BAB I

PENDAHUAN

A. Latar belakangPersamaan diferensial berperang penting di alam , sebab kebanyakan fenomena

alam dirumuskan dalam bentuk diferensial. Persamaan diferensial sering digunakan sebagai model matematika dalam bidang sains maupun dalam bidang rekayasa.

Persamaan differensial adalah pesamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa ) fungsi yang tidak diketahui. Suatu persamaan diferensial yang terdiri dari satu variabel bebas saja dinamakan perasamaan diferensial biasa (Ordinary Differential Equation-ODE). Sedangkan persamaan diferensial yang terdiri dari dua atau lebih variabel bebas dinamakan persamaan diferensial parsial (partial Differential Equation-PDE). Pada pembahasan makalah kami akan membahas persamaan diferensial biasa (ODE) dengan metode Euler dan metode heun. Penyelesaian persamaan diferensial biasa (ODE) mempunyai bentuk umum yaitu:

Penyelesaian PDB secara umerik berarti menghitung nilai fungsi di xr+1 = xr + h, dengan h adalah ukuran langkah (step )setiap lelaran. Pada metode analitik, nilai awal berfungsi untuk memperoleh solusi yang unik, sedangkan pada metode numeric nilai awal (initial value ) pada ersamaan di atas berfungsi untuk memulai lelaran .

B. Tujuan Makala

Tujuan dalam pembuatan makalah ini adalah untuk mengetahui cara

menganalisis Metode Euler dan Heun, baik melalui teori maupun melalui

pemrograman.

1

II.4

2.4.1 Metode Euler

Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana. Di banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini paling kurang teliti. Namun demikian metode ini perlu dipelajari mengingat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya sehingga memudahkan dalam mempelajari metode lain yang lebih teliti.

Metode euler atau disebut juga metode orde pertama karena persamaannya kita hanya mengambil sampai suku orde pertama saja. Misalnya diberikan PDB orde satu,

y , = dy/dx = f(x,y) dan nilai awal y(x0) = x0

Misalkanyr = y(xr)

adalah hampiran nilai di xr yang dihitung dengan metode euler. Dalam hal ini xr = x0 + rh, r = 1, 2, 3,…n

metode euler diturungkan dengan cara menguraikan y(xr+1) di sekitar xr ke dalam deret taylor :

y(xr+1)=y(xr)+ y’(xr)+ y”(xr)+… (1) bila persamaan di atas dipotng samapai suku orde tiga, peroleh

y(xr+1) = y(xr) + y’(xr) + y”(t), xr<t<xr+1 (2)

berdasarkan persamanan bentuk baku PDB orde orde satu makay’(xr ) = f(xr, yr)

dan xr+1 – xr = h

maka persamaan 2 dapat ditulis menjadi

y(xr+1)≈

y(xr)+hf(xr,yr)+ y”(t) (3) dua suku pertama persamaan di atas yaitu :

y(xr+1) = y(xr) + hf(xr, yr) ; r = 0, 1, 2,…,n (4) atau dapat ditulis

yr+1 = yr + hfr

yang merupakan metode Euler.

2

2.4.1.1 Tafsiran geometri Metode PDB

f(x,y) dalam persamaan diferensial menyatakan gradiaen garis siggng kurva di titik (x,y). kita mulai menarik garis singgung dari titik (x0,y0) dengan gradien f(x0,y0) dan berenti di titik (x1,y1), dengan y1 di hitung dari persamaan 4. Selanjutnya di titik (x1,y1) ditarik lagi garis dengan gradien f(x1,y1) dan berhenti dititik (x2,y2) dengan y2 dihitung dari persamaan 4. Proses ini kita ulang beberapa kali, misalnya sampai lelaran ke-n, sehingga hasilnya adalah garis patah-patah seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:

y y=f(x)

gradient f(xn-1,yn-1)

…

x0 x1 x2 x3 … xn-1 xn x

(Tafsiran geometri untuk penurunan metode PDB)

y y(x)

yr+1 sejati

yr+1

yr

h

xr xr+1 x

tafsiran geometri untuk penurunan metode euler

3

pada gambar kedua gradien (m) garis singgung di xr adalah

Yang tidak lain adalah persamaan Euler.

2.4.1.2 Analisis Galat Metode Euler

Meskipun metode Euler sederhana, tetapi ia mengandung dua macam galat, yaitu galat pemotong (truncation error) dan galat longgokan (cumulative error). Galat pemotong dapat langsung ditentukan dari persamaan berikut:

(p.5)

Galat pemotongan ini sebanding dengan kuadrat ukuran langkah h sehingga di sebut juga galat per langkah (error per step) atau galat local. Semakin kecil nilai h (yang berarti semakin banyak langkah perhitungan). Nilai pada setiap langkah (yr) dipakai lagi pada langkah berikutnya. Galat solusi pada langkah ke-r adalah tumpukan galat dari langkah-langkah sebelumnya. Galat yang terkumpul pada akhir langkah ke-r ini di sebit galat longgokan (cumulative error). Jika langkah dimulai dari x0 = a dan berakhir di xn = b maka total galat yang terkumpul pada solusi akhir (yn) adalah

(p.6)

Galat longgokan total ini sebenarnya adalah

ALGORITMA UNTUK METODE EULER

Merghitung hampiran penyelesaian masalah nilai awal y’ = f(t,y) dengan y(t0) = y0

pada [t0, b]INPUT : n, t0, b, y0, dan fungsi fOUTPUT : (tk, yk), r = 1, 2, 3, …, nLANGKAH-LANGKAH:

1. Hitung h = (b – t0)/n2. FOR r = 1, 2, 3, …, n

Hitung xr = xr-1 + h, yr = yr-1 + h * f(xr-1, yr-1)3. SELESAI

4

Contoh:

Diketahui PDB

Dy/dx = x + y dan y(0)=1

Gunakan metode Euler untuk menghitung y(0, 10)dengan ukuran langkah h = 0,05 dan h = 0,02. Jumlah angka bena = 5.diketahui solusi sejati PDB tresebut adalah

y(x) = ex – x – 1.

Penyelesaian:

(i) Diketahuia = x0 = 0b = 0.10c = 0.05

dalam hal ini f(x,y) = x + y, dan penerapan metode Euler pada PDB tersebut menjadi

Langkah-langkah:

Jadi, (bandingkan dengan solusi sejatinya,

Sehingga galatnya adalah Galat = 0.0052 – 1.05775 = -1.1030

(ii) Diketahi

Dalam hal ini , , dan penerapan metode Euler pada PDB tersebut menjadi

Langkah-langkah:

5

Jadi (bandingkan dengan solusi sejatinya, y(0,10) = 1.1103, sehingga galatnya adalah

Galat = 1.1103 – 1.1081 = 1.1081)

Program matlabnya yaitu:clc;clear;x=0;y=1;b=0.10;n=5;h=(b-x)/nhasil=[0 1];for r=1:n y=y+h*(x+y); x=x+h; hasil=[hasil; x y];endf=exp(b)-b-1;galat=f-y;hasileror=[f galat]

Autputnya yaitu:h = 0.0200hasil =

0 1.0000 0.0200 1.0200 0.0400 1.0408 0.0600 1.0624 0.0800 1.0849 0.1000 1.1082

eror = 0.0052 -1.1030

2.4.2. Metode Heun (Perbaikan Metode Euler)

6

Metode Euler mempunyai ketelitian yang rendah karena galatnya besar (sebanding dengan h). buruknya galat ini dapat dikurangi dengan menggunakan metode Heun, yang merupakan perbaikan metode Euler (modifified Euler’s method ). Pada metode Heun , solusi dari metode Euler dijadikan sebagai solusi perkiraan awal (prediktor), selanjutnya solusi perkiraan awal diperbaiki dengan metode Heun (Corrector).

Metode Heun diturunkan sebagai berikut:Pandang PDB orde Satu

Integrasikan kedua ruas persamaan dari xr sampai xr+1 :

= y(xr+1)-y(xr) = yr+1-yr

Nyatakan yr+1 di ruas kiri dan suku-suku lainnya di ruas kanan:

(p.7)Suku yang mengandung integral di ruas kanan ,

, dapat diselesaikan dengan kaidah trapezium menjadi

(p.8)Sulihkan persamaan (p.7) ke dalam persamaan (p.8) , menghasilkan persamaan

(p.9)Yang nerupakan metode Heun , atau metode Euler-Cauchy yang diperbaiki. Dalam persamaan (p.8) suku ruas kanan mengandung yr+1 ini adalah solusi perkiraan awal (prediktor) yang dihitung dengan metode Euler. Persamaan (p.9) dapat dituls sebagai :

predictor :

Corrector : (p.10)Atau ditulis dalam satu kesatuan,

7

(p. 11)

2.4.2.1. Tafsiran Geometri Metode Heun

Pada selang xr sampai xr + ½ hkita menghampiri solusi y dengan garis singgung melalui titik (xr , yr) dengan gradien f(xr , yr) dan kemudian meneruskan garis singgung dengan gradien f(xr+1, y(0) r+1) sampai x mencapai xr+1.

y(x) y1

y0

x0 x1

(tafsiran geometri metode Heun)

2.4.2.2 Galat metode HeunDari persamaan (p.10) suku h/2 [f(xr , yr) + f(xr+1, y(0) r+1)] bersesuaian

trapesiun pada integrasi numeric. Dapat dibuktikan bahwa galat per langkah metode Heun sama dengan galat kaidah trapesiun, yaitu:

Ep = h3

12 y”(t) , xr < t < xr+1

(p. 12) = o(h3)

Bukti:Misalkan ,

Yr+1 adalah nilai y sejati di xr+1

yr+1 adalah nampiran nilai y di xr+1

Uraikan Yr+1 di sekitar xr :Yr+1 =

=Dengan menyatakan

maka

8

(p.13)Dari persamaan (p.10)

Uraikan dengan menggunakan deret taylor di sekitar :

= =

=Sehingga persamaan (p.10) dapat ditulis menjadi:

=

=

Galat per langkah = nilai sejati – nilai hampiran

=

=

=

=

9

= xr<t<xr+1

= 0(h3)

Galat longgokannya adalah,

=

= 0(h2)

Jadi galat longgokan metode Heun sebanding dengan h2. Ini berarti solusi PDB metode heun lebih baik dari pada solusi dari metode Euler, namun jumlah komputasinya menjadi lebih banyak dibandingkan dengan metode Euler. Perbandingan metode Heun dengan metode Euler dapat dilihat pada gambar berikut:

y y(x)

yr+1 sejati

yr+1(1) Heun

yr+1(0) Euler

yr

h

xr xr+1

ssperbandingan metode Euler dengan metode Heun

ALGORITMA METODE HEUN

Menghitung hampiran penyelesaian masalah nilai awal y’ = f(t,y) dengan

y(t0) = y0 pada [t0, b].INPUT : t0, b, y0, h, dan fungsi f

10

OUTPUT: (tr,yr), r = 1, 2, …, n LANGKAH-LANGKAH:

1. Hitung n = (b – t0)/h2. FOR r = 1, 2, 3, …, n

Hitung tr = tr-1 + h,Hitung S1 = f(tr-1, yr-1),Hitung S2 = f(tr, yr-1 + h * S1),

Hitung yr = yr-1 +h2

(S1 +S2).

SELESAI

Contoh:

Diketahui PDB

dy/dx = x + y ; y(0) = 1

hitung y(0.10) dengan metode Heun (h = 0.02)

penyelesaian:

dietahui:

f(x,y) = x + y

a = x0 = 0

b = 0.10

h = 0.02

maka n = (0.10 - 0)/0.02 = 5 (jumlah langkah)

langkah-langjah:

x1 = 0,02 → y(0)1 = y0 + hf(x0, y0)

= 1 + 0.02(0+1)

= 1.0200

Y(1)1 = y0 + (h/2)[f(x0,y0)+f(x1,y(0)1)]

= 1 + (0.02/2)(0+1+0.02+1.0200)

= 1.0204

11

X2 = 0.04 →y(0)2 = y1 + hf(x1, y1)

= 1.0204 + 0.02(0.02 + 1.0204)

= 1.0412

Y(1)2 = y1 + (h/2)[f(x1, y1) + f(x2, y(0)2)]

= 1.0204 + (0.02/2)[0.02 + 1.0204 + 0.04 + 1.0412]

=1.0416

…

X5 = 0.10 →y(0)5 = y4 + hf(x4, y4)

Y(0)5 = y4 + (h/2)[f(x4, y4) + f(x5,y(0)5)]

= 1.1104

Jadi, y(0.10) ≈ 1.1104

Program matlabnya yaitu:

clc;

clear;

x=0;

y=1;

b=0.10;

n=5;

h=(b-x)/n

hasil=[0 1];

for r=1:n

y=y+(h/2)*((x+y)+(x+(y+h*(x+y))));

x=x+h;

12

hasil=[hasil; x y];

end

f=exp(b)-b-1;

galat=f-y;

hasil

eror=[f galat]

Outpunya yaitu:

h = 0.0200

hasil =

0 1.0000

0.0200 1.0202

0.0400 1.0412

0.0600 1.0631

0.0800 1.0857

0.1000 1.1093

eror = 0.0052 -1.1041

13

BAB III

PENUTUP

A. KESIMPULAN1. Metode Euler

Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling sederhana.Metode euler atau disebut juga metode orde pertama karena persamaannya kita hanya mengambil sampai suku orde pertama saja. Misalnya diberikan PDB orde satu,

y , = dy/dx = f(x,y) dan nilai awal y(x0) = x0

Persamaan metode Ueler yaitu : yr = yr-1 + h * f(xr-1, yr-1)

2. Metode Heun (Perbaikan Metode Euler)Pada metode Heun , solusi dari metode Euler dijadikan sebagai solusi perkiraan awal (prediktor), selanjutnya solusi perkiraan awal diperbaiki dengan metode Heun (Corrector).Persamaan metode euler yaitu:

B. SaranAdapun saran kami bagi pembaca makalah ini, kiranya setelah makalah ini

selesai maka kami berharap akan ada diskusi selanjutnya terkait masalah-

masalah yang belum jelas, sehingga dengan demikian proses pembuatan

makalah selanjutnay bisa disempurnakan dan lebih baik lagi.

14

DAFTAR PUSTAKA

Agus Setiawan, ST, MT, 2006, pengantar Metode Numerik, yogyakata : penerbit Andy Yogyakarta

Drs. Sahid, M.Sc. 2005, pengantar Komputasi Numerik dengan Matlab, yogyakata : penerbit Andy Yogyakarta

Rinaldi Munir. 2008, Metode Numerik, Revisi kedua, Bandung : informatika Bandung

15