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  • Mtricas para la gravitacin y el electromagnetismo en un espaciotiempo esfrico y cilndrico.

    Por

    M. W. Evans, H. M. Civil List

    y

    H. Eckardt, AIAS and UPITEC

    (www.aias.us, www.atomicprecision.com, www.upitec.org, www.et3m.net)

    Traduccin: Ing. Alex Hill (www.et3m.net )

    Resumen Se utiliza simetra esfrica y cilndrica del espaciotiempo para desarrollar mtricas para la gravitacin y el electromagnetismo, as como para la interaccin de la gravitacin y el electromagnetismo. Se utilizan las mtricas para definir el lagrangiano y el hamiltoniano, las ecuaciones de movimiento y las ecuaciones orbitales. En una temprana aproximacin, se muestra que la mtrica electrodinmica se reduce correctamente a la prescripcin mnima, a la ecuacin relativista de Hamilton Jacobi y a la ecuacin de Dirac para una interaccin de un electrn con un cuatro potencial en la prescripcin mnima. Se ofrecen algunos datos computacionales acerca del efecto de trminos sucesivos en la aproximacin de la mtrica para un espaciotiempo esfricamente simtrico. Este desarrollo se basa en un concepto bsico de la teora ECE, el cual expresa que las ecuaciones para la dinmica y para la electrodinmica poseen el mismo formato. Palabras clave: teora ECE, mtrica, gravitacin, electrodinmica, interaccin de la gravitacin y el electromagnetismo, ecuacin relativista de Hamilton Jacobi, ecuacin de Dirac.

  • 1. Introduccin

    En este documento, el 152 en una serie de documentos [110] que desarrollan la teora de Einstein, Cartan y Evans (ECE), se desarrolla un nuevo anlisis mtrico de la gravitacin y de la electrodinmica con el objeto de brindar una descripcin coherente de estos campos fundamentales a partir de la estructura bsica del espaciotiempo, y con el objeto de demostrar en forma directa que hay energa electrodinmica en el espaciotiempo. Esta energa puede deducirse directamente a partir de la mtrica mediante la construccin del lagrangiano y el hamiltoniano, utilizando mtodos bien conocidos para la gravitacin. Es bien conocido y bien aceptado [11, 12] que el lagrangiano y el hamiltoniano de la gravitacin pueden obtenerse directamente a partir de la mtrica, de manera que se concluye que el hamiltoniano y el lagrangiano para el electromagnetismo tambin puede obtenerse directamente a partir de la mtrica. Tanto la gravitacin como el electromagnetismo son manifestaciones de la mtrica que representa el espaciotiempo esfrico o el espaciotiempo de alguna otra simetra seleccionada, tal como la simetra cilndrica. Desde hace mucho tiempo se acepta que el hamiltoniano de la gravitacin se debe a la mtrica, y por ende el hamiltoniano del electromagnetismo y del campo unificado tambin se obtienen directamente a partir de la misma mtrica en la teora ECE del campo unificado. El hamiltoniano se conserva, como es bien sabido, de manera que la teora conserva la energa total como una constante de movimiento. La teora tambin conserva el momento lineal y el angular como las otras constantes de movimiento. Por lo tanto, energa electromagntica puede obtenerse a partir del espaciotiempo en tanto se conserva a la vez la energa y el momento. En la Seccin 2, se utiliza la suposicin de un espaciotiempo esfricamente simtrico para deducir el formato general de la mtrica para la gravitacin, el electromagnetismo y el campo unificado. Se utilizan aproximaciones sucesivas de la mtrica general para deducir el hamiltoniano, el lagrangiano, las ecuaciones de movimiento y las ecuaciones orbitales. Se ofrecen algunas consideraciones respecto de una mtrica para un espaciotiempo cilndricamente simtrico. En la Seccin 3, se recupera correctamente la prescripcin mnima a partir de la mtrica electrodinmica y se la utiliza para deducir la ecuacin relativista de Hamilton Jacobi, as como la ecuacin de Dirac de la teora de campo cuntico a partir de la mtrica en una primera aproximacin. Se concluye que la ecuacin de Dirac es una primera aproximacin de una ecuacin ms precisa hasta ahora desconocida. El problema de la interaccin entre el electromagnetismo y la gravitacin tambin puede enfocarse utilizando el mtodo de la mtrica. En la Seccin 4 se ofrecen algunos resultados numricos relacionados con el efecto de la suma de trminos sucesivos para la aproximacin de la mtrica para un espaciotiempo esfricamente simtrico.

    2. Mtricas para un espaciotiempo esfrico y cilndrico.

    Para un espaciotiempo esfricamente simtrico, comenzamos con la mtrica [110]: ds2 = d2 = / dt2 /dr2 r2 d2 (1) en coordenadas cilndricas polares en el plano XY. Pueden utilizarse mtricas an ms generales del espaciotiempo esfrico, pero la Ec. (1) es manejable analticamente. Es una

  • solucin del Teorema Orbital para el espaciotiempo esfricamente simtrico desarrollada en el documento UFT 111 (www.aias.us de la Biblioteca Nacional de Gales y los Archivos Nacionales Britnicos www.webarchive.org.uk). Para la gravitacin en la Ec. (1):

    = (2) donde M es la masa de un objeto atractor, G es la constante de Newton y c es la velocidad de la luz en el vaco. Para el electromagnetismo en la Ec. (1):

    = 2

    (3) donde es la carga de un objeto atrado, es la carga del objeto atractor, y es la permitividad en el vaco en unidades S.I.. Para el campo unificado:

    = 2 ( +

    ) . (4)

    Para los tres tipos de campo el hamiltoniano H se conserva y es el invariante, definido como igual a la mitad de la energa en reposo [11,12] tal como es bien conocido en relatividad generalizada:

    H==T= = (/ ( ! ")2 / ( ")2 ($$)2) (5) En la Ec. (5) es el lagrangiano y T es la energa cintica. Como es bien conocido, no hay energa potencial en la teora de la relatividad generalizada. En consecuencia, los conceptos clsicos de atraccin, energa potencial, energa potencial efectiva, repulsin centrfuga y dems se encuentran todos incluidos en, y dados por, la mtrica. Sin embargo, estos conceptos clsicos son tan ampliamente enseados y resultan tan familiares que en relatividad generalizada an se hace referencia a un "potencial efectivo". Newton no supo qu cosa provocaba la "atraccin", pero saba cmo sta funcionaba en el contexto de su propia era. En relatividad generalizada, el concepto se ve sustituido por las propiedades de la mtrica. En la teora ECE aplican las mismas reglas para el electromagnetismo y el campo unificado. En el modelo comnmente aceptado, la electrodinmica es inconsistentemente un concepto impuesto sobre el espaciotiempo plano, la as llamada simetra del sector U(1). La teora ECE ha demostrado [110] que el modelo comnmente aceptado posee profundos errores en varios aspectos. El documento UFT 150 de esta serie, por ejemplo, muestra que el famoso (o infame) clculo de la desviacin de la luz de Einstein posee profundos errores. Ya no es posible aceptar en forma acrtica cualquier aspecto del modelo comnmente aceptado de la fsica. La ecuacin de movimiento de Euler Lagrange: " (

    &&'() ) =

    &&') (6)

    cuando se aplica al lagrangiano definido en la Ec. (5) produce las siguientes tres constantes de

  • movimiento: la energa total E, el momento lineal + y el momento angular L . En relatividad general [11, 12] se define el hamiltoniano como igual a la mitad de la energa en reposo, de manera que H y E se definen en forma diferente. Sin embargo, ambos se conservan. En este documento respetamos estas definiciones tradicionales pero generalizamos la teora de la relatividad mucho ms all que lo habitual hasta el momento. Las constantes de movimiento se obtienen a partir de la Ec. (6) y son: E=/ ! ",(7)

    + = / ",(8)L= $$.(9) De manera que utilizando estas definiciones:

    H= = ( / /

    / 0

    1 ) . (10)

    Resulta de utilidad al inicio comprobar la Ec. (10), recuperando de la misma resultados bien conocidos. En el lmite: 0 (11) el hamiltoniano deviene:

    H= = ( /

    +2

    1 ) . (12)

    Si no hay momento angular en el sistema: L=0(13) entonces:

    H= = ( /

    +2 ) (14)

    la cual es la ecuacin de Einstein para la relatividad restringida: 4 = + + . (15) Como es bien sabido, esta ecuacin se cuantiza a la ecuacin de Klein Gordon, corregida a la ecuacin de Dirac [13, 14]. En documentos de esta serie [110] la ecuacin de Dirac ha sido

  • deducida a partir del postulado geomtrico de la ttrada y simplificado a una ecuacin en matrices de 2 2, algo que durante muchos aos fue considerado imposible. De manera que se utilizaron las matrices de Dirac de 4 4. Una vez ms, estas matrices de 4 4 se ensean tan ampliamente y resultan tan familiares que las utilizamos en este documento por simple cuestin de referencia. En la notacin de Minkowski:

    +5 = (4 , 6 )

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