MATERI : GESERAN (TRANSLASI) – KELOMPOK 6 (VI.E)

Disusun Oleh:

1. ARI SUKA LESMANA

2. YULAIMA SUPRIHATIN

3. HERVI MARDIANA

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMUPENDIDIKAN

PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA

STKIP – PGRI LUBUKLINGGAU

GESERAN (TRANSLASI)

Geseran (translasi) adalah suatu transformasi yang memindahkan semua

titik pada bidang dengan jarak yang sama dan arah yang sama.

Ketentuan dan sifat-sifat

Teorema 1:

Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A dan B

maka 'AA = 'BB dengan "A = MhMg (A) dan B" = MhMg (B) Bukti: Kita pilih sebuah sistem koordinat dengan misalnya t sebagai sumbu y dan

sebuah garis tegak lurus pada g sebagai sumbu x.

Andaikan A = (a1a2 ) dan B=(b1,b2). Kalau N tengah-tengah ruas garis

BA" maka harus di buktikan SN(A)=B " . Andaikan persamaan h adalah x = k

(k ≠ 0). Apabila P = (x,y) dan P ' (Mh(P)) maka 'PP memotong h di sebuah

titik Q (k,y) dengan Q sebagai titik tengah 'PP . Jadi P = Mh (P) = (2k – x,y)

sedangkan Mg (P) = (-x,y). Jadi MhMg (P) = MhMg (P) = Mh{(-x,y)}= (2k-x,y)

Jadi pula A" = MhMg (A) = (2x + b1 .a2 )

B " = MhMg (B) = (2x + b1.b2)

B"

n A’(x,y)

A"

N

0 B

g h

A

(x,y)

Oleh karena N titik tengah BA" maka:

N = ( )

+−++

2

2211

22

a

babak

Sedangkan SN(A)=

−

+−

++2

22,1

11

22

2

22 a

baa

bak

SN(A)=(2k+b1.b2)=B "

Dengan demikian,maka "AA = "BB

Teorema 2:

Apabila AB = CD maka GAB = GCD

Bukti: Jika X sebarang,maka harus dibuktikan GAB(X)=GCD(X)

Andaikan GAB(X)=X1 dan GCD(X)=X2

Jadi 1XX = AB dan 2XX = CD

Karena AB = CD maka 1XX = 2XX berarti X1=X2 sehingga

GAB=GCD.

Teorema 3:

Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan CD sebuah garis berarah

tegak lurus pada C dan C g dan D h, apabila AB = 2 CD maka GAB =

Mh Mg

Bukti: Andaikan P sebuah titik sebarang, jika P=GAB(P) dan P' =MhMg(P)

maka harus dibuktikan bahwa P=P'

h

C’ = MAMg(C)

Menurut ketentuan geseran, 'PP = AB Oleh karena AB = 2CD , maka 'PP =

2CD berhubungan C" =MhMg(C), C ∈g. Maka C" =Mh(C). Jadi D adalah titik

tengah "CC sehingga "CC = 2CD . Oleh karena "CC = 'PP (teorema .1).

maka "PP =2 CD = 'PP ini berarti bahwa P=P' Jadi GAB(P)=MhMg(P) karena

P sebarang, maka GAB=MhMg.

Teorema 4 :

Jika GAB sebuah geseran maka (GAB)=GBA

Bukti: Oleh karena himpunan isometri-isometri merupakan grup bagian dari

grup transformasi-transformasi. Maka setiap geseran memiliki balikan

(GAB) 1−

Dari uraian diatas kita peroleh berturut-turut yaitu:

GAB=M h Mg=MgMh

h

g P

C

C’

B

A

P'

D

C

k

n

Sedangkan

GAB=MhMg=MgMh

Sehingga

(GAB) 1− =(MgMh) 1− Mh

1− Mg

1− =MgMh=GBA

Jadi

(GAB)=GBA

Hasil Kali Geseran

Akan di perlihatkan bahwa setiap geseran dapat di uraikan sebagai hasil kali dua

setengah putaran.

Teorema 5 :

Jika GAB Sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga AB = 2

CD maka GAB = CDSS

Bukti : Andaikan G = CD ; K ⊥ g di C, n ⊥ g di D.

A

B

Maka CD ruas garis berarah dari k ke n. Oleh karena AB = 2 CD maka =

sedangkan = dan = . Jadi :

= ( )( )= ( )

atau :

= ( I = . Dengan demikian maka =

Teorema 6 :

Komposisi suatu geseran dan Suatu setengah putaran adalah Suatu setengah

putaran.

Bukti : Andaikan suatu geseran dan C sebuah titik sebarang . Andaikan E titik

yang tunggal sehingga CE = AB . Andaikan D titik tengah CE maka CE = 2

CD .menurut teorema 5 = .Jadi, = ( ) = ( ) = I

= maka =

Akibat : andaikan , ,dan masing-masing setengah putaran, maka =

dengan D sebuah titik sehingga AD = CD

Bukti :

Kita peroleh berturut – turut = . jadi , =

A B

D C

Andaikan = maka 2 BC = 2 AX atau BC = AX .jadi , =

sehingga = .

Perhatikan dua geseran dan . Maka (A) = B dan (B) = C .

sehingga dapat kita tulis bahwa (A) = C . apabila E titik sebarang , maka

(E) = dengan = sedangkan GAB (E ' )=E" sehingga "'EE = .

Maka = E” dengan = sehingga GBC (E) = E”= (E).

Jadi = .

Hal ini dapat juga dilihat sebagai berikut dengan menggunakan teorema .6:

Andaikan P.Q dua titik sehingga 2 = dan titik R sehingga 2 = maka

= dan =

Sehingga = ( ) ( ) =

Oleh karena 2 = maka =

Jadi =

Dengan demikian terbukti teorema berikut:

B

Q

A P R

C

E’

E E’

Teorema .7 : Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi.

Catatan : Apabila = maka = = I. Disini I adalah

transformasi identitas .

Jadi : kalau = maka kalau I dianggap sebagai translasi. Teorema diatas

tetap berlaku.

Teorema .8 : Jika sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik 0 (0,0) dan

A (a,b) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik p (x,y) sebagai T

( P) = (x+a,y+b) maka T =

Bukti : Untuk P = ( x,y),T(p)=(x+a,y+b) . andaikan P = (p) maka =

sehingga p (x+a-0,y+b-0)=(x+a,y+b).karena T(P) = (x+a,y+b) untuk setiap

P = (x,y) maka T (P)= P' = GOA (P). jadi, T = GOA

Contoh soal :

1. Jika A = (2,-1) dan B = (3,4) .Tentukan :

a. GAB (P) Jika P = (x,y)

b. Titik D sehingga GAB (D) = (1,3)

Jawab :

a. GAB (P) = (x,y)

={(3-2)+ x, (4+1) + y }

=(1 + x , 5 + y)

Jika P = (x,y)

b. Karena GAB (D) = (1,3) maka D = (1,3) .Karena GAB (P) = (-1 + x , -5 + y)

jika P =(x,y) Sehingga D = GAB (1,3) = ( -1 + 1 , -5 + 3) = ( 0, -2)D) = (1,3) maka

D = (1,3) .Karena GAB (P) = (-1 + x , -5 + y) jika P =(x,y)

Sehingga D = GAB (1,3) = ( -1 + 1 , -5 + 3) = ( 0, -2)

2. Jika A = (3,-1),B = (1,7) dan C = (4,2) adalah titik – titik yang di

ketahui , tentukan sebuah titik D sehingga =

Jawaban :

Andaikan E sebuah titik sehingga = maka E = (4+(1-3),2+(7-(-1)) atau

E =(2,10) .Apabila D titik tengah CE maka D = (3,6) Sehingga = 2 .

jadi , = 2 Menurut teorema 5 di peroleh = maka titik D

yang di cari adalah (3,6)