diapos certamen 1 electromagnetismo
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1 Introduccin.
2 Carga elctrica.
3 Ley de Coulomb.
4 Campo elctrico y principio de superposicin.
5 Lneas de campo elctrico.
6 Flujo elctrico.
7 Teorema de Gauss. Aplicaciones.
Bibliografa
-Tipler. "Fsica". Cap. 18 y 19. Revert.-Gettys; Keller; Skove. "Fsica clsica y moderna". Cap. 20 y 21. McGraw-Hill.
-Serway. "Fsica". Cap. 23 y 24. McGraw-Hill.
CAMPO ELCTRICO
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Gilbert (1540-1603) descubri que la electrificacin era unfenmeno de carcter general.
En 1729, Stephen Gray demuestra que la electricidad tiene
existencia por s misma y no es una propiedad impuesta al
cuerpo por rozamiento.
Franklin (1706-1790) demuestra que existen dos tipos de
electricidad a las que llam positivay negativa.
Coulomb (1736-1806) encontr la ley que expresa la
fuerza que aparece entre cargas elctricas.
1. INTRODUCCIN HISTRICA
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En 1820 Oersted observ una relacin entre electricidad
y magnetismo consistente en que cuando colocaba la
aguja de una brjula cerca de un alambre por el que
circulaba corriente, sta experimentaba una desviacin.As naci el Electromagnetismo.
Faraday (1791-1867) introdujo el concepto de CampoElctrico.
Maxwell (1831-1879) estableci las Leyes delElectromagnetismo, las cuales juegan el mismo papelen ste rea que las Leyes de Newton en Mecnica.
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Es una magnitud fundamental de la fsica, responsable de lainteraccin electromagntica.
En el S.I. La unidad de carga es el Culombio (C)que sedefine como la cantidad de carga que fluye por un punto de
un conductor en un segundo cuando la corriente en el
mismo es de 1 A.
Submltiplos del
Culombio1 C = 10-6C
1 nC = 10-9C
1 mC =10-3C
2. CARGA ELCTRICA
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Caractersticas de la carga
i) Dualidad de la carga: Todas las partculas cargadas
pueden dividirse en positivas y negativas, de forma quelas de un mismo signo se repelen mientras que las de
signo contrario se atraen.
ii) Conservacin de la carga:En cualquier proceso fsico,
la carga total de un sistema aislado se conserva. Esdecir, la suma algebraica de cargas positivas y
negativas presente en cierto instante no vara.
iii) Cuantizacin de la carga:La carga elctrica siemprese presenta como un mltiplo entero de una carga
fundamental, que es la del electrn.
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A lo largo de este tema estudiaremos procesos en los que lacarga no vara con el tiempo. En estas condiciones se dice
que el sistema est en Equilibrio Electrosttico .
Enunciado de la Ley de Coulomb
La fuerza ejercida por una carga puntual sobre otra est
dirigida a lo largo de la lnea que las une. Es repulsiva si las
cargas tienen el mismo signo y atractiva si tienen signos
opuestos. La fuerza vara inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que separa las cargas y es
proporcional al valor de cada una de ellas.
3. LEY DE COULOMB
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Expresin vectorial de la Ley de Coulomb
rurqqkF
212
2112=
k: Constante de Coulomb, cuyo valor depende del
sistema de unidades y del medio en el que
trabajemos.
En el vacoS.I. k = 9109N m2/C2
C.G.S. k = 1 dyna cm2/u.e.e2
1 C = 3109u.e.e.
q1 q2
X
Z
Y
1r
2r1221 rrr
=
ru
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Constantes auxiliares
Permit ividad del Vaco(o): Se define de forma que
o4
1k =
o= 8.8510-12C2/N m2
Si el medio en el que se encuentran las cargas es distinto al
vaco, se comprueba que la fuerza elctrica es veces
menor, de esta formase define la Permitividad del Mediocomo= o.. Siendo laConstante Dielctrica del MedioAs,
4
1'k =
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La interaccin entre cargas elctricas no se produce de
manera instantnea. El intermediario de la fuerza mutua
que aparece entre dos cargas elctricas es el CampoElctrico.
La forma de determinar si en una cierta regin
del espacio existe un campo elctrico,
consiste en colocar en dicha regin una cargade prueba, qo (carga positiva pequeapuntual) y comprobar la fuerza que
experimenta.
4. CAMPO ELCTRICO. PRINCIPIODE SUPERPOSICIN
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La fuerza elctrica entre la
carga q y la carga de prueba
qoes repulsiva, y viene dada
por
ro
qq ur
qqkF
o
212
=
Se define la intensidad de campo elctricoenun punto como la fuerza por unidad de carga
positiva en ese punto.
oq
FE
= rur
qkE
2=
La direccin y sentido
del campo elctrico
coincide con el de la
fuerza elctrica.
qo
YX
Z
q
F
r
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PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN
I) Campo elctrico creado por una distribucin discreta
de carga en un punto:
A la hora de aplicar el principio de superposicin debemos
tener en cuenta dos casos:
En este caso se calcula el campo elctrico sumando
vectorialmente los campos elctricos creados por cada unade las cargas puntuales en el punto elegido.
ri pi
iu
r
qkE
=2
q1
q2
X
Z
Y
qi
P
1pr
2pr pir
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II) Campo elctrico creado por una distribucin continua
de carga en un punto:
dq
P
r
Q
En este caso dividimos la
distribucin en pequeos
elementos diferenciales de
carga, dq, de forma que la
diferencial de campo elctricoque crea cada una de ellas
es
ru
r
dqkEd
2=
El campo elctrico total
para toda la distribucin
ser:= r2 ur
dqkE
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Dependiendo de la forma de la distribucin, se
definen las siguientes distribuciones de carga
dl
dq=
Lineal
ds
dq=
Superficial
dv
dq=
Volumtrica
Clculo del campo elctrico en cada caso:
r
L
2ur
dlkE
= r
S
2 ur
dskE
= r
v
2 ur
dvkE
=
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Ejemplo 1: Campo elctrico sobre el eje de una cargalineal finita.
x xo-x
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Ejemplo 2: Campo elctrico fuera del eje de una cargalineal finita.
d
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Ejemplo 3:Campo elctrico creado por una distribucinuniforme de carga en forma de anillo de radio a, en un
punto de su eje.
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Ejemplo 4: Campo elctrico creado por una distribucinuniforme de carga en forma de disco de radio R, en un
punto de su eje.
r
dq
P dEx
dEy
X
x
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Las lneas de campo se dibujan de forma que el vector
sea tangente a ellas en cada punto. Adems su sentidodebe coincidir con el de dicho vector.
E
Reglas para dibujar las lneas de campo
Las lneas salen de las cargas positivas y entran en las negativas.
El nmero de lneas que entran o salen es proporcional al valor
de la carga.
Las lneas se dibujan simtricamente.
Las lneas empiezan o terminan slo en las cargas puntuales.
La densidad de lneas es proporcional al valor del campo elctrico.
Nunca pueden cortarse dos lneas de campo.
5. LNEAS DE CAMPO ELCTRICO
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EJEMPLOS DE LNEAS DE CAMPO ELCTRICO
Cargapuntual
Dos cargas
iguales
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Dipolo
elctrico
Q(-)=2Q(+)Ms ejemplos
http://../Franco/elecmagnet/electrico/cElectrico.htmlhttp://../Franco/elecmagnet/electrico/cElectrico.html -
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De esta definicin vemos que lo importante para calcular el
flujo es el rea perpendicular al campo vectorial
Todas estas superficies al ser proyectadas
perpendicularmente sobre el campo vectorial, son iguales.
dS
dS
dS
1
3
2
VvectorialCampo
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Para todos los casos representados en la figura tenemos
que:
Flujo del campo elctrico
Imaginemos que el campo vectorial representa al campoelctrico generado por cargas en reposo. De est manera el
flujo de campo elctrico queda definido por:
El circulo en el smbolo de integral indica que la
superficie es cerrada.
= sE sdE
=== 321E SdVSdVSdV
Ej C l l l fl j d l t i l i i t
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Ej: Calcule el flujo de campo elctrico para las siguientes
situaciones:
El campo elctrico est
representado por las flechascolor rojo e incide
perpendicularmente sobre
la cara de un cubo de lado a
xy
z
=s
E AdE
)(...)(.
....)(.
jdzdxjEjdzdxjEidydzjE
idydzjEkdydxjEkdydxjEE
+++
++=
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Dipolo elctrico encerrado en una superficie de forma
arbitraria
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Superficie de forma arbitraria que incluye las cargas
+2q y q.
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Ejemplo 1.-Una carga puntual q est situada en el centro de
una superficie esfrica de radio R. Calcula el flujo neto de
campo elctrico a travs de dicha superficie.
ds
qR
E
El campo elctrico creado por una
carga puntual viene dado por
rur
qkE
2
=
En la superficie de la esfera se
cumple que r = R, luego
ruR
qkE
2=
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Para calcular el flujo a travs de la superficie esfrica, tenemos en
cuenta que el campo elctrico es paralelo al vector superficie en cada
punto, por lo tanto
=== dsRq
ksddsrR
qksdE
22
El rea de una superficie esfrica viene dada por S =4R2, luego
2
24 R
R
qk=
Flujo total
qk= 4Independiente de R
ru
sd
R
q
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Coordenadas_esf%C3%A9ricas_figura.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Coordenadas_esf%C3%A9ricas_figura.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Coordenadas_esf%C3%A9ricas_figura.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Coordenadas_esf%C3%A9ricas_figura.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Coordenadas_esf%C3%A9ricas_figura.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Coordenadas_esf%C3%A9ricas_figura.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Coordenadas_esf%C3%A9ricas_figura.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Coordenadas_esf%C3%A9ricas_figura.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Coordenadas_esf%C3%A9ricas_figura.svg -
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Ejemplo 2.-Supongamos un cilindro de radio R colocado en el
seno de un campo elctrico uniforme con su eje paralelo al
campo. Calcula el flujo de campo elctrico a travs de la
superficie cerrada.
E
E
E
sd
sd
sd
El flujo total es la suma de tres trminos,
dos que corresponden a las bases (b1 y
b2) mas el que corresponde a la superficie
cilndrica. En sta ltima el flujo es cero ya
que los vectores superficie y campo sonperpendiculares. As
+=2b1b
sdEsdE
+= 0cosdsEcosdsE 0=
El flujo slo es proporcional a la carga
que encierra una superficie, no a la
forma de dicha superficie.
E
E
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Este teorema da una relacin general entre el flujo de
campo elctrico a travs de una superficie cerrada y la
carga encerrada por ella.
Ya hemos visto que el flujo neto a travs de una superficie
esfrica viene dado por
qk= 4
Vamos a comprobar que este flujo esindependiente de la forma de la distribucin.
Slo depende de la carga que haya en el
interior.
7. TEOREMA DE GAUSS
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q
s1s2
s3
El flujo a travs de la
superficie esfrica es
o
qqk
== 4
Como el nmero de lneas que atraviesan las tressuperficies es el mismo, se cumple que
321 ==Por lo tanto el f lujo es independiente de
la forma de la superficie.
Consideremos varias superficies
centradas en una esfrica que
contiene una carga q.
I
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II Supongamos ahora una carga q prxima a una
superficie cerrada de forma arbitraria. En este caso
el nmero neto de lneas de campo que atraviesa
la superficie es cero (entran el mismo nmero delneas que salen), por lo tanto
0=
El flujo a travs de una superficie que no
encierra carga es nulo.
q
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Generalizacin de los resultados
Para distribuciones de carga, ya sean discretas o
continuas, podemos aplicar el principio de superposicin.
Ejemplo:S
q1
q2q3S
S
o
q)S(
= 1
o
)qq()'S(
+
= 32
0= )''S(
o
intqsdE
==
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Enunciado del Teorema de Gauss
El flujo elctrico neto a travs de cualquier superficie
gaussiana cerrada es igual a la carga neta que se encuentredentro de ella, dividida por la permitividad del vaco.
Esta ley slo puede aplicarse a problemas con
gran simetra.
Procedimiento para aplicar el teorema de Gauss
Dada una distribucin
de carga, buscar unasuperficie gaussiana
que cumpla estas
condiciones
E
paralelo a sd
en todos los puntosde la superficieE
constante
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El flujo elctrico a travs de una superficie cerrada viene
dado por
o
intqsdE
==
Si la superficie cerrada gaussiana cumple las dos
condiciones anteriores
=== sEdsE)cos(ds EsdE
Por lo tanto
o
intqS
=E
Ses el rea de la superficie
gaussiana
q intes la carga encerrada endicha superficie
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Ejemplo 1:Campo elctrico prximo a un plano infinitode carga.
=Cte.
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Ejemplo 2:Campo elctrico a una distancia r de unacarga lineal infinitamente larga de densidad de carga
uniforme .
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Ejemplo 3: Campo elctrico debido a una cortezaesfrica uniformemente cargada.
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Ejemplo 4: Campo elctrico debido a una esferauniformemente cargada.
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L
R
E
dS
Sint
r
0
intint
S
VrL2ESdE
int
==
LRdV
rL2ESdE
2
0V 0
ext
S
ext
ext
=
==
r
Sext
Ejemplo 4:Campo elctrico debido a una cilindrouniformemente cargado.
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Energa potencial electrosttica
U = qVU)qV(Vqq ==== EF
VA
UA= q VA
VB
UB= q VB
( )BABAB
A
B
A
AB VVqUUdUdW ====
F
===B
A
B
A
ABBA dd
qq
WVV
EF
E
q
A
Bd
http://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/Fuentes%20del%20campo.ppt#12.%20Ecuaciones%20de%20Maxwell -
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Lneas de campo y superficies
equipotenciales
http://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/elefi_z.htmhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/elefi_z.htmhttp://d/Dropbox/Electromagnetismo/material%20bennun%202013/elefi_z.htm -
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Lneas de campo y superficies
equipotenciales
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22 )5x(
1
)1x(
3
=
E = 0
-3
V = 0
5x
1
1x
3
=
x
1
Campo y potencial creado por 2
cargas
-
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Conductor cargado en equilibrio
S
n
0
uE
=
V = cte
Eint= 0
= 0
Campo nulo en el interior.
Densidad volumtrica de carga
nula.
Toda la carga est en lasuperficie.
Al ser nulo el campo elctrico, el
potencial electrosttico es
constante.
El campo elctrico en puntos
prximos al conductor es
perpendicular a la superficie.
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Pantallas elctricasPantalla hacia dentro
+Q
E = 0
E
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POTENCIALELCTRICO
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Potencial electrosttico
V=E
==
dVddV EE
Campo conservativo
0d =
E
U.S.I. Voltio V E V/m
http://g/Ramo%20Electromagnetismo/Campos.ppt#14.%20Campos%20conservativoshttp://g/Ramo%20Electromagnetismo/Fuentes%20del%20campo.ppt#13.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://g/Ramo%20Electromagnetismo/Fuentes%20del%20campo.ppt#13.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://g/Ramo%20Electromagnetismo/Fuentes%20del%20campo.ppt#13.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://g/Ramo%20Electromagnetismo/Fuentes%20del%20campo.ppt#13.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://g/Ramo%20Electromagnetismo/Fuentes%20del%20campo.ppt#13.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://g/Ramo%20Electromagnetismo/Fuentes%20del%20campo.ppt#13.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://g/Ramo%20Electromagnetismo/Fuentes%20del%20campo.ppt#13.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://g/Ramo%20Electromagnetismo/Fuentes%20del%20campo.ppt#13.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://g/Ramo%20Electromagnetismo/Fuentes%20del%20campo.ppt#13.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://g/Ramo%20Electromagnetismo/Fuentes%20del%20campo.ppt#13.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://g/Ramo%20Electromagnetismo/Campos.ppt#14.%20Campos%20conservativos -
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49/103
Potencial creado por una carga
puntualcte
r4
q
r
d
4
qV
02
0
P +=
= rur
q
Pr
ur
drd = rur
== i i0i
i r4
qVV
para r = V = 0r4
qV
0
P =
Potencial creado por n cargas puntuales
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
50/103
Vdecreases as 1/r, and, asa consequence, Edecreases 1/r2.
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
51/103
Superficies Equipotenciales
An equipotential surfaceis a surface on which all points are at the samepotential
No work is required to move a charge at a constant speed on anequipotential surface
The electric field at every point on an equipotential surface is
perpendicular to the surface
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
52/103
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
53/103
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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Distribucin lineal de carga
=
L0r
dL
4
1V
P
dL
dV
r
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
55/103
Distribucin superficial de carga
dS
+
+
+
++
S
r
P
V dS
rS
= 14 0
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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Distribucin volumtrica de
carga
dV
r
P
v
V dvr
V
= 14 0
dq
E l Fi d i l P
-
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Example: Find potential at Pq1 q2
q3 q4
d
r
P
md
r
md
qqqqr
V
919.02
3.1
)(1
4
14321
0
==
=
+++=
q1=12nC q2=-24nC q3=31nC q4=17nC q=36 x 10-9C
V=350 Volts (check the arithmetic!!)
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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Example: A ring of charge
dVx
dq ds Rd = =
2 2 2r x R= +
a
d
+
+
+
+ +
+
+
kdqdV
r=
2 2k RddVx a =
+
2
2 2 2 2 2 20
k a k 2 a kQV d
x a x a x a
= = =
+ + +
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
59/103
Potential due to a charged disk
dVx
ra
dq dA rdrd 2 rdr = = =
2 2kQV
x r=
+ 2 2kdqdV
x r=
+
a a
2 2 2 20 0
k 2 rdr rdr V k 2
x r x r
= =
+ +
2 2V k 2 x a x = +
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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Potential energy due to multiple
point charges+Q1
21r
( ) kq
V rr
= 1
12
kqV
r=+Q2
1 2
2
12
kq q
U q V r= =
+Q3
+Q1+Q2
1 2
13 23
kq kq V
r r
= +21r
13r23r1 3 2 31 2
12 13 23
kq q kq q kq qU
r r r= + +
Potencial en 3
Energa Total
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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Potential of a charged conductor
Given: Spherical conductorCharge=QRadius=Ro
Find: V(r)
Ro
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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Determining the Electric Field
from the PotentialdV E ds E ds= =
dVE
ds=
x
VE
x=
y
V
E y
=
z
VE
z
=
V V V E i j k x y z
=
E V=
Se tienen dos lminas cuadradas de lado ay delgadas, una con
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
63/103
densidad de carga y la otra con densidad
1.- Calcule el campo elctrico en el eje central que una ambas
lminas si, la distancia dentre las laminas es mucho menor que a2.- Calcule el trabajo realizado para llevar una carga q,desde lazona central de una lmina hasta la zona central de la otra lmina,siguiendo la trayectoria mostrada en la figura
3.- Calcule la diferencia de potencial entre las lminas
.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E
d
q
Resp 1
-
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+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
x
z
y
Resp. 1
kqAdE 4==
=+ )()( kAdkEkdAkE
22 42 RkRE =
)(2 kkE =
=+
dAEdAE
-
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x
z
y
kqAdE 4==
=+ )()( kAdkEkdAkE
22 )(42 RkRE =
)(2 kkE =
=
dAEdAE
El campo total entre las lminas es la suma de los campos
-
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p pproducidos por ambas lminas
kkkkkkEEET
4
2
2
=+=+= +
kdzkqkldFU
B
A
B
A
== 4.
qdkdzqkU
A
B
44 ==
dkV 4=kdAdkAdkqVqC 4/4/4// ====
E dV
-
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ExampleThrough what potential difference would one need toaccelerate an electron in order for it to achieve a velocityof 10% of the velocity of light, starting from rest?(c = 3 x 108m/s)
Capacitance and Dielectric
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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Capacitance and Dielectric
Capacitors: Device that store electric charge
A capacitor consists of two conductorsseparated by an insulator.
Capacitance: Depends on its geometry and onthe material, called a dielectric, that separatesthe conductors.
Definition of Capacitance
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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Pictures from Serway & Beichner
A capacitor consists of twoconductors (known as plates)carrying charges of equalmagnitude but opposite sign.
A potential difference V existsbetween the conductors due to thepresence of the charges.
What is the capacity of the device
for storing charge at particularvalue of V?
Definition of Capacitance
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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Pictures from Serway & Beichner
Experiments show the quantity of electric chargeQ on a capacitor is linearly proportional to the
potential difference between the conductors, thatis Q ~ V. Or we write Q = C V
The capacitance C of a capacitor is the ratio of themagnitude of the charge on either conductor tothe magnitude of the potential difference between
them:
C =Q
VSI Unit: farad (F), 1F = 1 C/V
Typical device have capacitances ranging from microfarad to picofarad.
Parallel - Plate Capacitors
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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Parallel Plate Capacitors
Pictures from Serway & Beichner
A parallel-plate capacitor consistsof two parallel conducting plates,each of area A, separated by adistance d. When the capacitor ischarged, the plates carry equalamounts of charge. One plate
carries positive charge, and theother carries negative charge.
The plates are charged by connection to a battery.Describe the process by which the plates getcharged up.
Parallel-Plate Capacitors d
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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Pictures from Serway & Beichner
Two parallel metallic plates of equalarea A separated by a distance d as
shown.One plate carries a charge Q andthe other carries a charge Q. Andsurface charge density of each plate
is = Q/A.
A
If plates are large, then charges can distributethemselves over a substantial area, and the amount of
charge that can be stored on a plate for a givenpotential diff increases as A is increased.
Thus we expect C to be proportional to A
C ~ A
Variation with A
Parallel-Plate Capacitors d
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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Pictures from Serway & Beichner
Variation with d
A
Potential difference V constantacross, E field increases as ddecreases.
Imagine d decreases and consider
situation before any charges havehad a chance to move in responseto this change.
Because no charge moveE the
same but over a shorter distance.
V = Ed means that V decreases.
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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Conductor cargado en equilibrio
S
n
0
uE
=
V = cte
Eint= 0
= 0
Campo nulo en el interior.
Densidad volumtrica de carga
nula.
Toda la carga est en lasuperficie.
Al ser nulo el campo elctrico, el
potencial electrosttico es
constante en el interior.
El campo elctrico en puntos
prximos al conductor es
perpendicular a la superficie.
Conductors in Equilibrium
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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Conductors in Equilibrium The conductor has an excess of
positive charge
All of the charge resides at thesurface
E= 0 inside the conductor
The electric field just outside
the conductor is perpendicularto the surface
The potential is a constanteverywhere on the surface ofthe conductor.
The potential everywhere insidethe conductor is constant andequal to its value at the surface
qu cosa rara tiene esta figura?
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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Pantallas elctricas
Pantalla hacia dentro
+Q
E = 0
E
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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Potencial electrosttico
V=E
==
dVddV EE
Campo conservativo
0d =
E
U.S.I. Voltio V E V/m
http://g/Ramo%20Electromagnetismo/Campos.ppt#14.%20Campos%20conservativoshttp://g/Ramo%20Electromagnetismo/Fuentes%20del%20campo.ppt#13.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://g/Ramo%20Electromagnetismo/Fuentes%20del%20campo.ppt#13.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://g/Ramo%20Electromagnetismo/Fuentes%20del%20campo.ppt#13.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://g/Ramo%20Electromagnetismo/Fuentes%20del%20campo.ppt#13.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://g/Ramo%20Electromagnetismo/Fuentes%20del%20campo.ppt#13.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://g/Ramo%20Electromagnetismo/Fuentes%20del%20campo.ppt#13.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://g/Ramo%20Electromagnetismo/Fuentes%20del%20campo.ppt#13.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://g/Ramo%20Electromagnetismo/Fuentes%20del%20campo.ppt#13.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://g/Ramo%20Electromagnetismo/Fuentes%20del%20campo.ppt#13.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://g/Ramo%20Electromagnetismo/Fuentes%20del%20campo.ppt#13.%20Ecuaciones%20de%20Maxwellhttp://g/Ramo%20Electromagnetismo/Campos.ppt#14.%20Campos%20conservativos -
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Potencial creado por una carga
puntualcte
r4
q
r
d
4
qV
02
0
P +=
= rur
q
Pr
ur
drd = rur
== i i0i
i r4
qVV
para r = V = 0r4
qV
0
P =
Potencial creado por n cargas puntuales
-
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Potential energy due to multiple
point charges+Q1
21r
( ) kq
V rr
= 1
12
kqV
r=+Q2
1 2
212
kq q
U q V r= =
+Q3
+Q1
+Q2
1 2
13 23
kq kq V
r r
= +21r
13r23r1 3 2 31 2
12 13 23
kq q kq q kq qU
r r r= + +
Potencial en 3
Energa Total
i i h l i i ld
-
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Determining the Electric Field
from the PotentialdV E ds E ds= =
dVE
ds=
x
VE
x
=
y
V
E y
=
z
VE
z
=
V V V E i j k x y z
=
E V=
Capacitance
-
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Capacitors: Device that store electric charge
A capacitor consists of two conductorsseparated sometimes by an insulator.
Capacitance: Depends on its geometry and onthe material, called a dielectric, that separatesthe conductors.
Definition of Capacitance
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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Definition of Capacitance
Pictures from Serway & Beichner
A capacitor consists of twoconductors (known as plates)carrying charges of equalmagnitude but opposite sign.
A potential difference V existsbetween the conductors due to thepresence of the charges.
What is the capacity of the device
for storing charge at particularvalue of V?
Definition of Capacitance
-
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Pictures from Serway & Beichner
The capacitance C of a capacitor is the ratio of themagnitude of the charge on either conductor tothe magnitude of the potential difference betweenthem:
C = QV
SI Unit: farad (F), 1F = 1 C/V
Typical device have capacitances ranging from microfarad to picofarad.
Cylindrical Capacitors
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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Pictures from Serway & Beichner
A solid cylindrical conductor of radius aand charge Qiscoaxial with a cylindrical shell of negligible thickness,
radius b > a, and charge Q. Find the capacitance of thiscylindrical capacitor if its length is L.
L
Cylindrical CapacitorsAssume that L is >> a and b
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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Pictures from Serway & Beichner
Assume that L is >> a and b,neglect the end effects.
E is perpendicular to the long axis
of the cylinders and is confined tothe region between them.
Potential difference between thetwo cylinders is given by
L
Va-Vb= - E . ds
a
b
Where E is the E field in the region a < r < b.
Our discussion on Gausss LawEr= 2k/r where is thelinear charge density of the cylinder.
Note that the charge on outer cylinders does not contribute toE field inside it.
Cylindrical Capacitors
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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Pictures from Serway & Beichner
L
Vb-Va= - Er dr
a
b
= - 2k
a
b
dr
r= + 2k ln( )
b
a
Using = Q/L , we have
C = =QV
ln( )b
a
2kQ
L
Q
C =ln( )
b
a2k
L
Cylindrical Capacitors
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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Pictures from Serway & Beichner
LC =
ln( )
b
a2k
L
What is the capacitance per unit length ?
Example
Co-axial Cable. Read the cable, typically 50 pF/m. Is this sensible ?
Typically a 0.5 mm, b 1.5 mm
50pF/m)3ln(1099.82
1/
9 =
=LC
-
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B) Combinacin en serieV V
-
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C2C1
- -
V
+Q -Q +Q -Q
V1 V2
- +
V
Ceq
1/Ceq = 1/C1+ 1/C2
-
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Combinacin mixta
Capacitor with a Dielectric
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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p
THE DIELECTRIC CONSTANTThe surface charges on the dielectric reduce the electric field inside
the dielectric. This reduction in the electric field is described by thedielectric constantk, which is the ratio of the field magnitudeE0without the dielectric to the field magnitudeEinside the dielectric:
Every dielectric material has a characteristic dielectric strength,which is the maximum value of the electric field that it can
tolerate without breakdown
Un Dielctrico Dentro de un Capacitor
-
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Un Dielctrico Dentro de un Capacitor
oC
C=
Capacitance with a Dielectric
-
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p
0
air
q qC
V E d= =
0/E E=
The capacitance with the dielectric present is increasedby a factor of kover the capacitance without thedielectric.
dE
q
V
qC
00
0 ==0
00
kCV
kq
dk
E
q
Ed
q
V
qC =====
okCC=
C
-
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oV
V=
oCC =
oEE=
oC
C= >1
Un condensador parcialmente lleno
-
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oCC
+=
12
3
p
d23
d
1
3d
Incgnita:
C = ?
Datos:d, , CoEspesor del
dielctrico: 1/3d
Efecto de una plancha metlica
-
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da
CC o
/1=
+
+ + + + + ++
ad
x
d-a-x
Datos:
d, A, a
Incgnita:
C = ?
+ + + + + +
A
Some Properties of DielectricsMaterial Dielectric Constant Dielectric Strength (kV/mm)
-
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Air (1 atm) 1.00054 3
Polystyrene 2.6 24
Paper 3.5 16Transformer
oil 4.5
Pyrex 4.7 14
Ruby mica 5.4
Porcelain 6.5
Silicon 12
Germanium 16
Ethanol 25
Water (20C) 80.4
Water (25C) 78.5
Titania
ceramic 130
Strontium
titanate 310 8
For a vacuum, .
-
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Example 4
An empty parallel plate capacitor (C0= 25mF) is charged with a 12 V battery. Thebattery is disconnected and the regionbetween the plates of the capacitor isfilled with pure water. What are thecapacitance, charge, and voltage for the
water-filled capacitor?
Example 5
-
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Example 5Figure shows a parallel-plate capacitor with a plate area
A= 5.56 cm2and separation d= 5.56 mm. The left halfof the gap is filled with material of dielectric constant1 = 7.00; the right half is filled with material ofdielectric constant 2 = 12.0. What is the capacitance?
-
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Example 6Figure shows a parallel-plate capacitor with a platearea A= 7.89 cm2and plate separation d= 4.62 mm.The top half of the gap is filled with material ofdielectric constant 1= 11.0; the bottom half is filled
with material of dielectric constant 2= 12.0. What isthe capacitance?
Energy Stored in an Electric
Fi ld
-
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Field
A charge q was transferred from oneplate of a capacitor to the other. Thepotential difference Vwill be q /C.If a charge dq is then transferred,the increment of work required will
be:
The work required to bring the total capacitor charge up to a final value qis
This work is stored as potential energy Uin the capacitor, sothat
or
The potential energy of a charged capacitor may be viewed
as being stored in the electric field between its plates.
Energy Density
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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The potential energy per unit volume between
parallel-plate capacitor is
V/dequals the electric field magnitude E due to
QuestionA
-
7/25/2019 Diapos certamen 1 electromagnetismo
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d
A
- - - - -
+ + + + Suppose the capacitor shown here is
charged to Qand then the battery is
disconnected.
Now suppose I pull the plates further apart so that the finalseparation is d1.(d1>d)
How do the quantities Q, C,E, V, Uchange?
How much do these quantities change?
Q: C: E: V:
U:
remains the same.. no way for charge to leave.
increases.. add energy to system by separating
decreases.. since capacitance depends on geometry
increases.. since C, but Qremains same (or dbutEthe same)remains the same... depends only on charge density
d d1 d