mekanika getaran-1

8/17/2019 Mekanika Getaran-1

1/43

Getaran mekanik

MEKANIKA GETARAN

oleh :

Diah Wulandari


2/43


3/43

Brief History of Vibration Instrument musik

Musik sudah dikembangkan dan dimainkan oleh bangsa China, India,

Jepang, Mesir kurang lebih 4000 B.C

Pythagoras (!" # 0$ B.C% adalah orang pertama yang mengin&estigasimusik se'ara s'ientii' basis

)hang *eng menemukan seismograph pertama di dunia untuk mengukurgempa bumi pada +.. -"

/alileo /alilei (-41-4"% mempela2ari perilaku pendulum

3obert *ooke (-#-$0% dengan hukum *ooke, melakukan eperiment

tentang getaran string (kabel%

5ir Isaa' 6e7ton (-4" # -$"$% mempublikasikan hasil ker2anya,Philosophiae Naturalis Principa Mathematica, in -!. *ukum 6e7ton kedua digunakan dalam buku1buku getaran modern

untuk menurunkan persamaan gerak dari benda yang bergetar.


4/43

Brief History of VibrationPeme'ahan teoritis tentang getaran string (kabel% ditemukan oleh

Brook 8aylor di tahun -$-, yang 2uga mengemukakan 8aylor9stheorem untuk ininite series.

Pro'edure yang digunakan oleh 8aylor disempurnakan dengandikenalkanya partial deri&ati&es dalam persamaan gerak oleh aniel

Bernoulli (-$00 # -$!"%, Jean 9+lembert (-$-$ # -$!%, andeonard ;uler (-$0$ # -$!%.

Charles Coulomb (-$#-!0%, memperla2ari torsional &ibrationsand gaya gesek.

Joseph


5/43

Recent Contributions

In -=0",


6/43

Pentingnya Belajar Getaran*ampir semua akti&itas manusia

menggunakan getaranAita mendengar karena getaran

gendang telingaAita bernapas karena paru1paru yang

bergetar

alam bidang teknik, manusia sebagaibagian didalamnya.5alah satu tu2uan bela2ar getaran

adalah mengurangi eek negati getaranmelalui desain mesin yang baik


7/43

Pentingnya Belajar Getaran

*ampir semua alat gerak mempunyaimasalah getaran karena adanyaketidak seimbangan mekanisme.Me'hani'al ailures karena material

atigue/etaran dapat mengakibatkan

keausan yang lebih 'epatalam proses manuaktur, getaran

dapat menyebatkan hasil akhir

yang buruk


8/43

Pentingnya Belajar Getaran

5elain eek yang merusak, getaran dapatdigunakan untuk hal hal yang berguna.

/etaran digunakan dalam 'on&eyors getar,mesin 'u'i, sikat gigi elektrik.

/etaran 2uga digunakan dalam pile dri&ing,&ibratory testing o materials.

/etaran digunakan untuk menaikaneisiensi dari proses permesinan seperti'asting dan orging.


9/43

Konsep dari Getaran


10/43

Komponen sistem getaranPotensial energi

5pring

Ainetik energiMassInertia

issipasi energi

amping


11/43


12/43

Pengelompokan Getaran/etaran Bebas dan Paksa

/etaran 8eredam dan tak teredam/etaran eterministi' dan 3andom


13/43

Getaran Bebas dan Paksa

/etaran Bebas8idak ada gaya luar yang beker2a pada sistemContoh: osilasi dari simple pendulum

/etaran Paksa +da gaya luar yang beker2a pada sistemContoh: getaran yang ter2adi pada mesinJika rekuensi dari gaya luar sama dengan rekuensi

natural system maka akan ter2adi suatu kondisi yangdisebut resonansi


14/43


15/43


16/43


17/43

5istem Pegas # Massa dan iagram Benda Bebas


18/43

/etaran Paksa dengan Peredam


19/43

Getaran Teredam dan Takteredam

ampingalam system dynami' beker2a dissipati&e or'es #

ri'tion, stru'tural resistan'esmumnya, damping dalam stru'tural systems adalah

ke'il dan mempunyai eek yang ke'il terhadap naturalrekuensi

8etapi, damping mempunyai pengaruh yang besar

dalam mengurangi resonant pada stru'tural system


20/43


21/43


22/43


23/43

Getaran Deterministic dan Random

Getaran Deterministicinyal disebut deterministic! selama "arga dari

sinyal dapat diprediksi#


24/43


/etaran deterministi' dan harmoni'


25/43


/etaran 3andom8idak memiliki sinyal yang periodik maupun harmonik*arga dari getaran random tidak dapat di prediksi

8etapi getaran random bisa di gambarkan se'arastatistik


26/43


27/43


28/43


29/43

derajad kebebasan$degrees of freedom! dof%

&umla" minimum dari koordinat

independen yang diperlukan untuksecara lengkap menentukan posisi darisemua bagian sistem $yg dianalisa% disetiap saat#


30/43

Jumlah d.o.. sistem adalah sama dengan 2umlah koordinat (inkremental,&ariasional% yang independen yang diperlukan untuk merepresentasikan menggambarkan gerak sistem dinamis se'ara lengkap.

*impunan n buah koordinat kinematik independen dengan n d.o.. disebut

sebagai himpunan koordinat umum (generaliDed 'oordinates%.

5I58;M I5A3I8 : setiap titik konsentrasi massa merepresentasikan sebuahrigid body

gerak spasial : - titik konsentrasi massa maksimal memiliki d.o..

gerak planar : - titik konsentrasi massa maksimal memiliki d.o.. gerak rektilinier : - titik konsentrasi massa memiliki - d.o.. Jumlah d.o.. untuk sebuah titik massa dapat berkurang (dari nilai maksimum% dengan adanya restraint.

5istem : terdiri atas se2umlah rigid body +nalisa gerak dilakukan untuk setiap titik konsentrasi massa E berhingga

5I58;M AF68I6G dengan diskritisasi : analisa gerak dilakukan untuk setiap node E berhingga

5I58;M AF68I6G tanpa diskritisasi : analisa gerak dilakukan untuk setiap titik E tak hingga


31/43


32/43

erak Spasial


33/43


34/43

sistem dengan derajad kebebasan majemuk$multi'degree of freedom! mdof%


35/43

P3FB;MHIB3+5I

MF; +6+I5+

MF;M+8;M+8IA 5F5I

Interpreta1si isikthd. hasil

(odel)nalisa

(odel Diskrit

(odelKontinyu

dengandiskritisasi

tanpadiskritisasi

* PD ordiner

* PD parsiil

* PD ordiner

MF; M+8;M+8IA (Persamaan /erak%

ntuk keperluan analisa &ibrasi (analisa domain 7aktu% perlu diturunkan ditentukan model matematik yang berupa satu set persamaan dierensialyang bisa diturunkan (terhadap 7aktu% berdasar pada hukum kekekalanenergi, hukum 6e7ton II, atau persamaan agrange.

ntuk setiap d.o.. yang ada pada sistem perlu diturunkan model matematik(persamaan gerak% # nya.

&ariabel dependen : mendeskripsikan perilaku isik dari sistem&ariabel independen : &ariabel dengan mana &ariabel dependen berubah

Pada &ibrasi &ariabel dependen adalah displa'ement beserta turunan1nya(ke'epatan, aselerasi%. Hariabel independen adalah 7aktu dan dimensi.


36/43


37/43

C t "


38/43

Conto" *

-4""

"""-"-""

--4-"---


39/43

&ika sistem konser0atif $no damping! no e/ternally appliedforce% maka persamaan gerak menjadi *

$a%Penyelesaian dari $a% dapat diasumsikan berbentuk 12$t%3 4 f$t% 1u3

$b%dimana f$t% adala" amplitudo yang merupakan fungsi 5aktudan 1u3 T 4 6u+ u, u- 7 um8

adala" konstanta yang merepresentasikan pola 9 pro:l displacement$b% menunjukkan ba"5a rasio amplitudo 12i$t% 9 2 j$t%3 independen

ter"adap 5aktu# ecara :sik ini berarti ba"5a semua koordinat 9 d#o#f#memiliki gerak sync"ronous# Kon:gurasi sistem bentuknya tidakberuba" $E mengikuti pola displacement tertentu%! "anya amplitudo'

nya yang beruba" selama gerak#Kon:gurasi sistem yang dinyatakan dalam 0ektor 1u3 disebut sebagaimode s"ape sistem#

I0J%It(KJAL%It(KJML =+

0%t(KAL%t(KML =+

0IuKJALIu%Jt( IuKJMLIu%Jt(

0IuKJA%Lt( IuKJM%Lt(

88 =+

=+

1u3 T 4 6u+ u, u- 7 um8

1u3 T 6(8 1u3 * skalar1u3 T 6K8 1u3 * skalar

);)?;D)(@;T)<

uKALu 8λD : i ik


40/43

%t( %t(

0%t( %t(

λ−=

=λ+

1 N (t% LMK u O (t% LAK u 0

LAK u # N LMK u 0

LAK u N LMK uCatatan *

A adala" bilangan riil positif E A 4 n,

Bentuk kuadrat 1u3 T 6K8 1u3 proporsional dengan energi potensialsistem

Bentuk kuadrat 1u3

T

6(8 1u3 proporsional dengan energi kinetiksistem 0%t( %t( "n =ω+

$c%Penyelesaian dari $c% adala" "armonik dalam bentuk

f$t% 4 C cos $t ' Q%

dimana C * amplitudo $konstanta% * frekuensi gerak "armonik

Q * sudut p"asaC dan Q tergantung pada faktor eksternal * =Cs dan eksitasi tergantung pada faktor internal * 6(8 dan 6K8

&adi * f +$t% 4 C+ cos $n+ t ' Q-%f ,$t% 4 C, cos $n, t ' Q,%

77 dst

∑ φ−ω==

m

- 2 2 2,n 2 2 %t'os(CIuJ%It(J

uKMLu

KL8

=λDe:nisikan eigen0alue

PENYELESAIAN PROBLEM EIGEN VALUE


41/43

PENYELESAIAN PROBLEM EIGEN-VALUE

?;T?K (@;@;T?K); A $dan dengan demikian n,% D); 1u3

(odel matematis sistem dapat dijabarkan sebagai 6 6K8 A 6(8 8 1u3

4 1E3 dimana persamaan diatas merupakan sistem persamaan$linier% "omogen#

?ntuk mendapatkan penyelesaian non'tri0ial dari pers tsb syaratnyaadala"

F$A% 4 66K8 A6(88 4 E $%

F$A% * determinan 9 polinomial karakteristikPenjabaran dari $% memberikan persamaan karakteristik $disebut jugasebagai persamaan frekuensi%#

Persamaan karakteristik adala" sebua" persamaan polinomial ordo mdalam A# ordo 4 jumla" d#o#f# $aktif% pada sistem

Dari F$A% 4 E dapat ditentukan m bua" akarnya! yaitu eigen'0alueA+! A,! 7 ! Am

Dan dengan demikian dapat pula ditentukan m bua" frekuensi naturalsistem! yaitu n+ 4 RN- , n, 4 RN" , S , n!m 4 RAmBagaimana 'aranya memperoleh gambaran tentang konigurasi displa'ementberkaitan dengan setiap rekuensi natural (eigen1&alue% T

MODE SHAPE EIGEN VECTOR


42/43

MODE SHAPE , EIGEN-VECTOR

etiap Ai $i 4 +! ,! -! 7 ! m% ! satu per satu disubstitusikan kembali ke

6 6K8 A 6(8 8 1u3 4 E

$k++ Ai m+% u+i I k+, u,i I k+- u-i I 77 I k+m umi 4 E

k,+ u+i I $k,, Ai m,% u,i I k,- u-i I 77 I k,m umi 4 E $%

km+ u+i I km, u,i I km- u-i I 77 I $kmm Ai mm% umi 4 E

i 4 +! ,! -! 7 ! m$% adala" sebua" sistem yang terdiri atas m bua" persamaan $linier%"omogen! dimana determinan karakteristik'nya adala" nol E sistem

tak independenDari $% tidak akan didapat nilai'nilai u+i! u,i! u-i! 7 ! umi secara uni2ue#

?ntuk penyelesaian non'tri0ial yang didapat merupakan rasio antarbesaran tsb#

Pili" sala" satu $secara acak%! misalkan u+i ! dan beri nilai satu

kepadanya#u+i 4 + kemudian disubstitusikan ke $m'+% persamaan dalam $%!

untuk selanjutnya diselesaikan untuk mendapatkan nilai u,i! u-i! 7 ! umiyang sejatinya merepresentasikan rasio u,i9u+i! u-i9u+i ! 7 ! umi9u+idengan catatan ba"5a $m'+% persamaan tsb ditentukan secara acakpula#

Hasilnya kemudian disusun dalam sebua" 0ektor

=

mi

i"

i-

i

u

.

.

u

u

IuJ

$t% $t% $t%


43/43

/+$t% /,$t% /-$t%

m m , mk k , k

0kkm"

0kk"km

0kkm

"

"-"

"--

=+−

=−+−

=−+

−

−−

−

=

kk0

kk"k

0kk

KAL

=

m"00

0m0

00m

KML 0

m"kk0

kmk"k

0kmk

=

λ−−

−λ−−

−λ−

Persamaan karakteristik : " m N 1 = m" k N" O -0 m k" N # " k 0

(N # 0." km% (N # -.4- km% (N # ".!!=" km% 0

m

k0.0-n =ω m

k-4"".-"n =ω

m

k==$$.-n =ω

N 0." km :

0.$444 u- # u" 0 misal u - atau

# u- O -.$444 u" # u 0 maka u" ".4!="! E # u" O ".4!="! u 0 u- .4"=

=

0.-

4!="!."

4"=.

IuJ -

="==-4.0

$444.0

0.-

IuJ -

−

=

0.-

"!=-!.0

!-.0

IuJ "

−

−

=

==-.0

0.-

"=".0

IuJ

N -.4- km : N ".!!=" km :

mekanika getaran-1

Documents