materi math smp-al azhar 2011

8/15/2019 Materi Math SMP-Al Azhar 2011

http://slidepdf.com/reader/full/materi-math-smp-al-azhar-2011 1/19



Lembaga Olimpiade Pendidikan Indonesiawww.lopi-jakarta.org | Email : [email protected]

Hal. 2 - 19

3. Segitiga Sama Sisia). Semua sisinya samab). Semua sudutnya samac). garis tinggi, garis bagi, dan garis berat berimpitd). titik tinggi, titik bagi (pusat lingkaran dalam), titik berat dan titik pusat lingkaran luar Δ berimpit pada 1 titik

O = pusat lingkaran dalam = 1/3 ADO = pusat lingkaran luar = 2/3 AD

AD = BE = CF = AC

Luas Δ = (sisi) 2

4. Garis berat segitigaGaris yang ditarik dari suatu titik sudut ke titik tengah sisi di depannya

D,E,F titik tengah BC, CA dan ABAB, BE, CF garis beratDE // ABEF // BCFD // ACDE = ½ AB

C

E

A B

D

F

O

C

Z

E D

AF

B




Hal. 3 - 19

EF = ½ BCFD = ½ AC

Z titik berat dan AZ : ZD = 2 : 1BZ : ZE = 2 : 1CZ : ZF = 2 : 1

AZ = 2/3 AD , ZD = 1/3 ADBZ = 2/3 BE , ZE = 1/3 BECZ = 2/3 CF , ZF = 1/3 CF

5. Garis bagi dalam segitigaGaris yang membagi sudut dalam pada suatu segitiga menjadi 2 sama besarTitik potong garis-garis bagi dalam pada suatu segitiga merupakan titik pusat lingkaran singgung dalam suatusegitiga.

Jari-jari lingkaran dalam = rI = Pusat lingkaran dalam

r

a).

b). Luas ΔABC = r x sr = jari-jari lingkaran dalam

s =

AP = ARc) BP = BQ

CQ = CR

< PAI = < RAI = ½

AP F

B

D

Q

C

r I

E

Ir

rr

A

B

C




Hal. 4 - 19

< PBI = < QBI = ½

< PCQ = < PCR = ½

AP = AR = s – a

BP = BQ = s – b

CQ = CR = s – c

r = ( s-a) tan ½ α

r = (s – b) tan ½ β

r = (s – c) tan ½

d). Luas ΔABC = s (s-a) tan ½ α

= s (s-b) tan ½ β

= s (s-c) tan ½

6. Garis bagi luar suatu sudutGaris yang membagi 2 sama besar, suatu sudut luar pada segitiga

BE = garis bagi luar < BCF = garis bagi luar < C<B1 = <B2 = 90 – ½ β <C1 = < C2 = 90 – ½ < A1 = < A2 = 90 – ½ α

B

21

A

C

12

12

F

E




Hal. 5 - 19

a).

b).

c).

7. Lingkaran singgung luar sisa a (BC)

Suatu lingkaran yang menyinggung sisi a dan perpanjangan sisi b dan sisi c

Ia = pusat lingkaran singgung luar sisi a= berpotongan garis bagi dalam <A dan garis bagi luar sudut B dan sudut C

ra = jari-jari singgung luar sisi aBP = BR , CQ = CR dan AP = AQ (sifat garis singgung)Keliling Δ ABC = AB + BR + RC + CA

2s = ( AB + BP) + (CQ + CA)2s = AP + AQ2s = 2 AP2s = 2 AQ

AP = AQ = S

Tan ½ α =

ra = S . tan ½ α Luas ΔABC = LuasΔABIa + Luas ΔACIa – Luas ΔBCIa

= ½ C ra + ½ b ra – ½ a ra

= ra

= ( s-a ) raDengan konsep yang sejenis dapat di buktikan

rb = S tan ½ β

rc = S tan ½ luas ΔABC = (s-b) rb = (s-c) rc

8. Garis tinggi suatu segitigaGaris yang ditarik dari suatu titik sudut dan tegak lurus pada sisi di depannya

AD BC, BE AC, CF AB, AD = ta, BE = tb, CF = tc

CQ

B P

RA ½ α

ra

ra

Ia




Hal. 6 - 19

ΔAFH ΔADH ( 2 sudut yang sama)Akibatnya = < AHF = <B = β

ΔBFH ΔBEA (2 sudut yang sama) Akibatnya = < BHF = <A = α Dan akhirnya <BHD = Lihat ΔAEC, maka AF = b cos α

Lihat ΔAEB, maka AE = a cos α Lihat ΔBFC, maka BF = a cos β Lihat ΔBDA, maka BD = c cos β Lihat ΔCDA, maka CD = b cos Lihat Δ CEB, maka CE = a cos

Berdasarkan aturan cosinus pada Δ BDF, DF2 = BD2 + BF2 – 2.BD.BF.cosβ

= c2 cos 2β + a 2 cos 2β – 2. c cosβ. a cosβ – cos β = cos 2β (c 2 + a 2 – 2 a c cos β)

= cos 2β . b 2 DF = b cosβ Dengan cara serupa dapat diperolehDE = c cos EF = a cosα

C

B

FA

D

E

H

A B

ba

C

E

A FB




Hal. 7 - 19

ΔAEF ΔABC (ketiga sisi sebanding) Berarti < AFE =

< AEF = β Dengan cara yang sama dapat diperolehΔBDF ΔBAC (3 sisi sebanding) Akibatnya :

< BFD = < BDF = α

ΔCDE ΔCBA (3 sisi sebanding) Akibatnya< CDE = α < CED = β

9. Garis sumbu suatu segitigaGaris yang ditarik dari titik tengah suatu sisi dan tegak lurus sisi tersebut

Ketiga garis sumbu bertemu di satu titik OO = pusat lingkaran luar ΔABCOA = OB = OC = R< AOB = 2 <ACB = 2 < BOC = 2 <BAC = 2α <COA = 2 <CBA = 2β F titik tengah AB, maka <AOF = <BOF = D titik tengah BC, maka <BOD = <COD = α E titik tengah AC, maka <AOE = <COE = β

10. Dalil Proyeksi

CF ABAF = Proyeksi AC pada ABBF = Proyeksi BC pada BA

AF

a

A F

B

E

C

D

C

D

E

F

H

A

B




Hal. 8 - 19

AF = Proyeksi AC pada AB

AF

tc 2 = b2 – AF2

= b2 – )2

= b2 –

=

=

=

=

=

=

tc =

Luas ΔABC = ½ x c x tc

=

11. Dalil Steward

CF = Sembarang garisAF = m dan BF = n

Kejadian khusus :

a.

Jika AD, BF dan CF garis-garis berat pada ΔABC, maka berlaku :AD2 = ½ b2 + ½ c2 – ¼ a2 BE2 = ½ a2 + ½ c2 – ¼ b2 CF2 = ½ a2 + ½ b2 – ¼ c2

b. Jika AD, BE dan CF garis bagi dalam pada ΔABCAD2 = b.c – BD x CDBE2 = a.c – AE x CE

A

C

Ca

A BFm n

b

c = CF2 = m.a 2 + n.b 2 – m.n.c




Hal. 9 - 19

CF2 = a.b – AF x BF

12. Dalil Minelaus

Jika Δ ABC dipotong oleh satu garis l pada titik P, Q dan RMaka berlaku:

13. Dalil D’seva

Jika AD, BE dan CF bertemu di satu titik, maka berlaku :

14. Perbandingan luas 2 segitiga

a. Jika tingginya sama, maka luasnya berbanding sebagai alas masing-masing,

C

Q

C

A

R

lB

P

D




Hal. 10 - 19

b. Jika alasnya sama, maka luasnya berbanding sebagai tinggi masing-masing

c.

15. AB dan CD adalah dua tali busur yang berpotongan di PMaka berlaku, PA x PB = PC x PD

C

P

t1

t2

AF

B

C

BA

P

C

A

B

P

D




Hal. 11 - 19

16.

Berlaku hubungan :

PA x PB = PC x PD = PQ 2

(PQ = garis singgung)

17. ΔCPB siku-siku di B

Sin α

a = 2 R sin α

dengan cara sejenis di peroleh

b = 2 R sin β

c = 2 R sin

A

C

QD

P

B

O

P

α

A

B

C




Hal. 12 - 19

18. < APC = xx = ½ (<busur BD + < busur AC)

= ½ ( < BOD + < AOC )

19.

< APC = x

x = ½ ( < busur AC - < busur BD)

= ½ ( < AOC - < BOD )

20.

l adalah garis singgung di titik B, <ABP = dan <CBQ = α

A

x

C

D

O

P

B

A

O

C

B

D

x P

C

O

P

α

Q

l

BA




Hal. 13 - 19

21. Dalil Ptolomeus

ABCD segi empat tali busur

22.

ABCD segiempat tali busur

AB = a, BC = b, CD = c dan DA = a

berlaku:

a. Luas ABCD = ½ (ad + bc) sin A

b. Cos A

c. Luas ABCD =

s =

B

C

A D

AC x BD = AB x CD + AD x BC




Hal. 14 - 19

23. Ciri-ciri segiempat talibusura. Jika pada segiempat terdapat 2 sudut berhadapan berjumlah 180 o

b.

Jika terdapat segitiga siku-siku dengan sisi miring berimpit

c.

< CAD = < CBD

ABCD adalah segiempat talibusur

D

C

A B

C

D

α α

A

B




Hal. 15 - 19

SOAL-SOAL OLIMPIADE1. Ta,tb,tc adalah garis-garis tinggi suatu segitiga ABC

Buktikan bahwa :

2. .

ABCD suatu persegi, AC dan BD bertemu di ECF, garis bagi <DCA garis BPQ CF.

Buktikan bahwa : DQ = 2 PE

3. Pada ΔABC , AE dan BD garis bagi dalam sudut A dan sudut B

CP BD, CQ AEBuktikan bahwa PQ // AB

4. Segitiga ABC siku-siku di C, CD garis tinggi pada sisi AB

Buktikan bahwa : CA + CB < AB + CD5. Jika sisi –sisi segitiga siku-siku di C berupa bilangan asli dan luasnya = 3 kali kelilingnya.

Tentukan sisi miring yang terpanjang6. Segitiga ABC, siku-siku di C dan a2 + b2 = c2

Selidiki apakah a 2011 + b 2011 dan c 2011 lebih besar, lebih kecil atau sama.7. Pada ΔABC, CD garis tinggi. P terletak pada CD. AP diperpanjang dan memotong BC di E, BP diperpanjang

dan memotong AC di F.

DQ C

A B

FP

E

C

QP

ED

A B




Hal. 16 - 19

Buktikan bahwa : < PBE = < PDE

8. Segitiga ABC sama sisi ,

9. Buktikan bahwa

10. ΔABC siku-siku di C, P didalam segitiga.<APB = < BPC = < CPA = 120o

CP = 6 , AP = 10, BP = ..?

11. AC BD, AB = 5, BC = 8, AD = 6, CD =..?

12. Sisi-sisi suatu segitiga berupa bilangan asli dan sisi terpanjang 15. Tentukan banyaknya segitiga yang banyakdi bentuk?

13. AD, BE, CF adalah garis-garis berat

Tentukan

14. D,E,F adalah titik tengah BC,CA dan AB. BG ACBuktikan bahwa < DGF = < B = β

P

A

B

CA

B D

C

6

5 6




Hal. 17 - 19

15. Pada segiempat ABCD, P pada AB sehingga luas ΔBCP = luas APCDQ pada BC sehingga luas ΔABQ = luas AQCDBuktikan bahwa BD membagi 2 sama panjang ruas garis PQ

16. Pada ΔABC dengan AC > BC dibuat lingkaran luar. D terletak pada busur kecil AC dan merupakan titik tengah

busur besar AB yang memuat C. E terletak pada AC sehingga DE AC.Buktikan bahwa AE = BE + CE

17. ABCD belah ketupat , <A = 60 o, P pada AB, Q pada BC, <PDQ =

30o

Buktikan bahwa pusat lingkaran luar ΔDPQ terletak pada BD.

18. Pada ΔABC, DE // AB, FG// BC, HI // ACDE, FG dan HI bertemtu di titik P

Hitunglah

19. Pada ΔABC DE, BE, dan CF bertemu di PBuktikan bahwa :

a.

b.

20. Pada ΔABC. AD, BE, dan CF bertemu di P . PD = PE = PF = 3.AP + BP + CP = 22Hitunglah AP x BP x CP

D

C

AB

A P B

D C

C

P

IG

D E

A H FB




Hal. 18 - 19

21.

P terletak pada < AOB

XY melalui P dimana X pada OB dan Y pada OA (P = titik tetap). Tentukan letak titik X dan Y supaya (PX).(PY)minimum

22.

Titik A dan titik B adalah titik tetap C terletak pada garis l.

Tentukan letak titik C pada garis l supaya AC + BC minimum….

23. ABCD persegi. P terletak pada AC, E pada AB sehinggaAE:EB = 3 : 1, sisi ABCD = 8.Tentukan letak titik P pada AC sehingga PE + PB minimum dan

Tentukan nilai minimum dari PE + PB

24. Segitiga ABC sama kaki, AB = AC dan <A = 20 o E pada AC dan F pada AB. <CBE = 60 o dan <BCF = 50 o. Hitunglah besarnya <BEF

25. ABCD suatu segiempat, pada sisi AB,BC,CD dan DA dibuat kebagian luar suatu persegi dengan pusat P,Q,Rdan S.

Buktikan :a. PR = QS

b. PR QS26. A, B, C dan D terletak pada lingkaran S. AB merupakan diameter, tetapi CD bukan diameter. C dan D terletak

bersebelahan terhadap diameter AB, garis singgung di titik C dan D berpotongan di titik P.AC dan BD berrpotongan di Q.AD dan BC berpotongan di R

D

P

C

A E B




Hal. 19 - 19

Buktikan bahwa :

a. QR ABb. P, Q, R segaris

27. ΔABC dengan sisi a,b,c. Garis-garis singgung lingkaran dalam segitiga ABC yang sejajar dengan sisi-sisisegitiga ABC, membentuk 3 segitiga kecil-kecil.Pada masing-masing segitiga kecil dibuat lingkaran dalam.Buktikan bahwa :

Jumlah luas 4 buah lingkaran dalam

28. Segitiga ABC lancipLingkaran dalam segitiga ABC menyinggung BC, CA dan AB dititik D,E dan F. Garis bagi <A memotong DE danDF dititik K dan L. AA adalah garis tinggi dan M titik tengah BC.Buktikan bahwa :

a. BK dan CL tegak lurus pada garis bagi <Ab. AKML adalah segiempat talibusur

29. ABCD segiempat talibusur, AB = AD = 8 cmAC dan BD berpotongan di E. EC = 12 cm. BE dan ED bilanganasli. Hitunglah panjang BD.

30. AD garis bagi luar <A, BE garis bagi luar <B, CF garis bagi luar <CBuktikan D,F,E segaris..

A

EB

D

C

materi math smp-al azhar 2011

Documents