MATRIKS INVERS ORDO 3 3

A. Bentuk Umum

Matriks merupakan susunan bilangan-bilangan yang di atur dalam baris dan kolom

berbentuk persegi panjang dan susunan bilangan-bilangan itu dibatasi oleh kurung

biasa ( ) atau kurung siku [ ]. Matriks yang terdiri dari 3 baris dan 3 kolom

merupakan bentuk umum dari matriks ordo 3 x 3.

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Keterangan :

: elemen baris pertama kolom pertama

: elemen baris pertama kolom kedua

: elemen baris pertama kolom ketiga

: elemen baris kedua kolom pertama

: elemen baris kedua kolom kedua

: elemen baris kedua kolom ketiga

: elemen baris ketiga kolom pertama

: elemen baris ketiga kolom kedua

: elemen baris ketiga kolom ketiga

B. Rumus Matriks Invers

Keterangan :

A-1 = Invers dari matriks A

adj A = matriks Adjoin dari A

|A| = determinan dari matriks A

C. Determinan

1. Cara Kofaktor

Determinan dari sebuah matriks dapat diperoleh melalui minor dan kofaktor

matriks tersebut.

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Minor dan kofaktor dari matriks di atas dapat ditentukan dengan cara sebagai

berikut:

a. Jika baris ke-1 dan kolom ke-1 dari matriks A dicoret.

A=

dicoret

dicoret maka diperoleh , sehingga minor a11

adalah M11 = dan kofaktornya :

C11 = (-1)1+1 M11 = +

b. Jika baris ke-1 dan kolom ke-2 dari matriks A dicoret.

A=

dicoret

dicoret maka diperoleh , sehingga minor a12

adalah M12 = dan kofaktornya :

C12 = (-1)1+2 M12 = -

c. Jika baris ke-1 dan kolom ke-3 dari matriks A dicoret.

A=

dicoret

dicoret maka diperoleh , sehingga minor a13

adalah M13 = dan kofaktornya :

C13 = (-1)1+3 M13 = +

d. Jika baris ke-2 dan kolom ke-1 dari matriks A dicoret.

A=

dicoret

dicoret maka diperoleh , sehingga minor a21

adalah M21 = dan kofaktornya :

C21 = (-1)2+1 M21 = -

e. Jika baris ke-2 dan kolom ke-2 dari matriks A dicoret.

A=

dicoret

dicoret maka diperoleh , sehingga minor a22

adalah M22 = dan kofaktornya :

C22 = (-1)2+2 M22 = +

f. Jika baris ke-2 dan kolom ke-3 dari matriks A dicoret.

A=

dicoret

dicoret maka diperoleh , sehingga minor a23

adalah M11 = dan kofaktornya :

C23 = (-1)2+3 M23 = -

g. Jika baris ke-3 dan kolom ke-1 dari matriks A dicoret.

A=

dicoret

dicoret

maka diperoleh , sehingga minor a31

adalah M31 = dan kofaktornya :

C31 = (-1)3+1 M31 = +

h. Jika baris ke-3 dan kolom ke-2 dari matriks A dicoret.

A=

dicoret

dicoret

maka diperoleh , sehingga minor a32

adalah M32 = dan kofaktornya :

C32 = (-1)3+2 M32 = -

i. Jika baris ke-3 dan kolom ke-3 dari matriks A dicoret.

A=

dicoret

dicoret

maka diperoleh , sehingga minor a33

adalah M33 = dan kofaktornya :

C33 = (-1)3+3 M33 = +

Nilai determinan matriks A berordo 3 dapat ditentukan dengan menggunakan

ekspansi determinan :

a) Ekspansi (penjabaran) kofaktor sepanjang baris ke-i :

1) det A = | A | = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13 (baris ke-1)

2) det A = | A | = a21 C21 + a22 C22 + a23 C23 (baris ke-2)

3) det A = | A | = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33 (baris ke-3)

b) Ekspansi (penjabaran) kofaktor sepanjang kolom ke-j :

1) det A = | A | = a11 C11 + a21 C21 + a31 C31 (kolom ke-1)

2) det A = | A | = a12 C12 + a22 C22 + a32 C32 (kolom ke-2)

3) det A = | A | = a13 C13 + a23 C23 + a33 C33 (kolom ke-3)

Contoh :

Tentukan minor dan kofaktor serta nilai determinan dari matriks A =

Penyelesaian :

a11

= (1)(-2 8) = -10

a12

= (-1)(-6 (-2)) = -4

a13

a22

= (1)(-2 1) = -3

a23

= (-1)(4 (-2)) = -6

a31

= (1)(12 (-1)) = 13

a21

= (-1)(-4 (-4)) = 0

a33

= (1)(1 6) = -5

= (1)(4 (-1)) = 5

a32

= (-1)(2 (-3)) = -5

Nilai Determinan

| A | = a21 C21 + a22 C22 + a23 C23

= (3)(0) + (1)(-3) + (2)(-6)

= -15

atau

| A | = a13 C13 + a23 C23 + a33 C33

= (-1)(13) + (2)(-6) + (-2)(-5)

= -15

2. Cara Sarrus

Adapun langkah-langkah yang harus di lakukan untuk mencari determinan matriks

berordo 3 3 dengan metode Sarrus adalah sebagai berikut:

1. Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua matriks A di sebelah kanan

tanda determinan.

2. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dan diagonal

lain yang sejajar dengan diagonal utama. Nyatakan jumlah hasil kali tersebut

dengan Du

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

Du = 322113312312332211 aaaaaaaaa

3. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder dan

diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder. Nyatakan jumlah hasil

harga tersebut dengan Ds.

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

Ds = 122133112332132231 aaaaaaaaa

4. Sesuai dengan definisi determinan matriks maka determinan dari matriks A

adalah selisih antara Du dan Ds yaitu Du Ds.

det A =

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

Du Ds = |A|

= ( 322113312312332211 aaaaaaaaa ) ( 122133112332132231 aaaaaaaaa )

Contoh :

Tentukan nilai determinan dari matriks

Penyelesaian :

= {(1)(1)(-2) + (2)(2)(-1) + (-1)(3)(4)} {(-1)(1)(-1) + (4)(2)(1) + (-2)(3)(2)}

= {(-2) + (-4) + (-12)} { 1 + 8 + (-12)}

= (-18) + (-3)

|A| = -15

D. Adjoin

1. Terpisah/Minor

Jika matriks A = dan matriks kofaktornya adalah

maka adjoin matriks A adalah transpos dari matriks kofaktor itu, sehingga

diperoleh:

Adj A =

Contoh :

Tentukan adjoin dari matriks

dengan matriks kofaktor (C)

Penyelesaian :

Adj A = Ct =

2. Gabungan

Adjoin dari sebuah matriks juga dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut :

Adj A =

Contoh :

Tentukan adjoin dari matriks

Penyelesaian :

Adj A =

=

E. Matriks Invers

Matriks dengan det A = -15, dan adj A =

Tentukan invers dari matriks A!

Penyelesaian :

Aljabar Linear

MATRIKS INVERS ORDO 3 3

Disusun Oleh :

Kelompok berapakii? (Kelas A)

1. (122020) FITRI RAHAYU PASASIH

2. (122017) PUTRI CAMANI

3. (122026) ELMIRA SABBAN

4. (122018) YULI ANTI

5. (122330) KEZIA IMANUELA

6. (12234X) NOVITA SAPAN

7. (122350) SITI MUNAWAROH AZIS

SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER

STMIK DIPANEGARA MAKASSAR

2013