metode_clapeyron dwqdr
DESCRIPTION
mtodeqwnjhdas dasufhaekhj kN kcc cdhasufeiwhkdceqwcTRANSCRIPT
TUJUAN UMUM:MAHASISWA MAMPU MENERAPKAN
METODE CLAPEYRON DALAM ANALISASTRUKTURBALOK STATIS TAK TENTU
METODE CLAPEYRON(METODE PERS. TIGA MOMEN)
INyoman Merdana, ST, MTJurusan Teknik Sipil. Fak. Teknik
Universitas Mataram
2
Metode CLAPEYRON
Metode Clapeyron
Metode ini diusulkan oleh org yg bernama Clapeyron (1857) dan dikembangkan Lbh lanjut oleh Mohr (1860)
IAB=I1 IAB=I2
L1 L2
B
C’
A
A’
A1CC1
hchA Balok dua
bentang yg bersebalan
Diagram akibat beban luar
A2A1
a1 a1
A4A5
A3A6
L1/3L1/3
L1/3L2/3
L2/3L2/3
MB
MCMA
Diagram M akibat momen ujung MA, MB & MC
3
Penurunan rms CLAPEYRON …(1)
Metode Clapeyron
☺ Hub. antara MA, MB dan MC dpt diperoleh dari kondisi keselarasan utk blk yg menerus/kontinyu di titik B
☺ Grs singgung kurva elastis BC’ di ttk B terletak pd satu grs Lrs dgn grs singgung kurva elastis BA’ di B
☺ Kedua grs singgung di B pd kurva elastis di kedua sisi B satu thd lain hrs ttp membentuk grs lurus (sdt 180)
☺Karena A1BC1 hrs berupa grs lurus maka:
2
1
1
1
L
CC
L
AA
Dimana AA1=hA-A1A’
…(C.1)
4
Penurunan rms CLAPEYRON …(2)
Metode Clapeyron
BdisinggungGrs
dariAdiLendutanhAAhAA A1A1
141311A1 LA
32
LA31
aAEI1
hAA
2
1B21A11A1 LM
31
LM61
aAEI1
hAA …(C.2)
dan
CC11 hBdisinggungGrs
dariCdiLendutanh-CCCC
5
Penurunan rms CLAPEYRON …(3)
Metode Clapeyron
CC11h
BdisinggungGrs
dariCdiLendutanh-CCCC
c22625221
hLA31
LA32
aAEI1
CC
C22C
22B221
hLM61
LM31
aAEI1
CC
…(C.3)
Pers (C.2) dan (C.3) disubstitusikan ke pers (C.1) maka diperoleh pers. Tiga Momen (Clapeyron)
6
Pers. Umum “CLAPEYRON”
Metode Clapeyron
2
C22C
22B22
2
21B
21A11
11
A
L
hLM
61
LM31
aAEIL1
LM31
LM61
aAEIL1
L
h
Pers. Clapeyron didptkan dgn mengalikan (6E) kpd setiap/semua suku pada pers (C.4) diatas.
..…(C.4)
penurunanakibat
2
C
1
A
luarbbnakibat
22
22
11
11
2
2c
2
2
1
1B
1
1A L
6Eh
L
6Eh
IL
a6A
IL
a6A
I
LM
I
L
I
L2M
I
LM
…(inilah pers. yg dikenal dgn nama “Pers Tiga momen/Clapeyron”)
..…(C.5)
7
Contoh Soal 1;
Metode Clapeyron
Data2:E=konstan; P1=80kN; P2=72kN
P3=24kN; q1=24kN/m; q
2=16kN/m
Gambarkan Diagram M&D utk balok diatas
A B C D3Ic 10Ic 2Ic
4m6m 12m 1,5m
E
2m
q1q2 P1 P2 P3
Contoh berikut ini penerapan pers Clapeyron utk meng-gbr diagram M&D akibat bbn luar tanpa disertai penurunan tumpuan
8
Gbr Diagram M; Simple beam
Metode Clapeyron
A B C D3Ic 10Ic 2Ic
4m6m 12m 1,5m
E
2m
q2q1 P1 P2 P3
A1A3
A2
A4
48x2=96kNm
1/8x16x122
=288kNm1/8x24x62
=108kNm
80x12/4=240kNm
Diagram M akibat bbn luar
432624121
A 31
144041280
1221
A1
23041216121
A 33
28896621
A4
MA=0 kN.mMD=-24x1,5=36kN.m
Data2: P1=80kNP2=72kNP3=24kNq1=24kN/mq2=16kN/m
36
A5
A6
A7
A8
A9
Diagram M akibat M ujung
(215,9) (146,6)
9
Penerapan CLAPEYRON pd tiap bentang
Metode Clapeyron
Terapkan pers. Clapeyron pd bentang AB & BC:
luarbbnakibat
ccccc
ccB
cA 10I12
62304610I12
6144063I6
3432610I12
M10I12
3I6
2M3I6
M
2MB(3,2) + 1,2MC = -1555,2 …(a) →MA=0 kNm (sendi)
Terapkan pers. Clapeyron pd bentang BC & CD:
luarbbnakibat
c
310
cccD
ccC
cB 2I6
288610I12
62304610I12
6144062I6
M2I6
10I12
2M10I12
M
1,2MB + 8,4MC = -1495,2 …(b) →MD=-36kNm (jepit)
10
Penyelesaian pers. Simultan
Metode Clapeyron
Tentukan MB dan MC dgn menyelesaikan pers (a) & (b) tadi:
6,4MB + 1,2MC = -1555,2
1,2MB + 8,4MC = -1495,2
CM
C
B
A
1495,2
1555,2
M
M
8,41,2
1,26,4
Det [A]=(6,4x8,4)-(1,2x1,2)=52,32
→[M]=[A]-1[C]
0,1220,023
0,0230,161
6,41,2
1,28,4
52,321
A 1
Metode Clapeyron
11
Momen MB & MC
→[M]=[A]-1[C]
kN.m146,644-
-215,997
1495,2-
-1555,2
0,1220,023-
-0,0230,161M
Jadi MA=0 kN.m
MB=-215,997 kN.m
MC=-146,644kN.m dan
MD=-36 kN.m
selanjutnya buat diagram D dan M
12
Free body Diagram
Metode Clapeyron
24,44
5,559
C D146,64 36
72x4/6
146,6/624
36/6 666,441
72kN
24x6/2A
B
215,997
215,9/6
36 108
7236
24kN/m
B C16x12/2
215,997 146,64
80/29640
215,9/12 18146,6/12 12,2
141,8 130,2
80kN16kN/m 36
24
24
E
Jadi : RA=36kN; RB=249,8kNRC=196,6kN; RD=29,6kN∑V=0; (24x6+16x12+80+72+24)=36+249,8+196,6+29,6Oke! (setimbang )
RB=249,8kN RC=196,6kN RD=29,6kNRA=36kN
13
Momen Maksimum
Metode Clapeyron
Bentang ABM
x=R
A(x)-½q
1(x)2
→Dx=R
A-q
1(x)=0
x=RA/q=36/24=1,5m dari titik A
Mmak
=36x(1,5)-½(24)(1,5)2=27kN.m
Bentang BC:M
mak terjadi di bwh beban P=80kN
Mx=R
BC(6)-½q
2(6)2-215,997=346,8kN.m
Mmak
=141,8x(6)-½(16)(6)2-216=346,8kN.m
Bentang CD:M
G=R
CD(2)-M
CD=-13,8kN.m dan M
D=-(24)x1,5=-
36kNm
14
Grs Elastis bentang AB
Metode Clapeyron
Sudut rotasi bentang AB:
)
61
6)(31
(A2
A
)3E(I1
θ5
1
cA
3
Cc
kNmEI
0,001)
3647,991(
2432
)3E(I1
)
61
6)(32
(A2
A
)3E(I1
θ5
1
cB
3
Cc
kNmEI72
)3
647,9912(
2432
)3E(I1
Searah jrm jam
Searah jrm jam
647,99215,997621
A5
1295,98215,9971221
A6
15
Grs Elastis bentang BC
Metode Clapeyron
Sudut rotasi bentang BC:
)
121
12)(31
(A)121
12)(32
(A2
A
2
A
)10E(I1
θ76
32
cB
3
C76
32
c
kNmEI71,5
)31
(A)32
(A2
AA
)10E(I1
3
C7
632
c
kNmEI85,3
A32
3
A
2
AA
)10E(I1
Searah jrm jam
Berlawanan arah jrm jam
(72kNm3)
)
121
12)(32
(A)121
12)(31
(A2
A
2
A
)10E(I1
θ76
32
cC
16
Grs Elastis bentang BC
Metode Clapeyron
Sudut rotasi bentang CD:
3
C984
310
cC
kNmEI85,3
A31
A32
A6)2E(I
1θ
3
C984
38
cD
kNmEI45,3
A32
A31
A6)2E(I
1θ
879,86146,641221
A7
439,93146,64621
A8
879,86146,641221
A7
Lihat slide no 8
17
Metode Clapeyron
Diagram M, D & kurva Grs elastis
A B C D3Ic 10Ic 2Ic
4m6m 12m 1,5m
E
2m
q1q2 P1 P2 P3
θA
θB
θC
θD
Diagram M(kN.m)
Kurva Grs Elastis
Diagram D(kN)
346,8
36146,6216
27
(-)
(+)
(-)(+)
13,8
36
108
141,8
130,2
66,4
5,6
24(+) (+)
(+) (+)
(-) (-)(-)
45
35
18
Contoh Soal Metode Clapeyron (Penurunan Tumpuan)
E=200x106 kN/m2
I=400x10-6 m4
Suatu balok menerus spt gbr diatas. Tumpuan B mengalami penurunan d=15mm relatif terhadap tumpuan yg lain. Buat diagram Momen dari balok itu bila tumpuan balok tadi turun tanpa disertai dgn beban luar yg bekerja
B’
A B C D3EI 10EI 2EI
6m6m 12m
d
Metode Clapeyron
19
Pers. Clapeyron
penurunanakibat
2
C
1
A
luarbbnakibat
22
22
11
11
2
2c
2
2
1
1B
1
1A L
6Eh
L
6Eh
IL
a6A
IL
a6A
I
LM
I
L
I
L2M
I
LM
Gunakan Pers. Tiga Momen (Clapeyron)
Bila tdk ada bbn luar maka:
2
C
1
A
2
2c
2
2
1
1B
1
1A L
6Eh
L
6Eh
I
LM
I
L
I
L2M
I
LM
Perhatikan bhw hA dan hc masing2 sebenarnya adl. besaran yg menunjukkan bhw tumpuan A dan C relatif lebih tinggi dari B
Metode Clapeyron
20
Pers. Clapeyron bentang BC-CD
Terapkan pers. Clapeyron pd bentang AB-BC:
120,015)6E(
60,015)6E(
10I12
M10I12
3I6
2M3I6
McBA
0,0225EI1,2M6,4M2M cBA
Terapkan pers. Clapeyron pd bentang BC-CD:
120,015)6E(
2I6
M2I6
10I12
2M10I12
MDCB
0,0075EI3M8,4M1,2M DCB
Metode Clapeyron
21
Momen MB dan MC
Tumpuan A dan D adl. SENDI maka MA=MD=0;
dan EI=80.000 kN.m6,4MB+1,2MC=+1800
1,2MB+8,4MC=-600
Selesaikan pers. Simultan diatas utk peroleh MB dan MC
600
1800
M
M
8,41,2
1,26,4
C
B
kN.m114,6-
303,6
600-
1800
122,0023,0
023,0161,0
M
M
C
B
Jadi MB=+303,6kN.m dan MC=-114,6kN.mMetode Clapeyron
Det [A]=52,32
22
Free body diagram
MBA/L1
AB
MBA
/L1
MBA
B C
(MBC
+MBC
)/L2 RCB
MBC MCB C
DM
CD/L
3R
DC
MCD
RAB
=MBA
/L1=50,6 kN (↑)
RBA
=MBA
/L1=50,6 kN (↓)
RBC
=(MBC
+MCB
)/L2=34,85kN (↓)
RCB
=(MBC
+MCB
)/L2=34,85kN (↑)
RCD
=MCD
/L3=19,1kN (↑)
RDC
=MCD
/L3=19,1kN (↓)
RB=R
BA+R
BC=85,45kN (↓)
RC= R
CB +RCD
=53,95kN (↑)
RA=R
AB=50,6kN (↑)
RD=R
DC=19,1kN (↓)
Metode Clapeyron
∑V=0;R
A-R
B+R
C-R
D=0kN
50,6-85,45+53,95-19,1=0
23
Diagram M & D
(+)
(-)
303,6
114,6Diagram Momen(kN.m)
Diagram Gaya Geser (kN)
Kurva Grs Elastis
19,1
34,85
50,6
34,85
19,150,6
(+)
(-)
(+)
A 15mm
B C D
AV
BV
CV DV
Metode Clapeyron
24
Soal latihan 1
Metode Clapeyron
Kerjakan soal dibawah ini sbg latihan: Buat diagram M,D dan Grs Elastis bila: P1=1kNP2=2P1
q=1kN/mE=konstan
A B C D2m L
1=6m L
2=6m 3m 3m
2Ic
4Ic
3Ic
P2P1
E F
Diagram M(kN.m)
Diagram D(kN)
(-)(+)
(-)(+)
(-) 0,644
1,357
2,971
3,029
1 0,0058
(-)
(+)(-)
(+)
1,9652 2,139
1,932,45
25
Soal latihan 2
Metode Clapeyron
Buat gambar diagram Momen dan Gaya geser dgn metode CLAPEYRON bila kekakuan lentur EI adl sama sepanjang bentang(gunakan D=20mm, Ic=5,4x105 cm4, E=20x106kN/m2 bila PERLU)
A B CD
P P
3m 3m 1m
(Ic)
(1)
AC
B
P=65kN
6m 9m
(Ic)D (Ic)
(2)
ACB
P=65kN
6m 9m
(Ic)D (Ic)
(4)
B’ D
A BC
D
P P
3m 3m 1m
(Ic)(3)
B’20mm
A CDB
P P
3m 3m 1m
(Ic)(2)
B’D
3m
P P
1m1m
(Ic)
26
KASUS BALOK MENERUS DENGAN TUMPUAN JEPIT
Metode Clapeyron
METODE CLAPEYRON
27
Blk menerus dgn Tump Jepit
Metode Clapeyron
Data2:E=konstan; P1=80kN; P
2=72kN
P3=24kN; q
1=24kN/m; q
2=16kN/m
Gambarkan Diagram M&D utk balok diatas
Contoh berikut ini adl. penerapan pers Clapeyron utk blk menerus dgn tumpuan JEPIT akibat bbn luar tanpa disertai penurunan pd tumpuan
A
B C D3Ic 10Ic 2Ic
4m6m 12m 1,5m
E
2m
q1q2 P1 P2 P3
28
Gbr Diagram M; Simple beam
Metode Clapeyron
A1 A
3
A2
A4
48x2=96kNm
1/8x16x122
=288kNm1/8x24x62
=108kNm
80x12/4=240kNm
Diagram M akibat bbn luar
432624121
A 31
144041280
1221
A1
23041216121
A 33
28896621
A4
MA≠0 kN.m
MD=-24x1,5=-36kN.m
Data2: P1=80kNP2=72kNP3=24kNq1=24kN/mq2=16kN/m
Ic=~Ao
Lo
AB C D
3Ic
10Ic 2I
c
4m6m 12m 1,5m
E
2m
q2q
1P
1 P2
P3
36
A5
A7
A8
A9
A10
Diagram M akibat M ujung
A6
29
Pers. Clapeyron utk Bentang AoA & AB
Metode Clapeyron
Terapkan pers. Clapeyron pd bentang Ao-A dan AB:
11
11
1
1
B
1
1o
A
o
Ao IL
a6A
I
LM
I
L
~
L2M
~
LM
ccB
cA 3EI6
343263EI6
M3EI6
2M00
4322M4MBA
…(1)
30
Pers. Clapeyron utk Bentang AoA & AB
Metode Clapeyron
Terapkan pers. Clapeyron pd bentang AB dan BC:
22
33
22
22
11
11
2
2C
2
2
1
1B
1
1A IL
a6A
IL
a6A
IL
a6A
I
LM
I
L
I
L2M
I
LM
...M10EI12
10EI12
3EI6
2MM3EI6
cccc
BAC
1555,21,2M6,4M2M cBA
ccc 10EI12623046
10EI12614406
3EI634326
…(2)
31
Pers. Clapeyron utk Bentang BC & CD
Metode Clapeyron
Terapkan pers. Clapeyron pd bentang BC dan CD:
33
44
22
33
22
22
3
3D
3
3
2
2C
2
2B IL
a6A
IL
a6A
IL
a6A
I
LM
I
L
I
L2M
I
LM
c
310
cc 2EI62886
10EI12623046
10EI12614406
...M2EI6
2EI6
10EI12
2MM10EI12
Dccc
CBC
1495,28,4M1,2MCB
…(3)
32
Persamaan Simultan
Metode Clapeyron
13C13M
C
B
A
33A
1495,2
1555,2
432
M
M
M
8,41,20
1,26,42
024
Selesaikan pers (1-3) secara simultan:4MA+2MB + 0MC=-432 …(1)2MA+6,4MB+1,2MC=-1555,2 …(2)0MA+1,2MB+8,4MC=-1495,2 …(3)
→[M]=[A]-1[C]Selesaikan persamaan diatas secara simultan utk peroleh MA, MB dan MC
33
Momen tumpuan MA,MB & MC
Metode Clapeyron
Dgn bantuan spreadsheet Excell dihitung [A]-1 sbb:
33
1
0,1229510,027320,013661
0,027320,1912570,09563
0,0136610,095630,29784
A
246,147
279,215
36066,0
2,1495
2,1555
432
122951,002732,0013661,0
02732,0191257,009563,0
013661,009563,0297814,0
M
Momen yg terjadi adl. Sbb:
Selanjutnya buat Free body diagram, Diagram M&D serta Grs Elastis dgn langkah spt pd contoh no 1 terdahulu
34
Metode Clapeyron
Diagram M, D & kurva Grs elastis
θA=0
θB
θC
θD
Diagram M(kN.m)
Kurva Grs Elastis
Diagram D(kN)
36,18
107,82
141,67
130,33
66,54
5,46
24(+) (+)
(+) (+)
(-) (-)(-)
45,67
34,33
A
B C D3Ic 10Ic 2Ic
4m6m 12m 1,5m
E
2m
q1q2 P1 P2 P3
346,74
215,28
26,90
36147,25
(-)
(+)
(-)
(+)
14,640,361
35
Cara menghitung INVERS dgn Excell
Metode Clapeyron
1. Tuliskan / input matrik [A] di halaman spreadsheet yg ada (misalnya cell A1:C3)
8,41,20
1,26,42
024
2. Tempatkan kursor pd cell A5, pilih menu “FORMULA”, “INSERT-FUNCTION”, dan pilih “MINVERSE”, masukkan cell A1:C3 sbg “ARRAY”, PILIH “OKE”; (selanjutnya pd cell A5 berisi nilai 0,297814)
3. Blok/Sorot cell A5:C7, tekan “F2”, dan terakhir tekan CTRL-SHIFT-ENTER” secara bersamaan (→akan terbentuk matrik pd cell A5:C7, semua angka ini adl invers dari matrik [A] )
4. Utk meyakinkan, periksa hasil tadi dgn rumus: [A]x[A]-1=[I]
36
QUIS 1; METODE CLAPEYRON
Metode Clapeyron
Gambarlah diagram M dan D bila diketahui: P1=Nomor mhs, 3 digit terakhir (kN)q= 2P1 (kN/m)E=konstan
Quis 1 Mektek IIITgl : 05 Maret 2012Waktu : 100’ (09:30-11:10)Sifat : Open book(s)
A B C DL
1=6m L
2=6m 2m 2m
2Ic
4Ic
3Ic
PP
E
2m
L3=6m
F
q
37
QUIS 1 SUSULAN; METODE CLAPEYRON
Metode Clapeyron
Gambarlah diagram M dan D bila diketahui: 1) Tumpuan B mengalami penurunan
D=20mm relatif thd tumpuan lainnya.2) P1=Nomor mhs; 3 digit terakhir (kN)
q= 2P1 (kN/m),E=konstan
Quis susulan khusus utk Mhs peserta KKNQuis Mektek IIITgl : 21 Maret 2012Waktu : 100’ (09:30-11:10)Sifat : Open book(s) A B C D
L1=6m L
2=6m 2m 2m
2Ic
4Ic 3I
c
PP
E
2m
L3=6m
F
q
B’
D