materi sta2-2010-nastiti

Created by Sri Nastiti Andharini

ProbabilitasProbabilitas merupakan kemungkinan terjadinya atau tidak terjadinya suatu peristiwa. Nilai probabilitas dinyatakan dengan angka dengan minimal 0 dan maksimal 1. Probabilitas dinyatakan dalam pecahan (¼, ½, ¾ dan sebagainya) atau persentase (25%, 50%, 75% dan sebagainya). Kemungkinan terjadinya suatu peristiwa dinotasikan dengan p sedangkan kemungkinan tidak terjadinya suatu peristiwa dinotasikan dengan q yang diperoleh dari 1 – p.Misalkan a adalah suatu peristiwa, maka :

P(a) adalah probabilitas terjadinya peristiwa aQ(a) atau p(a’) atau p(a)’ atau p(a) probabilitas tidak terjadinya peristiwa aProbabilitas p (a) = nol (0) berarti peristiwa a tidak pernah terjadi dan probabi-litas p (a) = satu (1) berarti sesuatu peristiwa a akan selalu atau pasti terjadi.

Dalam probabilitas suatu peristiwa (event) atau kejadian adalah hasil yang mungkin dari suatu kegiatan. Kegiatan yang menghasilkan suau peristiwa dinamakan percobaan (experiment). Dalam pelemparan sebuah coin atau mata uang misalnya, munculnya suatu permukaan tertentu adalah suatu peristiwa (event), sedangkan pelemparan itu merupakan suatu percobaan (exoeriment). Seluruh hasil yang mungkin diperoleh dari suatu percobaan itu dinamakan ruangsampel (sample space).

1. Pengertian probabilitas.Pengertian mengenai probabilitas ada 3 pendekatan yang bisa digunakan, yaitu A. Pendekatan klasik atau disebut pula pendekatan secara teoritis. Pada

pendekatan ini, probabilitas diartikan sebagai kemungkinan terjadinya suatu peristiwa dari keseluruhan peristiwa yang terjadi. Oleh karena itu harga atau nilai probabilitas dapat ditentukan sebelum terjadinya pengamatan atau observasi terlebih dahulu.

B. Pendekatan empirik atau disebut pula pendekatan secara matematis.Pada pendekatan ini probabilitas merupakan kemungkinan terjadinya suatu peristiwa dari keseluruhan peristiwa yang sudah terjadi. Pendapat lain menyatakan bahwa pendekatan ini dapat dinamakan pendekatan frekuensi relatif (pendekatan relatif). Menurut pendekatan ini probabili-tas didefinisikan sebagai :

1. Proporsi waktu terjadinya sebuah peristiwa dalam jangka panjang jika kondisi stabil atau,

2. Frekuensi relatif dari selluruh peristiwa dalam sejumlah besar percobaan.

Berdasarkan pengertian tersebut, maka harga atau nilai probabilitas dapat ditentukan setelah melakukan percobaan, pengamatan atau observasi.

C. Pendekatan subyektifDalam pendekatan ini probabilitas adalah kemungkinan terjadinya suatu peristiwa yang didasarkan pada perasaan atau perkiraan individu pada terjadinya suatu peristiwa, sehingga bersifat subyektif. Probabilitas subyektif ini, biasanya ditentukan jika terjadinya peristiwa hanya seklai atau palling bayak beberapa kali.Oleh karena itu harga atau nilai probabilitas setiap individu dapat berbeda-beda sesuai dengan tingkat keyakinannya terhadap terjadinya peristiwa itu. Pendekatan ini ada yang memasukkannya dalam pendekatan yang bersifat teoritis atau empirik.


2. Hubungan antara peristiwa yang satu dengan yang lain.

Berdasarkan peristiwa-peristiwa yang terjadi, ada beberapa hubungan antar peristiwa yang dapat diperoleh, yaitu :A. Peristiwa yang bersifat saling meniadakan, merupakan suatu peristiwa

yang terjadi apabila peristiwa yang lain tidak terjadi. Dengan kata lain terjadinya suatu peristiwa menyebabkan tidak terjadinya atau meniadakan peristiwa yang lain. Misalkan ada 2 peristiwa yaitu peristiwa a dan peristiwa b. Terjadinya peristiwa a meniadakan terjadinya peristiwa b atau sebaliknya peristiwa munculnya suatu permukaan tertentu dari sebuah mata uang logam yang dilemparkan.

B. Peristiwa yang bersifat bebas atau independent. Terjadinya suatu peristiwa tertentu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi oleh peristiwa yang lain, antara peristiwa yang satu dengan yang lain dapat terjadi secara bersama-sama maupun tidak (sendiri-sendiri). Contohnya terjadinya suatu permukaan tertentu pada dua buah uang logam yang dilemparkan.

C. Peristiwa yang bersifat kondisional atau bersyarat (conditional). Terjadinya suatu peristiwa didahului dengan peristiwa tertentu. Misalkan peristiwa pengambilan sebuah produk yang rusak yang dihasilkan oleh suatu mesin tertentu pada suatu perusahaan.

D. Peristiwa yang bersifat terbatas atau exhaustive. Peristiwa yang terjadi jumlahnya terbatas, artinya banyaknya macam peristiwa yang terjadi adalah terbatas. Contohnya : sebuah mata uang logam hanya mempunyai 2 peristiwa, karena mempunyai 2 permukaan. Oleh karena itu tidak mungkin sebuah uang logam yang dilemparkan akan memunculkan permukaan yang ketiga.

3. Rumus dasar dalam probabilitas berdasarkan hubungan peristiwa yang terjadi.Rumus dasar yang dipergunakan dalam menentukan harga probabilitas adalah :

; atau

Di mana :

P(a) = probabilitas peristiwa aQ(a) atau p(a’) = probabilitas tidak terjadinya

Peristiwa aX = frekuensi (banyaknya) terjadinya peristiwa aN = frekuensi terjadinya seluruh peristiwa

Secara umum dalam menentukan harga probabilitas ber-dasarkan hubungan peristiwa yang terjadi untuk minimal 2 peristiwa atau kejadian, adalah sebagai berikut :A. Peristiwa yang bersifat saling meniadakan.

Berarti dua peristiwa atau lebih tidak mungkin terjadi secara bersama, probabilitas yang ditentukan dalam hubungan peristiwa yang terjadi ini adalah probabilitas terjadinya peristiwa a atau peristiwa b :

B. Peristiwa yang bersifat bebas.Berarti dua peristiwa atau lebih dapat terjadi secara bersama, maupun tidak bersama.


Probabilitas terjadinya peristiwa secara bersama, misalnya a dan b adalah

:

probabilitas terjadinya peristiwa secara tidak bersama, misalnya a atau b adalah :

C. Peristiwa yang bersifat bersyarat atau kondisional.Misalkan ada dua peristiwa, yaitu peristiwa a dan peristiwa b,Jika peristiwa b (kedua) terjadi setelah peristiwa a (pertama), maka :

Pa = probabilitas peristiwa yang pertamaP(b/a) = probabilitas peristiwa yang keduaSehingga :

p (b) = pa x p(b/a)

Jika peristiwa a (kedua) terjadi setelah peristiwa b (pertama), maka :Pb = probabilitas peristiwa yang pertamaP(a/b) = probabilitas peristiwa yang keduaSehingga :

p (a) = pb x p(a/b)

Berdasarkan probabilitas bersyarat tunggal tersebut, dapat ditentukan probabilitas majemuknya.

P (a dan b) = pa x p(b/a) = pb x p(a/b)

Sehingga diperoleh persamaan baru, sebagai berikut :

pa . P(b/a)

P(a/b) = ----------------Pb

Misalkan : jika salah satu peristiwa a1, ….. An terjadi, maka peritiwa b akan terjadi, di mana peristiwa a adalah saling asing, sehingga :

B = a1b + …… + anb

Sehingga didapatkan perumusan teorema bayes sebagai berikut :

p(ak) x p(b/ak)P(ak/b) = -------------------------

n p(ai) x p(b/ai)

i = 1

4. Diagram venn

A. Ruang sampel


Data dikumpulkan melalui percobaan. Setiap percobaan menghasilkan satu atau lebih kemungkinan hasil yang dinamakan events (kejadian/peristiwa/gejala). Percobaan tersebut dapat digambarkan ke dalam suatu diagram. Hasil percobaan digambarkan sebagai sekumpulan titik (point set). Setiap simple event ditunjukkan dengan suatu titik yang disebut titik sampel (sample point). Diagram yang dihasilkan yaitu diagram venn. Kumpulan semua titik sampel dinamakan ruang sampel (sample place), yang dinotasikan s.Misalnya :Peristiwa a : munculnya angka ganjil

Peristiwa b : munculnya angka genapPeristiwa s1 : munculnya angka 1Peristiwa s2 : munculnya angka 2Peristiwa s3 : munculnya angka 3Peristiwa s4 : munculnya angka 4Peristiwa s5 : munculnya angka 5Peristiwa s6 : munculnya angka 6

A. Peristiwa s1…… s6 tidak dapat dipisah-pisahkan, disebut peristiwa sederhana (simple event). Peristiwa a akan ada jika peristiwa s1, s3, s5 terjadi. Peristiwa b akan terjadi jika peristiwa s2, s4, s6 terjadi, sedangkan peristiwa a dan b disebut peristiwa majemuk.

B. Gabungan (union) dan irisan (intersection).Misalkan a dan b merupakan peristiwa dalam ruang sampel s, maka :Union a dan b merupakan peristiwa yang mencakup semua titik sampel dari peristiwa a dan peristiwa b.

atau p ( a atau b)

Intersection a dan b merupakan peristiwa yang terdiri dari semua titik sampel yang berasal dari a dan b.

atau p (a dan b)

C. Berdasarkan hubungan peristiwa yang terjadi :

Saling meniadakan : p (a u b) = p (a) + p (b) Bebas atau independent :

P (a … b) = 0

P ( a u b) = p (a) + p (b) – p (a … b)

5. Harapan matematik

Jika p merupakan probabilitas seseorang untuk mendapatkan suatu jumlah q, maka harapan matematik dari orang tersebut adalah pq.Jika suatu gejala diskrit yang diambil secara acak diberi simbul x dengan harga x1, …, xn, dan probabilitas untuk mendapatkan harga-harga tersebut adalah p(x1), …, p(xn), maka harapan matematik dari x dinyatakan sebagai berikut :

e(x) = x1 . P(x1) + … + xn . P(xn) = xi . P(xi)

6. Permutasi dan kombinasi


Permutasi dan kombinasi merupakan sejumlah kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. A. Permutasi, merupakan penyusunan obyek-obyek sejumlah n yang

tiap-tiap kali diambil sejumlah r dengan memperhatikan tata susunan yang terjadi. Rumus yang dipergunakan adalah : Jika n = r, maka :

P(n,r) = n x (n – 1) x (n – 2) … ! = n ! Jika n < r, maka :

P(n,r) = n x (n –1) x (n – 2) … (n – r + 1) n ! = ------------ (n – r) !

Jika dari sejumlah n obyek dapat dibedakan m macam kelompok, masing-masing terdiri dari r1, …, rm obyek yang sama sehingga :

R1 + … + rm = nMaka :

n !P[n,(r1, …,rm)]= -------------

r1 ! … rm !

B. Kombinasi, merupakan selekasi terhadap sejumlah n yang tiap-tiap kali diambil sebanyak r, tanpa memperhatikan tata susunan yang terjadi.Rumus yang dipergunakan adalah : Jika n r, maka :

n !C(n,r) = ---------------

R ! (n – r) ! Jika dalam suatu gugus dengan n obyek dapat dipisahkan menjadi m

buah gugus yg terputus, masing-masing terdiri dari r1, …, rm buah obyek, maka :

n !C[n,(r1, …,rm)]= -------------

r1 ! … rm !


Distribusi probabilitasA. Pengertian

Distribusi probabilitas merupakan kumpulan dari harga-harga probabilitas atau beberapa probabilitas. Dalam distribusi probabilitas dikenal ada 2 variabel, yaitu : 1. Variabel diskrit, suatu variabel di mana satuannya utuh (bukan

pecahan, yang didapatkan berdasarkan perhitungan). Distribusi probabilitas diskrit merupakan suatu daftar dari semua atau seluruh nilai variable random (acak) diskrit dengan probabilitas terjadinya masing-masing nilai itu. Jika digambarkan di atas garis interval, variable diskrit akan berupa sederetan titik-titik yang terpisah.

2. Variabel kontinyu, merupakan suatu variabel yang satuannya dapat berupa bilangan pecahan (angka yang diperoleh berdasarkan hasil pengukuran). Distribusi probabilitas kontinyu merupakan suatu daftar dari semua atau seluruh nilai variable random (acak) kontinyu dengan probabilitas terjadinya masing-masing nilai itu. Jika digambarkan di atas garis interval, variable kontinyu akan berupa sederetan titik-titik yang bersambung membentuk garis lurus.

Variabel yang dimaksud di dalam probabilitas adalah frekuensi terjadinya suatu peristiwa di dalam menentukan nilai atau harga probabilitas, yang biasanya dinotasikan dengan “x”.Misalnya : sebuah dadu dilemparkan sebanyak 10 kali, dan x adalah frekuensi munculnya dadu yang bermata satu. Di mana x bisa sama dengan 0, 1, 2, 3, ….., 10, maka angka yang menunjukkan frekuensi munculnya mata dadu satu ini disebut angka kuantitatif yang diskrit. Sedangkan jika ada 10 buah produk yang diukur berat produknya, di mana secara berurutan diperoleh nilai 50,1; 49,0; 49,9; 48,5; 50,5; 51,2; 49,0; 50,0; 50,6; 51,0, maka angka ini disebut atau dikelompokkam pada angka kuantitatif kontinyu.

B. Beberapa distribusi probabilitasAda beberapa macam distribusi probabilitas yang dikenal, antara lain yaitu :1. Distribusi binomial2. Distribusi multinomial3. Distribusi poisson4. Distribusi hipergeometrik5. Distribusi normalDari berbagai distribusi di atas, yang termasuk dalam distribusi probabilitas diskrit adalah distribusi binomial, multinomial, hypergeometris dan poisson. Di bawah ini dijelaskan beberapa distribusi probabilitas, antara lain :1. Distribusi binomial , suatu distribusi yang berva-riabel diskrit dengan

grafik terputus-putus yang bentuknya simetris bila p = q atau p q asal n besarCiri-cirinya a.l : Tiap percobaan ada 2 hasil : sukses (p) dan gagal (q) Setiap percobaan harus bersifat bebas/ inde-pendent

Probabilitas sukses pada setiap percobaan harus sama dan dinyatakan dengan “p”

Harga probabilitas sukses besar, biasanya paling sedikit 10% Grafik yang menggambarkan distribusinya berbentuk histogram atau

batang


Rumus probabilitas : Jika p q :

n

P(x,n) = ( x ) px (1 – p)n-x

n( x ) = koefisien binomial, menunjukkan x kali

Sukses dari n kejadian, yang dapat dihitung berda-sarkan segitiga pascal atau :

Di mana : N ! = disebut n faktorial 0 ! = 1 menurut definisiX = semua bilangan 0 sampai n

Jika p = q :- Dapat digunakan rumus di atas atau- Hukum pascal

Rumus rata-rata dan deviasi standar dari distribusi binomial

Mean () = n.pDeviasi standar () = n.p.q

2. Distribusi poisson , merupakan suatu distribusi peristiwa yang jarang terjadi. Dianggap sebagai pendekatan distribusi binomial apabila n adalah besar, dengan probabilitas sukses sangat kecilCiri-cirinya antara lain : Garfik yang menggambarkan distribusinya berbentuk histogram

atau batang Bervariabel diskrit Harga probabilitas sukses kecil, biasanya kurang dari 10%

Rumus probabilitasnya :

Di mana :

= n.p (biasanya nilainya tetap, dan 5, p 0,1)E = bilangan irrasional yang besarnya 2,71828

Rumus rata-rata dan deviasi standar dari distribusi poisson

Mean () = n.p deviasi standar () = n.p

3. Distribusi normal , merupakan suatu distribusi yang berva-riabel kontinyu. Menghitung probabilitas di dalam distribusi normal sama dengan menentukan luas daerah di bawah kur-ve normal. Ciri-cirinya : Grafik yang menggambarkan distribusinya berbentuk kurve atau

garis lengkung dan simetris terhadap mean () z = 0 Kedua ujungnya semakin mendekati sumbu absisnya (x) dan tidak

pernah memotong Jarak titik kurve tersebut dengan sumbu simetrisnya sama dengan Luas daerah di bawah kurve tersebut sama dengan 100%

Luas daerah di bawah kurve normal (probabilitas) dari harga rata-rata ke kanan atau ke kiri adalah sama, yaitu 50% = 0,5


Untuk menentukan luas di bawah kurve normal dapat dilihat berdasarkan nilai unit (z), kemudian di lihat pada tabel luas kurve normal standard (z) :

x - z = ---------

Nilai “z” yang diperoleh dapat bertanda (-) atau (+), yang menunjukkan letak luas daerah di ba-wah kurve (porbabilitas) yang akan ditentukan.

C. Hubungan antar distribusi probabilitasApabila di dalam menentukan probabilitas pada distribusi binomial & poisson digunakan pende-katan distri-busi normal, maka perlu disesuaikan terlebih dahulu variabelnya (dari variabel dis-krit menjadi variabel kontinyu). nilai x-nya disesuaikan.

Distribusi sampling

Distribusi sampling adalah distribusi probabilitas dengan statistik sample sebagai variable randomnyaA. Pengertian

Distribusi sampling merupakan kumpulan harga-harga sampel atau statistik berdasarkan tehnik sampling yang dilakukan. Distribusi sampling terdiri atas kumpulan harga-harga :1. Rata-rata sampel distribusi sampling harga rata-rata sample. 2. Proporsi sampel distribusi sampling harga proporsi sampel3. Standard deviasi sampel distribusi sampling harga standard deviasi

sampel.4. Selisih atau perbedaan rata-rata sampel distribusi sampling harga

selisih atau perbedaan rata-rata sampel5. Selisih atau perbedaan proporsi sampel distribusi selisih atau

perbedaan proporsi sampel

Tehnik sampling yang dipergunakan dalam distribusi sampling ini dibedakan :1. Sampling dengan pengembalian :

Jumlah sample yang diperoleh (l) dapat dicari dengan menggunakan rumus :

l = nn

2. Sampling tanpa pengembalian :Jumlah sample yang diperoleh (l) dapat dicari dengan menggunakan rumus : n!

l = -------------- n ! (n – n) !

B. Istilah-istilah dan notasi yang dipergunakan.Beberapa istilah yang dipergunakan dalam distribusi sampling adalah :1. Populasi adalah jumlah dari keseluruhan obyek (satuan-satuan atau

individu-individu) yang mungkin karakteristiknya akan diduga. Unit analisa mungkin dapat berupa orang, rumah tangga, tanah pertanian, perusahaan, negara dan lain-lain, yang disebut elemen dari populasi.


2. Parameter adalah nilai-nilai pengukuran pada populasi yang biasanya ditaksir berdasarkan hasil pengukuran pada sampel yang diambil dari populasinya.Parameter adalah cirri-ciri populasi. Untuk suatu populasi hanya mempunyai sebuah nilai parameter, artinya hanya ada nilai tunggal rata-rata populasi, hanya ada nilai tunggal standard deviasi populasi, sehingga parameter merupakan deterministic variable.

3. Sampel adalah sebagian dari populasi yang karakteristiknya akan diselidiki, dan dianggap bisa mewakili keseluruhan populasinya.

4. Statistik adalah nilai observasi dari sampel yang dipergunakan untuk menduga nilai parameternya. Statistik adalah cirri-ciri sample. Jika ditarik secara random dari suatu populasi, maka terdapat sejumlah kemungkinan sample. Karena masing-masing kombinasi sample memiliki satu nilai sattistik, maka untuk populasi itu terdapat kombinasi sample. Sehingga statistik merupakan suatu variable random yang memilki distribusi probabilitas atau statistik merupakan stochastic variable.

Beberapa notasi yang dapat dipergunakan pada distribusi sampling adalah :

1. Dalam parameter atau populasi : = rata-rata populasi = deviasi standard populasiP = proporsi populasi1 – 2 = selisih atau perbedaan rata-rata populasiP1 – p2 = selisih atau perbedaan proporsi populasi

2. Dalam statistik atau sampel := Rata-rata sampel

S = deviasi standard sampelP = proporsi sampel

= selisih atau perbedaan rata-rata sampel

p1 – p2 = selisih atau perbedaan proporsi sample

3. Notasi untuk harga rata-rata dam deviasi standard dalam distribusi samplingnya (dalam kumpulan harga-harga sampelnya)

No

.

Keterangan Rata-rata

d.s

Standard dev.

D.s.

1 Rata-rata

2 Proporsi p p

3 Standard deviasi

s s

4 Selisih rata-rata

5 Selisih proposi

(p1 – p2) (p1 – p2)


Berdasarkan distribusi sampling tersebut dapat ditentukan nilai atau harga :A. Rata-rata distribusi samplingB. Standard deviasi dsitribusi samplingC. Probabilitas atau peluang dsitribusi sampling berdasarkan distribusi

normalnya. Secara umum rumus yang dipergunakan untuk menentukan probabilitas pada dsitribusi samplingnya adalah :

nilai satistik – nilai parameter

z = -------------------------------------------standard deviasi (d.s.)

Gunakan notasi yang sesuai dari masingt-masing distribusi sampling di atas.

Distribusi sampling harga rata-rata

kumpulan dari harga rata-rata sampel (x1, x2, x3, …, xn) yang berasal dari satu atau sekelompok populasi. Dengan kata lain distribusi sampling rata-rata adalah suatu distribusi probabilitas dari semua harga rata-rata sample dengan ukuran tertentu yang ditarik (diambil) dari suatu populasi.A. Penentuan rata-ratanya :

1. Berdasarkan kumpulan harga rata-rata sampelnya :

di mana : Untuk sampling dengan pengembalian :

L = nn

Untuk sampling tanpa pengembalian :

2. Berdasarkan kumpulan nilai dalam populasinya :

sehingga : x =

B. Penentuan standard deviasi :1. Berdasarkan kumpulan harga rata-rata sampel :

2. Berdasarkan kumpulan nilai dalam populasi : Sampling dengan pengembalian

Dari rumus ini dapat disimpulkan bahwa :

akan turun jika n bertambah


lebih kecil dibandingkan , kecuali jika seluruh unsur populasi nilainya sama besar sehingga = = 0 dan akan tetap

meskipun n bertambah.

Sampling tanpa pengembalian

Keterangan untuk distribusi rata-rata : Jika ukuran sample cukup besar (n ≥ 30) distribusi sampling rata-rata

akan mendekati distribusi normal apapun bentuk distribusi populasinya.

Jika distribusi populasi normal, distribusi sampling rata-rata akan

normal, berapapun ukuran sampelnya.

C. Penentuan probabilitas :

Distribusi sampling harga proporsi kumpulan harga proporsi sampel (p1, p2, …, pn)

A. Penentuan harga rata-rata :

p = pB. Penentuan standard deviasi

Sampling dengan pengembalian


C. Penentuan probabilitas

Dist. Sampling harga standard deviasi kumpulan harga standard deviasi sampel (s1, s2, …, sn)A. Penentuan harga rata-rata :

s = B. Penentuan standard deviasi :

Sampling dengan pengembalian


C. Penentuan probabilitas :


Distribusi sampling harga selisih proporsi kumpulan harga proporsi sampel pertama dan kedua selisih proporsi sampel

A. Penentuan harga rata-rata :

(p1 – p2) = p1 – p2

B. Penentuan standard deviasi :

C. Penentuan probabilitas :(p1 – p2) – (p1 – p2)

Z = ----------------------------------- (p1 – p2)

Dist. Sampling harga selisih rata-rata kumpulan harga rata-rata sampel pertama dan kedua selisih rata-rata sampelA. Penentuan harga rata-rata :

(x1 – x2) = 1 – 2 B. Penentuan standard deviasi :

C. Penentuan probabilitas :(x1 – x2) – (1 – 2)

Z = -----------------------------------

(x1 – x2)

Pendugaan/estimasi Secara statistik

1. Pengertian pendugaan (estimasi)

Pendugaan atau estimasi adalah memperkirakan nilai-nilai parameter/populasi berdasarkan nilai-nilai sampel atau statistik yang didapatkan berdasarkan distri-busi sampling yang dilakukan. Karena itu pendugaan merupakan suatu bagian statistik inferensial, yaitu merupakan pernyataan mengenai parameter populasi yang tidak diketahui beradsarkan informasi dari sample random sederhana yang diambil dari populasi itu. Cara penentuan jumlah sample yang biasanya digunakan dalam pendugaan atau estimasi, biasanya diistilahkan dengan sampling dengan pengembalian maupun sampling tanpa pengembalian.

2. Beberapa istilah yang dipergunakan dalam pendugaan atau estimasi.

a. Statistik, merupakan suatu ukuran yang dipergunakan untuk menggam-barkan nilai dari suatu sampel.


b. Parameter, merupakan suatu ukuran yang dipergunakan untuk menggam-barkan nilai suatu populasi.

c. Estimator, merupakan suatu nilai sampel atau statistik yang dipergunakan untuk menduga besarnya nilai parameter yang tidak atau belum diketahui.

d. Estimasi secara statistik, merupakan suatu nilai yang dihasilkan berda-sarkan pendugaan atau estimasi yang dilakukan.

3. Ciri-ciri penduga yang baik dsibedakan menjadi :

a. Penduga tak bias (unbias estimator). Penduga dikatakan tak bias apabila di dalam sample random sederhana yang berulang-ulang dari suatu populasi, rata-rata atau nilai harapan dari statistik sama dengan parameter populasi yang sesuai, jika tidak dinamakan penduga yang bias.

b. Penduga efisien.Penduga dikatakan efisien apabila penduga mempunyai varian yang kecil atau bahkan mendekati nol (0) diantara penduga-penduga yang tak bias

c. Penduga konsisten

Suatu penduga dikatakan konsisten apabila memenuhi dua syarat, yaitu : Jika ukuran sample bertambah, penduga akan makin

mendekati parameter yang sesungguhnya. Penduga demikian dinamakan penduga asymptotic unbiased.

Jika ukuran sample bertambah tanpa batas, distribusi sampling penduga akan mengempis atau menjadi suatu garis tegak di atas parameter yang sesungguhnya dengan probabilitas sama dengan satu.

4. Macam-macam pendugaan secara statistik

Estimasi atau pendugaan secara statistik ini, dapat dibedakan menjadi pendugaan terhadap kumpulan sample yang berdistribusi normal dan pendugaan terhadap kelompok sample yangtidak berdistribusi normal.Pada esimasi atau pendugaan terhadap sample yangberdistribusi normal dibedakan menjadi, yaitu :a. Pendugaan terhadap rata-rata populasi

1) Berdasarkan sampel kecil (n < 30)2) Berdasarkan sampel besar (n 30)

b. Pendugaan terhadap proporsi populasi (n 30)c. Pendugaan terhadap standard deviasi populasi (n 30)d. Pendugaan terhadap selisih atau perbedaan rata-rata populasi

1) Berdasarkan sampel besar (n 30)2) Berdasarkan sampel kecil

a) Berdasarkan selisih rata-rata sampel kecil dua kumpulan sampel dikenai satu perlakuan (n < 30) atau berdasarkan dua kumpulan sampel yang berbeda.

b) Berdasarkan sampel berpasangan satu kumpulan sampel yang dikenakan 2 perlakuan (n < 30) atau berdasarkan dua kumpulan sampel yang sama.

e. Pendugaan terhadap selisih atau perbedaan proporsi populasi (n 30)

Pendugaan atau estimasi secara statistik ini hanya diper-gunakan pada sekelompok populasi dan dua kelompok populasi.


5. Beberapa tehnik pendugaan atau estimasi secara statistik dan rumus umum yang dipergunakan :a. Pendugaan titik (point estimation)

Pendugaan titik merupakan pendugaan dengan menggunakan satu angka tunggal.Rumus umum yang dipergunakan : Untuk jumlah sampel kecil (n < 30) nilai parameter atau populasi yang

diduga dapat diperoleh dari :

= t x standard deviasi pada d.s. Untuk jumlah sampel besar (n 30) nilai parameter atau populasi

yang diduga dapat diperoleh dari :

= z x standard deviasi pada d.s.

b. Pendugaan interval (interval estimation)Nilai statistik dari suatu sample ke sample lainnya dapat sama, tetapi kemungkinan akan berbeda. Sehingga penduga titik kemungkinan besar akan berbeda dengan nilai parameter populasi. Oleh karena itu sebagai pengganti pendugaan titik dapat dipergunakan pendugaan interval. Pebdugaan interval menunjukkan suatu jajaran nilai yang diantaranya terdapat parameter yang tidak diketahui atau yang akan diduga. Pendugaan interval yang disertai keyakinan dinamakan coefidence interval estimate atau yang disebut interval keyakinan.Rumus umum yang dipergunakan : Untuk jumlah sampel kecil (n < 30) nilai parameter atau populasi yang

diduga dapat diperoleh dari :

= nilai sample t x std dev. Pada d.s. Untuk jumlah sampel besar (n 30) nilai parameter atau populasi

yang diduga dapat diperoleh dari :

= nilai sample z x std dev. Pada d.s.

Catatan : untuk harga standard deviasi yang dipergunakan pada rumus di atas, biasanya harga standard deviasi pada distribusi sampling dengan pengembalian (harga parameter atau harga statistiknya)

Rumus pendugaan di atas berlaku untuk pendugaan terhadap rata-rata populasi, proporsi populasi, selisih rata-rata populasi, dan selisih proporsi populasi, tidak berlaku pada pendugaan standard deviasi populasi.

Rumus untuk pendugaan standard deviasi populasi atau parameter adalah : = s z (/2) x /2n dapat dijabarkan menjadi :

S – z (/2) x /2n < < s + z (/2) x /2nDari sisi kiri : s – z (/2) x /2n – < 0

s < z (/2) x /2n + s < (1 + z (/2} /2n) s----------------- < z (/2)

(1 + z (/2}/2n)Maka : s s

----------------- < < -----------------(1 + z (/2}/2n) ( 1 – z (/2}/2n)


Berdasarkan rumus-rumus di atas dapat dipergunakan untuk menentukan

banyaknya pengamatan yang diinginkan (n), jika diketahui kesalahan maksimal (e) dalam menduga nilai parameternya adalah sebagai berikut :

penentuan banyaknya pengamatan n hanya dipergunakan untuk pendugaan rata-rata, standard deviasi dan proporsi populasi atau parameter.

Rumus umum yang dipergunakan adalah :

e = z (/2) x standard deviasi pada d.s.

Berdasarkan rumus tersebut dapat ditentukan banyaknya pengamatan yang diinnginkan (n)

Misalkan : Penentuan banyaknya pengamatan pada pendugaan rata-rata populasi :

E = z (/2) x standard deviasi pada d.s.

E = z (/2) x ------- n

Maka :

Hipotesis

A. Pengertian :

Hipotesis merupakan suatu pernyataan atau proposisi yang mungkin benar, yang perlu diuji kebenarannya, karena dapat dipergunakan sebagai pedoman di dalam pengambilan keputusan.

B. Beberapa istilah dalam hipotesis :

1. H0 (hipotesis nihil atau hipotesis nol) merupakan suatu pernyataan yang biasanya diharapkan untuk ditolak.

2. H1 (atau ha atau hipotesis alternatif) :Merupakan suatu pernyataan yang pada hakekatnya diharapkan untuk diterima.

Pernyataan yang ada pada hipotesis nihil dan hipotesis statistik alternatif selalu bertolak belakang / berlawanan

Beberapa kesalahan yang dapat terjadi pada pengujian hipotesa

1. Kesalahan tipe 1Suatu kesalahan yang terjadi apabila menolak hipotesis yang pada hakekatnya adalah benar

2. Kesalahan tipe 2Suatu kesalahan yang terjadi apabila menerima hipotesa yang pada haklekatnya salah

Kesalahan-kesalahan tersebut dapat disebabkan karena kesalahan sampling ataupun kesalahan non-sampling


Pada pengujian hipotesis terdapat 3 pernyataan me-ngenai hipoteisis alternatif (h1), yaitu yang menya-takan bahwa :1. Harga parameter tidak sama () dengan harga yang dihipotesakan2. Harga parameter lebih besar (>) daripada harga yang dihipotesakan3. Harga parameter lebih kecil (<) daripada harga yang dihipotesakan

X) keterangan : notasi untuk harga parameter atau-pun harga yang dihipotesakan menyesuaikan de-ngan kasus yang diselesaikan (ingat dengan distribusi sampling dan estimasi !!!!)

Sesuai dengan 3 alternatif pada hipotesis alterna-tifnya, maka langkah-langkah umum dalam pengujian hipotesis adalah :

1. Menentukan formulasi h0 dan h1 :

Berdasarkan 3 hipotesis alternatif (h1) di atas, maka terdapat :

a. Uji dua sisi / dua arah H0 : nilai parameter = nilai yang diujiH1 : nilai parameter nilai yang diuji

b. Uji satu sisi sisi kananH0 : nilai parameter nilai yang diujiH1 : nilai parameter > nilai yang diuji

c. Uji satu sisi sisi kiri

H0 : nilai parameter nilai yang diujiH1 : nilai parameter < nilai yang diuji

X) keterangan : untuk memilih uji dua sisi atau sa-tu sisi dapat didasarkan pada nilai statistik (sampel) yang dibandingkan dengan nilai yang diuji, misalkan : apabila nilai sampel dari nilai yang yang diuji, maka digunakan uji sisi kanan dan sebagainya atau berdasarkan teori dan penelitian terdahulu yang digunakan pada pe-nelitian yang anda pergunakan.

2. Menentukan tingkat signifikansi () untuk nilai z atau t (berdasarkan tabel distribusi z atau t), misalkan diketahui = 5 % atau 95%, maka :a. Apabila n 30 tentukan nilai z (tabel), yaitu

1) untuk dua sisi, nilai z berdasarkan /2, yaitu : /2 = (95%/2) atau {50% - (5%/2)} = 47,5%Z (/2)= 1,96 *)

2) Untuk satu sisi, nilai z berdasarkan , yaitu : = (95% - 50%) atau (50% - 5%) = 45%Z() = 1,64 atau 1,65*)

b. Apabila n < 30 tentukan nilai t (tabel), misalkan didapatkan tingkat kebebasan atau degree of freedom {berdasarkan (n - 1) atau (n1 + n2 - 2)} = 5, maka :1) Untuk dua sisi, nilai t berdasarkan /2 dan tingkat kebebasan, yaitu :

/2 = 5%/2 atau {(95% - 50%)/2 = 2,5% Df = 5 sehingga t (/2,df) = 2,571*)

2) Untuk satu sisi, nilai t berdasarkan dan ting-kat kebebasan, yaitu : = 5% atau {(95% - 50%) = 5%


Df = 5 sehingga t (,df) = 2,015*)Keterangan : *) dapat dilihat pada tabel distribusi normal nilai z atau t

3. Menentukan kriteria pengujian berdasarkan formulasi yang dipergunakan (disesuaikan dengan pilihan di point 1.)a. Untuk n 30 berdasarkan z

1) Dua sisiH0 diterima jika : -z (/2) z (hitung) z(/2)

H0 tolak jika : z < - z(/2) atau z > z (/2)

2) Satu sisi kiriH0 diterima jika : z (hitung) - z(); h0 tolak jika : z(hitung) < - z ()

3) Satu sisi kananH0 diterima jika : z (hitung) z(); h0 tolak jika : z(hitung) > z ()

b. Untuk n < 30 berdasarkan t

1) Dua sisiH0 diterima jika : -t (/2,df) t (hitung) t(/2,df)

H0 tolak jika : t < - t(/2,df) atau t > t (/2,df)

2) Satu sisi kananH0 diterima jika : t(hitung) t(,df); h0 tolak jika : t(hitung) > t (,df)

3) Satu sisi kiriH0 diterima jika : t (hitung) - t(,df); h0 tolak jika : t(hitung) < - t (,df)

4. Menentukan nilai z atau t (berdasarkan perhitungan) dengan rumus :Rumus umum :

Nilai z (hitung) atau t (hitung) =Nilai statistik - nilai yang diuji

Standard deviasi

Notasi yang digunakan dalam harga-harga terse-but sesuai dengan notasi-notasi yang ada pada distribusi sampling atau estimasinya !!!!!

5. Menentukan kesimpulan atau keputusan yang akan diambilKesimpulan diambil berdasarkan nilai z (hitung) atau t (hitung) yang dibandingkan dengan nilai tabelnya, apakah h0 diterima atau h0 ditolak (maknanya sesuai dengan pernyataan yang ada 0pada formulasi h0 atau h1-nya).

Keterangan :Menerima h0 berarti menolak h1 dan seba-liknya apabila menolak h0

berarti menerima h1

Uji chi-square

Uji distribusi chi-square dapat dipergunakan untuk menguji proporsi yang lebih dari dua buah sampel dan pengujian variance. Pengujian ini merupakan suatu pengujian pada kelompok sample yang tidak berdistribusi normal.Pada pengujian untuk proporsi ada beberapa bentuk uji yang dapat dipergunakan, yaitu :1. Uji k proporsi2. Uji independensi


3. Analisis tabel r x k4. Uji kompatibilitas (uji kesesuaian)5. Uji variance (sampel kecil)Tehnik-tehnik di atas dipergunakan untuk pengujian satu sisi yaitu kananLangkah-langkah umum yang dipergunakan dalam uji ini sama dengan yang ada pada uji hipotesis. (hanya ber-beda pada langkah ke - 4, karena yang dihitung adalah ²(hitung) ). Pada uji ini hanya dipergunakan uji satu sisi yaitu kanan.

1. Menentukan formulasi h0 dan h1

H0 mengatakan : P1 = p2 = … = pk (p) atau P11 = p12 = … = p1j

P21 = p22 = … = p2j Pi1 = pi2 = … = pij dst atauDi mana : i = r = baris

j = k = kolom Variabel/kategori yang satu independen (tidak tergantung/ bebas) dengan

variabel/kategori yang lain (tidak ada hubungan/ pengaruh) atau Suatu distribusi frekuensi hasil observasi sesuai dengan distribusi teoritis

tertentu

H1 mengatakan (sebaliknya) : P1 p2 … pk (p) atau Paling sedikit ada satu yang berbeda atau Variabel/kategori yang satu dependen (tergantung) dengan variabel/

kategori yang lain (tidak ada hubungan/pengaruh) atau Suatu distribusi frekuensi hasil observasi tidak sesuai dengan distribusi

teoritis tertentu

2. Menentukan tingkat signifikansi () nilai ² dari tabel ²

Nilai ² dapat ditentukan dengan dan tingkat kebebasan (df). Tingkat kebebasan pada penentuan harga ini ada beberapa pilihan, yaitu : K - 1 untuk kasus yang mempunyai data dengan jumlah 2 baris (i = 2, k

2) (r - 1) (k-1) untuk kasus yang mempunyai data dengan jumlah baris

ataupun kolom 2 (k - 3) untuk kasus yang berkaitan dengan distribusi frekuensiMisalkan diketahui = 5% dan df = 15, maka ²(,df) = 24,996 *)*) lihat pada tabel ²

3. Menentukan kriteria pengujian, karena uji satu sisi kanan, maka :

H0 diterima jika : ² (hitung) ²()

H0 tolak jika : ²(hitung) > ² ()

Atau h0 diterima jika : ² (hitung) 24,996H0 tolak jika : ²(hitung) > 24,996

4. Menentukan nilai ² berdasarkan perhitungan, dengan tahapan-tahapan sebagai berikut :a. Menentukan nilai harapan (ei atau eij)


1) Ei = p x nDi mana p adalah probabilitas (kemungkinan) berdasarkan proba-bilitas teoritis (biasanya dalam probabilitas distribusi binomial, distribusi normal), sedangkan n adalah jumlah seluruh pengamatan (ni) (nj)

2) Eij = -------------- n

Di mana (ni) adalah jumlah pengamatan pada baris ke i, (nj) adalah jumlah pengamatan pada kolom ke j, sedangkan n adalah keseluruhan jumlah pengamatan

Misalkan ada data seperti di bawah ini, maka untuk menentukan nilai harapan (e) adalah :

Kolom 1 kolom 2 kolom 3 jumlahBaris 1 10 25 10 45Baris 2 15 20 20 55Jumlah 25 45 30 100

Nilai 10, 25, 10 dan seterusnya merupakan harga da-lam n ij, nilai 10 menunjukkan n11, nilai 25 menun-jukkan n12, dan seterusnya (nij = nilai/frekuensi ob-servasi pada baris ke i dan kolom ke j), sedangkan nilai 45 menunjukkan ni atau jumlah nilai pada baris 1, dan nilai 25 menunjukkan n j

atau jumlah nilai ada kolom 1Berdasarkan rumus eij, maka :

45 x 25 55 x 25E11 = ------------ = 11,25 e21 = ------------ = 13,75

100 100

45 x 45 55 x 45E12 = ------------ = 20,25 e22 = ----------- = 24,75

100 100

45 x 30 55 x 30E13 = ------------ = 13,5 e23 = ------------ = 16,5

100 100

Sehingga :

Kolom 1 kolom 2 kolom 3 jumlahBaris 1 10(11,25) 25(20,25) 10(13,5) 45(45)Baris 2 15(13,75) 20(24,75) 20(16,5) 55(55)Jumlah 25(25) 45(45) 30(30) 100(100)

b. Menghitung ² dengan rumus umum : r k (nij - eij) ²

² = ------------- i = 1 j = 1 eij

Berdasarkan contoh di atas, maka ² hitung-nya adalah :² = (10 - 11,25)² + (25 - 20,25)² + (10 - 13,5)² +

11,25 20,25 13,5 (15 - 13,75)² + (20 - 24,75)² + (20 - 16,5)²

13,75 24,75 16,5= 3,9281


5. Menentukan kesimpulan atau pengambilan keputusan berdasarkan nilai ² (hitung) yang dibandingkan dengan ² (,df), maka ² (hitung) < ²(,df), sehingga h0 diterima maknanya (artinya) adalah : P1 = p2 = … = pk (p) atau P11 = p12 = … = p1j

P21= p22 = … = p2j atau yang lain (sesuai dengan formulasi yang dipergunakan pada langkah 1) tidak ada hubungan / pengaruh / terdapat independensi/sesuai dan lain-lain (sesuaikan dengan kasusnya)

Uji fPada distribusi f dapat dipergunakan untuk menguji rata-rata yang lebih dari dua buah sampel dan pengujian variance.Pada pengujian rata-rata ada beberapa bentuk uji yang dapat dipergunakan, yaitu :1. Satu arah : pengujian k mean (k > 2)2. Dua arah

Uji f satu arah :Langkah-langkah umum yang dipergunakan dalam uji ini sama dengan yang ada pada uji hipotesis. (hanya berbeda pada langkah ke - 4, karena yang dihitung adalah f(hitung)). Pada uji ini hanya dipergunakan uji satu sisi yaitu kanan.

1. Menentukan formulasi h0 dan h1

H0 : 1 = 2 = ……= k

H1 : 1 2 …… k (paling sedikit satu pasang berbeda)

2. Menentukan tingkat signifikansi () untuk nilai f berdasarkan tabel f.Nilai f dapat ditentukan dengan dan tingkat kebebasan (df). Tingkat kebebasan pada penentuan harga ini ada beberapa pilihan, yaitu : K - 1; k (n - 1) untuk kasus yang mempunyai data dengan jumlah baris

yang sama (banyaknya pengamatan setiap kumpulan sampel sama). (k - 1); (n - k) untuk kasus yang mempunyai data dengan jumlah baris

yang tidak sama (banyaknya pengamatan setiap kumpulan sampel tidak sama).

Misalkan diketahui = 5% dan df = 2; 9 maka f(,df) = 4,26 (lihat pada tabel f untuk = 5%)

3. Menentukan kriteria pengujian, karena uji satu sisi kanan, maka :H0 diterima jika : f(hitung) f()

H0 tolak jika : f(hitung) > f()

Atau h0 diterima jika : f(hitung) 4,26H0 tolak jika : f(hitung) > 4,26

4. Menentukan nilai f berdasarkan perhitungan, dengan tahapan-tahapan sebagai berikut :a. Menentukan variance between means :

1) Untuk data yang mempunyai banyaknya pengamatan setiap kumpulan sampel yang sama A) tentukan rata-rata dari tiap kumpulan sampel (xj)


b) Untukan rata-rata total (semua data) (x)

c) Tentukan variance dari rata-rata sampel s2

x k (xj - x)2

J = i -----------------

k - 1d) Tentukan variance between mean (variance dari rata-rata populasi)

atau estimasi pertama dari 2

k n (xj - x)2

j = 12 = n s2

x = ---------------------- k - 1

2) Untuk data yang mempunyai banyaknya pengamatan setiap kumpulan sampel yang tidak samaa) Tentukan total nilai masing-masing kum-pulan sampel - tj

b) Tentukan total nilai dari semua sampel tk.

c) Tentukan variance between mean : k t2

j t2

----- ----- j = 1 nj n

--------------------- k – 1

b. Menentukan variance within group :1) Untuk data yang mempunyai banyaknya pengamatan setiap kumpulan

sampel yang sama. Ini merupakan estimasi kedua dari 2, sehingga rumus yang digunakan adalah :

n k (xij - xj)2

i = 1 j = 1 -----------------------------

k (n - 1)

2) Untuk data yang mempunyai banyaknya pengamatan setiap kumpulan sampel yang tidak sama n k k t2

j

xij2 - -----

i = 1 j = 1 j = 1 nj

--------------------------------------- n - k

c. Menentukan f(hitung), dengan rumus umum :

F(hitung) = variance between meanVariance within group

5. Menentukan kesimpulan atau pengambilan kepu-tusan berdasarkan nilai f(hitung) yang dibanding-kan dengan f(,df).


Regresi dan korelasi linier bergandaMultiple linier regression

Hubungan antara dua variabel atau lebih dapat digambarkan melalui “hubungan regresional”. Analisis regresi linier untuk lebih dari dua variabel disebut analisis regresi linier berganda (multiple linier regression), artinya variabel y yang dipengaruhi oleh variabel x1, x2, …. Dan seterusnya, yang dinyatakan dengan persamaan linier, yaitu :

Y = a + b1x1 + b2x2 (linier berganda)

Y = a + b1x1 + b2x2 + b3x3 + … + bkxk (multiple)Di mana :Y = variabel yang akan diramalkan

(variabel terikat)X1, …., xk = variabel yang diketahui (variabel bebas)K = banyaknya variabel bebasA = konstantaB1, … bk = koefisien regresiUntuk menentukan nilai a, b1 dan b2 pada regresi linier berganda digunakan rumus sebagai berikut : (x2

2)(x1y) – (x1x2)(x2y)B1 = ------------------------------------------

(x1)2(x2)2 – (x1x2)2

(x12)(x2y) – (x1x2)(x1y)

B2 = ------------------------------------------ (x1)2(x2)2 – (x1x2)2

A = y - b1x1 - b2x2

Di mana : (x1)2 (x2)2

x12 = x1 - --------- x2

2 = x2 - --------- n n

(x1)( )(y) (x2)( )(y)x1y = x1y – ----------------- x2y = x2y – -----------------

n n

(x1) (x2)x1x2 = x1x2 – ---------------

n

Hubungan antara dua variabel atau lebih, secara kuantitatif dapat juga diketahui berdasarkan korelasi (correlation). Dua variabel dikatakan berkorelasi apabila perubahan pada variabel yang satu akan diikuti oleh perubahan pada variabel yang lain secara teratur, dengan arah yang sama ataupun arah yang berlawanan.

Arah hubungan antara dua variabel dapat dibe-dakan :1. Direct correlation (positive correlation)2. Inverse correlation (negative correlation)


3. Korelasi nihil (tidak berkorelasi)

Sedangkan korelasi berganda merupakan alat ukur untuk mengetahui hubungan antara variabel terikat de-ngan beberapa variabel bebas secara serempak. Koefisien korelasi berganda, yang diberi notasi ry,1,2,…., k dihitung melalui jalur terjadinya hubungan antara satu variabel terikat dengan beberapa variabel bebas.

Berdasarkan adanya regresi linier berganda, koefisien korelasi berganda dihitung dengan rumus se-bagai berikut :

b1x1y + b2x2y + ….. + bkxky Ry,1,2,…., k = ---------------------------------------------

y2 Untuk menguji apakah koefisien regresi parsial (individu) berbeda secara signifikan dari nol (0) atau apakah suatu variabel bebas secara individu berhubungan dengan variabel terikat, dapat dipergunakan uji distribusi t. Pengujian ini dapat dilakukan secara dua arah maupun searah. Tanda pertidak samaan koefisien regresi sering diketahui melalui pertimbangan-pertimbangan non-statistik. Nilai test sattistiknya dapat dirumuskan dengan :

bi

T = ------ sbi

Di mana : bi = koefisien regresi parsial sampel sbi = standard eror koefisien regresi sampelSedangkan untuk uji signifikansi serentak (simultan) dapat dilakukan dengan menggunakan distribusi f yang memiliki dua (2) derajat kebebasan, yaitu pembilang 2 dan penyebut n – k (di mana k adalah banyaknya variabel bebas). Formulasi yang dipergunakan untuk menguji serentak antara beberapa variabel bebas secara simultan terhadap variabel terikatnya adalah sebagai berikut :

Ssr/kF = ------------------ sse/n – k - 1 Dengan formulasi hipotesis yaitu :X) h0 : i = 0 (tidak ada pengaruh yang signifikan antara variabel bebas

terhadap variabel terikatnya)H1 : i 0 (ada pengaruh yang signifikan antara variabel bebas

terhadap variabel terikatnya)

X) sesuai dengan alat uji yang digunakan -- apakah secara simultan (serentak) ataukah secara parsial.

Untuk menguji hubungan berdasarkan koefisien korelasi digunakan uji t, yaitu hubungan yang signifikan antara variabel bebas terhadap variabel ter-ikatnya.

Dengan formulasi sebagai berikut :uji t :

r n – 2 di mana :t = ------------- r = koefisien korelasi 1 – r2 n = banyaknya

pengamatan


r2 = koefisien determinasi

Dengan formulasi hipotesis yaitu :X) h0 : i = 0 (tidak ada hubungan yang signifikan antara variabel bebas

terhadap variabel terikatnya)H1 : i 0 (ada hubungan yang signifikan antara variabel bebas

terhadap variabel terikatnya)

Catatan : regresi linier (sederhana maupun berganda) biasanya dipergunakan pada data yang berskala rasio dan interval


Soal-soal :

1. suatu perusahaan telah membuat suatu mesin model baru. X menunjukkan kejadian bahwa mesin tersebut pemakain bahan bakarnya irit, y menunjukkan kejadian bahwa mesin tersebut biaya pemeliharaannya rendah dan z menunjukkan bahwa mesin tersebut dapat dijual dengan laba yang tinggi. Kejadian-kejadian itu digambarkan dalam diagram venn di bawah ini. Jelaskan dengan kata-kata kejadian apa yang ditunjukkan oleh daerah dalam diagram venn, seperti :a. Daerah 1b. Daerah 3 dan 6 bersamac. Daerah 7d. Daerah 5e. Daerah 1 dan 4 bersamaf. Daerah 8g. Daerah 1, 2, 4, dan 7 bersamah. Daerah 1, 3, 4, dan 6 bersama

2. Dari sejumlah produk yang dihasilkan diketahui rata-rata berat produk adalah 145 ons dan berdistribusi normal. Ter-nyata 38,3% beratnya antara 132 dan 158 ons. Tentukanlah berapa deviasi standard dari produk tersebut ?

3. Perusahaan “ayp” memproduksi pensil dengan merk “mhm”. Pemakaian pensil tersebut berdistribusi normal dengan rata-rata masa pakai 32 hari dan deviasi standard 6 hari. Seorang penjual pensil ini menghendaki dikirim oleh pabrik setiap jangka waktu tertentu, berapa harikah jangka waktu pengiriman agar dari setiap pengiriman yang diterima sipenjual akan sudah laku 40% ?

4. Di suatu perusahaan, di masa lalu memperlihatkan bahwa pada umumnya tiap bulan terjadi kecelakaan pabrik sebanyak 3 kali. Distribusi apa yang dapat digunakan dalam hal ini ? Berapa probabilita, bahwa dalam bulan tertentu akan terjadi kecelakaan kurang dari 4 kali ?

5. Andaikan kita ingin memperkirakan berapa % ibu yang menyenangi minyak goreng “x” untuk keperluan memasak. Ketika membuat perkiraan itu dikehendaki probabilita benar 0,99 dengan membuat kekeliruan maksimal 3%. Berapa ibu yang perlu diselidiki untuk keperluan perkiraan itu ?

6. Suatu survey direncanakan untuk menyelidiki pengeluaran rata-rata keluarga untuk pembelian sabun cuci. Survey menghasilkan estimasi deviasi standard sebesar rp 45,-. Berapa keluarga yang harus diambil sebagai sample agar supaya survey tersebut dengan probabilita 95% tidak salah lebih dari rp 8,-

7. Suatu mesin pengisi minuman diatur sehingga rata-rata mengisi setiap

botol 200 ml. Jika volume minuman tersebut berdistribusi normal dengan simpangan baku 15 ml, berapa banyak botol minuman yang berisi melebihi 230 ml bila produksi diketahui 1000 botol ?.

8. Seorang pimpinan bank ingin meningkatkan mutu pelayanan kepada nasabah. Berdasarkan penelitian sampel acak terha-dap 200 orang nasabah, ternyata yang tidak puas adalah 55 orang.

X Y 7

2 5 1

3

8 6 Z


a. Berapakah interval persentase nasabah yang puas dengan tingkat keyakinan 99 % ?

b. Berapa interval prosentase nasabah yang tidak puas dengan tingkat keyakinan 95% ?

c. Berdasarkan sample di atas ujilah suatu pernyataan yang dikemukakan oleh pimpinan bank tersebut, yang menyatakan bahwa proporsi nasabah yang tidak puas adalah sebesar 50% pada alpha 5%.

d. Jika proporsi nasabah yang tidak puas lebih dari 50%, maka pimpinan bank akan meningkatkan mutu pelayanan kepada nasabah. Berdasarkan jawaban point c. Apa yang perlu dilakukan oleh pimpinan bank tersebut ?

9. Kepala bagian produksi mengatakan bahwa rata-rata setiap botol minuman yang diproduksinya terisi sebanyak 200 ml. Untuk menguji pendapat tersebut telah dilakukan suatu penelitian terhadap 30 botol yang diambil secara acak dari sejumlah produk yang dihasilkan. Dari 30 botol itu diketahui bahwa rata-rata setiap botolnya terisi sebanyak 218 ml. Dengan simpangan baku sebesar 15 ml.

a. Ujilah pendapat kepala bagian produksi tersebut pada alpha 99%, dan alhpa 95%

b. Apa yang dapat disimpulkan dengan pengujian di atas, point 1).

10. Nasabah bank swasta di kota malang diklasifikasikan menjadi : puas dan tidak puas. Ada pendapat yang menyatakan bahwa proporsi nasabah bak yang puas dan tidak puas adalah sama untuk bank-bank swasta. Dari bank swasta yang diteliti oleh seorang peneliti, diperoleh data sebagai berikut :

bank

Nasabah A B C D

Puas 75 140 105

95

Tidak puas 25 25 35 40

Dengan alhpa 95 % ujilah prndapat tersebut

11. Suatu lembaga riset pemasaran ingin mengetahui, berdasarkan data beri-kut, apakah ada independensi antara ukuran tube pasta gigi yang dibeli de-ngan ukuran (besarnya) keluarga dari pembeli pasta gigi. Telah dilakukan pene-litian terhadap sebuah merk pasta gigi, dan diperoleh hasil sebagai berikut :

Ukuran tube

Besarnya keluarga1 – 2 3 – 4 5 – 6 7 atau lebih

Besar 23 116 78 43Medium 54 25 16 11Kecil 31 68 39 8

Dengan taraf signifikansi 0,05 ujilah suatu hipotesis nol yang mengatakan bahwa tidak ada hubungan antara keduanya

12. Pendapat seorang pejabat dari bappenas mengatakan bahwa rata-rata biaya (dalam milyar rupiah) setiap jenis proyek dari 5 daerah di pula jawa adalah sama, dengan alternatif berbeda. Jika secara acak telah diambil


sejumlah proyek dari masing-masing daerah, dan hasil yang diperoleh sebagai berikut :

daerah

ProyekA B C C E

1 50 60 80 70 40

2 60 50 70 80 45

3 45 70 40 80 90

4 70 40 50 60 80

Dengan menggunakan alpha 5% ujilah pendapat tersebut. Kemudian gunakan alpha 1%, dan apa yang dapat saudara simpulkan dari tingkat signifikansi yang digunakan ? Jelaskan jawaban saudara.

13. Pendapat seorang pejabat dari bappenas mengatakan bahwa rata-rata biaya (dalam milyar rupiah) setiap jenis proyek dari 4 daerah di pula jawa adalah sama, dengan alternatif berbeda. Jika secara acak telah diambil sejumlah proyek dari masing-masing daerah, secara berurutan dan hasil yang diperoleh sebagai berikut :Daerah a : 70 40 70 50 50Daerah b : 40 60 80 45Daerah c : 70 80 70 60 40 55Daerah d : 45 70 55 60 60Dengan menggunakan alpha 5% ujilah pendapat tersebut. Kemudian gunakan alpha 10%, dan apa yang dapat saudara simpulkan dari tingkat signifikansi yang digunakan ? Jelaskan jawaban saudara.

14. Berdasarkan data yang diperoleh dari 22 keluarga sebagai sample acak dibuat suatu persamaan regresi yang menghubungkan konsumsi (c) dan pendapatan (y).

C = a + by c = 12 + 0,90 y, b = 0,90 = mpc (marginal propensity to

consume)

a. Ujilah pendapat bahwa mpc = 0,83 dengan alternatif lebih besar dari itu dengan alhpa 5%

b. Dengan menggunakan tingkat keyakinan 95%, buatlah pendugaan interval mpc sebenarnya (koefisien regresi sebenarnya)

15. Y 178 224 160 315 229 250 181 306 257X 105 105 130 130 130 150 150 170 170

a. Dengan menggunakan persamaan regresi secara linier sederhana, berapakah ramalan y apabila x sebesar 200 ?

b. Jika x merupakan data konsumsi dan y adalah data pendapatan dalam ribuan rupiah perminggu, interpretasikan hasil b dari persamaan regresinya.


Referensi :

1. Djarwanto, ps, s.e., statistik induktif, edisi pertama, cetakan pertama, penerbit liberty, yogyakarta, 1986.

2. Kustituanto, bambang, drs., statistika untuk ekonomi dan bisnis, edisi pertama, cetakan pertama, penerbit bpfe – yogyakarta, 1988

3. Levin, richard i., statistics for management, fourth edition, prentice – hall international, inc.,

4. Mendenhall/reinmuth, statistik untuk manajemen dan ekonomi, jilid ii, alih bahasa prof. Dra. N. Soematojo, penerbit erlangga, jakarta, 1987.

5. Mulyono, sri, statistika untuk ekonomi, lpfe – ui, jakarta, 1991.

6. Spiegel, murray r., statistik versi metrik (teori dan soal-soal), alih bahasa drs. I nyoman susila, m.sc., dkk, penerbit erlangga, jakarta, 1991.

7. Supranto, j., m.a., statistik teori dan aplikasi, jilid ii, edisi keenam, penerbit erlangga, jakarta, 2001.

8. Suhariyadi, statistik untuk ekonomi dan keuangan modern, jilid 2, edisi ..., salemba empat, jakarta, 2006.

materi sta2-2010-nastiti

Documents