88

5. 8 Interpolasi Polinom Newton Gregory Maju

Bentuk polinom Newton Gregory Maju merupakan kasus khusus dari polinom

Newton, untuk titik – titik yang berjarak sama. Ada dua macam tabel polinom Newton,

yaitu selisih maju (forward difference) dikenal dengan Newton–Gregory Maju, dan tabel

selisih mundur (backward difference) atau Newton–Gregory Mundur. Bentuk umum

polinom ini adalah :

...)xx)(xx].(x,x,x[f)xx].(x,x[f)x(f)x(p 100120010n

)xx)...(xx)(xx].(x,x,...,x,x[f 1n10011nn

atau dapat ditulis,

...h!2

f)xx)(xx(

h!1

f)xx(f

2

0

2

10

0

00

n

0

n

1n10h!n

f)xx)...(xx)(xx(

(5. 8. 1)

Persamaan (5. 8.1) dapat juga ditulis sebagai relasi rekursif :

n

0

n

1n101nnh!n

f)xx)...(xx)(xx()x(p)x(p

jika titik – titik berjarak sama dinyatakan sebagai xi = x0 + ih, dengan i = 0, 1, 2, …, n dan

nilai x yang dinterpolasikan adalah]

x = x0 + sh, s R

maka,

pn(x) ...fh!2

h)1s(sf

h!1

hsf 0

2

2

2

00

0

n

n

n

fh!n

h)1ns)...(2s)(1s(s

atau

pn(x) ...f!2

)1s(sf

!1

sf 0

2

00

0

nf

!n

)1ns)...(2s)(1s(s

= 0

kn

0k

fk

s

, dengan 1

0

s

,

!k

)1ks)...(2s)(1s(s

k

s

Tabel Selisih Maju Newton Gregory

i x f(x) f 2f 3

f 4f

0 x0 f0 f0 2f0 3

f0 4f0

1 x1 f1 f1 2f1 3

f1

2 x2 f2 f2 2f2

3 x3 f3 f3

4 x4 f4 f4

89

Keterangan,

f0 = f(x0) = y0 f0 = f1 – f0 2f0 = f1 – f0 3

f0 = 2f1 – 2

f0

f1 = f(x1) = y1 f1 = f2 – f1 2f1 = f2 – f1 3

f1 = 2f2 – 2

f1

… … ... ...

fp = f(xp) = yp fp = fp+1 – fp 2fp = fp+1 – fp 3

fp = 2fp+1 – 2

fp

atau bentuk umumnya adalah : n+1fp = n

fp+1 – nfp

Contoh 5. 8. 2 :

Bentuklah tabel selisih untuk fungsi f(x) = 1x

1

dalam selang [0. 000, 0. 625]

dengan nilai h = 0. 125. hitung f(0. 400) dengan Polinom Newton-Gregory Maju derajat 3.

Penyelesaian :

Karena polinom ini berderajat 3 maka, diperlukan 4 buah titik. Sehingga

didapatkan galat terkecil interpolasi polinom ini, jika x terletak disekitar pertengahan

selang. Jadi titik – titik yang diambil adalah :

x0 = 0. 250, x1 = 0. 375, x2 = 0. 500, dan x3 = 0. 625,

i x f(x) 2 3

0 0. 000 1.000 – 0. 111 0. 022 – 0. 006

1 0. 125 0. 899 – 0. 089 0. 016 – 0. 003

2 0. 250 0. 800 – 0. 073 0. 013 – 0. 005

3 0. 375 0. 727 – 0. 060 0. 008

4 0. 500 0. 667 – 0. 052

5 0. 625 0. 615

karena x = 0. 400 terletak di sekitar pertengahan selang [0. 250, 0. 625], dengan h =

0. 125, maka nilai s = h

xx 0 =

125.0

250.0400.0 = 1. 2.

sehingga f(0. 400) dengan polinom Newton Gregory maju derajat 3 :

p3(x) 0

2

00 f!2

)1s(sf

!1

sf

0

3f

!3

)2s)(1s(s

= 0. 800 +(1. 2)(–0. 073) + 2

)2.0)(2.1((0. 013) +

6

)8.0)(2.0)(2.1( (–0. 005)

= 0.7141.

Nilai sejati dari f(0. 400) adalah

f(0. 400) = )1400.0(

1

= 0. 714285714.

Batas – batas nilai galatnya adalah : E(x) )t(fh)!13(

)3s)(2s)(1s(s 4

90

5. 9 Interpolasi Polinom Newton Gregory Mundur

Bentuk polinom Newton Gregory mundur (backward difference) dibentuk dari

tabel Newton selisih mundur dengan rumus umum sebagai berikut :

pn(x) ...f!2

)1s(sf

!1

sf 0

2

00

0

nf

!n

)1ns)...(2s)(1s(s

= 0

kn

0k

fs

1ks

atau dalam bentuk tabel,

Tabel Selisih Mundur Newton Gregory

i x f(x) f 2f 3

f 4f

– 4 x-4 f-4

– 3 x-3 f-3 f-3

– 2 x-2 f-2 f-2 2f-2

– 1 x-1 f-1 f-1 2f-1

3f-1

0 x0 f0 f0 2f0

3f0

4f0

Keterangan,

f0 = f(x0) f0 = f0 – f-1 2f0 = f0 – f-1 3

f0 = 2f0 –

2f-1

f-1 = f(x-1) f-1 = f-1 – f-2 2f-1 = f-1 – f-2 3

f-1 = 2f-1 –

2f-2

… … ... ...

f-p = f(x-p) f-p = f- p – f- (p+1) 2f-p = f-p – f-(p+1) 3

f-p = 2f-p –

2f-(p+1)

Contoh 5. 8. 3 :

Bentuklah tabel selisih untuk fungsi f(x) = 1x

1

dalam selang [0. 000, 0. 625]

dengan nilai h = 0. 125. hitung f(0. 4) dengan Polinom Newton-Gregory Mundur derajat 3.

Penyelesaian :

Bentuk umum Tabel selisih maju dari soal ini dapat digambarkan sebagai berikut :

Karena polinom ini berderajat 3 maka, diperlukan 4 buah titik. Sehingga galat interpolasi

terkecil, jika x terletak disekitar pertengahan selang. Jadi titik – titik yang diambil adalah :

x0 = 0. 250, x1 = 0. 375, x2 = 0. 500, dan x3 = 0. 625,

i x f(x) 2

3

– 5 0. 000 1.000

– 4 0. 125 0. 899 – 0. 111

– 3 0. 250 0. 800 – 0. 089 0. 022

– 2 0. 375 0. 727 – 0. 073 0. 016 – 0. 006

– 1 0. 500 0. 667 – 0. 060 0. 013 – 0. 003

0 0. 625 0. 615 – 0. 052 0. 008 – 0. 005

91

karena x = 0. 400 terletak di sekitar pertengahan selang [0. 250, 0. 625], h = 0. 125

maka nilai s = h

xx 0 =

125.0

250.0400.0 = 1. 2

sehingga f(0. 400) dengan polinom Newton Gregory mundur derajat 3 :

p3(x) 0

2

00 f!2

)1s(sf

!1

sf

0

3f

!3

)2s)(1s(s

= 0. 800 +(1. 2)(–0. 073)+2

)2.0)(2.1((0. 013)+

6

)8.0)(2.0)(2.1( (–0. 005)

= 0.7141.

Nilai sejati dari f(0. 400) adalah

f(0. 400) = )1400.0(

1

= 0. 714285714.

5. 10 Interpolasi Polinom Dua Dimensi

Fungsi dua peubah atau variabel, secara umum dapat dinayatakan sebagai :

z = f(x, y)

Dengan grafik fungsi z adalah sebuah bidang atau permukaan (surface) atau selimut

kurva dengan alasnya bidang x – y, sehingga nilai – nilai z terletak pada permukaan

tersebut.

Jika z dinterpolasi dengan polinom dua varaibel atau dua dimensi. Dapat ditentukan

derajat dalam arah x dan y. Misalkan z dihampiri dengan polinom dua dimensi, 2 derajat

untuk x dan 3 derajat untuk y, maka :

z = f(x, y)= a0x + a1 x + a2y + a3x2

+ a4 xy+ a5 y2

+ a6x2y + a7 xy

2

+ a8xy3

+a9y3 + a10 x

2y

2 + a11x

2y

3 (5. 10.1)

Contoh 5. 10. 2 :

Diberikan tabel f(x, y) sebagai berikut :

x y 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.5 0.165 0.428 0.687 0.942 1.190 1.431

1.0 0.271 0.640 1.003 1.359 1.703 2.035

1.5 0.447 0.990 1.524 2.045 2.549 3.031

2.0 0.738 1.568 2.384 3.177 3.943 4.672

2.5 1.216 2.520 3.800 5.044 6.241 7.379

3.0 2.005 4.090 6.136 8.122 10.030 11.841

3.5 3.306 6.679 9.986 13.196 16.277 19.198

Taksirlah nilai f(1.6, 0.33) dengan polinom Newton Gregory Maju derajat 2 dalam

arah x dan derajat 3 untuk arah y.

92

Penyelesaian :

Diketahui fungsi tabel tersebut adalah f(x, y) = ex siny + y – 0.1. Yang akan ditaksir

f(1.6, 0.33).

Untuk arah y (x tetap)

Diketahui y = 0.33 dengan polinom derajat 3 (dipilih 4 buah titik) maka selangnya

adalah [0.2, 0.5]. Karena titik – titiknya berjarak sama, maka h = 0.1,

Tabel Dalam arah y (x tetap):

y z z 2z 3

z

x = 1.0

0.2 0.640 0.363 –0 . 007 –0 . 005

0.3 1.003 0.356 –0 . 012

0.4 1.359 0.344

0.5 1.703

x = 1.5

0.2 0.990 0.534 –0 . 013 –0 . 004

0.3 1.524 0.521 –0 . 017

0.4 2.045 0.504

0.5 2.549

x = 2.0

0.2 1.568 0.816 –0 . 023 –0 . 004

0.3 2.384 0.793 –0 . 027

0.4 3.177 0.766

0.5 3.943

y = y0 + sh s = h

yy 0=

1.0

2.033.0 = 1.3

Polinom Newton Gregory maju derajat 3 (dalam arah y) :

P3(x) 0

2

00 f!2

)1s(sf

!1

sf

0

3f

!3

)2s)(1s(s

Untuk x = 1.0 ; f(x, 0. 33) = p3(x, 0. 33)

p3(x, 0. 33) 007.0!2

)13.1(3.1363.0

!1

3.1640.0

005.0

!3

)23.1)(13.1(3.1

= 1.1108

Untuk x = 1.5 ; f(x, 0. 33) = p3(x, 0. 33)

p3(x, 0. 33) 013.0!2

)13.1(3.1534.0

!1

3.1990.0

004.0

!3

)23.1)(13.1(3.1

= 1. 6818

Untuk x = 2.0 ; f(x, 0. 33) = p3(x, 0. 33)

p3(x, 0. 33) 023.0!2

)13.1(3.1816.0

!1

3.1568.1

004.0

!3

)23.1)(13.1(3.1

= 2. 6245

93

Untuk arah x (y tetap)

Diketahui x = 1.6 dengan polinom derajat 2 (dipilih 3 buah titik) maka selangnya

adalah [1.0, 2.0]. Karena titik – titiknya berjarak sama, maka h = 0. 5,

Tabel Dalam arah x (y tetap) :

x z z 2z

1.0 1.1108 0.5710 0.3717

y = 0. 33 1.5 1.6818 0.9427

2.0 2.6245

x = x0 + sh s = h

xx 0=

5.0

0.16.1 = 1.2

Polinom Newton Gregory maju derajat 2 (dalam arah x) :

p3(x) 0

2

00 f!2

)1s(sf

!1

sf

f(1.6, 0.33) = p3(1.6, 0.33)

3717.0!2

)12.1(2.15719.0

!1

2.11108.1

= 1. 8406

f(1.6, 0.33) = 1. 8406.