250. Pada segitiga ABC diketahui AB = 5 cm, AC = 6 cm dan BC = 4 cm. Titik D terletak pada sisi AB sehingga panjang AD = 2 cm. Dari titik D dibuat garis tegak lurus AC di E dan dibuat sebuah garis lagi dari D tegak lurus BC di titik F. Tentukan DE : DF !
Jawab : C
T F E
A D B
94
32
46
32
..
.
.325
2121
2121
=⇔=⇔=⇔=
=−=−=
∆
∆
DFDE
DFDE
DFBCCDAC
tBDtAD
LL
ADABBD
BDC
ADC
251. Bila log 2 = a, log 3 = b dan xx 321 32 −+ = maka tentukan nilai x + 1 !
Jawab :( ) ( )
( ) ( )ba
bbaba
baabx
baabxbxax
xxxx
35
33
321
32321
3log322log13log2log 321
+=
+++
+−=+⇒
+−=⇔−=+
−=+⇔= −+
252. Pada segitiga XYZ diketahui sin x = 551 dan sin z = 1010
1 . Tentukan nilai tan 2y
!
Jawab :
( )12tan
11tan1tan1tan2
1.1tantan1
tantantan1tan2
)tan(tan1tan2
))(180(tantan31tan10sin
21tan5sin
21
221
212
21
31
2131
21
212
21
212
21
101
51
+=
−−=⇔+−=
−=−
+−=
−+−=
−
+−=−
+−=
=⇒=
=⇒=
y
yyy
zxzx
yy
zxy
yzxy
zz
xx
253. Diketahui cos (A + B) = 53
dan cos (A – B) = 1312
. Tentukan nilai sin B !
Jawab :
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
130sin1309sin
6556
135.
54
1312.
52sinsincoscossin21
cos2cos135sin
1312cos
54sin
53cos
13022
2
=⇒=
=+=−++−+=−
−−+=
=−⇒=−
=+⇒=+
BB
BABABABAB
BABAB
BABA
BABA
254. Batistuta akan melakukan tendangan pinalti ke gawang Buffon. Peluang membuat gol dalam sekali tendangan adalah 4/5. Jika dilakukan 5 kali tendangan pinalti, tentukan peluang membuat tiga nol !
Jawab :
Peluang tiga gol =5C3 625128
251.
12564.10
51
54 23
==
255. Tentukan domain dari fungsi 25223)( 2
2
+−−+=
xxxxxf
Jawab :
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) 0
2121230
25223)
2,2102120252)
2
2
2
≥−−+−⇔≥
+−−+
≠≠⇒≠−−⇔≠+−
xxxx
xxxxii
xxxxxxi
+ - + - +
-1 21
32
2
Dari (I) dan (ii) didapat : Df :
≥≤≤−≤ 2
32
211 xatauxatauxx
256. Tentukan dxdy
dari xy cos=
Jawab :( )
xx
yx
dxdy
dxxxdyyxyxy
cos22sin
22sin2
sincos22coscos 22
−=−=
−=⇒=⇔=
257. Tentukan nilai maksimum fungsi 10cossin24sin14cos4)( 22 +++= xxxxxf
Jawab :
192sin122cos5)(102sin122cos772cos22)(
102sin1222cos114
22cos14)(
++−=++−++=
++−++=
xxxfxxxxf
xxxxf
( ) 32191215 2222max =++−=++= CBAf
258. Tentukan 0
lim→x
xx
xxxx3sinsin3
18sin10sin6sin2sin−
−++
Jawab :
0lim
→x
( ) ( )xx
xxxx3sinsin3
10sin18sin2sin6sin−
−−+=
0lim
→x )sin4sin3(sin3
4sin14cos22cos4sin23 xxx
xxxx−−
−=
0lim
→x
( ) =−−x
xxx3sin4
2cos14cos4sin2
0lim
→x
( ) =−−x
xxx3sin4
6sin8sin24sin2
0lim
→x 1926.8.4
sinsinsin46sin8sin4sin4 ==xxxxxx
259. Tentukan ba →
lim
baba
ba
ba
−−+
−
tantan)1(1
tantan
Jawab :
ba →lim
=
−+−
−
baba
ba
ba
tantan)1()1(
tantan
ba →lim
( )=
+−
−
baba
ba
tantan1)1(
tantan
ba →lim
( ) =−
−
ba
ba
1
tan
ba →lim
( ) b
baba
b
−=−−−)(
tan1
260. Sebuah kerucut tegak tanpa alas diletakkan terbalik, ke dalam kerucut dimasukkan sebuah bola yang berdiameter 16 cm sehingga semua bagian bola masuk ke dalam kerucut. Tentukan tinggi kerucut agar mempunyai volume terkecil !
Jawab : A R F B
8
D E t - 8
C
Segitiga AFC sebangun dengan segitiga CDE
( ) 3203220)16(.1162640'
1664.
1664.
1664
641664
88
222
2
22
2222
2
22
=⇒=−−⇔=−
−−⇒=
−=
−==
−=⇔
+−=
+⇒
−=
+⇒=
ttttt
tttV
ttt
tttRV
ttR
tttRR
ttRR
DCDE
ACAF
π
πππ
261.
7
3 12 14
20
8
Isilah lingkaran-lingkaran kosong pada “bintang ajaib” di samping dengan bilangan sedemikian sehingga bilangan-bilangan pada setiap garis mempunyai jumlah yang sama !
Jawab :
7
3 a 12 14
20 f
b c d e
8
Jumlah setiap baris = 29 + ab+20+a+7 = 29 + a atau b = 23+20+c+8 = 29 + a atau c = a – 28+d+f+14 = 7+12+f+e atau d = e – 3b+c+d+e = 29+a 2+a-2+e-3+e = 29+a atau e = 16d = 16-3 = 138+d+f+14 = 29+a8+13+f+14 = 29+a atau f = a – 6Soal mempunyai banyak jawaban. Bila dimisalkan a = 11 maka c = 9 dan f = 5
262. Tentukan semua pasangan bilangan bulat yang selisih kuadratnya 924 !
Jawab :( ) ( ) 92422 =−+=− bababa
Pasangan nilai (a + b) dan (a – b) yang mungkin adalah pasangan faktor genap dari 924.
a+b 462 154 66 42a - b 2 6 14 22
1032
2242
2640
1466
7480
6154
230232
2462
==
⇒
=−=+
==
⇒
=−=+
==
⇒
=−=+
==
⇒
=−=+
ba
baba
ba
baba
ba
baba
ba
baba
263. Diketahui segitiga ABC dengan sisi-sisi AB, CA dan CB masing-masing menyinggung lingkaran yang pusatnya O. Jika 40=∠ ACB , tentukan AOB∠ !
R B
S O 40
A T
Jawab :Misal R, S dan T adalah titik-titik singgung.
CBARBSCABTAS
CABCBA
∠−=∠∠−=∠
=−=∠+∠
180180
14040180
+ 220140360 =−=∠+∠ RBSTAS
Karena AS dan AT garis singgung maka OA merupakan garis bagi SAT∠ .Begitupun BS dan BR yang merupakan garis bagi RBS∠
( )( )
70110180180
110220.21
21
=−=∠+∠−=∠
==∠+∠=∠+∠
OBSOASAOB
RBSTASOBSOAS
264.
P
A B C D
Q
Dua buah lingkaran 1L dan 2L masing-masing berjari-jari 21 rdanr . Kedua lingkaran berpotongan di titik P dan Q. Garis singgung 1L dan 2L di titik P membentuk sudut siku-siku. Garis yang melalui pusat lingkaran-lingkaran itu memotong kedua lingkaran di A, B, C dan D. Jika AD = m dan BC = n maka tunjukkan bahwa mn = 21.2 rr
Jawab :
P
A M B N C D
Q
NDMNAMADNPMP
rNPrMP
++=⊥
== 21,
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 21
22
2121
22
21
22212121
21211
21
22 rrrrrrrrmn
MNrrrMNrrMNrmnrMNrrMNrNBMNrn
rMNrm
=+−++=
−+=+−++=
+−=−−=−−=++=
265. C 2 D 2 E
2 A 4 B
Hitung luas daerah yang diarsir !
Jawab :( ) ( ) ( ) ( ) 122.4.6.4.2.4.4.4. 2
121
21
21 =−+−=−+−=+= ∆∆∆∆∆∆ ABEABCABEABDBCEAED LLLLLLL
266. C
15
A H 16 BSegitiga ABC siku-siku di C dan AC = 15. Garis tinggi CH membagi AB dalam segmen AH dan HB dengan HB = 16. Tentukan luas segitiga ABC !
Jawab :. C
15 t y
A H 16 B
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) 15012.169129
25092502251616151615
:)4()1()4......(16153)2(
)3....(16)2.....(15
)1....(15161516
21
222222
2222
222
222
222222
=+==⇒=
−==−+⇔=−+⇔−−+=−
−=−⇒−=
−=−+=⇔+=+
∆ ABCLtx
memenuhitidakxxxxxxx
keSubstitusiyxdanDari
ytxt
xyyx
267. C
N
P
B M A
Segitiga ABC siku-siku di C. Garis berat CM tegak lurus garis berat BN. Panjang sisi BC = s. Tentukan panjang BN !
Jawab :Misal AC = b dan AB = c.Karena BN dan CP garis berat, maka :
( )
( ) 2)1()2(
)2.......(
)1....(1:2:1:2:
432
432
412
942
4322
412
94
2412
412
95
22412
412
412
412
94222
2412222
sBNssBNsbcBN
scBN
BPscCPcBNPMBMBPBPM
bsCNsBNBNCPMCPPNBP
=⇒−=−⇔−−=−⇒−
+=
−+=+=⇔+=⇒∆
+=+=⇒∆=
=
268. Dari segitiga ABC diketahui bahwa AD garis tinggi. Buktikan bahwa untuk setiap titik P pada AD akan berlaku 2222 DCBDPCBP −=−
Jawab : C
D
P
A B
222
222
PDDCPCPDBDBP
+=+=
-2222 DCBDPCBP −=−
269. D G C
H
F
A E B
Pada sisi-sisi AB, BC, CD dan DA dari persegi panjang ABCD yang panjang sisinya a dan b dipilih titik-titik E, F, G dan H sedemikian hingga AE = 2
1 EB, BF = 21 FC, CG = 2
1 GD dan
DH = 21 HA. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh garis AG, BH, CE dan DF !
Jawab : D G C Misal ET = x
H
T F α α β A E B
1.tantan 32
32
==aa
aaβα
Maka BH ⊥ EC. Berarti segiempat yang diarsir berupa persegi. Misal panjang sisinya x.
13
3132
2
31
31
axdiarsiryangdaerahLuas
axaa
ax
CEBC
AEx
==
=⇔=⇔=
270.. C
9 4 P
49
A B
Dipilih titik P di dalam segitiga ABC sehingga apabila ditarik garis-garis lewat P sejajar dengan sisi-sisi ABC, maka hasilnya segitiga-segitiga yang luasnya 4, 9 dan 49. Hitung luas segitiga ABC !
Jawab :
. C
2x 3y U T 3x 9 3y 2x 4 2y V P S
7x 7x 49 7y 7y
A Q R B
Misal panjang PQ = 7x dan PR = 7y, maka TP = 2x, TS = 2y, UV = 3x dan UP = 3y
1442.72sin.12.12.
2sin49sin.7.7.
21
21
===
=⇔==
∆
∆
α
αα
yxL
xyyxL
ABC
PQR
271.
Jika diketahui jari-jari lingkaran besar adalah R satuan dan jari-jari lingkaran kecil adalah
r satuan (kedua lingkaran tidak sepusat). Tunjukkan bahwa ( )cbaRR
abc ++= 21
4
Jawab : C
r P
A B
( )
( )cbarR
abcdanDari
Rabc
RcabCabL
RcCR
Cc
cbarbrarcrLLLL
ABC
PACPBCPABABC
++=⇒
===
=⇔=
++=++=++=
∆
∆∆∆∆
21
21
21
21
21
21
21
4)2()1(
)2....(42
sin
2sin2
sin
)1....(
272. Jika AA’ dan BB’ adalah tali busur-tali busur sebuah lingkaran yang berpotongan di titik P di dalam lingkaran, maka buktikan bahwa PA.PA’ = PB.PB’ (teorema tali busur) !
Jawab :
B A’
P B’
A
'.'.''
''~''''
PBPBPAPAPAPB
PBPA
APBPABAPBPAB
PBAAPB
=⇔=
∆∆⇒
∠=∠∠=∠
273. Jika AA’ dan BB’ adalah tali busur-tali busur sebuah lingkaran yang berpotongan di titik P di luar lingkaran, maka buktikan PA.PA’=PB.PB’ (teorema Secant) !
Jawab :
A’
A
P B B’
'.'.''
'~'''''
PBPBPAPAPAPB
PBPA
APBBPAPBAPAB
PABPBA
=⇔=
∆∆⇒
∠=∠∠=∠
274. Jika P sebuah titik di luar lingkaran, garis singgung dari titik P menyinggung lingkaran di titik T dan garis melalui P memotong lingkaran di A dan A’, maka buktikan PA.PA’ = (PT) 2 (teorema Secant-Tangen)
Jawab :
P T α
A O
α
A’
Misal α=∠ TPA' maka :
2)('.'
'~90,2
PTPAPAPTPA
PAPT
TPAPTAPTAOTAAOT
=⇔=
∆∆⇒=∠−=∠=∠
ααα
275. R S O Q
P T Jika PT = 6 cm, SQ = 2,5 cm dan OS tegak lurus RT maka tentukan panjang TQ !
Jawab :QR = 2 SQ = 2.2,5 = 5 cm
( ) ( ) ( )4
0496)5.(. 22
==−+⇔=+⇒=
TQTQTQTQTQTPTRTQ
276. Sebuah titik A terletak di luar lingkaran yang berpusat di titik M. Dari titik A ditarik garis yang memotong lingkaran di titik B dan C. (titik B terletak diantara A dan C). Dibuat garis CM sehingga memotong lingkaran di titik D, ternyata AD menyinggung lingkaran dan titik E terletak pada garis AD. Jika panjang AE = 1 cm, AB = 2 cm dan BC = 6 cm. Buktikan bahwa AM, DB dan CE berpotongan di sebuah titik !
Jawab : C
6 R B M 2 R A E D
113..
62..
314416)62(2.2
==
=−==⇒=+==
RR
EADE
MDCM
BCABEP
ADACABAD
Berarti AM, DB dan CE berpotongan di suatu titik.
277. C E D’
E’ D
A F’ F BSebuah lingkaran memotong sisi-sisi segitiga ABC pada bagian dalam yaitu BC di D dan D’, CA di E dan E’ serta AB di F dan F’. Jika AD, BE dan CF konkuren, tunjukkan bahwa AD’, BE’ dan CF’ juga konkuren !
Jawab :Membuktikan AD’, BE’ dan CF’ konkuren sama artinya dengan membuktikan
1''.
''.
'' =
AECE
CDBD
BFAF
1''.
''.
''1
''.
''.
''
1''.
''.
''
1..
1..
:,,'''.'.
'''.'.
'''.'.
=⇔=
=
=
=
=⇔=
=⇔=
=⇔=
AECE
CDBD
BFAF
CDCE
BFBD
AEAF
CECD
BDBF
AFAE
DCCE
FBBD
EAAF
EACE
DCBD
FBAF
makakonkurenCFdanBEADCECD
CDCECDCDCECE
BDBF
BFBDBFBFBDBD
AFAE
AEAFAEAEAFAF
278.
Luas daerah yang diarsir adalah A. Tunjukkan bahwa luas persegi panjang juga adalah A !
Jawab :
q y
p x b x p
a
2p + 2q = A
x + p = 21
luas lingkaran = ( ) 2412
21
21 22 bpxb ππ =+⇔ ……. (1)
y + q = 21
luas lingkaran = ( ) 2412
21
21 22 aqya ππ =+⇔ ……. (2)
(1) + (2) :
( )( ) Abayx
baAyx
baqpyx
−+=+
+=++
+=+++
2241
2241
2412
41
22
22
2222
π
π
ππ
Luas lingkaran = Luas persegi + 2x + 2y( ) =+ 22
41 baπ Luas persegi + ( ) Aba −+ 22
41 π
Luas persegi = A
279. A
P Q
B C
T
Lingkaran besar merupakan lingkaran luar segitiga sama sisi ABC. Lingkaran kecil menyinggung sisi AB dan AC di titik P dan Q dan menyinggung lingkaran besar di T. Jika BC = 12 cm, tentukan panjang PQ !
Jawab : A
P Q
B C
TR T SMisal R jari-jari lingkaran luar, maka :
cmRTPQRTAPAPPQRTAP
RTRTAT
RAT
RRRA
BC
8
8
833860tan
382
3460sin1222
sin
==⇒
==
==
==⇒=
==
=⇔=⇒=
280.
x
10 5
15
Di dalam lingkaran yang berjari-jari 15 cm, digambar tiga lingkaran saling bersinggungan yang berjari-jari 10 cm, 5 cm dan x cm. Tentukan x !
Jawab :
x x 10 15-x 5 5 5 5
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( )
( )73015523
:)2()1()2....(15cos53
cos15.5215510)1....(52cos5
cos10.5210515
222
222
=⇔+−=−
+−=++−++=+
−=++−++=−
xxx
keSubstitusixx
xxxxx
xxx
αα
αα
281. Buktikan pada segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku a dan b serta sisi miring c berlaku 222 bac +=
Jawab : D b R a C
a c c b Q S C a b c
A a P b B
Luas ABCD = 4 Luas APS + Luas PQRS( ) 2222
212 .4 cbacabba =+⇔+=+
282. Jika panjang sisi-sisi BC, CA dan AB pada segitiga ABC adalah a, b, c dan 2s = a + b + c. Buktikan bahwa luas daerah segitiga ABC adalah ( ) ( ) ( )csbsassL −−−=
Jawab : C
B t a
A x c – x B
( )
−++
+−−=
−++
−+−=
−+−=
−+=⇔−+−=−
−+−=
−−=−=
cacbbc
cacbbct
cacbb
cacbbt
cacbbt
keSubstitusic
acbxxcxcaxb
danDarixcxcat
xcatxbt
22
22
22
2
:)1()3(
)3......(2
2
:)2()1()2.......(2
)1.......(
2222222
2222222
2222
22
22222222
2222
222
222
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )csbsassL
csbsassc
cctL
csbsassc
t
csascsbst
cacbacbcbacbat
cacb
ccbat
−−−=
−−−==
−−−=
−−−=
++−+−++−=
−+
−−=
2.
24
22222224
22
21
21
22
22
22222
283. Segitiga ABC siku-siku di C. Titik P dan Q terletak pada AB sedemikian sehingga AB terbagi menjadi tiga bagian yang sama. Buktikan bahwa 2
32222 ABQCPQCP =++
Jawab : B
Q
P
C A
( )
( )
2322
542
312
912
912
31222
2912
2542
312
322
3222
222
2912
312
312
3122
222
)(:)3()2(),1()3......(
)2......(
..2
cos.2
)1.....(
..2
cos.2
ABABCAABABCAQCPQCPdanDari
ABPQ
ABCAQCABCAABCAABCAQC
AAQCAAQCAQC
ABCACPABCAABCAABCACP
AAPCAAPCACP
=+−+++=++
=
+−=
−+=
−+=
+=
−+=
−+=
284.
z γ C β a b B A α x c y
Buktikan bahwa jumlah luas bujur sangkar yang di luar sama dengan tiga kali jumlah luas bujur sangkar yang di dalam !
Jawab :
( )
( )
( )
( )222222
222222222222
222
22222
22
222
222
22222
22
222
222
22222
22
222
222222
222222
222222
3222222
222
2
cos2180cos2
222
2
cos2180cos2
222
2
cos2180cos2
2coscos2
2coscos2
2coscos2
cbazyxcbaacbbcazyx
cbaab
cbaabba
abbaabbazacb
bcacbbccb
bccbbccbybca
acbcaacca
accaaccax
abcbaabbac
acbcaaccab
bcacbbccba
++=++
−++−++−+=++−+=
−+++=
++=−−+=
−+=
−+++=
++=−−+=
−+=
−+++=
++=−−+=
−+=⇔−+=
−+=⇔−+=
−+=⇔−+=
γγ
αα
ββ
γγ
ββ
αα
285. Jika sebuah garis transversal memotong sisi-sisi BC, CA dan AB dari segitiga ABC di titik-
titik D, E dan F, maka buktikan 1.. −=FBAF
EACE
DCBD
(Teorema Menelaos)
Jawab : C
E D P A F B
1..1...)2()1(
)2....(1.
~
)1....(1.
~
−=⇒=⇒
=⇔=
∆∆
=⇔=
∆∆
FBAF
EACE
DCBD
AEBP
BFAF
BPEC
DCBDx
AEBP
BFAF
BPAE
BFAF
BFPAFEBPEC
DCBD
ECBP
DCBD
CDEBDP
Catatan : - Transversal sisi : sembarang garis lurus yang memotong sisi-sisi atau perpanjangan sisi
sebuah segitiga- Transversal sudut : sembarang garis lurus yang melalui titik sudut sebuah segitiga
286. Sebuah garis transversal memotong sisi-sisi AB, BC, CD, DA dari segi empat ABCD di P, Q,
R dan S. Buktikan bahwa 1... =SADS
RDCR
QCBQ
PBAP
Jawab : A D S R x B Q C
P
Menurut teoreme Menelaos pada segitiga ABC berlaku : )1....(1.. −=xACx
QCBQ
PBAP
Pada segitiga ACD berlaku : )2.....(.1..RDCR
SADS
xACx
RCDR
SDAS
xACx −=⇔−=
Substitusi (2) ke (1) :
1...1.. =⇔−=
−
RDCR
SADS
QCBQ
PBAP
RDCR
SADS
QCBQ
PBAP
287. Jika titik-titik D, E , F terletak pada sisi-sisi BC, CA dan AB dari segitiga ABC sedemikian sehingga garis-garis AD, BE, CF adalah konkuren melalui titik P, maka buktikan bahwa
1.. =FBAF
EACE
DCBD
Jawab :
D E P
A F B
Pada segitiga ABE berlaku :
)1....(1.. −=CAEC
PEBP
FBAF
Pada segitiga BCE berlaku :
)2....(.1..AECA
DCBD
PEBP
PBEP
AECA
DCBD −=⇔−=
Substitusi (2) ke (1) :
1..1... =⇔−=
−
FBAF
EACE
DCBD
CAEC
AECA
DCBD
FBAF
Jadi jika titik-titik D, E, F terletak pada sisi-sisi BC, CA dan AB sedemikian sehingga
1.. =FBAF
EACE
DCBD
maka garis-garis AD, BE dan CF konkuren.
288. Buktikan bahwa ketiga garis bagi suatu segitiga konkuren !
Jawab : C
S P
A B T
Misal garis-garis baginya AP, BQ dan CR.
bc
PSbPTc
LL
PCBP
PSPTASPATP
PAC
PAB ===
=⇒∆∆
∆
∆
.
.~
2121
Dengan cara yang sama akan didapat : ab
RBARdan
ca
QACQ ==
Sehingga :
1.... ==ab
ca
bc
RBAR
QACQ
PCBP
Berarti AP, BQ dan CR konkuren
289. Diketahui lingkaran dalam segitiga ABC menyinggung sisi-sisi BC, CA dan AB di D, E dan F.Buktikan bahwa AD, BE dan CF konkuren !
Jawab : C
E D
A F B
1..
....
,,
=
=
===
FBAF
EACE
DCBD
FBAF
AFCE
CEBF
FBAF
EACE
DCBD
CECDBFBDAFAE
Jadi AD, BE dan CF konkuren.
290. Pada lingkaran, buktikan sudut keliling = 21 sudut pusat yang menghadap busur yang
sama !
Jawab : A
x C y O
B
AOBACBAOByx
AOByAOBCOBCOA
yCOByOCBxCOAxOCA
∠=∠
∠=+=∠+−+−
=∠+∠+∠−=∠⇒=∠
−=∠⇒=∠
21
21
360218018036021802180
291.
45 O X 50
Tentukan x !
Jawab :( ) 405045 2
1 =⇔+= xx
292. Diketahui segitiga ABC, AD adalah garis tinggi dan AE diameter lingkaran luar. Buktikan bahwa AB.AC = AD.AE
Jawab : A
C
D B O
E
AEADACABACDA
AEAB
ECABDAACEADBAECABD
..
~90
=⇔=
∆∆⇒=∠=∠∠=∠
293.
Setengah lingkaran besar berjari-jari 20 cm. Dua buah setengah lingkaran di dalam berjari-jari 10 cm. Lingkaran kecil menyinggung lingkaran-lingkaran lainnya. Tentukan panjang jari-jari lingkaran kecil !
Jawab :
R 20 - R R
10
( ) ( )320102010 222 =⇔+−=+ RRR
294.
P Q
R
Tiga lingkaran dengan pusat P, Q dan R jari-jarinya berturut-turut 4 cm, 1 cm dan k cm. Ketiga lingkaran bersinggungan. Tentukan k !
Jawab :
P Q F 4-k 1-k D E R A B C
( ) ( )
( ) ( )
94
32424
435
2411
41644
222
222
222
=⇒=⇔=+=+=+
==⇒−=∆
=⇒=−−+=
∆=⇒=−−+=
∆
kkkkREPRBCAB
ACFQFQQFPPada
kREkkkRE
ERQPadakDRkkkDR
DRPPada
295.
Tujuh buah pipa dengan diameter 2 cm disusun seperti gambar dan diikat dengan tali. Tentukan panjang tali !
Jawab :
l
b
l = 2 cm
b = πππ 31
61 1.2.2
36060 ==R cm
Panjang tali = 6l + 6b = 6.2 cm + 6. π31 cm = (12 + π2 ) cm
296. Dalam gambar di bawah, sudut .41 πθ = Tunjukkan bahwa kedua daerah yang diarsir
mempunyai luas yang sama !
D E
θ A B C
Jawab :Misal jari-jari lingkaran besar adalah R.Luas I = Luas juring BAE – Luas segitiga BAE
= ( ) ( ) ( ) 2812
161
21
21
212
21
36090 RRRRR −=− ππ ………….. (1)
Luas II = Luas juring ACD – Luas juring BCE – Luas segitiga BAE
= ( ) ( ) ( ) 2812
161
21
21
212
2124
1
.36090.
2RRRRRR −=−− πππ
ππ
……… (2)
Jadi Luas I = Luas II
297. C II y I x
A P B
Setiap sisi dari segitiga ABC merupakan diameter dari masing-masing setengah lingkaran. Buktikan bahwa luas daerah yang diarsir sama dengan luas segitiga !Jawab :
22290 bacACB +=⇒=∠ Misal luas tembereng PAC = x dan PBC = yLuas daerah yang diarsir = Luas I + Luas II
= ( ){ } ( ){ }yaxb −+− 221
212
21
21 ππ
= ( ) ( ) ( ) )()( 221
212
8122
81 yxcyxcyxba +−=+−=+−+ πππ
= Luas segitiga ABC.
298. ABCD adalah persegi dengan sisi 1 m. Busur lingkaran dengan pusat A, B, C dan D terlihat seperti pada gambar di bawah ini. Tentukan luas daerah yang diarsir !
D C P x y y
x x
y y x A B
Jawab :Segitiga APB adalah segitiga sama sisi.Luas juring APD = x + y + luas tembereng AP x + y = Luas juring APD – luas tembereng AP
( )
π
ππ
π
121
41
212
2
3
60sin.1.1.1..36060
121
..1..36030
−=
−−=
∆−−=
BAPLBAPjuringL
Luas = Luas ABCD – 4 (x + y) = ( ) ( ) 231
121
41 31341 mππ +−=−−
299. Buktikan ( )HMGMAMabba
ba
≥≥+
≥≥+11
22
Jawab :
( ) ( )1........2
02
abbaba ≥+⇔≥−
Persamaan (1) dibagi ab maka :
ba
ab abab 11
11 212 +
≥⇔≥+
…… (2)
Dari (1) dan (2) didapat : ( )HMGMAMabba
ba
≥≥+
≥≥+11
22
Secara lengkap dapat ditulis :
naaa
nn
n naaan
aaa11121
21
................
21+++
≥≥+++
300. Untuk 0,, >rqp dan p+q+r = 1, buktikan bahwa 9111 ≥++rqp
Jawab :
91113313
3 111111≥++⇔
++≥⇔
++≥++
rqprqp
rqprqp