝟏𝒓 𝒁𝒊𝒁𝒊

′𝜎𝒊𝟐 + 𝜎2𝐈N

Perubahan penulisan notasi

Perubahan penulisan notasi yang disarankan oleh Hartley dan Rao (1967) dengan mendefenisikan ulang matriks D.

Hal ini dilakukan dengan mendefenisikan terlebih dahulu 𝜎02 ≡

𝜎2, 𝒁0 ≡ 𝐈𝑁 𝑑𝑎𝑛 𝑞0 ≡ 𝑁,

𝑫∗ =𝜎02𝐈𝑞0 𝟎

𝟎 𝑫= {𝑑𝜎𝑖

2𝐈𝑞𝑖}𝑖=0r dan 𝑽 = 𝒊=𝟎

𝒓 𝒁𝒊𝒁𝒊′𝜎𝒊

𝟐

Atau V dapat juga dituliskan sebagai 𝑽 = 𝒁∗𝑫∗𝒁∗′

𝒁∗ = 𝒁𝟎 𝒁𝟏 𝒁𝟐 … 𝒁𝒓 = 𝒁𝟎 𝒁

Model Campuran untuk data longitudinal

Laird dan Ware (1982) untuk kasus dengan data longitudinal sebagai berikut :

𝐸 𝒚𝒊 𝒖𝒊 = 𝑿𝒊𝜷 + 𝒁𝒊𝒖𝒊

Jika 𝒚𝑖 adalah vektor dari 𝒏𝑖 pengukuran pada pasien ke-i,

𝜷 dan 𝒖𝒊 adalah vektor dari pengaruh tetap dan acak

Nilai koefisien 𝜷 akan sama untuk setiap pasien, sedangkan 𝒖𝒊 akan berbeda

Misalkan ada m pasien, maka𝒚 = {𝑐𝒚𝑖}, 𝑿 = {𝑐𝑿𝑖}, 𝒁 = {𝑑𝒁𝑖}, 𝑑𝑎𝑛 𝒖 = {𝑐𝒖𝑖},

{𝑐𝐸 𝒚𝒊 𝒖𝒊 }𝑖=1𝑚 = 𝐸 𝒚 𝒖 = 𝑿𝜷 + 𝒁𝒖

Sehingga struktur ragam yang diajukan oleh Laird dan Ware (1982)

𝑽 = 𝒁𝑫𝒁′ + 𝑹, dengan 𝑫𝒊𝒊 = 𝑫 ∀𝒊, 𝑫𝒊𝒊′ = 𝟎 ∀𝒊≠𝒊′ dan 𝑹 = {𝑑𝑹𝑖},

𝑽 = 𝑣𝑎𝑟(𝒚) = {𝑑𝒁𝒊𝑫𝒁𝒊′ + 𝑹𝒊} More detail in section 7

Menduga pegaruh tetap untuk Ragam (V) diketahui

Menduga pengaruh tetap untuk ragam (V )diketahui, dilakukan dengan menggunakan pendekatan maksimum likelihood.

Misalkan 𝒚~𝑁(𝑿𝜷,𝑽) , persamaam log likelihood untuk y,

𝒍 = −1

2(𝒚 − 𝝁)′𝑽−1 𝒚 − 𝝁 −

1

2log 𝑽 −

𝑁

2log 2𝜋

dimana 𝝁 = 𝝁 𝜽 dan 𝑽 = 𝑽(𝝋)

𝜕𝒍

𝜕𝜽=

𝜕𝝁′

𝜕𝜽𝑽−1 𝒚 − 𝝁 = 𝟎

Penduga bagi 𝜷 (dilambangkan dengan 𝜷𝟎)

𝑿′𝑽−𝟏 𝒚 − 𝑿𝜷𝟎 = 𝟎

𝑿′𝑽−𝟏𝒚 − 𝑿′𝑽−𝟏𝑿𝜷𝟎 = 𝟎

𝜷𝟎 = (𝑿′𝑽−𝟏𝑿)−𝑿′𝑽−𝟏𝒚

Menduga pegaruh tetap untuk Ragam (V) diketahui

Penduga maksimum likelihood bagi 𝑿𝜷

𝑀𝐿 𝑿𝜷 = 𝑿𝜷𝟎 = 𝑿(𝑿′𝑽−𝟏𝑿)−𝑿′𝑽−𝟏𝒚

dengan 𝑉𝑎𝑟 𝒚 = 𝑽, maka

𝑉𝑎𝑟 𝑿𝜷𝟎 = 𝑉𝑎𝑟(𝑿 𝑿′𝑽−𝟏𝑿)−𝑿′𝑽−𝟏𝒚

= 𝑿(𝑿′𝑽−𝟏𝑿)−𝑿′𝑽−𝟏𝑉𝑎𝑟(𝒚)𝑽−𝟏′𝑿(𝑿′𝑽−𝟏𝑿)−

′𝑿′

= 𝑿(𝑿′𝑽−𝟏𝑿)−𝑿′𝑽−𝟏𝑽𝑽−𝟏′𝑿(𝑿′𝑽−𝟏𝑿)−

′𝑿′

= 𝑿(𝑿′𝑽−𝟏𝑿)−𝑿′𝑽−𝟏𝑿(𝑿′𝑽−𝟏𝑿)−′𝑿′

Karena (𝑿′𝑽−𝟏𝑿)−′adalah kebalikan umum dari (𝑿′𝑽−𝟏𝑿), sehingga

𝑉𝑎𝑟 𝑿𝜷𝟎 = 𝑿(𝑿′𝑽−𝟏𝑿)−𝑿′

Menduga pegaruh tetap untuk Ragam (V) tidak diketahui--Estimation

Penduga bagi 𝜷 (dilambangkan dengan 𝜷) diperoleh dengan cara yang sama seperti pada menduga pengaruh tetap untuk ragam (V ) diketahui

Penduga ML bagi 𝑿𝜷 𝑀𝐿 𝑿𝜷 = 𝑿 𝜷 = 𝑿(𝑿′ 𝑽−𝟏𝑿)−𝑿′ 𝑽−𝟏𝒚

Penduga ML bagi 𝑽 dengan turunan pertama persamaan log likelihood 𝝏𝒍

𝝏𝝋𝒌= 𝟎 dan 𝑽 = 𝑽(𝝋)

𝜕𝒍

𝜕𝝋𝒌= −

1

2𝑡𝑟 𝑽−1

𝜕𝑽

𝜕𝝋𝑘− (𝒚 − 𝝁)′𝑽−1

𝜕𝑽

𝜕𝝋𝑘𝑽−1(𝒚 − 𝝁)

dan untuk 𝜎2 digunakan 𝜕𝑽 𝜕𝝋𝑘 =𝜕𝑽 𝜕𝜎𝑖2 = 𝜕( 𝒋𝒁𝒋𝒁𝒋

′𝜎𝒊𝟐 𝜕𝜎𝑖

2 = 𝒁𝒊𝒁𝒊′ sehingga persamaan diatas dapat

dituliskan sebagai berikut :𝜕𝒍

𝜕𝜎𝑖2 = −

1

2𝑡𝑟 𝑽−1𝒁𝒊𝒁𝒊

′ −1

2(𝒚 − 𝑿𝜷)′𝑽−1𝒁𝒊𝒁𝒊

′𝑽−1(𝒚 − 𝑿𝜷)

dengan menyelesaikan setiap persamaan diatas untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑟 dan mengganti 𝜷 dengan 𝜷, 𝑽digantikan dengan 𝑽 maka akan diperoleh :

𝑡𝑟 𝑽−1𝒁𝒊𝒁𝒊′ = (𝒚 − 𝑿 𝜷)′ 𝑽−1𝒁𝒊𝒁𝒊

′ 𝑽−1(𝒚 − 𝑿 𝜷) Newton Raphson dan Fisher Scoring

Menduga pegaruh tetap untuk Ragam (V) tidak diketahui--Sampling Variance

Penduga ragam bagi 𝑿 𝜷, akan didekati dengan kasus sederhana misalkan ada 𝓵′ 𝜷untuk menduga 𝓵′𝜷(𝓵′ = 𝒕′𝑿 )

Kackar dan Harville (1984) mengatakan 𝓵′ 𝜷 − 𝓵′𝜷 dapat dituliskan sebagai penjumlahan dua bagian yang saling bebas, 𝓵′ 𝜷 − 𝓵′𝜷𝟎 dan 𝓵′𝜷𝟎 − 𝓵′𝜷

𝓵′ 𝜷 − 𝓵′𝜷 = 𝓵′𝜷𝟎 − 𝓵′𝜷 + 𝓵′𝜷𝟎 − 𝓵′𝜷

Menduga pegaruh tetap untuk Ragam (V) tidak diketahui--Sampling Variance

Sehingga untuk menghitung 𝑣𝑎𝑟(𝓵′ 𝜷) dapat dituliskan sebagai berikut :

𝑣𝑎𝑟 𝓵′ 𝜷 = 𝑣𝑎𝑟 𝓵′𝜷𝟎 − 𝓵′𝜷 + 𝑣𝑎𝑟 𝓵′ 𝜷 − 𝓵′𝜷𝟎

= 𝓵′ 𝑿′𝑽−𝟏𝑿 𝓵 + 𝓵′𝑻𝓵

𝓵′𝑻𝓵 = 𝓵′ 𝑿′𝑽−𝟏𝑿−×

𝒊=𝟎

𝒓

𝒋=𝟎

𝒓

𝒄𝒊𝒋 𝑮𝒊𝒋 − 𝑭𝒊(𝑿′𝑽−𝟏𝑿)−𝑭𝒋 (𝑿′𝑽−𝟏𝑿)−𝓵

𝑐𝑖𝑗 adalah elemen matriks asimtotik ragam peragam, 𝑪 = {𝑚𝑐𝑖𝑗}𝑖=0,𝑗=0𝑟 𝑟 = {𝑚𝑐𝑜𝑣∞( 𝜎𝑖

2, 𝜎𝑗2)}𝑖=0,𝑗=0

𝑟 𝑟

𝑮𝒊𝒋 = 𝑿′𝑽−𝟏𝒁𝒊𝒁𝒊′𝑽−𝟏𝒁𝒋𝒁𝒋

′𝑽−𝟏𝑿 , 𝑭𝒊 = −𝑿′𝑽−𝟏𝒁𝒊𝒁𝒊′𝑽−𝟏𝑿, 𝒉′ = 𝓵′ 𝑿′𝑽−𝟏𝑿

−𝑿′𝑽−𝟏

sehingga 𝓵′𝑻𝓵 = 𝒊=𝟎𝒓 𝒋=𝟎

𝒓 𝒄𝒊𝒋 𝒉′ 𝒁𝒊𝒁𝒊

′𝑷𝒁𝒋𝒁𝒋′𝒉 = 𝒕𝒓 𝑪{𝒎𝒉

′𝒁𝒊𝒁𝒊′𝑷𝒁𝒋𝒁𝒋

′𝒉}𝒊,𝒋=𝟎𝒓

𝑣𝑎𝑟 𝓵′ 𝜷 = 𝓵′ 𝑿′𝑽−𝟏𝑿 𝓵 + 𝒕𝒓 𝑪{𝒎𝒉′𝒁𝒊𝒁𝒊

′𝑷𝒁𝒋𝒁𝒋′𝒉}𝒊,𝒋=𝟎

𝒓

Kenward dan Roger (1997) mengatakan bahwa 𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏𝑿 𝓵 adalah bias dari 𝓵′ 𝑿′𝑽−𝟏𝑿 𝓵

Untuk menginvestigasi bias, dimulai dengan two-term Taylor series expansion

𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏𝑿 𝓵 = 𝓵′ 𝑿′𝑽−𝟏𝑿−+ ( 𝜎2 − 𝜎2)′

𝜕 𝑿′𝑽−𝟏𝑿−

𝜕𝜎2+1

2

𝑖=0

𝑟

𝑗=0

𝑟

( 𝜎𝑖2 − 𝜎𝑖

2) ( 𝜎𝑗2 − 𝜎𝑗

2)𝜕2 𝑿′𝑽−𝟏𝑿

−

𝜕𝜎𝑖2𝜕𝜎𝑗

2 𝓵

𝑬 𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏𝑿 𝓵 = 𝓵′ 𝑿′𝑽−𝟏𝑿−𝓵 +

1

2

𝑖=0

𝑟

𝑗=0

𝑟

𝑐𝑜𝑣( 𝜎𝑖2, 𝜎𝑗

2)𝓵′𝜕2 𝑿′𝑽−𝟏𝑿

−

𝜕𝜎𝑖2𝜕𝜎𝑗

2 𝓵

𝜕2 𝑿′𝑽−𝟏𝑿−

𝜕𝜎𝑖2𝜕𝜎𝑗

2 = − 𝑿′𝑽−𝟏𝑿−𝑿′𝑽−𝟏(𝒁𝒊𝒁𝒊

′𝑷𝒁𝒋𝒁𝒋′ + 𝒁𝒋𝒁𝒋

′𝑷𝒁𝒊𝒁𝒊′) × 𝑽−𝟏𝑿 𝑿′𝑽−𝟏𝑿

−

Menduga pegaruh tetap untuk Ragam (V) tidak diketahui—Bias in the Variance

Menduga pegaruh tetap untuk Ragam (V) tidak diketahui—Bias in the Variance

𝑬 𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏𝑿 𝓵 − 𝓵′ 𝑿′𝑽−𝟏𝑿−𝓵 = −

1

2

𝑖=0

𝑟

𝑗=0

𝑟

𝑐𝑖𝑗 𝓵′ 𝑿′𝑽−𝟏𝑿

−𝑿′𝑽−𝟏

× (𝒁𝒊𝒁𝒊′𝑷𝒁𝒋𝒁𝒋

′ + 𝒁𝒋𝒁𝒋′𝑷𝒁𝒊𝒁𝒊

′)𝑽−𝟏𝑿 𝑿′𝑽−𝟏𝑿−𝓵

= −

𝑖=0

𝑟

𝑗=0

𝑟

𝑐𝑖𝑗𝒉′ 𝒁𝒊𝒁𝒊

′𝑷𝒁𝒋𝒁𝒋′𝒉 = − 𝓵′𝑻𝓵 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝒉′ = 𝓵′ 𝑿′𝑽−𝟏𝑿

−𝑿′𝑽−𝟏

Sehingga𝑬 𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏𝑿 𝓵 = 𝓵′ 𝑿′𝑽−𝟏𝑿 𝓵 − 𝓵′𝑻𝓵

Menduga pegaruh tetap untuk Ragam (V) tidak diketahui—Bias in the Variance

Pada dasarnya yang ingin diduga adalah

𝑣𝑎𝑟 𝓵′ 𝜷 = 𝓵′ 𝑿′𝑽−𝟏𝑿 𝓵 + 𝓵′𝑻𝓵

dan dari penurunan sebelumnya diperoleh 𝑬 𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏𝑿 𝓵 = 𝓵′ 𝑿′𝑽−𝟏𝑿 𝓵 − 𝓵′𝑻𝓵

sehingga pendekatan untuk penduga takbias bagi 𝑣𝑎𝑟 𝓵′ 𝜷 berdasarkan 𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏𝑿 𝓵yang di-adjusted adalah :

𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏𝑿 𝓵𝑎𝑑𝑗𝑢𝑠𝑡𝑒𝑑

= 𝓵′ 𝑿′ 𝑽−𝟏𝑿 )−𝓵 + 𝟐𝓵′𝑻𝓵

Prediksi pegaruh acak untuk Ragam (V) diketahui

Misalkan 𝒚~(𝑿𝜷, 𝑽) untuk 𝑽 = 𝒁𝑫𝒁′ + 𝑹, diasumsikan 𝒚 dan 𝒖 mengikuti sebaran bersama normal dengan nilai harapan bersyarat :

𝐸 𝒖 𝒚 = 𝑫𝒁′𝑽−𝟏(𝒚 − 𝑿𝜷)

𝒖 = 𝑫𝒁′𝑽−𝟏 𝒚 − 𝑿𝜷 , dengan 𝑣𝑎𝑟( 𝒖) = 𝑫𝒁′𝑽−𝟏𝒁𝑫

𝜷 diganti dengan 𝜷𝟎 = (𝑿′𝑽−𝟏𝑿)−𝑿′𝑽−𝟏𝒚 sehingga menghasilkan BLUP (best linear unbiased predictor), sehingga 𝒖𝟎 = 𝑫𝒁′𝑽−𝟏 𝒚 − 𝑿𝜷𝟎 = 𝑫𝒁′𝑷𝒚,

𝑣𝑎𝑟( 𝒖𝟎) = 𝑣𝑎𝑟 𝑫𝒁′𝑷𝒚 = 𝑫𝒁′𝑷𝑣𝑎𝑟 𝒚 𝑷′𝒁𝑫′ = 𝑫𝒁′𝑷𝑽𝑷′𝒁𝑫′ = 𝑫𝒁′𝑷𝒁𝑫′

𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑷𝑽𝑷′ = 𝑷, dimana 𝑷 = 𝑽−𝟏 − 𝑽−𝟏𝑿(𝑿′𝑽−𝟏𝑿)−𝑿′𝑽−𝟏

Jadi dengan D dan V diketahui, selang kepercayaan bagi 𝒖 dapat dihitung.

Butir penting terkait model campuran sesuai dengan pemahaman saya :

Penentuan pengaruh tetap dan pengaruh acak yang masuk ke dalam model

Sebaran dari pengaruh acak

Sebaran y bersyarat dari pengaruh acak

Penentuan matriks rancangan X untuk pengaruh tetap dan matriks rancangan Zuntuk pengaruh acak

Struktur dari ragam dan peragam matriks D atau matriks ragam peragam dari pengaruh acak

Struktur dari ragam dan peragam matriks V atau matriks ragam peragam dari y

Metode pendugaan/prediksi pengaruh tetap/acak baik untuk matriks V diketahui maupun tidak diketahui