250. Pada segitiga ABC diketahui AB = 5 cm, AC = 6 cm dan BC = 4 cm. Titik D terletak pada sisi AB sehingga panjang AD = 2 cm. Dari titik D dibuat garis tegak lurus AC di E dan dibuat sebuah garis lagi dari D tegak lurus BC di titik F. Tentukan DE : DF !

Jawab : C

T F E

A D B

94

32

46

32

..

.

.325

2121

2121

=⇔=⇔=⇔=

=−=−=

∆

∆

DFDE

DFDE

DFBCCDAC

tBDtAD

LL

ADABBD

BDC

ADC

251. Bila log 2 = a, log 3 = b dan xx 321 32 −+ = maka tentukan nilai x + 1 !

Jawab :( ) ( )

( ) ( )ba

bbaba

baabx

baabxbxax

xxxx

35

33

321

32321

3log322log13log2log 321

+=

+++

+−=+⇒

+−=⇔−=+

−=+⇔= −+

252. Pada segitiga XYZ diketahui sin x = 551 dan sin z = 1010

1 . Tentukan nilai tan 2y

!

Jawab :

( )12tan

11tan1tan1tan2

1.1tantan1

tantantan1tan2

)tan(tan1tan2

))(180(tantan31tan10sin

21tan5sin

21

221

212

21

31

2131

21

212

21

212

21

101

51

+=

−−=⇔+−=

−=−

+−=

−+−=

−

+−=−

+−=

=⇒=

=⇒=

y

yyy

zxzx

yy

zxy

yzxy

zz

xx

253. Diketahui cos (A + B) = 53

dan cos (A – B) = 1312

. Tentukan nilai sin B !

Jawab :

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

130sin1309sin

6556

135.

54

1312.

52sinsincoscossin21

cos2cos135sin

1312cos

54sin

53cos

13022

2

=⇒=

=+=−++−+=−

−−+=

=−⇒=−

=+⇒=+

BB

BABABABAB

BABAB

BABA

BABA

254. Batistuta akan melakukan tendangan pinalti ke gawang Buffon. Peluang membuat gol dalam sekali tendangan adalah 4/5. Jika dilakukan 5 kali tendangan pinalti, tentukan peluang membuat tiga nol !

Jawab :

Peluang tiga gol =5C3 625128

251.

12564.10

51

54 23

==

255. Tentukan domain dari fungsi 25223)( 2

2

+−−+=

xxxxxf

Jawab :

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) 0

2121230

25223)

2,2102120252)

2

2

2

≥−−+−⇔≥

+−−+

≠≠⇒≠−−⇔≠+−

xxxx

xxxxii

xxxxxxi

+ - + - +

-1 21

32

2

Dari (I) dan (ii) didapat : Df :

≥≤≤−≤ 2

32

211 xatauxatauxx

256. Tentukan dxdy

dari xy cos=

Jawab :( )

xx

yx

dxdy

dxxxdyyxyxy

cos22sin

22sin2

sincos22coscos 22

−=−=

−=⇒=⇔=

257. Tentukan nilai maksimum fungsi 10cossin24sin14cos4)( 22 +++= xxxxxf

Jawab :

192sin122cos5)(102sin122cos772cos22)(

102sin1222cos114

22cos14)(

++−=++−++=

++−++=

xxxfxxxxf

xxxxf

( ) 32191215 2222max =++−=++= CBAf

258. Tentukan 0

lim→x

xx

xxxx3sinsin3

18sin10sin6sin2sin−

−++

Jawab :

0lim

→x

( ) ( )xx

xxxx3sinsin3

10sin18sin2sin6sin−

−−+=

0lim

→x )sin4sin3(sin3

4sin14cos22cos4sin23 xxx

xxxx−−

−=

0lim

→x

( ) =−−x

xxx3sin4

2cos14cos4sin2

0lim

→x

( ) =−−x

xxx3sin4

6sin8sin24sin2

0lim

→x 1926.8.4

sinsinsin46sin8sin4sin4 ==xxxxxx

259. Tentukan ba →

lim

baba

ba

ba

−−+

−

tantan)1(1

tantan

Jawab :

ba →lim

=

−+−

−

baba

ba

ba

tantan)1()1(

tantan

ba →lim

( )=

+−

−

baba

ba

tantan1)1(

tantan

ba →lim

( ) =−

−

ba

ba

1

tan

ba →lim

( ) b

baba

b

−=−−−)(

tan1

260. Sebuah kerucut tegak tanpa alas diletakkan terbalik, ke dalam kerucut dimasukkan sebuah bola yang berdiameter 16 cm sehingga semua bagian bola masuk ke dalam kerucut. Tentukan tinggi kerucut agar mempunyai volume terkecil !

Jawab : A R F B

8

D E t - 8

C

Segitiga AFC sebangun dengan segitiga CDE

( ) 3203220)16(.1162640'

1664.

1664.

1664

641664

88

222

2

22

2222

2

22

=⇒=−−⇔=−

−−⇒=

−=

−==

−=⇔

+−=

+⇒

−=

+⇒=

ttttt

tttV

ttt

tttRV

ttR

tttRR

ttRR

DCDE

ACAF

π

πππ

261.

7

3 12 14

20

8

Isilah lingkaran-lingkaran kosong pada “bintang ajaib” di samping dengan bilangan sedemikian sehingga bilangan-bilangan pada setiap garis mempunyai jumlah yang sama !

Jawab :

7

3 a 12 14

20 f

b c d e

8

Jumlah setiap baris = 29 + ab+20+a+7 = 29 + a atau b = 23+20+c+8 = 29 + a atau c = a – 28+d+f+14 = 7+12+f+e atau d = e – 3b+c+d+e = 29+a 2+a-2+e-3+e = 29+a atau e = 16d = 16-3 = 138+d+f+14 = 29+a8+13+f+14 = 29+a atau f = a – 6Soal mempunyai banyak jawaban. Bila dimisalkan a = 11 maka c = 9 dan f = 5

262. Tentukan semua pasangan bilangan bulat yang selisih kuadratnya 924 !

Jawab :( ) ( ) 92422 =−+=− bababa

Pasangan nilai (a + b) dan (a – b) yang mungkin adalah pasangan faktor genap dari 924.

a+b 462 154 66 42a - b 2 6 14 22

1032

2242

2640

1466

7480

6154

230232

2462

==

⇒

=−=+

==

⇒

=−=+

==

⇒

=−=+

==

⇒

=−=+

ba

baba

ba

baba

ba

baba

ba

baba

263. Diketahui segitiga ABC dengan sisi-sisi AB, CA dan CB masing-masing menyinggung lingkaran yang pusatnya O. Jika 40=∠ ACB , tentukan AOB∠ !

R B

S O 40

A T

Jawab :Misal R, S dan T adalah titik-titik singgung.

CBARBSCABTAS

CABCBA

∠−=∠∠−=∠

=−=∠+∠

180180

14040180

+ 220140360 =−=∠+∠ RBSTAS

Karena AS dan AT garis singgung maka OA merupakan garis bagi SAT∠ .Begitupun BS dan BR yang merupakan garis bagi RBS∠

( )( )

70110180180

110220.21

21

=−=∠+∠−=∠

==∠+∠=∠+∠

OBSOASAOB

RBSTASOBSOAS

264.

P

A B C D

Q

Dua buah lingkaran 1L dan 2L masing-masing berjari-jari 21 rdanr . Kedua lingkaran berpotongan di titik P dan Q. Garis singgung 1L dan 2L di titik P membentuk sudut siku-siku. Garis yang melalui pusat lingkaran-lingkaran itu memotong kedua lingkaran di A, B, C dan D. Jika AD = m dan BC = n maka tunjukkan bahwa mn = 21.2 rr

Jawab :

P

A M B N C D

Q

NDMNAMADNPMP

rNPrMP

++=⊥

== 21,

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 21

22

2121

22

21

22212121

21211

21

22 rrrrrrrrmn

MNrrrMNrrMNrmnrMNrrMNrNBMNrn

rMNrm

=+−++=

−+=+−++=

+−=−−=−−=++=

265. C 2 D 2 E

2 A 4 B

Hitung luas daerah yang diarsir !

Jawab :( ) ( ) ( ) ( ) 122.4.6.4.2.4.4.4. 2

121

21

21 =−+−=−+−=+= ∆∆∆∆∆∆ ABEABCABEABDBCEAED LLLLLLL

266. C

15

A H 16 BSegitiga ABC siku-siku di C dan AC = 15. Garis tinggi CH membagi AB dalam segmen AH dan HB dengan HB = 16. Tentukan luas segitiga ABC !

Jawab :. C

15 t y

A H 16 B

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) 15012.169129

25092502251616151615

:)4()1()4......(16153)2(

)3....(16)2.....(15

)1....(15161516

21

222222

2222

222

222

222222

=+==⇒=

−==−+⇔=−+⇔−−+=−

−=−⇒−=

−=−+=⇔+=+

∆ ABCLtx

memenuhitidakxxxxxxx

keSubstitusiyxdanDari

ytxt

xyyx

267. C

N

P

B M A

Segitiga ABC siku-siku di C. Garis berat CM tegak lurus garis berat BN. Panjang sisi BC = s. Tentukan panjang BN !

Jawab :Misal AC = b dan AB = c.Karena BN dan CP garis berat, maka :

( )

( ) 2)1()2(

)2.......(

)1....(1:2:1:2:

432

432

412

942

4322

412

94

2412

412

95

22412

412

412

412

94222

2412222

sBNssBNsbcBN

scBN

BPscCPcBNPMBMBPBPM

bsCNsBNBNCPMCPPNBP

=⇒−=−⇔−−=−⇒−

+=

−+=+=⇔+=⇒∆

+=+=⇒∆=

=

268. Dari segitiga ABC diketahui bahwa AD garis tinggi. Buktikan bahwa untuk setiap titik P pada AD akan berlaku 2222 DCBDPCBP −=−

Jawab : C

D

P

A B

222

222

PDDCPCPDBDBP

+=+=

-2222 DCBDPCBP −=−

269. D G C

H

F

A E B

Pada sisi-sisi AB, BC, CD dan DA dari persegi panjang ABCD yang panjang sisinya a dan b dipilih titik-titik E, F, G dan H sedemikian hingga AE = 2

1 EB, BF = 21 FC, CG = 2

1 GD dan

DH = 21 HA. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh garis AG, BH, CE dan DF !

Jawab : D G C Misal ET = x

H

T F α α β A E B

1.tantan 32

32

==aa

aaβα

Maka BH ⊥ EC. Berarti segiempat yang diarsir berupa persegi. Misal panjang sisinya x.

13

3132

2

31

31

axdiarsiryangdaerahLuas

axaa

ax

CEBC

AEx

==

=⇔=⇔=

270.. C

9 4 P

49

A B

Dipilih titik P di dalam segitiga ABC sehingga apabila ditarik garis-garis lewat P sejajar dengan sisi-sisi ABC, maka hasilnya segitiga-segitiga yang luasnya 4, 9 dan 49. Hitung luas segitiga ABC !

Jawab :

. C

2x 3y U T 3x 9 3y 2x 4 2y V P S

7x 7x 49 7y 7y

A Q R B

Misal panjang PQ = 7x dan PR = 7y, maka TP = 2x, TS = 2y, UV = 3x dan UP = 3y

1442.72sin.12.12.

2sin49sin.7.7.

21

21

===

=⇔==

∆

∆

α

αα

yxL

xyyxL

ABC

PQR

271.

Jika diketahui jari-jari lingkaran besar adalah R satuan dan jari-jari lingkaran kecil adalah

r satuan (kedua lingkaran tidak sepusat). Tunjukkan bahwa ( )cbaRR

abc ++= 21

4

Jawab : C

r P

A B

( )

( )cbarR

abcdanDari

Rabc

RcabCabL

RcCR

Cc

cbarbrarcrLLLL

ABC

PACPBCPABABC

++=⇒

===

=⇔=

++=++=++=

∆

∆∆∆∆

21

21

21

21

21

21

21

4)2()1(

)2....(42

sin

2sin2

sin

)1....(

272. Jika AA’ dan BB’ adalah tali busur-tali busur sebuah lingkaran yang berpotongan di titik P di dalam lingkaran, maka buktikan bahwa PA.PA’ = PB.PB’ (teorema tali busur) !

Jawab :

B A’

P B’

A

'.'.''

''~''''

PBPBPAPAPAPB

PBPA

APBPABAPBPAB

PBAAPB

=⇔=

∆∆⇒

∠=∠∠=∠

273. Jika AA’ dan BB’ adalah tali busur-tali busur sebuah lingkaran yang berpotongan di titik P di luar lingkaran, maka buktikan PA.PA’=PB.PB’ (teorema Secant) !

Jawab :

A’

A

P B B’

'.'.''

'~'''''

PBPBPAPAPAPB

PBPA

APBBPAPBAPAB

PABPBA

=⇔=

∆∆⇒

∠=∠∠=∠

274. Jika P sebuah titik di luar lingkaran, garis singgung dari titik P menyinggung lingkaran di titik T dan garis melalui P memotong lingkaran di A dan A’, maka buktikan PA.PA’ = (PT) 2 (teorema Secant-Tangen)

Jawab :

P T α

A O

α

A’

Misal α=∠ TPA' maka :

2)('.'

'~90,2

PTPAPAPTPA

PAPT

TPAPTAPTAOTAAOT

=⇔=

∆∆⇒=∠−=∠=∠

ααα

275. R S O Q

P T Jika PT = 6 cm, SQ = 2,5 cm dan OS tegak lurus RT maka tentukan panjang TQ !

Jawab :QR = 2 SQ = 2.2,5 = 5 cm

( ) ( ) ( )4

0496)5.(. 22

==−+⇔=+⇒=

TQTQTQTQTQTPTRTQ

276. Sebuah titik A terletak di luar lingkaran yang berpusat di titik M. Dari titik A ditarik garis yang memotong lingkaran di titik B dan C. (titik B terletak diantara A dan C). Dibuat garis CM sehingga memotong lingkaran di titik D, ternyata AD menyinggung lingkaran dan titik E terletak pada garis AD. Jika panjang AE = 1 cm, AB = 2 cm dan BC = 6 cm. Buktikan bahwa AM, DB dan CE berpotongan di sebuah titik !

Jawab : C

6 R B M 2 R A E D

113..

62..

314416)62(2.2

==

=−==⇒=+==

RR

EADE

MDCM

BCABEP

ADACABAD

Berarti AM, DB dan CE berpotongan di suatu titik.

277. C E D’

E’ D

A F’ F BSebuah lingkaran memotong sisi-sisi segitiga ABC pada bagian dalam yaitu BC di D dan D’, CA di E dan E’ serta AB di F dan F’. Jika AD, BE dan CF konkuren, tunjukkan bahwa AD’, BE’ dan CF’ juga konkuren !

Jawab :Membuktikan AD’, BE’ dan CF’ konkuren sama artinya dengan membuktikan

1''.

''.

'' =

AECE

CDBD

BFAF

1''.

''.

''1

''.

''.

''

1''.

''.

''

1..

1..

:,,'''.'.

'''.'.

'''.'.

=⇔=

=

=

=

=⇔=

=⇔=

=⇔=

AECE

CDBD

BFAF

CDCE

BFBD

AEAF

CECD

BDBF

AFAE

DCCE

FBBD

EAAF

EACE

DCBD

FBAF

makakonkurenCFdanBEADCECD

CDCECDCDCECE

BDBF

BFBDBFBFBDBD

AFAE

AEAFAEAEAFAF

278.

Luas daerah yang diarsir adalah A. Tunjukkan bahwa luas persegi panjang juga adalah A !

Jawab :

q y

p x b x p

a

2p + 2q = A

x + p = 21

luas lingkaran = ( ) 2412

21

21 22 bpxb ππ =+⇔ ……. (1)

y + q = 21

luas lingkaran = ( ) 2412

21

21 22 aqya ππ =+⇔ ……. (2)

(1) + (2) :

( )( ) Abayx

baAyx

baqpyx

−+=+

+=++

+=+++

2241

2241

2412

41

22

22

2222

π

π

ππ

Luas lingkaran = Luas persegi + 2x + 2y( ) =+ 22

41 baπ Luas persegi + ( ) Aba −+ 22

41 π

Luas persegi = A

279. A

P Q

B C

T

Lingkaran besar merupakan lingkaran luar segitiga sama sisi ABC. Lingkaran kecil menyinggung sisi AB dan AC di titik P dan Q dan menyinggung lingkaran besar di T. Jika BC = 12 cm, tentukan panjang PQ !

Jawab : A

P Q

B C

TR T SMisal R jari-jari lingkaran luar, maka :

cmRTPQRTAPAPPQRTAP

RTRTAT

RAT

RRRA

BC

8

8

833860tan

382

3460sin1222

sin

==⇒

==

==

==⇒=

==

=⇔=⇒=

280.

x

10 5

15

Di dalam lingkaran yang berjari-jari 15 cm, digambar tiga lingkaran saling bersinggungan yang berjari-jari 10 cm, 5 cm dan x cm. Tentukan x !

Jawab :

x x 10 15-x 5 5 5 5

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )

( )73015523

:)2()1()2....(15cos53

cos15.5215510)1....(52cos5

cos10.5210515

222

222

=⇔+−=−

+−=++−++=+

−=++−++=−

xxx

keSubstitusixx

xxxxx

xxx

αα

αα

281. Buktikan pada segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku a dan b serta sisi miring c berlaku 222 bac +=

Jawab : D b R a C

a c c b Q S C a b c

A a P b B

Luas ABCD = 4 Luas APS + Luas PQRS( ) 2222

212 .4 cbacabba =+⇔+=+

282. Jika panjang sisi-sisi BC, CA dan AB pada segitiga ABC adalah a, b, c dan 2s = a + b + c. Buktikan bahwa luas daerah segitiga ABC adalah ( ) ( ) ( )csbsassL −−−=

Jawab : C

B t a

A x c – x B

( )

−++

+−−=

−++

−+−=

−+−=

−+=⇔−+−=−

−+−=

−−=−=

cacbbc

cacbbct

cacbb

cacbbt

cacbbt

keSubstitusic

acbxxcxcaxb

danDarixcxcat

xcatxbt

22

22

22

2

:)1()3(

)3......(2

2

:)2()1()2.......(2

)1.......(

2222222

2222222

2222

22

22222222

2222

222

222

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )csbsassL

csbsassc

cctL

csbsassc

t

csascsbst

cacbacbcbacbat

cacb

ccbat

−−−=

−−−==

−−−=

−−−=

++−+−++−=

−+

−−=

2.

24

22222224

22

21

21

22

22

22222

283. Segitiga ABC siku-siku di C. Titik P dan Q terletak pada AB sedemikian sehingga AB terbagi menjadi tiga bagian yang sama. Buktikan bahwa 2

32222 ABQCPQCP =++

Jawab : B

Q

P

C A

( )

( )

2322

542

312

912

912

31222

2912

2542

312

322

3222

222

2912

312

312

3122

222

)(:)3()2(),1()3......(

)2......(

..2

cos.2

)1.....(

..2

cos.2

ABABCAABABCAQCPQCPdanDari

ABPQ

ABCAQCABCAABCAABCAQC

AAQCAAQCAQC

ABCACPABCAABCAABCACP

AAPCAAPCACP

=+−+++=++

=

+−=

−+=

−+=

+=

−+=

−+=

284.

z γ C β a b B A α x c y

Buktikan bahwa jumlah luas bujur sangkar yang di luar sama dengan tiga kali jumlah luas bujur sangkar yang di dalam !

Jawab :

( )

( )

( )

( )222222

222222222222

222

22222

22

222

222

22222

22

222

222

22222

22

222

222222

222222

222222

3222222

222

2

cos2180cos2

222

2

cos2180cos2

222

2

cos2180cos2

2coscos2

2coscos2

2coscos2

cbazyxcbaacbbcazyx

cbaab

cbaabba

abbaabbazacb

bcacbbccb

bccbbccbybca

acbcaacca

accaaccax

abcbaabbac

acbcaaccab

bcacbbccba

++=++

−++−++−+=++−+=

−+++=

++=−−+=

−+=

−+++=

++=−−+=

−+=

−+++=

++=−−+=

−+=⇔−+=

−+=⇔−+=

−+=⇔−+=

γγ

αα

ββ

γγ

ββ

αα

285. Jika sebuah garis transversal memotong sisi-sisi BC, CA dan AB dari segitiga ABC di titik-

titik D, E dan F, maka buktikan 1.. −=FBAF

EACE

DCBD

(Teorema Menelaos)

Jawab : C

E D P A F B

1..1...)2()1(

)2....(1.

~

)1....(1.

~

−=⇒=⇒

=⇔=

∆∆

=⇔=

∆∆

FBAF

EACE

DCBD

AEBP

BFAF

BPEC

DCBDx

AEBP

BFAF

BPAE

BFAF

BFPAFEBPEC

DCBD

ECBP

DCBD

CDEBDP

Catatan : - Transversal sisi : sembarang garis lurus yang memotong sisi-sisi atau perpanjangan sisi

sebuah segitiga- Transversal sudut : sembarang garis lurus yang melalui titik sudut sebuah segitiga

286. Sebuah garis transversal memotong sisi-sisi AB, BC, CD, DA dari segi empat ABCD di P, Q,

R dan S. Buktikan bahwa 1... =SADS

RDCR

QCBQ

PBAP

Jawab : A D S R x B Q C

P

Menurut teoreme Menelaos pada segitiga ABC berlaku : )1....(1.. −=xACx

QCBQ

PBAP

Pada segitiga ACD berlaku : )2.....(.1..RDCR

SADS

xACx

RCDR

SDAS

xACx −=⇔−=

Substitusi (2) ke (1) :

1...1.. =⇔−=

−

RDCR

SADS

QCBQ

PBAP

RDCR

SADS

QCBQ

PBAP

287. Jika titik-titik D, E , F terletak pada sisi-sisi BC, CA dan AB dari segitiga ABC sedemikian sehingga garis-garis AD, BE, CF adalah konkuren melalui titik P, maka buktikan bahwa

1.. =FBAF

EACE

DCBD

Jawab :

D E P

A F B

Pada segitiga ABE berlaku :

)1....(1.. −=CAEC

PEBP

FBAF

Pada segitiga BCE berlaku :

)2....(.1..AECA

DCBD

PEBP

PBEP

AECA

DCBD −=⇔−=

Substitusi (2) ke (1) :

1..1... =⇔−=

−

FBAF

EACE

DCBD

CAEC

AECA

DCBD

FBAF

Jadi jika titik-titik D, E, F terletak pada sisi-sisi BC, CA dan AB sedemikian sehingga

1.. =FBAF

EACE

DCBD

maka garis-garis AD, BE dan CF konkuren.

288. Buktikan bahwa ketiga garis bagi suatu segitiga konkuren !

Jawab : C

S P

A B T

Misal garis-garis baginya AP, BQ dan CR.

bc

PSbPTc

LL

PCBP

PSPTASPATP

PAC

PAB ===

=⇒∆∆

∆

∆

.

.~

2121

Dengan cara yang sama akan didapat : ab

RBARdan

ca

QACQ ==

Sehingga :

1.... ==ab

ca

bc

RBAR

QACQ

PCBP

Berarti AP, BQ dan CR konkuren

289. Diketahui lingkaran dalam segitiga ABC menyinggung sisi-sisi BC, CA dan AB di D, E dan F.Buktikan bahwa AD, BE dan CF konkuren !

Jawab : C

E D

A F B

1..

....

,,

=

=

===

FBAF

EACE

DCBD

FBAF

AFCE

CEBF

FBAF

EACE

DCBD

CECDBFBDAFAE

Jadi AD, BE dan CF konkuren.

290. Pada lingkaran, buktikan sudut keliling = 21 sudut pusat yang menghadap busur yang

sama !

Jawab : A

x C y O

B

AOBACBAOByx

AOByAOBCOBCOA

yCOByOCBxCOAxOCA

∠=∠

∠=+=∠+−+−

=∠+∠+∠−=∠⇒=∠

−=∠⇒=∠

21

21

360218018036021802180

291.

45 O X 50

Tentukan x !

Jawab :( ) 405045 2

1 =⇔+= xx

292. Diketahui segitiga ABC, AD adalah garis tinggi dan AE diameter lingkaran luar. Buktikan bahwa AB.AC = AD.AE

Jawab : A

C

D B O

E

AEADACABACDA

AEAB

ECABDAACEADBAECABD

..

~90

=⇔=

∆∆⇒=∠=∠∠=∠

293.

Setengah lingkaran besar berjari-jari 20 cm. Dua buah setengah lingkaran di dalam berjari-jari 10 cm. Lingkaran kecil menyinggung lingkaran-lingkaran lainnya. Tentukan panjang jari-jari lingkaran kecil !

Jawab :

R 20 - R R

10

( ) ( )320102010 222 =⇔+−=+ RRR

294.

P Q

R

Tiga lingkaran dengan pusat P, Q dan R jari-jarinya berturut-turut 4 cm, 1 cm dan k cm. Ketiga lingkaran bersinggungan. Tentukan k !

Jawab :

P Q F 4-k 1-k D E R A B C

( ) ( )

( ) ( )

94

32424

435

2411

41644

222

222

222

=⇒=⇔=+=+=+

==⇒−=∆

=⇒=−−+=

∆=⇒=−−+=

∆

kkkkREPRBCAB

ACFQFQQFPPada

kREkkkRE

ERQPadakDRkkkDR

DRPPada

295.

Tujuh buah pipa dengan diameter 2 cm disusun seperti gambar dan diikat dengan tali. Tentukan panjang tali !

Jawab :

l

b

l = 2 cm

b = πππ 31

61 1.2.2

36060 ==R cm

Panjang tali = 6l + 6b = 6.2 cm + 6. π31 cm = (12 + π2 ) cm

296. Dalam gambar di bawah, sudut .41 πθ = Tunjukkan bahwa kedua daerah yang diarsir

mempunyai luas yang sama !

D E

θ A B C

Jawab :Misal jari-jari lingkaran besar adalah R.Luas I = Luas juring BAE – Luas segitiga BAE

= ( ) ( ) ( ) 2812

161

21

21

212

21

36090 RRRRR −=− ππ ………….. (1)

Luas II = Luas juring ACD – Luas juring BCE – Luas segitiga BAE

= ( ) ( ) ( ) 2812

161

21

21

212

2124

1

.36090.

2RRRRRR −=−− πππ

ππ

……… (2)

Jadi Luas I = Luas II

297. C II y I x

A P B

Setiap sisi dari segitiga ABC merupakan diameter dari masing-masing setengah lingkaran. Buktikan bahwa luas daerah yang diarsir sama dengan luas segitiga !Jawab :

22290 bacACB +=⇒=∠ Misal luas tembereng PAC = x dan PBC = yLuas daerah yang diarsir = Luas I + Luas II

= ( ){ } ( ){ }yaxb −+− 221

212

21

21 ππ

= ( ) ( ) ( ) )()( 221

212

8122

81 yxcyxcyxba +−=+−=+−+ πππ

= Luas segitiga ABC.

298. ABCD adalah persegi dengan sisi 1 m. Busur lingkaran dengan pusat A, B, C dan D terlihat seperti pada gambar di bawah ini. Tentukan luas daerah yang diarsir !

D C P x y y

x x

y y x A B

Jawab :Segitiga APB adalah segitiga sama sisi.Luas juring APD = x + y + luas tembereng AP x + y = Luas juring APD – luas tembereng AP

( )

π

ππ

π

121

41

212

2

3

60sin.1.1.1..36060

121

..1..36030

−=

−−=

∆−−=

BAPLBAPjuringL

Luas = Luas ABCD – 4 (x + y) = ( ) ( ) 231

121

41 31341 mππ +−=−−

299. Buktikan ( )HMGMAMabba

ba

≥≥+

≥≥+11

22

Jawab :

( ) ( )1........2

02

abbaba ≥+⇔≥−

Persamaan (1) dibagi ab maka :

ba

ab abab 11

11 212 +

≥⇔≥+

…… (2)

Dari (1) dan (2) didapat : ( )HMGMAMabba

ba

≥≥+

≥≥+11

22

Secara lengkap dapat ditulis :

naaa

nn

n naaan

aaa11121

21

................

21+++

≥≥+++

300. Untuk 0,, >rqp dan p+q+r = 1, buktikan bahwa 9111 ≥++rqp

Jawab :

91113313

3 111111≥++⇔

++≥⇔

++≥++

rqprqp

rqprqp